高考數(shù)學(xué)（理）培優(yōu)增分一輪全國經(jīng)典版培優(yōu)講義第7章第1講空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖

第1講空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖板塊一知識梳理·自主學(xué)習(xí)[必備知識]考點(diǎn)1簡單幾何體1.簡單旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征(1)圓柱可以由矩形繞其任一邊旋轉(zhuǎn)得到；(2)圓錐可以由直角三角形繞其直角邊旋轉(zhuǎn)得到；(3)圓臺可以由直角梯形繞直角腰或等腰梯形繞上下底中點(diǎn)連線旋轉(zhuǎn)得到，也可由平行于圓錐底面的平面截圓錐得到；(4)球可以由半圓或圓繞直徑旋轉(zhuǎn)得到．2.簡單多面體的結(jié)構(gòu)特征(1)棱柱的側(cè)棱都平行且相等，上下底面是全等的多邊形；(2)棱錐的底面是任意多邊形，側(cè)面是有一個公共點(diǎn)的三角形；(3)棱臺可由平行于棱錐底面的平面截棱錐得到，其上下底面是相似多邊形．考點(diǎn)2直觀圖1.畫法：常用斜二測畫法．2.規(guī)則(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直．(2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸．平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话耄键c(diǎn)3三視圖1.幾何體的三視圖包括正視圖、側(cè)視圖、俯視圖，分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫出的輪廓線．說明：正視圖也稱主視圖，側(cè)視圖也稱左視圖.2.三視圖的畫法(1)基本要求：長對正，高平齊，寬相等．(2)畫法規(guī)則：正側(cè)一樣高，正俯一樣長，側(cè)俯一樣寬；看不到的線畫虛線．[必會結(jié)論]1.斜二測畫法中的“三變”與“三不變”“三變”eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(坐標(biāo)軸的夾角改變，,與y軸平行的線段的長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?圖形改變.))“三不變”eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(平行性不改變，,與x，z軸平行的線段的長度不改變，,相對位置不改變.))2.直觀圖與原圖形面積的關(guān)系S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖形(或S原圖形＝2eq\r(2)S直觀圖)．[考點(diǎn)自測]1.判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)球的任何截面都是圓．()(2)有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．()(3)夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體還是圓柱．()(4)上下底面是兩個平行的圓面的旋轉(zhuǎn)體是圓臺．()(5)在用斜二測畫法畫水平放置的∠A時，若∠A的兩邊分別平行于x軸和y軸，且∠A＝90°，則在直觀圖中∠A＝45°.()答案(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×2.[2018·山西模擬]如圖，網(wǎng)格紙的各小格都是正方形，粗實(shí)線畫出的是一個幾何體的三視圖，則這個幾何體是()A．三棱錐B．三棱柱C．四棱錐D．四棱柱答案B解析由題知，該幾何體的三視圖為一個三角形，兩個四邊形，經(jīng)分析可知該幾何體為三棱柱．故選B.3.[課本改編]如圖，直觀圖所表示的平面圖形是()A．正三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.直角三角形答案D解析由直觀圖中，A′C′∥y′軸，B′C′∥x′軸，還原后如圖AC∥y軸，BC∥x軸．所以△ABC是直角三角形．故選D.4.[2018·沈陽模擬]一個錐體的正視圖和側(cè)視圖如圖所示，下面選項中，不可能是該錐體的俯視圖的是()答案C解析若俯視圖為選項C，側(cè)視圖的寬應(yīng)為俯視圖中三角形的高eq\f(\r(3),2)，所以俯視圖不可能是選項C.故選C.5.[2018·寧德質(zhì)檢]如圖是正方體截去陰影部分所得的幾何體，則該幾何體的側(cè)視圖是()答案C解析此幾何體側(cè)視圖是從左邊向右邊看．故選C.板塊二典例探究·考向突破考向空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征例1下列說法正確的是()A.有兩個平面互相平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱B.四棱錐的四個側(cè)面都可以是直角三角形C.有兩個平面互相平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺D.棱臺的各側(cè)棱延長后不一定交于一點(diǎn)答案B解析A錯，如圖1；B正確，如圖2，其中底面ABCD是矩形，可證明∠PAB，∠PCB都是直角，這樣四個側(cè)面都是直角三角形；C錯，如圖3；D錯，由棱臺的定義知，其側(cè)棱必相交于同一點(diǎn)．觸類旁通解決與空間幾何體結(jié)構(gòu)特征有關(guān)問題的技巧(1)熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，然后再依據(jù)題意判定．(2)通過反例對結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析，要說明一個命題是錯誤的，只要舉出一個反例即可.【變式訓(xùn)練1】以下命題：①以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；②以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺；③圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓；④一個平面截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺．其中正確命題的個數(shù)為()A.0B．1C．2D．3答案A解析命題①錯，因?yàn)檫@條邊若是直角三角形的斜邊，則得不到圓錐；命題②錯，因?yàn)檫@條腰必須是垂直于兩底的腰；命題③錯，因?yàn)閳A柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面；命題④錯，必須用平行于圓錐底面的平面截圓錐才可以．故選A.考向空間幾何體的三視圖命題角度1由空間幾何體的直觀圖識別三視圖例2[2018·臨沂模擬]如圖甲，將一個正三棱柱ABC－DEF截去一個三棱錐A－BCD，得到幾何體BCDEF，如圖乙，則該幾何體的正視圖(主視圖)是()答案C解析由于三棱柱為正三棱柱，故平面ADEB⊥平面DEF，△DEF是等邊三角形，所以CD在后側(cè)面上的投影為AB的中點(diǎn)與D的連線，CD的投影與底面不垂直．故選C.命題角度2由空間幾何體的三視圖還原直觀圖例3[2017·浙江高考]某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是()A.eq\f(π,2)＋1B.eq\f(π,2)＋3C.eq\f(3π,2)＋1D.eq\f(3π,2)＋3答案A解析由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個底面半徑為1，高為3的圓錐的一半與一個底面為直角邊長是eq\r(2)的等腰直角三角形，高為3的三棱錐的組合體，∴該幾何體的體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)π×12×3＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)×3＝eq\f(π,2)＋1.故選A.命題角度3由兩個視圖補(bǔ)畫第三個視圖例4[2016·天津高考]將一個長方體沿相鄰三個面的對角線截去一個棱錐，得到的幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)(左)視圖為()答案B解析由幾何體的正視圖、俯視圖以及題意可畫出幾何體的直觀圖，如圖所示．從左側(cè)觀察直觀圖，可知截面體現(xiàn)為從左上到右下的虛線．故選B.觸類旁通三視圖問題的常見類型及求解策略(1)在分析空間幾何體的三視圖時，先根據(jù)俯視圖確定幾何體的底面，然后根據(jù)正視圖或側(cè)視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征，調(diào)整實(shí)線和虛線所對應(yīng)的棱、面的位置，再確定幾何體的形狀，即可得到結(jié)果．(2)在由三視圖還原空間幾何體的實(shí)際形狀時，要從三個視圖綜合考慮，一般是以正視圖和俯視圖為主，結(jié)合側(cè)視圖進(jìn)行綜合考慮.考向空間幾何體的直觀圖例5[2018·桂林模擬]已知正三角形ABC的邊長為a，那么△ABC的平面直觀圖△A′B′C′的面積為()A.eq\f(\r(3),4)a2B.eq\f(\r(3),8)a2C.eq\f(\r(6),8)a2D.eq\f(\r(6),16)a2答案D解析如圖①、②所示的平面圖形和直觀圖．由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(\r(3),4)a，在圖②中作C′D′⊥A′B′于D′，則C′D′＝eq\f(\r(2),2)O′C′＝eq\f(\r(6),8)a.∴S△A′B′C′＝eq\f(1,2)A′B′·C′D′＝eq\f(1,2)×a×eq\f(\r(6),8)a＝eq\f(\r(6),16)a2.若本例改為“△A1B1C1是邊長為a的正三角形，且△A1B1C1是△ABC的直觀圖”，則△ABC解在△A1D1C1中，由正弦定理eq\f(a,sin45°)＝eq\f(x,sin120°)，得x＝eq\f(\r(6),2)a，∴S△ABC＝eq\f(1,2)×a×eq\r(6)a＝eq\f(\r(6),2)a2.【變式訓(xùn)練2】如圖，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝6，O′C′＝2，則原圖形OABC的面積為()A.24eq\r(2) B．12eq\r(2)C.48eq\r(2) D．20eq\r(2)答案A解析由題意知原圖形OABC是平行四邊形，且OA＝BC＝6，設(shè)平行四邊形OABC的高為OE，則OE×eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＝O′C′，∵O′C′＝2，∴OE＝4eq\r(2)，∴S?OABC＝6×4eq\r(2)＝24eq\r(2).故選A.核心規(guī)律1.掌握棱柱、棱錐的結(jié)構(gòu)特征．2.旋轉(zhuǎn)體要抓住“旋轉(zhuǎn)”的特點(diǎn)，弄清底面、側(cè)面及其展開圖的形狀．3.三視圖的畫法：(1)分界線和可見輪廓線用實(shí)線，看不見的輪廓線用虛線；(2)理解“長對正、高平齊、寬相等”．滿分策略1.臺體可以看成是由錐體截得的，易忽視截面與底面平行且側(cè)棱(母線)延長后必交于一點(diǎn)．2.空間幾何體不同放置時其三視圖不一定相同．3.對于簡單組合體，若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線，在三視圖中，易忽視實(shí)虛線的畫法．板塊三啟智培優(yōu)·破譯高考易錯警示系列10——三視圖識圖不準(zhǔn)致誤[2014·湖北高考]在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，一個四面體的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．給出編號為①、②、③、④的四個圖，則該四面體的正視圖和俯視圖分別為()A.①和② B．③和①C.④和③ D．④和②錯因分析本題易出現(xiàn)的錯誤：(1)不能由點(diǎn)的坐標(biāo)確定點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的位置．(2)不能借助于正方體，由空間幾何體的直觀圖得到它的三視圖．(3)受思維定勢的影響，直觀感覺正視圖為三角形，而無法作出選擇．解析在空間直角坐標(biāo)系中構(gòu)建棱長為2的正方體，設(shè)A(0，0,2)，B(2,2,0)，C(1,2,1)，D(2，2,2)，則ABCD即為滿足條件的四面體，得出正視圖和俯視圖分別為④和②.故選D.答案D答題啟示在三視圖中，正視圖、側(cè)視圖的高就是空間幾何體的高，正視圖、俯視圖中的長就是空間幾何體的最大長度，側(cè)視圖、俯視圖中的寬就是空間幾何體的最大寬度.在繪制三視圖時，分界線和可見輪廓線都用實(shí)線畫出，被遮擋的部分的輪廓線用虛線表示出來.跟蹤訓(xùn)練一個四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)分別是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，畫該四面體三視圖中的正視圖時，以zOx平面為投影面，則得到的正視圖可以為()答案A解析在空間直角坐標(biāo)系中，易知O(0,0,0)，A(1,0,1)，B(1，1,0)，C(0,1,1)恰為單位正方體的四個頂點(diǎn)，棱BC在zOx平面的投影是看得見的，而OA的投影即它本身，在投影面中是看不見的．故選A.板塊四模擬演練·提能增分[A級基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1.[2018·銀川模擬]三視圖如圖的幾何體是()A．三棱錐B．四棱錐C．四棱臺D．三棱臺答案B解析幾何體底面為四邊形，側(cè)面是三角形．故選B.2.如圖是一個物體的三視圖，則此三視圖所描述的物體是下列哪個幾何體？()答案D解析由三視圖知該幾何體是一個組合體，上部是圓錐，下部是圓柱．故選D.3.某幾何體的正視圖和側(cè)視圖完全相同，均如圖所示，則該幾何體的俯視圖一定不可能是()答案D解析幾何體的正視圖和側(cè)視圖完全一樣，則幾何體從正面看和側(cè)面看的長度相等，只有等邊三角形不可能．故選D.4.[2018·云南玉溪模擬]將長方體截去一個四棱錐后得到的幾何體如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖為()答案D解析根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行分析即可．故選D.5.若某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的直觀圖是()答案A解析該幾何體是正方體的一部分，結(jié)合側(cè)視圖可知直觀圖為選項A中的圖．故選A.6.[2017·北京高考]某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長棱的長度為()A．3eq\r(2)B．2eq\r(3)C．2eq\r(2)D．2答案B解析在正方體中還原該四棱錐，如圖所示，可知SD為該四棱錐的最長棱．由三視圖可知正方體的棱長為2，故SD＝eq\r(22＋22＋22)＝2eq\r(3).故選B.7.[2018·河北石家莊質(zhì)檢]一個三棱錐的正視圖和俯視圖如圖所示，則該三棱錐的側(cè)視圖可能為()答案D解析由題圖可知，該幾何體為如圖所示的三棱錐，其中平面ACD⊥平面BCD.故選D.

8.如圖，正方形OABC的邊長為1cm，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長為________．答案8cm解析將直觀圖還原為平面圖形，如圖．可知還原后的圖形中，OB＝2eq\r(2)，AB＝eq\r(12＋2\r(2)2)＝3，于是周長為2×3＋2×1＝8(cm).9.[2018·濟(jì)寧模擬]已知四棱錐P－ABCD的三視圖如圖所示，則四棱錐P－ABCD的四個側(cè)面中面積的最大值是________．答案6解析四棱錐如圖所示，作PN⊥平面ABCD，交DC于點(diǎn)N，PC＝PD＝3，DN＝2，則PN＝eq\r(32－22)＝eq\r(5)，AB＝4，BC＝2，BC⊥CD，故BC⊥平面PDC，即BC⊥PC，同理AD⊥PD.設(shè)M為AB的中點(diǎn)，連接PM，MN，則PM＝3，S△PDC＝eq\f(1,2)×4×eq\r(5)＝2eq\r(5)，S△PBC＝S△PAD＝eq\f(1,2)×2×3＝3，S△PAB＝eq\f(1,2)×4×3＝6，所以四棱錐P－ABCD的四個側(cè)面中面積的最大值是6.10.[2016·浙江高考]某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的表面積是________cm2，體積是________cm3.答案8040解析幾何體的直觀圖如圖：∴S表＝42×2＋4×2×4＋22×4＝80(cm2)，V＝23＋4×4×2＝40(cm3).[B級知能提升]1.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是BB1，BC的中點(diǎn)，則圖中陰影部分在平面ADD1A1上的投影為(答案A解析點(diǎn)D在平面ADD1A1上的正投影為點(diǎn)D，點(diǎn)M在平面ADD1A1上的正投影為AA1的中點(diǎn)，點(diǎn)N在平面ADD1A1上的投影為DA的中點(diǎn)，連接三點(diǎn)可知2.[2018·湖南模擬]正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱BB1的中點(diǎn)(如圖)，用過點(diǎn)A，E，C1的平面截去該正方體的上半部分，則剩余幾何體的左視圖為(答案C解析過點(diǎn)A，E，C1的截面為AEC1F，如圖，則剩余幾何體的左視圖為選項C中的圖形．故選3．用斜二測畫法畫出的某平面圖形的直觀圖如圖，邊AB平行于y軸，BC，AD平行于x軸．已知四邊形ABCD的面積為2eq\r(2)cm2，則原平面圖形的面積為________．答案8cm2解析解法一：依題意可知∠BAD＝45°，則原平面圖形為直角梯形，上下底面的長與BC，AD相等，高為梯形ABCD的高的2eq\r(2)倍，所以原平面圖形的面積為8cm2.解法二：依題意可知，S直觀圖＝2eq\r(2)故S原圖形＝2eq\r(2)S直觀圖＝8cm2.4．已知某幾何體的俯視圖是如圖所示的矩形，正視圖(或稱主視圖)是