2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)試題專題16 圓錐曲線中的范圍與最值問題、探索性問題 （解析版）

專題16圓錐曲線中的范圍與最值問題

一、核心先導(dǎo)

二、考點(diǎn)再現(xiàn)

【考點(diǎn)1】、若橢圓方程為半焦距為c.，焦點(diǎn)E(—c,O),￡(c,O),設(shè)

過(guò)旺的直線/的傾斜角為a,交橢圓于A、B兩點(diǎn)，則有：①

|A止----------，|陽(yáng)=-----------：②|陰一22

a-ccosaa+ccosaa-c一；"cosa

若橢圓方程為捺+鳥=1(〃>〃>0),半焦距為c,焦點(diǎn)片(—c,0),g(c,0),設(shè)

過(guò)月的直線/的傾斜角為。，交橢圓于A、B兩點(diǎn)，則有

2加

②|A8|二

a2-c2cos2a

,12

同理可求得焦點(diǎn)在軸上的過(guò)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)為〃22為長(zhǎng)半軸，為短半軸，為半焦距)

y|A8|=_；如a6bc

2ab2

.(焦點(diǎn)在x軸上)

a2-c2cos2a

結(jié)論：橢圓過(guò)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式:=<

2ab2

(焦點(diǎn)在)，地上)

a-csin2a

【考點(diǎn)2］、過(guò)橢圓V+丁=1(a>〃>0)左焦點(diǎn)的焦點(diǎn)弦為AB則IA4=2。+e(x+/);過(guò)右焦

點(diǎn)的弦JA耳=2a_e（M+x2）.

【考點(diǎn)3】、拋物線丁2=2〃,1(〃>0)與直線),=履+/)相交于4M/)15,乃)且該直線與、軸交于點(diǎn)40.達(dá))，

則有_1+,=，.

x乃丹

【考點(diǎn)4】、設(shè)45為過(guò)拋物線V=2/"(〃>0)焦點(diǎn)的弦，4區(qū),%)、8(乙,%)，直線48的傾斜

角為。，則

①.砧=。，川2=-/；

4

②.|叫=不P

+勺金」研i+勺1+COS0

2P

③.+=二砧；

12

④.

1必1\FB\~~P'

⑤.OAOB=--p2；

4

SMOli=|OA||OB|sinZAOB=^\OF\-hFp-

2sin<9

三、解法解密

方法1.圓錐曲線中最值與范圍問題的常見求法：

(1)幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解決;

(2)代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)?種明確的函數(shù)關(guān)系,則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)

的最值.在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時(shí)常從以下幾個(gè)方面考慮：

①利用判別式來(lái)構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定取值范圍；

②利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出取值范圍；

③利用基本不等式求出取值范圍；

④利用函數(shù)的值域的求法，確定取值范圍

方法2.解決圓錐曲線中的取值范圍問題應(yīng)考慮的五個(gè)方面

(1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；

(2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系；

(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍：

(4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；

(5.)利用求函數(shù)■的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.

四、考點(diǎn)解密

題型（一）利用題設(shè)條件，結(jié)合幾何特征與性質(zhì)求范圍

YV2

例I、（1）.己知"，居為雙曲線二一二二1（。>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)6的直線/與圓f+）,2="

a~b~

相切于點(diǎn)且|M8|二3|M￡|,則雙曲線的離心率為（）

A.A/2B.2C.3D.yi3

【答案】D

【解析】設(shè)耳（一C,0），/9,0），由過(guò)耳的直線/與圓/+小=》相切,可得圓心到直線/的距離>=從

過(guò)F2向直線/作垂線，垂足為N,在直角三角形ONE中，可得|MR|=4,\OQ\=2a,\OM\=b,

IQF21=2b,即有|“用=3|〃制=3々，山OM為三角形MFR的中線，可得

（2OM|）2+（|K/|）2=2（|M尸］+|訝|2）,即4/+4u2=2（/+942）,gpWc2+Z>2=5a2,再根據(jù)

a2+b2=c2^到雙曲線的離心率為6.故選D.

（2）.（2022?陜西?乾縣第二中學(xué)高二階段練習(xí)）已知橢圓c：M~；+上一=l（10<；t<14）的離心率為亞/

14-xX-63

為C的一個(gè)焦點(diǎn)，p為C上一動(dòng)點(diǎn)，則歸目的最大值為（）

A.3B.5C.3+&D.2+76

【答案】D

【分析1由題知橢I員IC的焦點(diǎn)在y軸I：且箋薩=|，進(jìn)而得。2=612=2,。2=4,|尸用3=4+。=2+#.

【詳解】解：設(shè)橢圓C的半焦距為Gc>0）

vl0<A<14,/.0<14-2<4<2-6,故焦點(diǎn)在y軸上.

-//=（4-6）一（14-/1）=24-20,離心率為坐,

?.?4二”=,，解得2二12

Z—o3

\a2=6,Z?2=2,c2=4.

???根據(jù)橢圓的性質(zhì)可知|PF|nttx=a+c=2+".

故選：D

【變式訓(xùn)練1-1】、(2021?陜西?咸陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二階段練習(xí))已知橢圓C[+：=]的下焦點(diǎn)為產(chǎn)，

點(diǎn)”在橢圓C上，點(diǎn)N在圓E：d+(y-2)2=l上,則|MF|+|AW|的最小值為()

A.4B.5C.7D.8

【答案】B

【分析】根據(jù)橢圓的定義把問題轉(zhuǎn)化為求|M同一|MN|的最大值，利用三角形的兩邊之差小于第三邊求解即

可.

【詳解】圓氏x2+(y-2)2=l,則圓心E(0,2)為橢圓。的上焦點(diǎn)，

已知橢圓C：—+—=1?則a=3,b=亞,c=2,

95

由橢圓的定義可知，|M日+|ME|=6,則|煙=6-|阿，

所以|MF|I|MV|-6(|A/E|

當(dāng)N,E三點(diǎn)共線時(shí)，取最大值1,

所以r|+\MN\的最小值為6/=5.

故選：B

2

【變式訓(xùn)練1-2】、過(guò)雙曲線/嘖=1的右支上一點(diǎn)。，分別向圓G：*+4)2+),2=4和圓。2：

。-4)2+；/=1作切線,切點(diǎn)分別為用，/7,則|m7|2-|/^|2的最小值為()

A.10B.13C.16D.19

【答案】B

222

【解析】由題可知,1PM|-I^|=(|PC.|-4)-(|PC2『-1)、因此

2222

|PW|-|P/V|=|PC.|-1PC2|-3=(1PC,|-|PC2|)=2(|PC.|+1PC21)-3>21C.G|-3=13.

故選B.

題型(二)利用根的判別式或韋達(dá)定理或參數(shù)建立不等關(guān)系求范圍

例2、已知拋物線G：V=4x與圓。2：/+)，2—2X=0,直線>=依一攵與G交于A，B嵌點(diǎn),與。2交

于M,N兩點(diǎn)，且A，M位于入.軸的上方，則AM-N8=.

【答案】1

【解析】圓。2的方程化為3-1>+），2=1,直線y=右一女過(guò)拋物線焦點(diǎn)產(chǎn)（1,0）,

結(jié)合拋物線定義，可得AM?N8=|AM|?|N8HIA用T|"|B用一1|=4/，由

y=kx-k…、_______

,得內(nèi)工2一（2/+4）1+《=0,所以=1，即AM-NB=L

y~=4x

【變式訓(xùn)練2-1】、（2022?河南喧陽(yáng)縣第一高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）過(guò)橢圓C:「+￡=lg〃>（））的右焦

點(diǎn)F且與長(zhǎng)軸垂直的弦的長(zhǎng)為38，過(guò)點(diǎn)P（2,l）且斜率為-1的直線與C相交于A,B兩點(diǎn)，若P恰好是AB

的中點(diǎn)，則橢圓C上一點(diǎn)M到〃的距離的最大值為（）

A.6B.20+3C.2e+3D.3直+3

【答案】D

【分析］將”=。代入橢圓。的方程并結(jié)合已知可得絲?=3收，由點(diǎn)差法結(jié)合已知可得三-上=0,由此

aa'b~

求出4仇c,則C上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)尸的距離的最大值為a+c即可求解

【詳解】將犬=。代入橢圓C的方程得），=土，，

所以更=3亞①，

a

設(shè)AQM，8（孫必）,則4+5=1,4+4=b

abab~

兩式相減得+b'f）"￡）=0,

a"h"

又々+演=4,y+），2=2,=

X1-X2

21

所以白-2=0②，

a'lr

解①②得a=30，b=3,

所以《==3,

所以C上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)尸的距離的最大值為a+c=3及+3.

故選：D.

題型（三）求解函數(shù)值域得范圍

例3、（2022?四川?樹德中學(xué)高二期中）已知尸是橢圓G：￡+I=l（q>4>0）和雙曲線

可4

。*噴=2。也>。）的交點(diǎn)，耳,乃是G，G的公共焦點(diǎn)，…2分別為G，G的離心率，若

ZF^PF=—?jiǎng)t----的取值范圍為

23tqe

【答案】（0,1）

【分析】根據(jù)橢圓與雙曲線的定義把歸用尸圖用4必來(lái)表示，然后在△尸耳鳥中用余弦定理求出e”?的關(guān)

系，然后再用函數(shù)求解.

【詳解】設(shè)|?制=格|%|=〃

因?yàn)辄c(diǎn)尸在橢圓上，所以m+〃=24①

乂因?yàn)辄c(diǎn)尸在雙曲線上，所以=②

則①+②得〃1=%十"2；①一②〃=4一%

在XPF\鳥中由余弦定理得：忻司2=+/一2mncos

即4c2=（4+%『+（4-。2『一2（q+1）（4-4）（-g

即4c2=3婿+足，即4=莖+《即4=±+]

C~C~eie2

~i141/3

所以1<T<W，^

q3e2et

]4ii\（3、

令1（”下<、，則=.不==4-^-=-3r2+4re（0,l）

43'e；e；<I<

所以L’e（0,l）.

e\e2

故答案：（0,1）.

【變式訓(xùn)練3-1】、（2022?浙江?杭州四中高二期中）設(shè)尸是橢圓M:5+y2=i上的任一點(diǎn)，E/為圓

N:x2+y2-)，=0的任一條直徑，則PEPF的最大值為.

【答案】49

4

【分析】設(shè)點(diǎn)P(xy),則丁=2-2)，2且-1”。，計(jì)算得出=+利用二次函數(shù)的基

本性質(zhì)可求得正.夕產(chǎn)的最大值.

【詳解】圓N:/+(y-gJ=；的圓心為N(O,g)半徑長(zhǎng)為3，

設(shè)點(diǎn)尸(x,y)，則/=2-2/且一IWyG,

PE=PN+NE，PF=PN+NF=PN-NE，

,z?x2]

ffil^PEP^=(PN+NE)(PN-NE)=PN2-NE2=+x2-^

CC，(1V12c(1丫9

=2-2y--=-y-y+2=-^y+—J+—?

1/\9

所以，當(dāng)尸)時(shí)，PE.勿■取得最大值，即PE-PF=-.

2\/max4

故答案為：49.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩和：

一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來(lái)求最值；

二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函

數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值.

例4、平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知橢圓C：二+《=1(。〉方＞0)的離心率為無(wú)，左、右焦點(diǎn)分別是6、

a~b~2

F2.以月為圓心以3為半杼的圓與以總為圓心以1為半杼的限相交.日交點(diǎn)在橢圓。匕

(I)求橢I員IC的方程；

X2v2

(H)設(shè)橢圓E：「+J=1,P為橢圓。上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線丁=履+〃？交橢圓石于A,8兩

4,r4/廣

點(diǎn)，射線尸。交橢圓E于點(diǎn)Q.(i)求儂1的值；(ii)求△A8Q面積的最大值.

【蟀析】（I）由題意知2。=4,則。=2,又工=立，a2-c2=b\

a2

r2

可得人=1,所以橢圓。的方程為上+>2=].

4

x22

（II）由（I）知橢圓E的方程為二十v乙=1.

164

（i）設(shè)P（x（）,）,J=4,由題意知。（一2%，—Ay。），

因?yàn)镸+y；=i,又空工+空匚=1,即J（q+y：）=i,

416444

所以2=2,即絲1=2.

\OP\

（ii）設(shè)4（西，凹）,A02,%），將y=%x+m代入橢圓E的方程，

可得（1+4-）/+弘〃a+4帆2-16=0,

由A>0,可得m2<4+\6k2,

8km4〃/-16

則有用+々=，X,X2=2

iT4P1+4Ar

4A/1642+4-m2

所以1%—凡1=

1+4好

因?yàn)橹本€y=Zx+機(jī)與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,加），

「1...,2J16Z:2+4-m21

所以AOAB的面積SnalmllX]-x21=----j——-----

_21（16-+4-〃：）>_z??~~n^-

-1+4-2=2嚴(yán)-1+4泊+4-2

2

令一^=/，將），=&x+〃，代入橢圓。的方程，

可得（1+4/）/+弘〃a十4/-4=0,

由△》（），可得〃/41+必2,

由①②可知因應(yīng)S=2j(4-/?=2j—『+42

故SW2B

當(dāng)且僅當(dāng)，=1時(shí)，即〃2?=1+442時(shí)取得最大值26,

由（i）知，A48Q面積為3S,

所以AA8Q面積的最大值為6』.

【變式訓(xùn)練4T】、（2。22?四川省成都市第八中學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左、右

焦點(diǎn)分別為耳、右今點(diǎn)皿|）在橢圓”上.

⑴求橢圓M的方程;

⑵如圖，四邊形ABCD是矩形,A8與橢圓M相切于點(diǎn)立AQ與橢圓M相切于點(diǎn)E8c與橢圓M相切

于點(diǎn)G,C。與橢圓M相切于點(diǎn)H,求矩形48CO面積的取值范圍.

【答案】⑴《+$=1

43

⑵「8614一

【分析】（1）利用已知關(guān)系建立方程組，聯(lián)立即可求解;

（2）當(dāng)直線AO的斜率不存在或?yàn)?時(shí)，求出矩形A4CQ的面積，當(dāng)直線AO的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)

直線AD的方程為丁=y+利，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及弦長(zhǎng)公式求出|明，同理求出\AD\,

進(jìn)而表示出矩形ABC。的面積，利用函數(shù)思想求解即可.

c_1

a~2

19

【詳解】（1）由己知可得:—rd--7=]

a24b2

a2=b2+c2

可求出0=二力=堂〃代入’7+金7=1，

22a-4b~

解得〃=4,c、i所以橢圓的方程為$+￡=1；

43

（2）當(dāng)直線A。的斜率不存在或?yàn)?時(shí)，矩形ABCO的面積為2〃x?=86,

當(dāng)直線4。的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線AO的方程為），=4科+加，

y=kx+m

聯(lián)立方程L2ty2消去整理可得：

143

（3-%）2+8Kmx+4m2-12=0,所以△=64m2M-4（3+%）（4m2-12）=0,

解得小2=3+4#,

所以加恩

2,13+41--

同理可得|AD|=

”--c1Iz2出+412〃+3后442一：+25好+12

所以矩形ABCD的面積S=AB?八q二_Ix—.=------■~廣-------，

1+嶼

又，>1,所以*(0，1),

當(dāng)冷，即2時(shí),J取得最大值為印

所以12+：1一1產(chǎn)胃f⑵彳49，所以SC（8G，14],

綜上，矩形A8C。的面積的取值范圍為[86,14].

題型（四）利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式求范圍

22

例5、【2018全國(guó)卷III】已知斜率為女的直線/與橢圓C：土+上=1交于A,B兩點(diǎn),線段A8的中點(diǎn)

43

為jVf(ljn)(/?>0).

（1）證明：k<——；

2

（2）設(shè)尸為。的右焦點(diǎn)，。為C上一點(diǎn)，且尸P+必+尸4=0.證明：|￡4|,|F例成等差數(shù)

歹U，并求該數(shù)列的公差.

2222

【解析】⑴設(shè)4$,X）,爾和力），則與+4=1，?+咚=1.

4343

兩式相減，并由入二&二%得土衛(wèi)，+江&.%=（）.

X］-x243

由題設(shè)知上玉=1,江&=,〃，

22

于是2=-二.①

4m

由題設(shè)得0<相<23,故2<-1上.

22

（2）由題意得尸（1,0）,設(shè)P（f，%），則

（.一］，％）+（%-1，%）+。2-1，%）=（°，°）.

由（1）及題設(shè)得忍=3-（X）+x2）=l,y3=-（y1+y2）=-2m<0.

33—?3

又點(diǎn)P在。上，所以〃2=3.從而尸（］,一二），|尸產(chǎn)|=2.

422

2

于是|FA|=J（再—I）?+y；=^（xt—I）+3（1—^-）=2-3.

同理|所|=2-￡.

——1

所以|必|+|「例=4-5（%+々）=3.

故2|FP|=|FA|+|F8|,即|必|,|/P|,|尸8|成等差數(shù)列.

設(shè)該數(shù)列的公差為，/,則

21dHl陽(yáng)一I必11=仙-芍1=:依+々）2-4儀?②

3

將6=2代入①得2二一1.

4

7I

所以/的方程為y=-x+：,代入C的方程，并整理得7/一］4工+：=0.

故%+々=2,x/2='-，代入②解得團(tuán)1=3".

2828

由|、|力媯珀11Vl八甘%3&Tr3>/27

所以該數(shù)列的公差為-----或-------.

2828

【變式訓(xùn)練57】、（2021?陜西?安康市教學(xué)研究室三模）己知橢圓長(zhǎng)軸的頂點(diǎn)與雙

曲線。:蘭一￡=1實(shí)軸的頂點(diǎn)相同，且C的右焦點(diǎn)F到D的漸近線的距離為叵.

4b~7

（1）求。與。的方程；

⑵若直線/的傾斜角是直線），=（石-2卜的傾斜角的2倍，且/經(jīng)過(guò)點(diǎn)/，/與C交于A、B兩點(diǎn),與。交于

|A8|

M、N兩點(diǎn)，求的?

【答案】⑴C:二+r=i,D：r,￡=1

4343

⑵在

6

【分析】（1）根據(jù)已知條件求出。的值，求出雙曲線。的漸近線方程，可得出關(guān)于人的等式，結(jié)合〃>1可

求得〃的值，由此可得比橢I員IC和雙曲線。的標(biāo)準(zhǔn)方程;

⑵求出直線/的方程，將直線/的方程分別與橢圓。、雙曲線。的方程聯(lián)立，結(jié)合弦長(zhǎng)公式可求得扁的

值.

(1)

解：由題意可得〃=4,則。=2.

因?yàn)?。的漸近線方程為y=±gx,即班±2y=。,

橢圓C的右焦點(diǎn)為尸卜后方,0）,由題意可得“；：：；-=譚,Qb>l,解得〃=百,

故橢圓。的方程嗚+卜，雙曲線。的方程為

(2)

解：設(shè)直線y=（石-2卜的傾斜角為。，

2tana2（6-2）i

所以，直線/的斜率為止tanZan^嬴*=「心同2=5

所以直線/的方程為廣;（x-l）,

聯(lián)立y=得4/一2X一11=0,則4=4+4x4xll>0,

3X2+4/=12

設(shè)A(N，y)、8(%,%)，則%+占=；，中2=-2，

LI

所以|A8|=Jl+（；］?］（X+占『一4內(nèi)、=，,

V\）4

（3,V2-4/=12

聯(lián)立\、可得2』+2工-13=0,A=4+4X2X13>0,

p=-U（-i）2

13

設(shè)點(diǎn)時(shí)（王,為）、N（z，M），則與+七=-1，七七=一3，

所以，小出m+%f-相片=平,故^［4浣=4^

22

【變式訓(xùn)練5-2】、（2021?廣東?一模）已知橢圓C:￡+*=l（a>〃>0）的離心率為《，過(guò)橢圓C右焦點(diǎn)并

垂直于％軸的直線PM交橢圓C于P,M（點(diǎn)P位于x軸上方）兩點(diǎn)，且△OP"（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為

3

2,

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

9

（2）若直線/交橢圓C于人，B（A,B異于點(diǎn)P）兩點(diǎn)，且直線用與的斜率之積為-］，求點(diǎn)P到直線/

4

距離的最大值.

【答案】⑴工+二=1

43

⑵姬

4

【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，根據(jù)離心率和面積即可列出方程求解/=4,〃=3.

(1)

1

=-

（h2\2

由題意可得尸L,???由題意可得，;且,="一從，解得"=4,從=3,

a12/T3

—c

(2a~2

?.,橢圓的方程為：<4=,

解法1：由（1）可得

_3__3

當(dāng)直線/沒有斜率時(shí)，設(shè)方程為：“=加（加工1），則A（肛％）,伏犯-%），此時(shí)心,）'。一/一為一5_"

"PB~m-\m-\~4

化簡(jiǎn)得：升=%21一問2,又史+冬=1,解得加=4或*1（舍去），此時(shí)P到直線/的距離為:

44432z

y=kx+m

x2y21且整理可得：

---1---=1

43

（3-4用Y+Sknix+4"『-12=0,I

2

△=Mnrk2-4-(4二+3)?(W-12)>0,且％+9-8k葡4m-\2

3+4Q3+4公

_3_3

心%=9臺(tái)=2整理可得:%一a,b、一9q?-])("1)，

4

o

整理可得+k2用(…+2,整理可得2k2+4m2-3m+6km一一=0,

g+HW2

np^A+w--|3

,2+〃？-5=0或2k+4〃7+3=O,

若人〃?_：30,則直線方程為：y-：3=&（x-l）,直線恒過(guò)N（1,3、-,與Q點(diǎn)重合，

若兼+4〃?+3=0,則直線方程為：???直線恒過(guò)定點(diǎn)到直線/的距離的最

大值為歸0的值為

由小

???點(diǎn)。到直線/距離的最大值姬

4

解法2：公共點(diǎn)左移I個(gè)單位，下移|個(gè)單位,

A!B':nvc+ny=1

3x2+6x+4(y2+3y)=0,4y2+3.V2+6(x+2y)("i￥+〃y)=0,

(12n+4)y2+6(2m+M9+(6m+3)f=0,等式兩邊同時(shí)除以/(12w+4)』+6(2m+n)-+(6/n+3)=0,

Q=_2,，八2〃=i,

⑵?+4424

始+外，=1過(guò)（W）,右移i個(gè)單位，上移，個(gè)單位，過(guò)嗚,一；），至I）直線/的距離的最大值為?叫

【點(diǎn)睛】

五、分層訓(xùn)練

A組基礎(chǔ)鞏固

1.（2022?四川雅安?二模）已知雙曲線C的一條漸近線為直線75X-），=0,。的右頂點(diǎn)坐標(biāo)為（L0）.若點(diǎn)

是雙曲線C右支上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3,5）,貝”M4|+2/的最小值為（）

A.>/26-1B.V26

C.V26+1D.V26+2

【答案】C

【分析】求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，雙曲線的右準(zhǔn)線方程，右焦點(diǎn)坐標(biāo)，確定A在雙曲線的外部，利用圓錐

曲線的統(tǒng)一定義把2x“轉(zhuǎn)化為”到右焦點(diǎn)尸的距離，然后易得最小值.

【詳解】設(shè)雙曲線方程為力＞則b5所以

不一"=1("00)b=@

￡,

雙曲線方程為/-=132—《=］得產(chǎn)±2遙，5>2指,因此43,5）在雙曲線外部（不含焦點(diǎn)的部分），

3

又cg=2,所以《即雙曲線的右準(zhǔn)線是xj記雙曲線的右焦點(diǎn)為g））,則

2(AW-^)=M，

|MA|+24=|M4|+|M"|+l,所以當(dāng)“是線段"'與雙曲線的交點(diǎn)時(shí)，|M4|+|W|取得最小值，最小值不

1M=7(3-2)2+(5-O)2=V26,

所以|M4|+2/=|M4|+|M曰+1的最小值是后+1.

故選：C,

2.（2021?江蘇?高二專題練習(xí)）已知尸是橢圓工+匯=1上的一點(diǎn)，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，尸是橢圓的左焦點(diǎn)且

259

OQ=g（OP+OP）,|OQ|=4,則點(diǎn)〃到該橢圓左準(zhǔn)線的距離為（）

A.6B.4C.3D.-

2

【答案】D

【分析】根據(jù)已知條件先判斷出。點(diǎn)位置，然后根據(jù)橢圓的定義求解出P尸的長(zhǎng)度，最后根據(jù)Pb的長(zhǎng)度比

I.P到準(zhǔn)線的距離等于離心率求解結(jié)果.

【詳解】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為尸，尸到橢圓左準(zhǔn)線的距離為d,連接發(fā),

111LM1UI<1

因?yàn)??！?5（。。+。尸），所以尸Q=Q尸，所以。為PF的中點(diǎn)，

又因?yàn)?。為FF的中點(diǎn)，所以附1=2|。9=8,

又因?yàn)閨四+|PF|=2X5=10,所以|閉=2,

因?yàn)槠揭患姿园藎,

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是掌握橢圓的第一、第二定義，通過(guò)第一定義可求解出歸尸|的長(zhǎng)度,

通過(guò)第二定義可直接求解出P到左準(zhǔn)線的距離，避免復(fù)雜計(jì)算.

3.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知雙曲線C：W-5=1（〃>0力>0）的右焦點(diǎn)為尸，過(guò)產(chǎn)且斜率為G的

a~h~

直線交C于A、5兩點(diǎn)，若AF=4F8,則C的離心率為（）

A-B-C-D-

?8555

【答案】B

【分析】設(shè)雙曲線。：=一4=1的右準(zhǔn)線為/，過(guò)A、8分別作AM_L/于M,BN工1于N,BDJL/W于O,

a~b~

根據(jù)百?線"的斜率為6得到|,叫=小同，再利用雙曲線的第二定義得到|因=夕,尸卜同卜又

|明=,小網(wǎng)，結(jié)合A尸=4尸3求解.

【詳解】設(shè)雙曲線C:士■-￡=1的右準(zhǔn)線為/,

ah~

過(guò)A、B分別作A/0_L/于例，&V_L/于N,8￡>>LA/于。,

如圖所示:

因?yàn)橹本€A8的斜率為6，

所以直線45的傾斜角為60。，

AZBA￡>=60°,\AD\=^\AB\,

由雙曲線的第二定義得：卜必-閘=|叫=｛所卜網(wǎng)）=：網(wǎng)=;（,小網(wǎng)卜

VJJ

乂■:AF=4FB，

6

5

故選：B

【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的第二定義的應(yīng)用以及離心率的求法，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解

的能力，屬于中檔題.

4.（2022?重慶市育才中學(xué)高三階段練習(xí)）己知過(guò)拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)尸且傾斜角為45的直線交。于

AB兩點(diǎn)，Q為弦A8的中點(diǎn)，尸為C上一點(diǎn)，則|叩|+儼。的最小值為（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】A

【分析】根據(jù)給定條件，求出直線A8的方程，再與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合拋物線定義，借助幾何意義求解

作答.

【詳解】拋物線V=4x,焦點(diǎn)廠（1,0）,準(zhǔn)線/:x=-1,直線A8的方程為y=x-l,

y=x-l

由<；2=4x消去y并整理得：X2-6x+l=0，設(shè)邀工2，%)，則內(nèi)+々=6,

弦A8中點(diǎn)。的橫坐標(biāo)&="也=3,過(guò)點(diǎn)。作準(zhǔn)線/的垂線，垂足為點(diǎn)D0,如圖,

令?！ń粧佄锞€于點(diǎn)P，在拋物線上任取點(diǎn)P,過(guò)P作二點(diǎn)O,連接PQ，尸RQ。，

即有|=|即,|尸尸|=|產(chǎn)必,|PF|+|PQ|=|PD\+\PQ\>\QD\>\Qiy\=尸切+尸。=尸目+1P'Q\,

當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P與戶重合時(shí)取等號(hào)，

所以IP尸I+IPQI的最小值為IQD'=*Q-(-D=4.

故選:A.

5.(2022仞川省平昌中學(xué)高二階段練習(xí))知橢圓。:5+耳=1("〃>0),。的上頂點(diǎn)為4,兩個(gè)焦點(diǎn)為6，工,

a"b~

△M鳥的面積為:標(biāo)，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)(非頂點(diǎn))，。是△/>/再的內(nèi)心，直線PQ交上鳥于M,則焉=

()

A.72B.GC.V2+1D.百-1

【答案】A

【分析】先求得的關(guān)系式，然后利用等面積法列方程，化簡(jiǎn)求得黑，進(jìn)而求得篇.

22

【詳解】△"；鳥的面積為^Lx2cxb=bc=-a,a=2bc.

222

a4=4〃2c2=4c2(a2-c2)=402c?-4c4,

4c4-442c2+a4=（2c「-a?）~=0,2/=a2,a=42c,

過(guò)。作。E_Lx軸，垂足為E,過(guò)P作軸，垂足為尸,

設(shè)△/＞百鳥內(nèi)切圓半徑為「，依題意可知/?=|?！陓,

歷外

S=^（2a+2c）x\QE\=^2cx\PF\t

\PF\a+c\MP\1?lcJ11

所以需二粵歲一二立

\MQ\\MQ\c

6.（2022?全國(guó)高三專題練習(xí)）已知恒周=10,點(diǎn)P滿足歸周-歸耳|=6,動(dòng)點(diǎn)林N滿足IMN|=2,而=用工

則PM./W的最小值是（）

Q1Q

A.3B.-C.4D.—

33

【答案】A

【分析】根據(jù)題意先求出點(diǎn)〃的軌跡方程，再根據(jù)PA/，N=*-1知求0M/N的最小值即求|閡的最

小值.

【詳解】解：由題意知不妨設(shè)點(diǎn)P的軌跡為以耳（-C,（）），E（G（））（C＞（））為焦點(diǎn)的雙曲線的左支,

設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為￡-￡=1（。＞0⑦＞0）,

a~b-

則2c=10,2a=6,

c=5,?=3,Z?=4,

???點(diǎn)。的軌跡方程是E-￡=1（X—3）,

91617

MF\=F、N,

，R為M、N的中點(diǎn)，

；.PM?PN=（PF]+F]M）（PFi+F】N）=PF：-F”=PF：-：MN，=PF：-I,

|?^|>（?-?=2,

PM?PN之3，

???PM.PN的最小值為3,當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線的左頂點(diǎn)時(shí)取等號(hào).

故選：A.

7.（2022?四川?石室中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線C：./=2y上有兩動(dòng)點(diǎn)P,Q,線段也的中點(diǎn)E到八?軸距

離的是2,則線段長(zhǎng)度的最大值為.

【答案】5

【分析】根據(jù)橢圓定義及三角形三邊關(guān)系得1/2國(guó)尸產(chǎn)1+1。用=%|十|QQi|,再結(jié)合梯形中位線性質(zhì)即可得

到最值.

【詳解】設(shè)拋物線C的焦點(diǎn)為八點(diǎn)尸在拋物線的準(zhǔn)線丁=-3上的投影為匕點(diǎn)Q在直線），=-;上的投影為

Q、，線段PQ的中點(diǎn)為￡點(diǎn)E到x軸的距離為2,則

I尸。國(guó)PFI+1Q"1=|尸制+1QQj=21%+g22+%5

當(dāng)且僅當(dāng)10川+1。臼=1。。1,即兒F、。三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立,

所以的最大值為5.

故答案為：5.

8.（2022?山東?棗莊市第三中學(xué)高二期中）已知橢圓C:二+二=1（">〃>0）,。是橢圓。上的點(diǎn),

ab~

￡（-C,0），E（C,0）是橢圓C的左右焦點(diǎn)，若助夕乃“。,恒成立，則橢圓。的離心率。的取值范圍是

【分析】設(shè)出。點(diǎn)坐標(biāo)，將不?”工或轉(zhuǎn)化為離心率的形式，從而求得離心率的取值范圍.

【詳解】設(shè)P（SJ）,則*+3=1,$2=/（1一今｝

由］尸/「"=（一（;-5,一力（-5,-/）=/一（二一/4雙恒成立，

即/1一二-c2-t2<ac,a\b-r>a2-ac-c2,

b1

由于一〃3工力,（）±2m〃2,所以（十一仇」￡）〃Y0,

a2+b2

所以/—〃c—d?0,兩邊除以/得］_?_（?）、0,

即/+e-120，解得避二!■We<l.

2

所以橢圓C的離心率e的取值范圍是老二

9.（2022?福建?高二期中）弓琴，是弓琴?gòu)棑芟银Q樂器（如下左圖）.歷史悠久，形制原始，.它脫胎于古代

的獵弓，也可以稱作“樂弓”，是我國(guó)彈弦樂器的始祖.古代有“后羿射十FT的神話，說(shuō)明上古生民對(duì)善射者

的尊崇，樂弓自然是弓箭發(fā)明的延仲.古代傳說(shuō)將“琴''的創(chuàng)始?xì)w丁伏羲，也正由丁他是以漁貓為生的部落氏

族首領(lǐng).在我國(guó)古籍《吳越春秋》中，曾記載著：“斷竹、續(xù)竹，飛土逐肉常用于民歌或舞蹈伴奏.流行于

臺(tái)灣原住民中的布農(nóng)、鄒等民族聚居地區(qū).弓琴的琴身下部分可近似的看作是半橢球的琴腔，其正視圖即為

一橢圓面，它有多條弦，撥動(dòng)琴弦，發(fā)音柔弱，音色比較動(dòng)聽，現(xiàn)有某專業(yè)樂器研究人員對(duì)它做出改進(jìn)，

安裝了七根弦，發(fā)現(xiàn)聲音強(qiáng)勁悅耳.如下右圖，是一弓琴琴腔下部分的正視圖.若按對(duì)稱建立如圖所示坐標(biāo)系,

E（-c，。）恰為左焦點(diǎn)，外，=123,4,5,6,7）均勻?qū)ΨQ分布在上半個(gè)橢圓弧上在A8上的投影把線段48八等

分)，W為琴弦，記4=1*(i=l,2,3,4,5,6,7),數(shù)列｛q｝前〃項(xiàng)和為S“，橢圓方程為今/=1,且

a+64c=4ac,則S7+%-128的最小值為

【答案】之+4"

1O

【分析】設(shè)p(知y)(i=l,2,3,4,5,6,7),由焦半徑公式有由用=。+”，由對(duì)稱性得%+/++』=。，

由題意有-4*，與，，占，"成等差數(shù)列，從而可求得為，這樣求得$7，%后再由基本不等式得