北師大版高中數(shù)學(xué)選修2-3：獨立性檢驗()

第三章統(tǒng)計案例§3.2獨立性檢驗定量變量的取值一定是實數(shù),它們的取值大小有特定的含義,不同取值之間的運算也有特定的含義.如身高、體重、考試成績、溫度等等.變量定量變量分類變量例如身高、體重、考試成績等,張明的身高是180cm,李立的身高是175cm,說明張明比李立高180-175=5（cm）.兩個定量變量的相關(guān)關(guān)系分析：回歸分析（畫散點圖、相關(guān)系數(shù)r、相關(guān)指數(shù)R2.殘差分析）對于性別變量,其取值為男和女兩種,這種變量的不同“值”表示個體所屬的不同類別,像這樣的變量稱為分類變量.在日常生活中，主要考慮分類變量之間是否有關(guān)系:如是否吸煙、宗教信仰、是否患肺癌、國籍等等.例如，吸煙是否與患肺癌有關(guān)系？性別是否對于喜歡數(shù)學(xué)課程有影響？等等.分類變量也稱為屬性變量或定性變量,它們的取值一定是離散的,而且不同的取值僅表示個體所屬的類別,如性別變量,只取男、女兩個值,商品的等級變量只取一級、二級、三級等等.有時也可以把分類變量的不同取值用數(shù)字來表示,但這時的數(shù)字除了分類以外沒有其他的含義,例如用0表示“男”,1表示“女”,性別變量就變成取值為0和1的隨機變量,但是這些數(shù)字沒有其他的含義.此時比較性別變量的兩個不同值之間的大小沒有意義,性別變量的均值和方差也沒有意義.兩個分類變量的相關(guān)關(guān)系的分析:通過圖形直觀判斷兩個分類變量是否相關(guān)；獨立性檢驗.某醫(yī)療機構(gòu)為了了解肺癌與吸煙是否有關(guān)，進行了一次抽樣調(diào)查，共調(diào)查了6578，其中吸煙者1988人，不吸煙者4590人，調(diào)查結(jié)果是:吸煙的1988人中56人患肺癌，1932人未患肺癌；不吸煙的4590人中23人患肺癌，4567人未患肺癌?！窀鶕?jù)這些數(shù)據(jù)能否斷定：患肺癌與吸煙有關(guān)？問題:

吸煙與患肺癌列聯(lián)表患肺癌不患肺癌總計吸煙5619321988不吸煙2345674590總計7964996578問題:為了調(diào)查吸煙是否對呼吸道有影響，某醫(yī)療研究所隨機地調(diào)查了6578人，得到如下結(jié)果（單位:人）列聯(lián)表我們的問題是:如何根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)來判斷吸煙與患肺癌是否獨立，這一問題稱為2×2列聯(lián)表的獨立性檢驗.我們假設(shè)吸煙與患肺癌是獨立的,即吸煙不影響患肺癌.根據(jù)直觀經(jīng)驗,我們把吸煙人群中患肺癌的人所占的百分比,與不吸煙人群中患肺癌的人所占的百分比作比較。如果二者基本一致說明沒有關(guān)系.吸煙人群中患肺癌的人所占的百分比為：不吸煙人群中患肺癌的人所占的百分比為：很明顯二者不相等,而且相差很大.所以推斷假設(shè)不成立.由結(jié)果我們可以認(rèn)為吸煙會對肺癌的發(fā)病率造成一定的影響.分析:B1B2總計A1aba+bA2cdc+d總計a+cb+da+b+c+d概括設(shè)A,B為兩個變量,每一個變量都可以取兩個值,通過觀察問題我們可以得出下表:但是如果利用公式P(AB)=P(A)P(B)來判斷的話,即使二者獨立,式子兩邊也不一定恰好相等（因為我們計算的是頻率而不是概率）,但是如果獨立的話二者相差不大,但是二者相差很大時變量之間就不獨立了.同理可以判斷其他兩個變量間是否對立.作為檢驗在多大程度上可以認(rèn)為“兩個變量有關(guān)系”的標(biāo)準(zhǔn)。統(tǒng)計學(xué)家引入了卡方統(tǒng)計量究竟相差多大才能說明變量之間不獨立呢？臨界值表1)如果P(

>10.828)=0.001表示有99.9%的把握認(rèn)為”X與Y”有關(guān)聯(lián);2)如果P(>7.879)=0.005表示有99.5%的把握認(rèn)為”A與B”有關(guān)聯(lián);3)如果P(>6.635)=0.01表示有99%的把握認(rèn)為”A與B”有關(guān)聯(lián);4)如果P(>5.024)=0.025表示有97.5%的把握認(rèn)為”A與B”有關(guān)聯(lián);5)如果P(>3.841)=0.05表示有95%的把握認(rèn)為”A與B”有關(guān)聯(lián);6)如果P(>2.706)=0.10表示有90%的把握認(rèn)為”A與B”有關(guān)聯(lián);7)如果P(≤2.706),就認(rèn)為沒有充分的證據(jù)顯示”A與B”有關(guān)聯(lián);用以下結(jié)果對變量的獨立性進行判斷現(xiàn)在,對于前面的問題我們可以計算所以,我們有99℅以上（99.9℅）的把握認(rèn)為吸煙與患肺癌是有關(guān)的.典例分析例1某組織對男女青年是否喜愛古典音樂進行了一個調(diào)查，調(diào)查者隨機調(diào)查了146名青年，給出了調(diào)查結(jié)果（單位:人）:喜愛不喜愛男青年4630女青年2030試問：男女青年喜愛古典音樂的程度是否有差異？例2.在某醫(yī)院,因為患心臟病而住院的665名男性病人中,有214人禿頂;而另外772名不是因為患心臟病而住院的男性病人中有175禿頂.分別利用圖形和獨立性檢驗方法判斷禿頂與患心臟病是否有關(guān)系?你所得的結(jié)論在什么范圍內(nèi)有效?禿頂與患心臟病列聯(lián)表患心臟病患其他病總計禿頂214175389不禿頂4515971048總計6657721437典例分析有99%的把握認(rèn)為“禿頂與患心臟病有關(guān)”例3.為考察高中生的性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間的關(guān)系。在某城市的某校高中生隨機抽取300名學(xué)生。得到如下列聯(lián)表:性別與喜歡數(shù)學(xué)課程列聯(lián)表喜歡不喜歡總計男3785122女35143178總計72228300

由表中數(shù)據(jù)計算得到的觀測值≈4.514。能夠以95％的把握認(rèn)為高中生的性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間有關(guān)系嗎？為什么？典例分析解:在假設(shè)“性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間沒有關(guān)系”的前提下，應(yīng)該很小，并且而我們所得到的的觀測值超過3.841，這就意味著“性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間有關(guān)系”這一結(jié)論是錯誤的可能性約為0.05，即有95%的把握認(rèn)為“性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間有關(guān)系”。練習(xí)1.在500人身上試驗?zāi)撤N血清預(yù)防感冒作用，把他們一年中的感冒記錄與另外500名未用血清的人的感冒記錄作比較，結(jié)果如表所示。問：該種血清能否起到預(yù)防感冒的作用？未感冒感冒合計使用血清258242500未使用血清216284500合計4745261000解:設(shè)H0:感冒與是否使用該血清沒有關(guān)系。因當(dāng)H0成立時,χ2≥6.635的概率約為0.01,故有99%的把握認(rèn)為該血清能起到預(yù)防感冒的作用。P(χ≥x0)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001x00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828練習(xí)2:對196個接受心臟搭橋手術(shù)的病人和196個接受血管清障手術(shù)的病人進行3年跟蹤研究，調(diào)查他們是否又發(fā)作過心臟病，調(diào)查結(jié)果如下表所示:又發(fā)作過心臟病未發(fā)作過心臟病合計心臟搭橋手術(shù)39157196血管清障手術(shù)29167196合計68324392

試根據(jù)上述數(shù)據(jù)比較兩種