考點14 三角形及其全等-中考數(shù)學(xué)考點一遍過

考點14三角形及其全等一、三角形的基礎(chǔ)知識1．三角形的概念由三條線段首尾順次相接組成的圖形，叫做三角形.2．三角形的三邊關(guān)系（1）三角形三邊關(guān)系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊．推論：三角形的兩邊之差小于第三邊．（2）三角形三邊關(guān)系定理及推論的作用：①判斷三條已知線段能否組成三角形；②當(dāng)已知兩邊時，可確定第三邊的范圍；③證明線段不等關(guān)系．3．三角形的內(nèi)角和定理及推論三角形的內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角和等于180°．推論：①直角三角形的兩個銳角互余；②三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；③三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角．4．三角形中的重要線段（1）三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點間的線段叫做三角形的角平分線．（2）在三角形中，連接一個頂點和它對邊的中點的線段叫做三角形的中線．（3）從三角形一個頂點向它的對邊做垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線（簡稱三角形的高）．（4）連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線，三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半．二、全等三角形1．三角形全等的判定定理：（1）邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊角邊”或“SAS”）；（2）角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“角邊角”或“ASA”）；（3）邊邊邊定理：有三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）；（4）對于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r，還有HL定理（斜邊、直角邊定理）：有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（可簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）．2．全等三角形的性質(zhì)：（1）全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等；（2）全等三角形的周長相等，面積相等；學(xué)科-網(wǎng)（3）全等三角形對應(yīng)的中線、高線、角平分線、中位線都相等．考向一三角形的三邊關(guān)系在判斷三條線段能否組成一個三角形時，可以根據(jù)兩條較短線段的長度之和是否大于第三條線段的長度來判斷．典例1小芳有兩根長度為6cm和9cm的木條，她想釘一個三角形木框，桌上有下列長度的幾根木條，她應(yīng)該選擇長度為__________的木條．A．2cm B．3cmC．12cm D．15cm【答案】C【解析】設(shè)木條的長度為xcm，則9–6<x<9+6，即3<x<15，故她應(yīng)該選擇長度為12cm的木條．故選C．1．以下列各組線段為邊，能組成三角形的是A．2cm，5cm，8cm B．3cm，3cm，6cmC．3cm，4cm，5cm D．1cm，2cm，3cm考向二三角形的內(nèi)角和外角在同一個三角形中：等角對等邊；等邊對等角；大角對大邊；大邊對大角．典例2如圖，下列有四個說法，正確的個數(shù)是①∠B＞∠ACD；②∠B+∠ACB=180°–∠A；③∠A+∠B=∠ACD；④∠HEC＞∠ B．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解答】解：①∠B<∠ACD，故①錯誤；

②∠B+∠ACB=180°–∠A，故②正確；

③∠A+∠B=∠ACD，故③正確；

④∠HEC=∠AED＞∠ACD＞∠B，則∠HEC＞∠B，故④正確．

故選C．2．如圖，CE是△ABC的外角的平分線，若，則__________．3．如圖，在△ABC中，∠ACB=68°，若P為△ABC內(nèi)一點，且∠1=∠2，則∠BPC=__________．考向三三角形中的重要線段三角形的高、中線、角平分線是三條線段，由三角形的高可得90°的角，由三角形的中線可得線段之間的關(guān)系，由三角形的角平分線可得角之間的關(guān)系．另外，要注意區(qū)分三角形的中線和中位線．中線：連接三角形一個頂點和它對邊中點的線段；中位線：連接三角形兩條邊中點的線段.典例3在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=2，D，E，F(xiàn)分別為AB，BC，AC中點，連接DF，F(xiàn)E，則四邊形DBEF的周長是A．5 B．7 C．9 D．11【答案】B典例4如圖，點G為△ABC的重心，則S△ABG∶S△ACG∶S△BCG的值是A．1∶2∶3 B．2∶1∶2 C．1∶1∶1 D．無法確定【答案】C【解析】如圖，分別延長、、，交、、于點、、，根據(jù)三角形重心的定理得到、、是△ABC的中線，根據(jù)三角形的中線把三角形分為面積相等的兩個三角形可得，即可得，同理可得，所以，即S△ABG∶S△ACG∶S△BCG=1∶1∶1，故選C．4．如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC交AC于D點，AB=4，BD=5，點P是線段BC上的一動點，則PD的最小值是__________．考向四全等三角形1．從判定兩個三角形全等的方法可知，要判定兩個三角形全等，需要知道這兩個三角形分別有三個元素（其中至少有一個元素是邊）對應(yīng)相等，這樣就可以利用題目中的已知邊（角）準確地確定要補充的邊（角），有目的地完善三角形全等的條件，從而得到判定兩個三角形全等的思路：（1）已知兩邊（2）已知一邊、一角（3）已知兩角2．若題中沒有全等的三角形，則可根據(jù)題中條件合理地添加輔助線，如運用作高法、倍長中線法、截長補短法、分解圖形法等來解決運動、拼接、旋轉(zhuǎn)等探究性題目．典例5如圖，已知∠ADB=∠CBD，下列所給條件不能證明△ABD≌△CDB的是A．∠A=∠C B．AD=BC C．∠ABD=∠CDB D．AB=CD【答案】D【解析】A．∵∠A=∠C，∠ADB=∠CBD，BD=BD，∴△ABD≌△CDB（AAS），故正確；B．∵AD=BC，∠ADB=∠CBD，BD=DB，∴△ABD≌△CDB（SAS），故正確；C．∵∠ABD=∠CDB，∠ADB=∠CBD，BD=DB，∴△ABD≌△CDB（ASA），故正確；D．∵AB=CD，BD=DB，∠ADB=∠CBD，不符合全等三角形的判定方法，故不正確，故選D．【名師點睛】本題考查了全等三角形的判定方法，①三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡記為“SSS”；②兩邊及其夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡記為“SAS”；③兩角及其夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡記為“ASA”；④兩角及其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡記為“AAS”；⑤斜邊及一直角邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，根據(jù)這幾種判定方法解答即可．5．如圖，OA=OB，∠A=∠B，有下列3個結(jié)論：①△AOD≌△BOC，②△ACE≌△BDE，③點E在∠O的平分線上，其中正確的結(jié)論個數(shù)是A．0 B．1 C．2 D．36．如圖，在△BCE中，AC⊥BE，AB=AC，點A、點F分別在BE、CE上，BF、AC相交于點D，BD=CE．求證：AD=AE．1．如圖所示，其中三角形的個數(shù)是A．2個 B．3個C．4個 D．5個2．下列圖形不具有穩(wěn)定性的是A．正方形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．鈍角三角形3．直角三角形中兩銳角之差為20°，則較大銳角為A．45° B．55°C．65° D．50°4．若△ABC內(nèi)一點O到三角形三條邊的距離相等，則O為△ABC__________的交點．A．角平分線 B．高線C．中線 D．邊的中垂線5．如圖所示，AB=DB，BC=BE，欲證△ABE≌△DBC，則需補充的條件是A．∠A=∠D B．∠E=∠CC．∠A=∠C D．∠1=∠26．如圖，∠1=∠2，∠C=∠D，AC、BD交于E點，下列結(jié)論中不正確的是A．∠DAE=∠CBE B．△DEA不全等于△CEBC．CE=DE D．△EAB是等腰三角形7．如圖，已知方格紙中是4個相同的正方形，則∠1＋∠2＋∠3=__________度．8．如圖所示，AB⊥BE于點B，DE⊥BE于點E.(1)若∠A=∠D，AB=DE，則△ABC與△DEF全等的理由是__________；(2)若∠A=∠D，BC=EF，則△ABC與△DEF全等的理由是__________；(3)若AB=DE，BC=EF，則△ABC與△DEF全等的理由是__________；(4)若AB=DE，AC=DF，則△ABC與△DEF全等的理由是__________.學(xué)-科網(wǎng)9．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD是中線，AF⊥BD，F(xiàn)為垂足，過點C作AB的平行線交AF的延長線于點E.求證：(1)∠ABD=∠FAD；(2)AB=2CE.10．如圖，，，于D，于E，且．求證：．11．如圖，操場上有兩根旗桿CA與BD之間相距12m，小強同學(xué)從B點沿BA走向A，一定時間后他到達M點，此時他測得CM和DM的夾角為90°，且CM=DM，已知旗桿AC的高為3m，小強同學(xué)行走的速度為0.5m/s，則：（1）請你求出另一旗桿BD的高度；（2）小強從M點到達A點還需要多長時間？1．（2018?柳州）如圖，圖中直角三角形共有A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2018?河北）下列圖形具有穩(wěn)定性的是A． B． C． D．3．（2017?河池）三角形的下列線段中能將三角形的面積分成相等兩部分的是A．中線 B．角平分線 C．高 D．中位線4．（2018?百色）頂角為30°的等腰三角形三條中線的交點是該三角形的A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．中心5．（2018?畢節(jié)市）已知一個三角形的兩邊長分別為8和2，則這個三角形的第三邊長可能是A．4 B．6 C．8 D．106．（2018?貴陽市）如圖，在△ABC中有四條線段DE，BE，EF，F(xiàn)G，其中有一條線段是△ABC的中線，則該線段是A．線段DE B．線段BE C．線段EF D．線段FG7．（2018?昆明）在△AOC中，OB交AC于點D，量角器的擺放如圖所示，則∠CDO的度數(shù)為A．90° B．95° C．100° D．120°8．（2018?青海）小桐把一副直角三角尺按如圖所示的方式擺放在一起，其中∠E=90°，∠C=90°，∠A=45°，∠D=30°，則∠1+∠2等于A．150° B．180° C．210° D．270°9．（2018?廣西）如圖，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A=60°，∠B=40°，則∠ECD等于A．40° B．45° C．50° D．55°10．（2018?聊城市）如圖，將一張三角形紙片ABC的一角折疊，使點A落在△ABC外的A'處，折痕為DE．如果∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，那么下列式子中正確的是A．γ=2α+β B．γ=α+2β C．γ=α+β D．γ=180°–α–β11．（2018?黔西南州市）下列各圖中a、b、c為三角形的邊長，則甲、乙、丙三個三角形和左側(cè)△ABC全等的是A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙12．（2018?安順市）如圖，點D，E分別在線段AB，AC上，CD與BE相交于O點，已知AB=AC，現(xiàn)添加以下的哪個條件仍不能判定△ABE≌△ACDA．∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD13．（2018?南京市）如圖，AB⊥CD，且AB=CD．E、F是AD上兩點，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE=a，BF=b，EF=c，則AD的長為A．a(chǎn)+c B．b+c C．a(chǎn)–b+c D．a(chǎn)+b–c14．（2018?遼陽市）如圖，在∠MON中，以點O為圓心，任意長為半徑作弧，交射線OM于點A，交射線ON于點B，再分別以A，B為圓心，OA的長為半徑作弧，兩弧在∠MON的內(nèi)部交于點C，作射線OC．若OA=5，AB=6，則點B到AC的距離為A．5 B． C．4 D．15．（2018?綿陽市）如圖，在△ABC中，AC=3，BC=4，若AC，BC邊上的中線BE，AD垂直相交于O點，則AB=__________．16．（2018?泰州）已知三角形兩邊的長分別為1、5，第三邊長為整數(shù)，則第三邊的長為__________．17．（2018?隴南市）已知a，b，c是△ABC的三邊長，a，b滿足|a–7|+（b–1）2=0，c為奇數(shù)，則c=__________．18．（2018?柳州）如圖，AE和BD相交于點C，∠A=∠E，AC=EC．求證：△ABC≌△ED C．19．（2018?云南）如圖，已知AC平分∠BAD，AB=AD．求證：△ABC≌△ADC．變式拓展變式拓展1．【答案】C【解析】2cm+5cm<8cm，A不能組成三角形；3cm+3cm=6cm，B不能組成三角形；3cm+4cm＞5cm，C能組成三角形；1cm+2cm=3cm，D不能組成三角形；故選C．4．【答案】3【解析】由勾股定理知AD=，BD平分∠ABC交AC于D點，所以PD=AD最小，PD=3，故答案為：3．5．【答案】D【解析】∵OA=OB，∠A=∠B，∠O=∠O，∴△AOD≌△BOC（ASA），故①正確；∴OD=CO，∴BD=AC，∴△ACE≌△BDE（AAS），故②正確；∴AE=BE，連接OE，∴△AOE≌△BOE（SSS），∴∠AOE=∠BOE，∴點E在∠O的平分線上，故③正確，故選D．6．【解析】∵AC⊥BE，∴∠BAD=∠CAE=90°，在Rt△ABD和Rt△ACE中，，∴Rt△ABD≌Rt△ACE（HL），∴AD=AE．考點沖關(guān)考點沖關(guān)1．【答案】D【解析】圖中的三角形有：△ABC，△BCD，△BCE，△ABE，△CDE共5個.故選D．2．【答案】A【解析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性可知，只有選項A不具有穩(wěn)定性，故選A．3．【答案】B【解析】設(shè)兩個銳角分別為x、y，由題意得，，解得，所以最大銳角為55°．故選B．4．【答案】A【解析】∵到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上，∴這個點是三角形三條角平分線的交點.故選A．5．【答案】D【解析】根據(jù)全等“SAS”判定可知，要證△ABE≌△DBC還需補充條件AB，BE與BC，BD的夾角相等，即∠ABE=∠CBD或者∠1=∠2，故選D．6．【答案】B【解析】∵∠1+∠C+∠ABC=∠2+∠D+∠DAB=180°，且∠1=∠2，∠C=∠D，∴∠ABC=∠DAB，∴∠ABC–∠2=∠DAB–∠1，∴∠DAE=∠CBE．故A正確；∵∠1=∠2，∴AE=BE.在△DEA和△CEB中，∴△DEA≌△CEB（AAS），故B錯誤；由△DEA≌△CEB可得CE=DE．故C正確．∵∠1=∠2，∴BE=AE，∴△EAB是等腰三角形故D正確；故選B．7．【答案】135【解析】如圖所示：由題意可知△ABC≌△EDC，∴∠3=∠BAC，

又∵∠1+∠BAC=90°，∴∠1+∠3=90°，

∵DF=DC，∴∠2=45°，∴∠1+∠2+∠3=135度，

故答案是：135．8．【答案】ASA，AAS，SAS，HL【解析】(1)在△ABC和△DEF中，因為∠B=∠E=90°，AB=DE，∠A=∠D，所以△ABC≌△DEF(ASA)；(2)在△ABC和△DEF中，因為∠B=∠E=90°，∠A=∠D，BC=EF，所以△ABC≌△DEF(AAS)；(3)在△ABC和△DEF中，因為AB=DE，∠B=∠E=90°，BC=EF，所以△ABC≌△DEF(SAS)；(4)在Rt△ABC和Rt△DEF中，因為AC=DF，AB=DE，所以Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)．故答案為：ASA；AAS；SAS；HL.10．【解析】，，，，，，，在和中，，∴≌（AAS），，，，∴BD=EC+ED．11．【解析】（1）如圖，∵CM和DM的夾角為90°，∴∠1+∠2=90°，∵∠DBA=90°，∴∠2+∠D=90°，∴∠1=∠D，在△CAM和△MBD中，，∴△CAM≌△MBD（AAS），∴AM=DB，AC=MB，∵AC=3m，∴MB=3m，∵AB=12m，∴AM=9m，∴DB=9m；（2）9÷0.5=18（s）．學(xué)_科網(wǎng)答：小強從M點到達A點還需要18秒．直通中考直通中考1．【答案】C【解析】如圖，圖中直角三角形有Rt△ABD、Rt△BDC、Rt△ABC，共有3個，故選C．2．【答案】A【解析】三角形具有穩(wěn)定性．故選A．3．【答案】A【解析】∵三角形的中線把三角形分成兩個等底同高的三角形，∴三角形的中線將三角形的面積分成相等兩部分．故選A．4．【答案】A【解析】三角形三條中線的交點是三角形的重心，故選A．5．【答案】C【解析】設(shè)第三邊長為x，則8–2<x<2+8，6<x<10，故選C．6．【答案】B【解析】根據(jù)三角形中線的定義知線段BE是△ABC的中線，故選B．7．【答案】B【解析】∵CO=AO，∠AOC=130°，∴∠CAO=25°，又∵∠AOB=70°，∴∠CDO=∠CAO+∠AOB=25°+70°=95°，故選B．8．【答案】C【解析】如圖：∵∠1=∠D+∠DOA，∠2=∠E+∠EPB，∵∠DOA=∠COP，∠EPB=∠CPO，∴∠1+∠2=∠D+∠E+∠COP+∠CPO=∠D+∠E+180°–∠C=30°+90°+180°–90°=210°，故選C．9