7.2 萬(wàn)有引力定律（舉一反三）【四大題型】（原卷版）-2024-2025學(xué)年高一物理舉一反三系列（人教版2019必修第二冊(cè)）

7.2萬(wàn)有引力定律【四大題型】【人教版2019】TOC\o"1-3"\h\u【題型1對(duì)萬(wàn)有引力定律的理解】 2【題型2萬(wàn)有引力與重力的關(guān)系】 3【題型3月地檢驗(yàn)】 5【題型4求解空殼和地下萬(wàn)有引力的方法】 6知識(shí)點(diǎn)1：自由落體運(yùn)動(dòng)一、太陽(yáng)與行星間的引力1．模型簡(jiǎn)化：行星以太陽(yáng)為圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，太陽(yáng)對(duì)行星的引力提供了行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力．2．太陽(yáng)對(duì)行星的引力推導(dǎo)：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(（1）行星做圓周運(yùn)動(dòng)需要的向心力F＝m\f(v2,r),（2）周期T可以觀測(cè)，則線速度v＝\f(2πr,T),（3）開普勒第三定律\f(r3,T2)＝k))?F∝eq\f(m,r2)3．行星對(duì)太陽(yáng)的引力：根據(jù)牛頓第三定律，行星對(duì)太陽(yáng)的引力F′的大小也存在與上述關(guān)系類似的結(jié)果，即F′∝eq\f(M,r2)．4．太陽(yáng)與行星間的引力：由于F∝eq\f(m,r2)、F′∝eq\f(M,r2)，且F＝F′，則有F∝eq\f(Mm,r2)，寫成等式F＝Geq\f(Mm,r2)，式中G為比例系數(shù)．二、萬(wàn)有引力定律1．月—地檢驗(yàn)（1）猜想：維持月球繞地球運(yùn)動(dòng)的力與使物體下落的力是同一種力，遵從“平方反比”的規(guī)律．（2）推理：物體在月球軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度大約是它在地面附近下落時(shí)的加速度（重力加速度）的eq\f(1,602)．（3）根據(jù)觀察得到的月球繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)周期T及半徑r，月球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度可由a＝eq\f(4π2,T2)r算出．（4）結(jié)論：計(jì)算結(jié)果與我們的預(yù)期符合得很好．這表明：地面物體所受地球的引力、月球所受地球的引力，與太陽(yáng)、行星間的引力遵從相同的規(guī)律．2．萬(wàn)有引力定律（1）內(nèi)容：自然界中任何兩個(gè)物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與物體的質(zhì)量m1和m2的乘積成正比，與它們之間距離r的二次方成反比．（2）表達(dá)式：F＝Geq\f(m1m2,r2)．其中r指兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間的距離．（3）引力常量G：由英國(guó)物理學(xué)家卡文迪許在實(shí)驗(yàn)室中測(cè)量得出，常取G＝6.67×10－11N·m2/kg2.【題型1對(duì)萬(wàn)有引力定律的理解】【例1】關(guān)于萬(wàn)有引力公式的理解，以下說(shuō)法中正確的是（）A．牛頓首先得到了萬(wàn)有引力定律，并且用實(shí)驗(yàn)測(cè)定了引力常量G的數(shù)值B．由公式可知，兩物體緊靠在一起時(shí)萬(wàn)有引力無(wú)窮大C．可看作質(zhì)點(diǎn)的兩物體間的引力可用公式計(jì)算D．兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量不變，距離變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，則它們之間的萬(wàn)有引力將變?yōu)樵瓉?lái)的【變式1-1】某行星的衛(wèi)星A、B繞以其為焦點(diǎn)的橢圓軌道運(yùn)行，作用于A、B的引力隨時(shí)間的變化如圖所示，其中，行星到衛(wèi)星A、B軌道上點(diǎn)的距離分別記為rA、rB。假設(shè)A、B只受到行星的引力，下列敘述正確的是（）A．B與A的繞行周期之比為:1 B．rB的最大值與rB的最小值之比為2:1C．rA的最大值與rA的最小值之比為3:1 D．rB的最小值小于rA的最大值【變式1-2】電影中的太空電梯非常吸引人?，F(xiàn)假設(shè)已經(jīng)建成了如圖所示的太空電梯，其通過(guò)超級(jí)纜繩將地球赤道上的固定基地、同步空間站和配重空間站連接在一起，它們隨地球同步旋轉(zhuǎn)。圖中配重空間站比同步空間站更高，P是纜繩上的一個(gè)平臺(tái)。則下列說(shuō)法正確的是（

）A．太空電梯上各點(diǎn)加速度與該點(diǎn)離地球球心的距離的平方成反比B．超級(jí)纜繩對(duì)P平臺(tái)的作用力方向背離地心C．若從配重空間站向外自由釋放一個(gè)小物塊，則小物塊會(huì)一邊朝配重空間站轉(zhuǎn)動(dòng)的方向向前運(yùn)動(dòng)一邊落向地球D．若兩空間站之間纜繩斷裂，配重空間站將繞地球做橢圓運(yùn)動(dòng)，且斷裂處為橢圓的遠(yuǎn)地點(diǎn)【變式1-3】天文學(xué)家哈雷成功預(yù)言哈雷彗星的回歸，哈雷彗星繞太陽(yáng)的軌道為橢圓，如圖所示，則哈雷彗星從位置N經(jīng)過(guò)P運(yùn)動(dòng)到M的過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是（）A．哈雷彗星受到太陽(yáng)的引力一直增大B．哈雷彗星受到太陽(yáng)的引力先減小后增大C．哈雷彗星速度一直增大D．哈雷彗星速度先增大后減小【題型2萬(wàn)有引力與重力的關(guān)系】【例2】2021年10月16日神舟十三號(hào)飛船順利將3名航天員送入太空，并與天和核心艙對(duì)接。已知核心艙繞地球運(yùn)行近似為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，離地面距離約為390km，地球半徑約為6400km，地球表面的重力加速度g取10m/s2，下列說(shuō)法正確的是（）A．核心艙的向心加速度小于gB．核心艙運(yùn)行速度大于7.9km/sC．由題干條件可以求出地球的質(zhì)量D．考慮到稀薄大氣的阻力，無(wú)動(dòng)力補(bǔ)充，核心艙的速度會(huì)越來(lái)越小【變式2-1】已知質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)內(nèi)部任一質(zhì)點(diǎn)的萬(wàn)有引力為零。若將地球視為質(zhì)量分布均勻的球體，半徑為R，且不計(jì)地球自轉(zhuǎn)。設(shè)地球表面上方高0.5R處的重力加速度，地球表面下方深0.5R處的重力加速度，則為（）A． B． C． D．【變式2-2】由于地球自轉(zhuǎn)的影響，地球表面的重力加速度會(huì)隨緯度的變化而有所不同。已知地球表面兩極處的重力加速度大小為，在赤道處的重力加速度大小為g，地球自轉(zhuǎn)的周期為T，引力常量為G。假設(shè)地球可視為質(zhì)量均勻分布的球體。下列說(shuō)法不正確的是（）A．質(zhì)量為m的物體在地球北極受到的重力大小為B．質(zhì)量為m的物體在地球赤道上受到的萬(wàn)有引力大小為mgC．地球的半徑為D．地球的密度為【變式2-3】一半徑為R、質(zhì)量分布均勻的球形行星繞其自轉(zhuǎn)軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。若質(zhì)量為m的物體在該行星兩極時(shí)的重力為G0，在該行星赤道上的重力為，設(shè)行星自轉(zhuǎn)的角速度為ω，則下列表達(dá)式正確的是（）A．ω＝ B．ω＝C．ω＝ D．ω＝【題型3月地檢驗(yàn)】【例3】若想檢驗(yàn)“使月球繞地球運(yùn)動(dòng)的力”與“使蘋果落地的力”遵循同樣的規(guī)律，在已知月地距離約為地球半徑60倍的情況下，需要驗(yàn)證（）A．地球吸引月球的力約為地球吸引蘋果的力的B．月球公轉(zhuǎn)的加速度約為蘋果落向地面加速度的C．自由落體在月球表面的加速度約為地球表面的D．蘋果在月球表面受到的引力約為在地球表面的【變式3-1】已知地球半徑為R，月球半徑為r，地球與月球之間的距離（兩球中心之間的距離）為L(zhǎng)。月球繞地球公轉(zhuǎn)的周期為，地球自轉(zhuǎn)的周期為，地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)周期為，假設(shè)公轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)都視為圓周運(yùn)動(dòng)，引力常量為G，由以上條件可知（）A．月球運(yùn)動(dòng)的加速度為 B．月球的質(zhì)量為C．地球的密度為 D．地球的質(zhì)量為【變式3-2】（多）2024年4月9日在北美洲南部能觀察到日全食，此時(shí)月球和太陽(yáng)的視角相等，如圖所示。已知地球繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的周期約為月球繞地球運(yùn)動(dòng)周期的13倍，太陽(yáng)半徑約為地球半徑的100倍，地球半徑約為月球半徑的4倍，月球繞地球及地球繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)均可視為圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)以上數(shù)據(jù)可知（）A．地球到太陽(yáng)的距離與月球到地球的距離之比約為B．地球?qū)υ虑虻囊εc太陽(yáng)對(duì)月球的引力之比約為C．太陽(yáng)的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的倍D．地球與太陽(yáng)的平均密度之比約為【變式3-3】（多）在萬(wàn)有引力定律的學(xué)習(xí)中，月—地檢驗(yàn)的內(nèi)容是這樣說(shuō)的：地球繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)，月球繞地球運(yùn)動(dòng)，它們之間的作用力是同一種性質(zhì)的力嗎？這種力與地球?qū)渖咸O果的吸引力也是同一種性質(zhì)的力嗎？假設(shè)地球與月球間的作用力與太陽(yáng)與行星間的作用力是同一種力，它們的表達(dá)式也應(yīng)該滿足。根據(jù)牛頓第二定律，月球繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度（式中m地是地球質(zhì)量，r是地球中心與月球中心的距離）。進(jìn)一步，假設(shè)地球?qū)μO果的吸引力也是同一種力，同理可知，蘋果的自由落體加速度（式中m地是地球質(zhì)量，R是地球中心與蘋果間的距離）。由以上兩式可得。由于月球與地球中心的距離r約為地球半徑R的60倍，所以。下列哪些數(shù)據(jù)能通過(guò)計(jì)算驗(yàn)證前面的假設(shè)。（）A．月球的質(zhì)量7.342×1022kgB．自由落體加速度g為9.8m/s2C．月球公轉(zhuǎn)周期為27.3d，約2.36×106sD．月球中心距離地球中心的距離為3.8×108m【題型4求解空殼和地下萬(wàn)有引力的方法】【例4】如圖所示，有一個(gè)質(zhì)量為M、半徑為R、密度均勻的大球體，從中挖去一個(gè)半徑為的小球體，并在空腔中心放置一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，則大球體的剩余部分對(duì)該質(zhì)點(diǎn)的萬(wàn)有引力大小為（已知質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零）（）A． B． C． D．0【變式4-1】上世紀(jì)70年代，前蘇聯(lián)在科拉半島與挪威的交界處進(jìn)行了人類有史以來(lái)最大規(guī)模的地底挖掘計(jì)劃。當(dāng)蘇聯(lián)人向地心挖掘深度為d時(shí)，井底一個(gè)質(zhì)量為m的小球與地球之間的萬(wàn)有引力為F，已知質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零，質(zhì)量分布均勻的地球的半徑為R，質(zhì)量為M，萬(wàn)有引力常量為G，則F大小等于（）A． B． C． D．【變式4-2】（多）理論上已經(jīng)證明：質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的萬(wàn)有引力為零?，F(xiàn)假設(shè)地球是一半徑為R、質(zhì)量分布均勻的實(shí)心球體，O為球心，以O(shè)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)軸Ox，如圖所示。一個(gè)質(zhì)量一定的小物體（假設(shè)它能夠在地球內(nèi)部移動(dòng)）在x軸上各位置受到的重力大小用F表示，則如圖所示的四個(gè)F隨x的變化關(guān)系圖錯(cuò)誤的是（

）A． B．C． D．【變式4-3】（多）如圖為某設(shè)計(jì)貫通地球的弦線光