考點25 直線與圓的位置關(guān)系（原卷版）

考點25直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系也是各地中考數(shù)學(xué)中的必考考點之一，主要內(nèi)容包括直線與圓的位置關(guān)系、切線的性質(zhì)和判定、三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心三塊，其中最重要的是切線的性質(zhì)和判定；出題類型可以是小題也可以是簡答題，一般難度不大，屬于中考中必拿分考點，所以需要考生準確掌握對應(yīng)規(guī)律方法，不在此失分?！局锌伎疾橹攸c】直線與圓的位置關(guān)系切線的性質(zhì)與判定三角形的內(nèi)切圓考向一：直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系1．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，以A為圓心作一個半徑為3的圓，下列結(jié)論中正確的是（）A．點B在⊙A內(nèi) B．直線BC與⊙A相離 C．點C在⊙A上 D．直線BC與⊙A相切2．如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝x﹣4與x軸、y軸分別交于點B、C，半徑為2的⊙P的圓心P從點A（8，m）（點A在直線y＝x﹣4上）出發(fā)以每秒個單位長度的速度沿射線AC運動，設(shè)點P運動的時間為t秒，則當t＝時，⊙P與坐標軸相切．3．如圖，半圓的圓心與坐標原點重合，半圓的半徑1，直線l的解析式為y＝x+t．若直線l與半圓只有一個交點，則t的取值范圍是．4．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠ACB＝60°，AD經(jīng)過圓心O交⊙O于點E，連接BD，∠ADB＝30°．（1）判斷直線BD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若AB＝2，求圖中陰影部分的面積．考向二：切線的性質(zhì)與判定定義當直線與圓有且僅有一個公共點時，這條直線叫做圓的切線判定圓心到直線的距離等于半徑的直線是圓的切線經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線性質(zhì)經(jīng)過切點的半徑垂直于圓的切線切線長定理：過圓外一點所作的圓的兩條切線長相等切線的判定：常用方法→有切點，連半徑，證垂直！無切點，作垂直，證半徑！☆特別地：題目中所需證的垂直，一般是由已知垂直轉(zhuǎn)化而來的，故有“想證⊥，先找⊥”切線的性質(zhì)：常用方法→見切點，連半徑，得垂直！因切線所得結(jié)論必為⊥，故常以直角三角形來展開后續(xù)問題1．如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上的點，過點C作⊙O的切線交BA的延長線于點E，∠E＝50°，則∠CDA等于（）A．20° B．25° C．40° D．70°2．抖空竹在我國有著悠久的歷史，是國家級的非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一，如圖，AC，BD分別與⊙O相切于點C，點D，延長AC，BD交于點P．若∠P＝120°，⊙O的半徑為5，則圖中弧CD的長為（）A． B． C． D．3．如圖，PA、PB、CE分別與⊙O相切于點A、B、D點，若圓O的半徑為6，OP＝10，則△PCE的周長為（）A．10 B．12 C．16 D．204．如圖所示，AB是⊙O的直徑，⊙O交BC的中點于D，DE⊥AC于E，連接AD，則下列結(jié)論：①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OA＝AC；④DE是⊙O的切線，正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個5．如圖，在△AOB中，∠AOB＝90°，OB＝3，半徑為1的⊙O與OB交于點C，且AB與⊙O相切，過點C作CD⊥OB交AB于點D，點M是邊OA上動點．則△MCD周長最小值為（）A．2 B． C．+ D．考向三：三角形的內(nèi)切圓三角形外接圓與內(nèi)切圓之間的關(guān)系三角形的外接圓三角形的內(nèi)切圓圖形圓心O為外心：三邊垂直平分線的交點O為內(nèi)心：三條角平分線的交點特征三角形各頂點均在圓上三角形各邊均與圓相切性質(zhì)三角形的外心到三角形三個頂點的距離相等三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等常用結(jié)論直角三角形外接圓的圓心為斜邊中點（a、b、c為△ABC的三邊長，r為○O的半徑）；∠BOC=90°＋1．如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點分別為D，E，F(xiàn)，且∠A＝90°，AB＝5，BC＝13，則⊙O的半徑是（）A．1 B． C．2 D．2．如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB，BC，CA分別相切于點D，E，F(xiàn)，若∠DEF＝50°，則∠A的度數(shù)是（）A．50° B．100° C．90° D．80°3．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，分別與AC、BC、AB相切于點D、E、F，則圓心O到頂點A的距離是（）A． B．3 C． D．4．如圖，在△ABC中，∠A＝80°，半徑為3cm的⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，連接OB，OC，分別交⊙O于D，E兩點，則的長為．（結(jié)果用含π的式子表示）5．已知，如圖，AB為⊙O的直徑，△ABC內(nèi)接于⊙O，BC＞AC，點P是△ABC的內(nèi)心，延長CP交⊙O于點D，連接BP．（1）求證：BD＝PD；（2）已知⊙O的半徑是3，CD＝8，求BC的長．1．（2022秋?太倉市期末）如圖，AB是⊙O的切線，切點為B，連接AO與⊙O交于點C，點D為上一點，連接BD，CD．若∠A＝36°，則∠BDC的度數(shù)為（）A．32° B．18° C．27° D．36°2．（2020?南通二模）如圖，AB是⊙O的直徑，DB、DE分別切⊙O于點B、C，若∠ACE＝25°，則∠D的度數(shù)是（）A．50° B．55° C．60° D．65°3．（2022秋?徐州期末）如圖，已知⊙C的半徑為，正三角形ABC的邊長為6，P為AB邊上的動點，過點P作⊙C的切線PQ，切點為Q，則PQ的最小值為（）A．5 B． C． D．64．（2022秋?莊河市期末）如圖，長方形ABCD中，AB＝4，AD＝2，圓B半徑為1，圓A與圓B外切，則點C、D與圓A的位置關(guān)系是（）A．點C在圓A外，點D在圓A內(nèi) B．點C在圓A外，點D在圓A外 C．點C在圓A上，點D在圓A內(nèi) D．點C在圓A內(nèi)，點D在圓A外5．（2022秋?欒城區(qū)期末）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，過A點作直線DE，當∠BAE＝（）時，直線DE與⊙O相切．A．∠B B．∠BAC C．∠C D．∠DAC6．（2022秋?雄縣期末）在黑板上有如下內(nèi)容：“如圖，AB是半圓O所在圓的直徑，AB＝2，點C在半圓上，過點C的直線交AB的延長線于點D．”王老師要求添加條件后，編制一道題目，下列判斷正確的是（）嘉嘉：若給出∠DCB＝∠BAC，則可證明直線CD是半圓O的切線；淇淇：若給出直線CD是⊙O的切線，且BC＝BD，則可求出△ADC的面積．A．只有嘉嘉的正確 B．只有淇淇的正確 C．嘉嘉和淇淇的都不正確 D．嘉嘉和淇淇的都正確7．（2022秋?文登區(qū)期末）如圖，等邊三角形ABC的內(nèi)切圓與三邊的切點分別為點D，E，F(xiàn)．若，則圖中陰影部分的面積為（）A． B． C． D．8．（2022秋?順平縣期末）如圖，AB是⊙O的直徑，DC是⊙O的切線，切點為點D，過點A的直線與DC交于點C，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．∠BOD＝2∠BAD B．如果AD平分∠ODC，AD＝OD C．如果AD平分∠BAC，那么AC⊥DC D．如果CO⊥AD，那么AC也是⊙O的切線9．（2022秋?新余期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝x﹣4與x軸、y軸分別交于點B、C，半徑為2的⊙P的圓心P從點A（8，m）（點A在直線y＝x﹣4上）出發(fā)以每秒個單位長度的速度沿射線AC運動，設(shè)點P運動的時間為t秒，則當t＝時，⊙P與坐標軸相切．10．（2022秋?自貢期末）在平面直角坐標系xOy中，已知A（4，4），B（10，0），M（0，4），E（m，0），F(xiàn)（m+3，0），⊙M與直線AO相切于點C，點D是線段AB上一動點，則CE+DF的最小值為．11．（2022?南京模擬）如圖，△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于E，過B作⊙O的切線，交AC的延長線于D．求證：∠CBD＝∠CAB．12．（2022秋?承德縣期末）如圖，已知⊙O的半徑為2，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠BAD＝120°，點A平分，連接OB，OD，延長OD至點M，使得DM＝OD，連接AM．（1）∠BOD＝°；（2）判斷AM與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（3）當點C在優(yōu)弧上移動，且BC在OB左側(cè)時，若∠OBC＝20°，求的長．13．（2023?義烏市校級模擬）如圖，AB是圓O的直徑，PB，PC是圓O的兩條切線，切點分別為B，C．延長BA，PC相交于點D．（1）求證：∠CPB＝2∠ABC．（2）設(shè)圓O的半徑為2，sin∠PBC＝，求PC的長．14．（2022秋?玄武區(qū)期末）如圖，在△ABC中，CA＝CB，E為AB上一點，作EF∥BC，與AC交于點F，經(jīng)過點A，E，F(xiàn)的⊙O與BC相切于點D，連接AD．（1）求證：AD平分∠BAC；（2）若AE＝5，BE＝4，求CD的長．15．（2022秋?江都區(qū)期末）如圖，AB是⊙O的直徑，AC、CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足為E，連接BD并延長，與過點A的直線AM相交于點P，且∠CAB＝∠APB．（1）求證：AM是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為5，AC＝8，求線段PD的長．1．（2022?六盤水）如圖是“光盤行動”的宣傳海報，圖中餐盤與筷子可看成直線和圓的位置關(guān)系是（）A．相切 B．相交 C．相離 D．平行2．（2022?自貢）P為⊙O外一點，PT與⊙O相切于點T，OP＝10，∠OPT＝30°，則PT長為（）A．5 B．5 C．8 D．93．（2022?哈爾濱）如圖，AD，BC是⊙O的直徑，點P在BC的延長線上，PA與⊙O相切于點A，連接BD，若∠P＝40°，則∠ADB的度數(shù)為（）A．65° B．60° C．50° D．25°4．（2022?眉山）如圖是不倒翁的主視圖，不倒翁的圓形臉恰好與帽子邊沿PA，PB分別相切于點A，B，不倒翁的鼻尖正好是圓心O，若∠OAB＝28°，則∠APB的度數(shù)為（）A．28° B．50° C．56° D．62°5．（2022?重慶）如圖，AB是⊙O的切線，B為切點，連接AO交⊙O于點C，延長AO交⊙O于點D，連接BD．若∠A＝∠D，且AC＝3，則AB的長度是（）A．3 B．4 C．3 D．46．（2022?無錫）如圖，AB是圓O的直徑，弦AD平分∠BAC，過點D的切線交AC于點E，∠EAD＝25°，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．AE⊥DE B．AE∥OD C．DE＝OD D．∠BOD＝50°7．（2022?連云港）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，A為切點，連接BC，與⊙O交于點D，連接OD．若∠AOD＝82°，則∠C＝°．8．（2022?鎮(zhèn)江）如圖，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，BC＝6，⊙O同時與邊BA的延長線、射線AC相切，⊙O的半徑為3．將△ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)α（0°＜α≤360°），B、C的對應(yīng)點分別為B′、C′，在旋轉(zhuǎn)的過程中邊B′C′所在直線與⊙O相切的次數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．49．（2022?泰安）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，⊙O過點A、C，與AB交于點D，與BC相切于點C，若∠A＝32°，則∠ADO＝．10．（2022?武漢）如圖，在四邊形材料ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝9cm，AB＝20cm，BC＝24cm．現(xiàn)用此材料截出一個面積最大的圓形模板，則此圓的半徑是（）A．cm B．8cm C．6cm D．10cm11．（2022?寧夏）把量角器和含30°角的三角板按如圖方式擺放：零刻度線與長直角邊重合，移動量角器使外圓弧與斜邊相切時，發(fā)現(xiàn)中心恰好在刻度2處，短直角邊過量角器外沿刻度120處（即OC＝2cm，∠BOF＝120°）．則陰影部分的面積為（）A．（2﹣π）cm2 B．（8﹣π）cm2 C．（8﹣π）cm2 D．（16﹣π）cm212．（2022?深圳）已知三角形ABE為直角三角形，∠ABE＝90°，DE為圓的直徑，BC為圓O切線，C為切點，CA＝CD，則△ABC和△CDE面積之比為（）A．1：3 B．1：2 C．：2 D．（﹣1）：113．（2022?婁底）如圖，等邊△ABC內(nèi)切的圖形來自我國古代的太極圖，等邊三角形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于等邊△ABC的內(nèi)心成中心對稱，則圓中的黑色部分的面積與△ABC的面積之比是（）A． B． C． D．14．（2022?恩施州）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，⊙O為Rt△ABC的內(nèi)切圓，則圖中陰影部分的面積為（結(jié)果保留π）．15．（2022?德陽）如圖，點E是△ABC的內(nèi)心，AE的延長線和△ABC的外接圓相交于點D，與BC相交于點G，則下列結(jié)論：①∠BAD＝∠CAD；②若∠BAC＝60°，則∠BEC＝120°；③若點G為BC的中點，則∠BGD＝90°；④BD＝DE．其中一定正確的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．416．（2022?宜賓）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖所示）．若直角三角形的內(nèi)切圓半徑為3，小正方形的面積為49，則大正方形的面積為．17．（2022?瀘州）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝2，半徑為1的⊙O在Rt△ABC內(nèi)平移（⊙O可以與該三角形的邊相切），則點A到⊙O上的點的距離的最大值為．18．（2022?金華）如圖，木工用角尺的短邊緊靠⊙O于點A，長邊與⊙O相切于點B，角尺的直角頂點為C．已知AC＝6cm，CB＝8cm，則⊙O的半徑為cm．19．（2022?寧波）如圖，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，點O在BC上，以O(shè)B為半徑的圓與AC相切于點A．D是BC邊上的動點，當△ACD為直角三角形時，AD的長為．20．（2022?泰州）如圖，PA與⊙O相切于點A，PO與⊙O相交于點B，點C在上，且與點A、B不重合．若∠P＝26°，則∠C的度數(shù)為°．21．（2022?株洲）中國元代數(shù)學(xué)家朱世杰所著《四元玉鑒》記載有“鎖套吞容”之“方田圓池結(jié)角池圖”．“方田一段，一角圓池占之．”意思是說：“一塊正方形田地，在其一角有一個圓形的水池（其中圓與正方形一角的兩邊均相切）”，如圖所示．問題：此圖中，正方形一條對角線AB與⊙O相交于點M、N（點N在點M的右上方），若AB的長度為10丈，⊙O的半徑為2丈，則BN的長度為丈．22．（2022?上海）定義：有一個圓分別和一個三角形的三條邊各有兩個交點，截得的三條弦相等，我們把這個圓叫作“等弦圓”，現(xiàn)在有一個斜邊長為2的等腰直角三角形，當?shù)认覉A最大時，這個圓的半徑為．23．（2022?湖北）如圖，點P是⊙O上一點，AB是一條弦，點C是上一點，與點D關(guān)于AB對稱，AD交⊙O于點E，CE與AB交于點F，且BD∥CE．給出下面四個結(jié)論：①CD平分∠BCE；②BE＝BD；③AE2＝AF?AB；④BD為⊙O的切線．其中所有正確結(jié)論的序號是．24．（2022?臨沂）如圖，AB是⊙O的切線，B為切點，直線AO交⊙O于C，D兩點，連接BC，BD．過圓心O作BC的平行線，分別交AB的延長線、⊙O及BD于點E，F(xiàn)，G．（1）求證：∠D＝∠E；（2）若F是OE的中點，⊙O的半徑為3，求陰影部分的面積．25．（2022?鄂州）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，P是⊙O的直徑AB延長線上一點，∠PCB＝∠OAC，過點O作BC的平行線交PC的延長線于點D．（1）試判斷PC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若PC＝4，tanA＝，求△OCD的面積．26．（2022?菏澤）如圖，在△ABC中，以AB為直徑作⊙O交AC、BC于點D、E，且D是AC的中點，過點D作DG⊥BC于點G，交BA的延長線于點H．（1）求證：直線HG是⊙O的切線；（2）若HA＝3，cosB＝，求CG的長．27．（2022?新疆）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，點D在⊙O上，AC＝CD，連接AD，延長DB交過點C的切線于點E．（1）求證：∠ABC＝∠CAD；（2）求證：BE⊥CE；（3）若AC＝4，BC＝3，求DB的長．1．（2022?金山區(qū)二模）在直角坐標系中，點P的坐標是（2，），圓P的半徑為2，下列說法正確的是（）A．圓P與x軸有一個公共點，與y軸有兩個公共點 B．圓P與x軸有兩個公共點，與y軸有一個公共點 C．圓P與x軸、y軸都有兩個公共點 D．圓P與x軸、y軸都沒有公共點2．（2022?拱墅區(qū)模擬）如圖，AB、AC、BD是⊙O的切線，切點分別是P、C、D．若AB＝10，AC＝6，則BD的長是（）A．3 B．4 C．5 D．63．（2022?青島一模）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，AC＝5cm，以點C為圓心，以2cm的長為半徑作圓，則⊙C與AB的位置關(guān)系是（）A．相離 B．相交 C．相切 D．相切或相交4．（2023?蘇州模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，過點C的切線交AB的延長線于點D．若∠D＝54°，則A的度數(shù)為（）A．18° B．20° C．23° D．27°5．（2023?泗陽縣一模）《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有下列問題：“今有勾八步，股十五步，問勾中容圓徑幾何？”其意思是“今有直角三角形，勾（短直角邊）長為八步，股（長直角邊）長為十五步，問該直角三角形能容納的圓形（內(nèi)切圓）直徑是多少？”此問題中，該內(nèi)切圓的直徑長是（）A．3步 B．5步 C．6步 D．8步6．（2022?虹口區(qū)二模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，點E是BC的中點，聯(lián)結(jié)AE，點O是線段AE上一點，⊙O的半徑為1，如果⊙O與矩形ABCD的各邊都沒有公共點，那么線段AO長的取值范圍是．7．（2022?朝陽區(qū)校級一模）如圖，已知∠AOB＝30°，M為OB邊上任意一點，以M為圓心，2cm為半徑作⊙M，當OM＝cm時，⊙M與OA相切．8．（2023?撫州一模）如圖，△ABC中，AC＝，點O是AB邊上的一點，⊙O與AC、BC分別相切于點A、E，點F為⊙O上一點，連AF，若四邊形ACEF是菱形，則圖中陰影部分面積是（）A．﹣ B．﹣ C．+ D．