2024-2025學年新教材高中數(shù)學第六章概率6.3.1離散型隨機變量的均值課后素養(yǎng)落實含解析北師大版選擇性必修第一冊

PAGE課后素養(yǎng)落實(四十一)離散型隨機變量的均值(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．設(shè)隨機變量X的分布列為P(X＝k)＝eq\f(1,4)(k＝1，2，3，4)，則EX＝()A．2.5B．3.5C．0.25D．2A[EX＝1×eq\f(1,4)＋2×eq\f(1,4)＋3×eq\f(1,4)＋4×eq\f(1,4)＝eq\f(5,2)．]2．隨機變量X的分布列如下表，則EX等于()X012P0.10.30.6A．1.5B．1.6C．1.7D．1.8A[由已知得EX＝0×0.1＋1×0.3＋2×0.6＝1.5．故選A．]3．甲、乙兩工人在同樣的條件下生產(chǎn)某種產(chǎn)品，日產(chǎn)量相等，每天出廢品的狀況如下，則有結(jié)論()工人甲乙廢品數(shù)01230123概率0.40.30.20.10.30.50.20A．甲的產(chǎn)品質(zhì)量比乙的產(chǎn)品質(zhì)量好一些B．乙的產(chǎn)品質(zhì)量比甲的產(chǎn)品質(zhì)量好一些C．兩人的產(chǎn)品質(zhì)量一樣好D．無法推斷誰的質(zhì)量好一些B[∵甲的廢品數(shù)的均值為0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1，乙的廢品數(shù)的均值為0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＋3×0＝0.9．甲的廢品數(shù)的均值>乙的廢品數(shù)的均值，∴乙的產(chǎn)品質(zhì)量比甲的產(chǎn)品質(zhì)量好一些．]4．隨機變量X的分布列如下表，則E(5X＋4)等于()X024P0.30.20.5A．16B．11C．2.2D．2.3A[由已知得EX＝0×0.3＋2×0.2＋4×0.5＝2.4，故E(5X＋4)＝5EX＋4＝5×2.4＋4＝16．故選A．]5．甲、乙兩人進行乒乓球競賽，約定每局勝者得1分，負者得0分，競賽進行到有一人比對方多2分或打滿6局時停止．設(shè)甲在每局中獲勝的概率為eq\f(2,3)，乙在每局中獲勝的概率為eq\f(1,3)，且各局輸贏相互獨立，則競賽停止時已打局數(shù)X的期望EX為()A．eq\f(241,81)B．eq\f(266,81)C．eq\f(274,81)D．eq\f(670,243)B[依題意，知X的全部可能值為2，4，6，設(shè)每兩局競賽為一輪，則該輪結(jié)束時競賽停止的概率為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(5,9)．若該輪結(jié)束時競賽還將接著，則甲、乙在該輪中必是各得一分，此時，該輪競賽結(jié)果對下輪競賽是否停止沒有影響．從而有P(X＝2)＝eq\f(5,9)，P(X＝4)＝eq\f(4,9)×eq\f(5,9)＝eq\f(20,81)，P(X＝6)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)))eq\s\up12(2)＝eq\f(16,81)，故EX＝2×eq\f(5,9)＋4×eq\f(20,81)＋6×eq\f(16,81)＝eq\f(266,81)．]二、填空題6．從1，2，3，4，5這5個數(shù)字中任取不同的兩個，則這兩個數(shù)之積的均值為________．8.5[從1，2，3，4，5中任取不同的兩個數(shù)，其乘積X的值為：2，3，4，5，6，8，10，12，15，20，取每個值的概率都是eq\f(1,10)．∴EX＝(2＋3＋4＋5＋6＋8＋10＋12＋15＋20)×eq\f(1,10)＝8.5．]7．李老師從課本上抄錄一個隨機變量ξ的分布列如表：x123P(ξ＝x)？?。空堃晃煌瑢W計算ξ的均值，盡管“！”處完全無法看清，且兩個“？”處字跡模糊，但能斷定這兩個“？”處的數(shù)值相同．據(jù)此，該同學給出了正確答案Eξ＝________．2[設(shè)P(ξ＝1)＝P(ξ＝3)＝a，P(ξ＝2)＝b，則2a＋b＝1．于是，Eξ＝a＋2b＋3a＝2(2a＋b)＝2．]8．某地有A、B、C、D四人先后感染了某種流感病毒，其中只有A到過疫區(qū)．B確定是受A感染的．對于C，因犯難以斷定他是受A還是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是eq\f(1,2)，同樣也假定D受A、B和C感染的概率都是eq\f(1,3)．在這種假定下，B、C、D干脆受A感染的人數(shù)X就是一個隨機變量，X的均值為________．eq\f(11,6)[X可能取值為1，2，3，則P(X＝1)＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)，P(X＝2)＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,2)，P(X＝3)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)．則EX＝1×eq\f(1,3)＋2×eq\f(1,2)＋3×eq\f(1,6)＝eq\f(11,6)．]三、解答題9．某迷宮有三個通道，進入迷宮的每個人都要經(jīng)過一扇智能門，首次到達北門，系統(tǒng)會隨機(即等可能)為你打開一個通道．若是1號通道，則須要1小時走出迷宮；若是2號通道、3號通道，則分別須要2小時、3小時返回智能門．再次到達智能門時，系統(tǒng)會隨機打開一個你未到過的通道，直至走出迷宮為止．令ξ表示走出迷宮所需時間．(1)求ξ的分布列；(2)求ξ的數(shù)學期望(均值)．[解](1)ξ的全部可能取值為1，3，4，6．P(ξ＝1)＝eq\f(1,3)，P(ξ＝3)＝eq\f(1,6)，P(ξ＝4)＝eq\f(1,6)，P(ξ＝6)＝eq\f(1,3)，所以ξ的分布列為ξ1346Peq\f(1,3)eq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,3)(2)Eξ＝1×eq\f(1,3)＋3×eq\f(1,6)＋4×eq\f(1,6)＋6×eq\f(1,3)＝eq\f(7,2)(小時)．10．受轎車在保修期內(nèi)修理費等因素的影響，企業(yè)生產(chǎn)每輛轎車的利潤與該轎車首次出現(xiàn)故障的時間有關(guān)．某轎車制造廠生產(chǎn)甲、乙兩種品牌轎車，保修期均為2年．現(xiàn)從該廠已售出的兩種品牌轎車中各隨機抽取50輛，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：品牌甲乙首次出現(xiàn)故障時間x(年)0<x≤11<x≤2x>20<x≤2x>2轎車數(shù)量(輛)2345545每輛利潤(萬元)1231.82.9將頻率視為概率，解答下列問題：(1)從該廠生產(chǎn)的甲品牌轎車中隨機抽取一輛，求其首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率．(2)若該廠生產(chǎn)的轎車均能售出，記生產(chǎn)一輛甲品牌轎車的利潤為X1，生產(chǎn)一輛乙品牌轎車的利潤為X2，分別求X1，X2的分布列．(3)該廠預料今后這兩種品牌轎車銷量相當，由于資金限制，只能生產(chǎn)其中一種品牌的轎車．若從經(jīng)濟效益的角度考慮，你認為應(yīng)生產(chǎn)哪種品牌的轎車？說明理由．[解](1)設(shè)“甲品牌轎車首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)”為事務(wù)A，則P(A)＝eq\f(2＋3,50)＝eq\f(1,10)．(2)依題意得，X1的分布列為X1123Peq\f(1,25)eq\f(3,50)eq\f(9,10)X2的分布列為X21.82.9Peq\f(1,10)eq\f(9,10)(3)由(2)得EX1＝1×eq\f(1,25)＋2×eq\f(3,50)＋3×eq\f(9,10)＝eq\f(143,50)＝2.86(萬元)，EX2＝1.8×eq\f(1,10)＋2.9×eq\f(9,10)＝2.79(萬元)．因為EX1>EX2，所以應(yīng)生產(chǎn)甲品牌轎車．11．已知隨機變量X和Y，其中Y＝12X＋7，且EY＝34，若X的分布列如表，則m的值為()X1234Peq\f(1,4)mneq\f(1,12)A．eq\f(1,3)B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,6)D．eq\f(1,8)A[由Y＝12X＋7得EY＝12EX＋7＝34，從而EX＝eq\f(9,4)，所以EX＝1×eq\f(1,4)＋2×m＋3×n＋4×eq\f(1,12)＝eq\f(9,4)，又m＋n＋eq\f(1,12)＋eq\f(1,4)＝1，聯(lián)立解得m＝eq\f(1,3)．故選A．]12．設(shè)l為平面上過點(0，1)的直線，l的斜率k等可能地取－2eq\r(2)，－eq\r(3)，－eq\f(\r(5),2)，0，eq\f(\r(5),2)，eq\r(3)，2eq\r(2)，用ξ表示坐標原點到l的距離d，則隨機變量ξ的數(shù)學期望Eξ為()A．eq\f(3,7)B．eq\f(4,7)C．eq\f(2,7)D．eq\f(1,7)B[當k＝±2eq\r(2)時，直線l的方程為±2eq\r(2)x－y＋1＝0，此時d＝eq\f(1,3)；當k＝±eq\r(3)時，d＝eq\f(1,2)；當k＝±eq\f(\r(5),2)時，d＝eq\f(2,3)；當k為0時，d＝1．由等可能事務(wù)的概率公式可得ξ的分布列為ξeq\f(1,3)eq\f(1,2)eq\f(2,3)1Peq\f(2,7)eq\f(2,7)eq\f(2,7)eq\f(1,7)所以Eξ＝eq\f(1,3)×eq\f(2,7)＋eq\f(1,2)×eq\f(2,7)＋eq\f(2,3)×eq\f(2,7)＋1×eq\f(1,7)＝eq\f(4,7)．]13．(多選題)設(shè)隨機變量ξ的分布列如下表，且Eξ＝1.6，則()ξ0123P0.1ab0.1A．a(chǎn)＝0.3 B．b＝0.5C．P(X≤1)＝0.4 D．P(X＞1)＝0.6ABCD[依據(jù)題意，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.1＋a＋b＋0.1＝1，,0×0.1＋a＋2×b＋3×0.1＝1.6，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0.3，,b＝0.5.))由此易知，ABCD均正確．]14．(一題兩空)一次單元測驗由4個選擇題組成，每個選擇題有4個選項，其中僅有1個選項正確，每題選對得5分，不選或選錯不得分．一學生選對隨意一題的概率為0.9，則該學生在這次測驗中選對的題數(shù)的均值是________，成果的均值是________．3.618[設(shè)該學生在這次測驗中選對的題數(shù)為X，該學生在這次測試中成果為Y，則Y＝5X．EX＝0×0.14＋1×Ceq\o\al(1,4)×0.9×0.13＋2×Ceq\o\al(2,4)×0.92×0.12＋3×Ceq\o\al(3,4)×0.93×0.1＋4×0.94＝3.6．由隨機變量均值的性質(zhì)得EY＝E(5X)＝5×3.6＝18．]15．某商店欲購進某種食品(保質(zhì)期兩天)，此商店每兩天購進該食品一次(購進時，該食品為剛生產(chǎn)的)．依據(jù)市場調(diào)查，該食品每份進價8元，售價12元，假如兩天內(nèi)無法售出，則食品作銷毀處理，且兩天內(nèi)的銷售狀況互不影響，為了解市場的需求狀況，現(xiàn)統(tǒng)計該食品在本地區(qū)100天的銷售量如下表：銷售量/份15161718天數(shù)20304010視樣本頻率為概率，回答下列問題：(1)依據(jù)該食品100天的銷售量統(tǒng)計表，記兩天中一共銷售該食品份數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學期望；(2)以兩天內(nèi)該食品所獲得的利潤期望為決策依據(jù)，該商店一次性購進32或33份，哪一種得到的利潤更大？[解](1)依據(jù)題意可得，X的全部可能取值為30，31，32，33，34，35，36．則P(X＝30)＝eq\f(1,5)×eq\f(1,5)＝eq\f(1,25)，P(X＝31)＝eq\f(1,5)×eq\f(3,10)×2＝eq\f(3,25)，P(X＝32)＝eq\f(1,5)×eq\f(2,5)×2＋eq\f(3,10)×eq\f(3,10)＝eq\f(1,4)，P(X＝33)＝eq\f(1,5)×eq\f(1,10)×2＋eq\f(3,10)×eq\f(2,5)×2＝eq\f(7,25)，P(X＝34)＝eq\f(3,10)×eq\f(1,10)×2＋eq\f(2,5)×eq\f(2,5)＝eq\f(11,50)，P(X＝35)＝eq\f(2,5)×eq\f(1,10)×2＝eq\f(2,25)，P(X＝36)＝eq\f(1,10)×eq\f(1,10)＝eq\f(1,100)．所以X的分布列為X30313233343536Peq\f(1,25)eq\f(3,25)eq\f(1,4)eq\f(7,25)eq\f(11,50)eq\f(2,25)eq\f(1,100)EX＝30×eq\f(1,25)＋31×eq\f(3,25)＋32×eq\f(1,4)＋33×eq\f(7,25)＋34×eq\f(11,50)＋35×eq\f(2,25)＋36×eq\f(1,100)＝32.8．(2)當購進32份時，利潤為32×4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)＋\f(7,25)＋\f(11,50)＋\f(2,25)＋\f(1,1