數(shù)學(xué)學(xué)案：課堂探究函數(shù)的應(yīng)用（Ⅱ）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一指數(shù)函數(shù)模型指數(shù)函數(shù)y＝ax（a〉1）經(jīng)復(fù)合可以得到指數(shù)型函數(shù),指數(shù)型函數(shù)的函數(shù)值變化較快，例如，生活中接觸的儲蓄問題，也就是增長率問題,就是指數(shù)型函數(shù)．指數(shù)型函數(shù)函數(shù)值的增長速度隨底數(shù)不同而不同．【典型例題1】某公司預(yù)投資100萬元,有兩種投資方案可供選擇：方案一:年利率10％，按單利計算,5年后收回本金和利息；方案二：年利率9%,按每年復(fù)利一次計算，5年后收回本金和利息．哪一種投資更有利？這種投資比另一種投資5年可多得利息多少元？（結(jié)果精確到0.01萬元)思路分析：這是一個單利和復(fù)利所獲得收益多少的比較問題．可先按單利和復(fù)利計算5年后的本息和分別是多少，再通過比較作答．解：本金100萬元，年利率10%，按單利計算,5年后的本息和是100×(1＋10％×5）＝150(萬元)．本金100萬元，年利率9%,按每年復(fù)利一次計算，5年后的本息和是100×(1＋9%)5≈153.86（萬元)．由此可見，方案二更有利，5年后多得利息約3。86萬元．探究二對數(shù)函數(shù)模型對數(shù)函數(shù)y＝logax（x〉0,a>1）經(jīng)復(fù)合可以得到對數(shù)型函數(shù)，其函數(shù)值變化比較緩慢．直接以對數(shù)型函數(shù)作為模型的應(yīng)用問題不是很多，但我們知道，對數(shù)運算實際上是求指數(shù)的運算，因此在指數(shù)函數(shù)模型中,也常用對數(shù)計算．【典型例題2】20世紀(jì)30年代，查爾斯·里克特制定了一種表明地震能量大小的尺度，就是使用測震儀衡量地震能量的等級，地震能量越大,測震儀記錄的地震曲線的振幅就越大，這就是我們常說的里氏震級M,其計算公式為M＝lgA－lgA0，其中，A是被測地震的最大振幅，A0是標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅(使用標(biāo)準(zhǔn)地震振幅是為了修正測震儀距實際震中距離造成的偏差)．(1)假設(shè)在一次地震中,一個距離震中100千米的測震儀測得的地震最大振幅是20，此時標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅是0。001，計算這次地震的震級（精確到0.1)；（2）5級地震給人的震感已比較明顯，計算7。6級地震最大振幅是5級地震最大振幅的多少倍(精確到1）．解：(1）依題意知M＝lg20－lg0。001＝lg＝lg20000＝lg2＋lg104＝4＋lg2≈4。3。因此這是一次里氏約4.3級的地震．（2)由M＝lgA－lgA0，可知M＝lg，所以＝10M。所以A＝A0·10M.當(dāng)M＝7。6時，地震的最大振幅為A1＝A0·107。6；當(dāng)M＝5時,地震的最大振幅為A2＝A0·105。所以兩次地震的最大振幅之比是＝＝107。6－5＝102。6≈398，所以7.6級地震的最大振幅大約是5級地震最大振幅的398倍．探究三冪函數(shù)模型冪函數(shù)y＝xα（α〉0)經(jīng)過復(fù)合可以得到冪函數(shù)型函數(shù)，其增長變化率也較快．【典型例題3】2014年某地官方數(shù)字顯示：該地區(qū)人口約有60萬,但其人口總數(shù)在過去40年內(nèi)翻了一番，問每年人口平均增長率是多少？以下數(shù)據(jù)供計算時使用：真數(shù)N1。0101.0151.0171。3102。000對數(shù)lgN0.00430。00650.00730.11730。3010解：設(shè)每年人口平均增長率為x，n年前的人口數(shù)為y，則y·(1＋x）n＝60，則當(dāng)n＝40時，y＝30，即30（1＋x)40＝60?！?1＋x)40＝2，兩邊取對數(shù),則40lg(1＋x)＝lg2，則lg(1＋x)＝≈0.007526，∴1＋x≈1。017，得x＝1。7％。探究四建立擬合函數(shù)模型對于給出一組數(shù)據(jù)擬合函數(shù)模型的題目，應(yīng)根據(jù)數(shù)據(jù)找出比較合理的函數(shù)模型．根據(jù)數(shù)據(jù)特點,可能有多種結(jié)果，因此用哪一個還需結(jié)合實情選擇,總之建立擬合函數(shù)模型是一個不斷優(yōu)化的過程．【典型例題4】某工廠今年1，2，3月生產(chǎn)產(chǎn)品分別為1萬件，1。2萬件，1。3萬件，為了估計以后每個月的產(chǎn)量,以這三個月的產(chǎn)量為依據(jù)，用一個函數(shù)模擬該產(chǎn)品的月產(chǎn)量y(萬件）與月份數(shù)x的關(guān)系，模擬函數(shù)可以選用二次函數(shù)或者函數(shù)y＝abx＋c（a≠0)，如果已知4月份的產(chǎn)量為1。37萬件，問用以上哪一個函數(shù)模擬比較好?理由是什么？思路分析：本題已給定兩種供選擇的函數(shù)模型，處理的關(guān)鍵就是根據(jù)已知數(shù)據(jù)求出模擬函數(shù)的具體表達式,然后分別用這兩個所求的函數(shù)表達式來預(yù)測4月份的產(chǎn)量,看哪一個函數(shù)表達式的預(yù)測值與實際值比較接近．解：設(shè)f（x）＝px2＋qx＋r(p≠0）．由f（1)＝1，f(2）＝1。2，f（3)＝1.3,得解得p＝－0.05,q＝0.35，r＝0.7?！鄁(x）＝－0.05x2＋0.35x＋0.7?！鄁(4)＝1。3.設(shè)g（x)＝abx＋c(a≠0）．由g（1）＝1，g(2）＝1。2，g（3)＝1.3，得解得a＝－0.8