數學學案：課堂探究棱柱、棱錐和棱臺的結構特征

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一棱柱的結構特征判斷一個幾何體是棱柱的依據及關鍵點(1）依據:判斷是否是棱柱要緊扣棱柱的定義．(2)抓住三個關鍵點．①底面：兩個多邊形全等且所在平面互相平行．②側面:都是平行四邊形．③側棱：互相平行且相等．以上三點缺一不可．【典型例題1】（1)下列幾何體是棱柱的有（)A．5個B．4個C．3個D．2個解析：棱柱的結構特征有三方面：有兩個面互相平行；其余各面是平行四邊形；這些平行四邊形面中，每相鄰兩個面的公共邊都互相平行，當一個幾何體同時滿足這三方面的特征時,這個幾何體才是棱柱．①上述三方面的特征都符合，是棱柱;②沒有兩個平行平面，所以不是；③符合條件,是棱柱；④雖然有兩個平面平行，但其余各面不是平行四邊形，因此不是；⑤只有三角形的面，沒有符合的一個條件,所以不是;⑥有兩個平行平面，但其余各面中有的不是平行四邊形,所以⑥不是．因此符合條件的只有①③．答案：D(2)給出下列幾個結論:①長方體一定是正四棱柱．②正方體一定是正四棱柱．③長方體一定是直棱柱．④有一條側棱與底面兩邊垂直的棱柱是直棱柱．⑤有兩個側面是矩形的棱柱是直棱柱．其中錯誤的是__________．(填序號)解析：側棱垂直于底面的棱柱為直棱柱，而底面為正多邊形的直棱柱為正棱柱．對照各結論知①④⑤錯誤．答案：①④⑤探究二棱錐、棱臺的結構特征判斷棱錐、棱臺的常用方法有：(1)舉反例法：結合棱錐、棱臺的定義舉反例直接判斷關于棱錐、棱臺結構特征的某些說法不正確．(2）直接法:棱錐棱臺定底面只有一個面是多邊形，此面即為底面兩個互相平行的面，即為底面看側棱相交于一點延長后相交于一點【典型例題2】判斷以下說法，正確的是(）A．所有面都是三角形的幾何體一定是三棱錐B．三棱錐的每一個面都可作為底面C．底面是正多邊形，各側面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐D．正棱錐的所有棱長都相等解析:如圖(1)的幾何體所有的面為三角形，但不是三棱錐，故A錯．如圖(2）中,棱AD＝1，其余棱長為2,滿足題意，但不是正三棱錐,故C錯．正棱錐中，所有側棱長都相等,故D錯．而三棱錐又稱四面體,每個面都是三角形，故每個面都可作為底面，故B正確．答案：B【典型例題3】下列關于棱錐、棱臺的說法:(1）用一個平面去截棱錐，底面和截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺．(2)棱臺的側面一定不會是平行四邊形．(3）棱錐的側面只能是三角形．(4)由四個面圍成的封閉圖形只能是三棱錐．(5）棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐．其中正確說法的序號是__________．解析:(1)錯誤,若平面不與棱錐底面平行，用這個平面去截棱錐,棱錐底面和截面之間的部分不是棱臺；（2)正確,棱臺的側面一定是梯形，而不是平行四邊形；（3)正確，由棱錐的定義知棱錐的側面只能是三角形；（4）正確,由四個面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；（5)錯誤，如圖所示四棱錐被平面PBD截成的兩部分都是棱錐．答案:(2)(3）(4)探究三有關正棱錐、正棱臺中的計算問題1．正棱錐、正棱臺中的直角三角形，正棱錐中的幾個重要的直角三角形．如圖所示,正棱錐中,點O為底面中心，M是CD的中點,則△SOM，△SOC均是直角三角形，很明顯，△SMC，△OMC也是直角三角形．2．正棱臺中的幾個重要的直角梯形：如圖所示，由斜高、側棱構成的直角梯形E1ECC1，由斜高、高構成的直角梯形O1E1EO,由高、側棱構成的直角梯形O1OCC1．【典型例題4】（1)若正四棱錐的底面積為4，側棱長為2，則其斜高為__________．解析：正四棱錐的側面為等腰三角形，如圖,作PE⊥CD于點E，則PE為斜高，E為CD的中點．由底面積為4，知底面邊長為2,在Rt△PCE中，PC＝2,CE＝1，所以PE＝＝．答案：(2）一個正四棱臺的上、下底面面積分別為4，16，一側面面積為12，求該棱臺的斜高、高、側棱長．解:如圖，設O′,O分別為上、下底面的中心，即OO′為正四棱臺的高，E，F(xiàn)分別為B′C′,BC的中點，則EF⊥BC，EF為斜高．由上底面面積為4，上底面為正方形,可得B′C′＝2;同理，BC＝4．因為四邊形BCC′B′的面積為12，所以×（2＋4）·EF＝12，所以EF＝4．過B′作B′H⊥BC交BC于點H，則BH＝BF－B′E＝2－1＝1，B′H＝EF＝4．在Rt△B′BH中，BB′＝＝＝．同理，在直角梯形O′OFE中,計算出O′O＝．綜上,該正四棱臺的側棱長為，斜高為4，高為．探究四立體圖形的展開問題解決空間幾何體表面上兩點間的最短線路問題,一般都是將空間幾何體表面按某一種方式展開，轉化為求平面內兩點間的線段長，這體現(xiàn)了數學中的轉化思想．【典型例題5】如圖所示，在四面體P。ABC中，PA＝PB＝PC＝2．∠APB＝∠BPC＝∠APC＝30°,一只蜜蜂從A點出發(fā)沿四面體的表面繞行一周，再回到A點，求蜜蜂經過的最短路程．解：將四面體沿PA剪開，并展成如圖所示的平面圖形，則AA′就是所求的最短路程．因為∠APA′＝90°，PA＝PA′＝2,所以最短路程AA′為．探究五易錯辨析易錯點：對棱柱、棱錐、棱臺的結構把握不清而致誤【典型例題6】如圖所示，關于幾何體的說法正確的序號有______．（1)這是一個六面體；(2)這是一個四棱臺;（3）這是一個四棱柱;(4)此幾何體可由三棱柱截去一個三棱柱得到；(5）此幾何體可由四棱柱截去一個三棱柱得到．錯解：答案中含有(2)．錯因分析：未對幾何體側棱延長后是否交于一點驗證,而直接