數學學案：課堂探究利用導數判斷函數的單調性

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一函數圖象的升降與導數的關系要解決函數圖象的升降與導數的關系問題，主要從兩方面入手：一是觀察原函數的圖象,重在找出“上升”“下降”產生變化的點,分析函數值的變化趨勢；二是觀察導函數的圖象，重在找出導函數圖象與x軸的交點，分析導數的正負．【典型例題1】設函數f(x）在定義域內可導，y＝f(x)的圖象如圖所示，則導函數y＝f′(x)的圖象可能為（)思路分析：根據給出的函數圖象分析函數圖象的升降情況，確定導數的正負，得出導數圖象的情況．解析:觀察原函數圖象可知,在y軸左側，函數f(x)圖象是上升的,因此對應導數為正，圖象在x軸上方，在y軸右側，函數f(x)的圖象是先升、再降、最后上升，故對應導數應為先正、再負、最后為正，圖象自左向右依次在x軸上方、下方、再上方，故選D.答案:D探究二求函數的單調區(qū)間利用導數求函數的單調區(qū)間，實質上是轉化為解不等式f′(x)＞0或f′（x）＜0,不等式的解集就是函數的單調區(qū)間，但要特別注意的是,不能忽視函數的定義域,應首先求出函數的定義域，在定義域內解不等式．利用導數求函數單調區(qū)間的步驟：（1)求函數定義域；(2）對函數求導；(3）令導函數大于零，解不等式得遞增區(qū)間；令導函數小于零，解不等式得遞減區(qū)間．【典型例題2】求下列函數的單調區(qū)間．（1)y＝x3－9x2＋24x；(2)f（x)＝x2－lnx.思路分析：利用函數單調性的判定法則，轉化為關于導數的不等式求解．解：(1）y′＝（x3－9x2＋24x)′＝3x2－18x＋24＝3(x－2)(x－4），令3(x－2）(x－4)＞0,解得x＞4或x＜2.所以y＝x3－9x2＋24x的遞增區(qū)間是（4,＋∞）和(－∞,2）．令3(x－2）（x－4)＜0，解得2＜x＜4。所以y＝x3－9x2＋24x的遞減區(qū)間是（2,4)．（2)函數f（x）的定義域為{x|x＞0}，因為f′（x)＝2x－eq\f(1,x）＝eq\f（2x2－1,x），所以令f′(x）＞0,則x＞eq\f(\r（2)，2),令f′(x）＜0，則0＜x＜eq\f（\r(2），2)，所以函數f(x）＝x2－lnx的遞減區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\）(eq\a\vs4\al\co1（0，\f(\r（2）,2））），遞增區(qū)間為eq\b\lc\（\rc\)（eq\a\vs4\al\co1(\f（\r（2),2），＋∞)).探究三利用函數的單調性求參數的取值范圍已知函數的單調性，求參數的取值范圍問題往往轉化為不等式恒成立問題，其常用方法有兩種：一是f（x）在(a，b)上單調，則f′(x)≥0或f′（x)≤0在（a，b）內恒成立,要注意驗證等號是否成立；二是利用集合的包含關系處理，f(x）在(a,b）上單調，則區(qū)間(a，b)是相應單調區(qū)間的子集．【典型例題3】已知函數f(x)＝eq\f(2，3)xeq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1（x2－3ax－\f（9，2))）（a∈R），若函數f（x)在(1，2）內是增函數，求a的取值范圍．思路分析:本題先求導，轉化為f′(x）≥0在(1，2)上的恒成立問題．解：因為函數f(x)在（1,2）內是增函數，所以f′(x)＝2x2－4ax－3≥0對于一切x∈（1,2）恒成立，所以a≤eq\f(x,2)－eq\f（3，4x)，x∈（1,2）．令g(x)＝eq\f(x，2)－eq\f(3，4x)，x∈(1，2),g′（x)＝eq\f(1,2）＋eq\f（3，4x2）＞0恒成立，所以g（x)＝eq\f（x，2）－eq\f（3，4x）在(1，2)上是增函數，當x＝1時，g(x)＝－eq\f（1，4)，所以a≤－eq\f（1,4）。探究四易錯辨析易錯點恒成立問題漏掉等號【典型例題4】已知f(x）＝x＋eq\f(a,x)在[1，＋∞）上是增函數，求a的取值范圍．錯解：f′(x）＝1－eq\f（a,x2).由題意得1－eq\f（a，x2）＞0在［1,＋∞)上恒成立，即a＜x2在[1，＋∞）上恒成立．因為x2在［1，＋∞）上的最小值為1,所以a＜1，即a的取值范圍為（－∞，1)．錯因分析：f(x)在［1，＋∞）上是增函數時,導函數f′（x)≥0在［1,＋∞）上恒成立;而錯解用了f（x）在［1，＋∞）上是增函數時，f′（x)＞0在[1，＋∞)上恒成立．正解：f′（x）＝1－eq