數(shù)學(xué)學(xué)案：課堂探究平面的基本性質(zhì)與推論

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一文字語言、圖形語言和符號(hào)語言的轉(zhuǎn)換我們?cè)诹Ⅲw幾何中使用符號(hào)語言時(shí)，還應(yīng)明確符號(hào)語言在代數(shù)與幾何中的差異．首先是結(jié)合集合知識(shí)了解規(guī)定符號(hào)的背景，找出它們的區(qū)別與聯(lián)系:（1)“∈，?，?，∩”等符號(hào)來源于集合符號(hào),但在讀法上用幾何語言,例如,A∈α，讀作“點(diǎn)A在平面α內(nèi)”，a?α讀作“直線a在平面α內(nèi)",α∩β＝l讀作“平面α，β相交于直線l”．（2)在“A∈α，A?α，l?α，l?α”中“A”視為平面α(集合）內(nèi)的點(diǎn)(元素），直線l(集合)視為平面α（集合)的子集．明確這一點(diǎn)，才能正確使用集合符號(hào)．【典型例題1】如圖所示，寫出圖形中的點(diǎn)、直線和平面之間的關(guān)系．圖（1）可以用幾何符號(hào)表示為________________．圖（2）可以用幾何符號(hào)表示為________________．解析：圖(1）可以用幾何符號(hào)表示為α∩β＝AB,a?α，b?β,a∥AB,b∥AB．即平面α與平面β相交于直線AB，直線a在平面α內(nèi)，直線b在平面β內(nèi)，直線a平行于直線AB，直線b平行于直線AB．圖（2)可以用幾何符號(hào)表示為α∩β＝MN，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)滿足條件A∈MN，B∈α，C∈β,B?MN，C?MN．即平面α與平面β相交于直線MN,△ABC的頂點(diǎn)A在直線MN上，點(diǎn)B在α內(nèi)但不在直線MN上，點(diǎn)C在平面β內(nèi)但不在直線MN上．答案：α∩β＝AB，a?α，b?β，a∥AB，b∥ABα∩β＝MN，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)滿足條件A∈MN，B∈α，C∈β，B?MN，C?MN探究二點(diǎn)線共面問題(1)證明點(diǎn)線共面的主要依據(jù)：①如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)（基本性質(zhì)1)；②經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面（基本性質(zhì)2及推論)．（2）證明點(diǎn)線共面的常用方法：①納入平面法：先確定一個(gè)平面,再證明有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi);②輔助平面法：先證明有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面α，再證明其余元素確定平面β，最后證明平面α，β重合．【典型例題2】(1)有下列四個(gè)說法:①過三點(diǎn)確定一個(gè)平面；②矩形是平面圖形；③三條直線兩兩相交則確定一個(gè)平面；④兩個(gè)相交平面把空間分成四個(gè)區(qū)域．其中錯(cuò)誤的序號(hào)是（）A．①和②B．①和③C．②和④D．②和③解析：不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面,故①錯(cuò)；三條直線兩兩相交，交于三點(diǎn)時(shí),確定一個(gè)平面，交于一點(diǎn)時(shí)，可確定一個(gè)或三個(gè)平面，故③錯(cuò)．答案：B（2）如圖所示,已知直線a與兩平行直線b,c都相交．求證：a，b，c三線共面．思路分析:有兩種方法．①先用兩平行直線b，c確定一個(gè)平面，再證a也在這個(gè)平面內(nèi);②先由兩條相交直線a，b確定一個(gè)平面，再證c也在這個(gè)平面內(nèi)．證法一：因?yàn)閎∥c,則b，c確定一個(gè)平面，設(shè)為α，如圖，令a∩b＝A，a∩c＝B，所以A∈α，B∈α，所以AB?α，即直線a?α．所以a，b，c三線共面．證法二:因?yàn)閍與b是相交直線，則a，b確定一個(gè)平面,設(shè)為α，如圖，設(shè)a∩c＝A，過A點(diǎn)在α內(nèi)作直線c′∥b,因?yàn)閏∥b，c′∥b，所以c∥c′．又因?yàn)閏與c′相交于點(diǎn)A，所以c與c′重合．所以a,b,c三線共面．點(diǎn)評(píng)本題為我們證明共面問題提供了多角度的思維模式,但整體套路都是先用部分對(duì)象確定一個(gè)平面,再證明剩余對(duì)象都在這個(gè)平面內(nèi)．探究三點(diǎn)共線、線共點(diǎn)問題證明多點(diǎn)共線，通常是過其中兩點(diǎn)作一條直線，然后證明其他的點(diǎn)也在這條直線上，或者根據(jù)已知條件設(shè)法證明這些點(diǎn)同時(shí)在兩個(gè)相交平面內(nèi)，然后根據(jù)基本性質(zhì)3就得到這些點(diǎn)在兩個(gè)平面的交線上．證明三線共點(diǎn)問題，可把其中一條作為分別過其余兩條直線的兩個(gè)平面的交線,然后再證另兩條直線的交點(diǎn)在此直線上，此外還可先將其中一條直線看做某兩個(gè)平面的交線，證明該交線與另兩條直線分別交于兩點(diǎn),再證這兩點(diǎn)重合，從而得到三線共點(diǎn)．【典型例題3】（1)如圖，α∩β＝l,在梯形ABCD中，AD∥BC，且AB?α,CD?β．求證：AB，CD，l共點(diǎn)(相交于一點(diǎn)）．證明：如圖,在梯形ABCD中，設(shè)AB∩CD＝E，因?yàn)锳B?α，CD?β，所以E∈α,E∈β．又α∩β＝l，所以E∈l，即AB,CD，l共點(diǎn)(相交于一點(diǎn))．(2）如圖所示，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都不在平面α內(nèi)，它的三邊AB，BC，AC延長后分別交平面α于點(diǎn)P，Q，R．求證：點(diǎn)P，Q，R在同一條直線上．證明：已知AB的延長線交平面α于點(diǎn)P，根據(jù)基本性質(zhì)3，平面ABC與平面α必相交于一條直線，設(shè)為l．因?yàn)镻∈直線AB，所以P∈平面ABC．又直線AB∩α＝P，所以P∈α．所以P是平面ABC與平面α的公共點(diǎn)．因?yàn)槠矫鍭BC∩平面α＝l，所以P∈l．同理，Q∈l,R∈l．所以點(diǎn)P,Q，R在同一條直線l上．探究四交線問題畫兩平面的交線時(shí)，關(guān)鍵是找到這兩個(gè)平面的兩個(gè)公共點(diǎn),這兩個(gè)公共點(diǎn)的連線即是．在找公共點(diǎn)的過程中往往要借助于基本性質(zhì)1和基本性質(zhì)3，一般是用基本性質(zhì)1找到,再用基本性質(zhì)3證明．【典型例題4】如圖所示，G是正方體ABCD.A1B1C1D1的棱DD1延長線上一點(diǎn),E,F是棱AB，BC的中點(diǎn)．試分別畫出過下列點(diǎn)、直線的平面與正方體表面的交線．（1）過點(diǎn)G及直線AC；（2)過三點(diǎn)E，F(xiàn)，D1．思路分析:找出兩個(gè)平面的兩個(gè)公共點(diǎn)，則過這兩個(gè)公共點(diǎn)的直線為兩平面的交線．解:（1)畫法：連接GA交A1D1于點(diǎn)M；連接GC交C1D1于點(diǎn)N;連接MN,AC，則MA，CN，MN,AC為所求平面與正方體表面的交線．如圖①所示．(2）畫法：連接EF交DC的延長線于點(diǎn)P，交DA的延長線于點(diǎn)Q；連接D1P交CC1于點(diǎn)M，連接D1Q交AA1于點(diǎn)N；連接MF，NE，則D1M，MF，F(xiàn)E，EN，ND