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文檔簡介
2025屆江西省紅色六校高三下學(xué)期聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標號。回答非選擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知,滿足約束條件,則的最大值為A. B. C. D.2.若的展開式中二項式系數(shù)和為256,則二項式展開式中有理項系數(shù)之和為()A.85 B.84 C.57 D.563.設(shè)、分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù),且,則()A. B.0 C.1 D.34.已知函數(shù),且的圖象經(jīng)過第一、二、四象限,則,,的大小關(guān)系為()A. B.C. D.5.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增,則的取值范圍()A. B. C. D.6.是邊長為的等邊三角形,、分別為、的中點,沿把折起,使點翻折到點的位置,連接、,當(dāng)四棱錐的外接球的表面積最小時,四棱錐的體積為()A. B. C. D.7.設(shè)全集U=R,集合,則()A.{x|-1<x<4} B.{x|-4<x<1} C.{x|-1≤x≤4} D.{x|-4≤x≤1}8.若,則的虛部是A.3 B. C. D.9.某學(xué)校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時間(單位:小時),制成了如圖所示的頻率分布直方圖,其中自習(xí)時間的范圍是17.5,30],樣本數(shù)據(jù)分組為17.5,20),20,22.5),22.5,25),25,27.5),27.5,30).根據(jù)直方圖,這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時間不少于22.5小時的人數(shù)是()A.56 B.60 C.140 D.12010.馬林●梅森是17世紀法國著名的數(shù)學(xué)家和修道士,也是當(dāng)時歐洲科學(xué)界一位獨特的中心人物,梅森在歐幾里得、費馬等人研究的基礎(chǔ)上對2p﹣1作了大量的計算、驗證工作,人們?yōu)榱思o念梅森在數(shù)論方面的這一貢獻,將形如2P﹣1(其中p是素數(shù))的素數(shù),稱為梅森素數(shù).若執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的梅森素數(shù)的個數(shù)是()A.3 B.4 C.5 D.611.以,為直徑的圓的方程是A. B.C. D.12.設(shè)命題p:>1,n2>2n,則p為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知向量,,,則__________.14.設(shè)全集,,,則______.15.某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的表面積是______cm2,體積是_____16.下表是關(guān)于青年觀眾的性別與是否喜歡綜藝“奔跑吧,兄弟”的調(diào)查數(shù)據(jù),人數(shù)如下表所示:不喜歡喜歡男性青年觀眾4010女性青年觀眾3080現(xiàn)要在所有參與調(diào)查的人中用分層抽樣的方法抽取個人做進一步的調(diào)研,若在“不喜歡的男性青年觀眾”的人中抽取了8人,則的值為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為,已知.(1)求;(2)若為銳角三角形,求的取值范圍.18.(12分)在直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為,(為參數(shù)).以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.(1)求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程;(2)若點是直線的一點,過點作曲線的切線,切點為,求的最小值.19.(12分)已知函數(shù)f(x)=x-1+x+2,記f(x)(Ⅰ)解不等式f(x)≤5;(Ⅱ)若正實數(shù)a,b滿足1a+120.(12分)如圖,三棱錐中,點,分別為,的中點,且平面平面.求證:平面;若,,求證:平面平面.21.(12分)設(shè)數(shù)列滿足,.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項和.22.(10分)設(shè)函數(shù).(1)若,時,在上單調(diào)遞減,求的取值范圍;(2)若,,,求證:當(dāng)時,.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域,利用目標函數(shù)的幾何意義,利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論.【詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖中陰影部分所示,等價于,作直線,向上平移,易知當(dāng)直線經(jīng)過點時最大,所以,故選D.【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用,利用目標函數(shù)的幾何意義,結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問題的基本方法.2、A【解析】
先求,再確定展開式中的有理項,最后求系數(shù)之和.【詳解】解:的展開式中二項式系數(shù)和為256故,要求展開式中的有理項,則則二項式展開式中有理項系數(shù)之和為:故選:A【點睛】考查二項式的二項式系數(shù)及展開式中有理項系數(shù)的確定,基礎(chǔ)題.3、C【解析】
先根據(jù)奇偶性,求出的解析式,令,即可求出?!驹斀狻恳驗?、分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù),,用替換,得,化簡得,即令,所以,故選C?!军c睛】本題主要考查函數(shù)性質(zhì)奇偶性的應(yīng)用。4、C【解析】
根據(jù)題意,得,,則為減函數(shù),從而得出函數(shù)的單調(diào)性,可比較和,而,比較,即可比較.【詳解】因為,且的圖象經(jīng)過第一、二、四象限,所以,,所以函數(shù)為減函數(shù),函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,又因為,所以,又,,則|,即,所以.故選:C.【點睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小,還考查化簡能力和轉(zhuǎn)化思想.5、B【解析】
由,可得,結(jié)合在上單調(diào)遞增,易得,即可求出的范圍.【詳解】由,可得,時,,而,又在上單調(diào)遞增,且,所以,則,即,故.故選:B.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用,考查了學(xué)生的邏輯推理能力,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】
首先由題意得,當(dāng)梯形的外接圓圓心為四棱錐的外接球球心時,外接球的半徑最小,通過圖形發(fā)現(xiàn),的中點即為梯形的外接圓圓心,也即四棱錐的外接球球心,則可得到,進而可根據(jù)四棱錐的體積公式求出體積.【詳解】如圖,四邊形為等腰梯形,則其必有外接圓,設(shè)為梯形的外接圓圓心,當(dāng)也為四棱錐的外接球球心時,外接球的半徑最小,也就使得外接球的表面積最小,過作的垂線交于點,交于點,連接,點必在上,、分別為、的中點,則必有,,即為直角三角形.對于等腰梯形,如圖:因為是等邊三角形,、、分別為、、的中點,必有,所以點為等腰梯形的外接圓圓心,即點與點重合,如圖,,所以四棱錐底面的高為,.故選:D.【點睛】本題考查四棱錐的外接球及體積問題,關(guān)鍵是要找到外接球球心的位置,這個是一個難點,考查了學(xué)生空間想象能力和分析能力,是一道難度較大的題目.7、C【解析】
解一元二次不等式求得集合,由此求得【詳解】由,解得或.因為或,所以.故選:C【點睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法,考查集合補集的概念和運算,屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】
因為,所以的虛部是.故選B.9、C【解析】
試題分析:由題意得,自習(xí)時間不少于小時的頻率為,故自習(xí)時間不少于小時的頻率為,故選C.考點:頻率分布直方圖及其應(yīng)用.10、C【解析】
模擬程序的運行即可求出答案.【詳解】解:模擬程序的運行,可得:p=1,S=1,輸出S的值為1,滿足條件p≤7,執(zhí)行循環(huán)體,p=3,S=7,輸出S的值為7,滿足條件p≤7,執(zhí)行循環(huán)體,p=5,S=31,輸出S的值為31,滿足條件p≤7,執(zhí)行循環(huán)體,p=7,S=127,輸出S的值為127,滿足條件p≤7,執(zhí)行循環(huán)體,p=9,S=511,輸出S的值為511,此時,不滿足條件p≤7,退出循環(huán),結(jié)束,故若執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的梅森素數(shù)的個數(shù)是5,故選:C.【點睛】本題主要考查程序框圖,屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】
設(shè)圓的標準方程,利用待定系數(shù)法一一求出,從而求出圓的方程.【詳解】設(shè)圓的標準方程為,由題意得圓心為,的中點,根據(jù)中點坐標公式可得,,又,所以圓的標準方程為:,化簡整理得,所以本題答案為A.【點睛】本題考查待定系數(shù)法求圓的方程,解題的關(guān)鍵是假設(shè)圓的標準方程,建立方程組,屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】根據(jù)命題的否定,可以寫出:,所以選C.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、3【解析】
由題意得,,再代入中,計算即可得答案.【詳解】由題意可得,,∴,解得,∴.故答案為:.【點睛】本題考查向量模的計算,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查運算求解能力,求解時注意向量數(shù)量積公式的運用.14、【解析】
先求出集合,,然后根據(jù)交集、補集的定義求解即可.【詳解】解:,或;∴;∴.故答案為:.【點睛】本題主要考查集合的交集、補集運算,屬于基礎(chǔ)題.15、20+45,8【解析】試題分析:由題意得,該幾何體為三棱柱,故其表面積S=2×1體積V=12×4×2×2=8,故填:20+4考點:1.三視圖;2.空間幾何體的表面積與體積.16、32【解析】
由已知可得抽取的比例,計算出所有被調(diào)查的人數(shù),再乘以抽取的比例即為分層抽樣的樣本容量.【詳解】由題可知,抽取的比例為,被調(diào)查的總?cè)藬?shù)為人,則分層抽樣的樣本容量是人.故答案為:32【點睛】本題考查分層抽樣中求樣本容量,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】
(1)利用正弦定理化簡已知條件,由此求得的值,進而求得的大小.(2)利用正弦定理和兩角差的正弦公式,求得的表達式,進而求得的取值范圍.【詳解】(1)由題設(shè)知,,即,所以,即,又所以.(2)由題設(shè)知,,即,又為銳角三角形,所以,即所以,即,所以的取值范圍是.【點睛】本小題主要考查利用正弦定理解三角形,考查利用角的范圍,求邊的比值的取值范圍,屬于中檔題.18、(1),;(2)見解析【解析】
(1)消去t,得直線的普通方程,利用極坐標與普通方程互化公式得曲線的直角坐標方程;(2)判斷與圓相離,連接,在中,,即可求解【詳解】(1)將的參數(shù)方程(為參數(shù))消去參數(shù),得.因為,,所以曲線的直角坐標方程為.(2)由(1)知曲線是以為圓心,3為半徑的圓,設(shè)圓心為,則圓心到直線的距離,所以與圓相離,且.連接,在中,,所以,,即的最小值為.【點睛】本題考查參數(shù)方程化普通方程,極坐標與普通方程互化,直線與圓的位置關(guān)系,是中檔題19、(Ⅰ){x|-3≤x≤2}(Ⅱ)見證明【解析】
(Ⅰ)由題意結(jié)合不等式的性質(zhì)零點分段求解不等式的解集即可;(Ⅱ)首先確定m的值,然后利用柯西不等式即可證得題中的不等式.【詳解】(Ⅰ)①當(dāng)x>1時,f(x)=(x-1)+(x+2)=2x+1≤5,即x≤2,∴1<x≤2;②當(dāng)-2≤x≤1時,f(x)=(1-x)+(x+2)=3≤5,∴-2≤x≤1;③當(dāng)x<-2時,f(x)=(1-x)-(x+2)=-2x-1≤5,即x≥-3,∴-3≤x<-2.綜上所述,原不等式的解集為{x|-3≤x≤2}.(Ⅱ)∵f(x)=x-1當(dāng)且僅當(dāng)-2≤x≤1時,等號成立.∴f(x)的最小值m=3.∴[(即2a當(dāng)且僅當(dāng)2a×1又1a+1b=∴2a【點睛】本題主要考查絕對值不等式的解法,柯西不等式及其應(yīng)用,絕對值三角不等式求最值的方法等知識,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.20、證明見解析;證明見解析.【解析】
利用線面平行的判定定理求證即可;為中點,為中點,可得,,,可知,故為直角三角形,,利用面面垂直的判定定理求證即可.【詳解】解:證明:為中點,為中點,,又平面,平面,平面;證明:為中點,為中點,,又,,則,故為直角三角形,,平面平面,平面平面,,平面,平面,又∵平面,平面平面.【點睛】本題考查線面平行和面面垂直的判定定理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.21、(1);(2).【解析】
(1)令可求得的值,令時,由可得出,兩式相減可得的表達式,然后對是否滿足在時的表達式進行檢驗,由此可得出數(shù)列的通項公式;(2)求出數(shù)列的通項公式,對分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況討論,利用奇偶分組求和法結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式可求得結(jié)果.【詳解】(1),當(dāng)時,;當(dāng)時,由得,兩式相減得,.滿足.因此,數(shù)列的通項公式為;(2).①當(dāng)為奇數(shù)時,;②當(dāng)為偶數(shù)時,.綜上所述,.【點睛】本題考查數(shù)列通項的求解,同時也考查了奇偶分組求和法,考查計算能力,屬于中等題.22、(1)(2)見解析【
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