2025版高考數(shù)學一輪復習第一章集合與常用邏輯用語第二講命題及其關系充分條件與必要條件學案含解析新人教版

PAGE其次講命題及其關系、充分條件與必要條件學問梳理·雙基自測eq\x(知)eq\x(識)eq\x(梳)eq\x(理)學問點一命題及四種命題之間的關系1．命題用語言、符號或式子表達的，可以推斷真假的__陳述句__叫做命題，其中__推斷為真__的語句叫做真命題，__推斷為假__的語句叫做假命題．2．四種命題及其關系(1)四種命題間的相互關系(2)四種命題的真假關系①若兩個命題互為逆否命題，則它們有__相同__的真假性；②兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性__沒有關系__.學問點二充分條件與必要條件若p?q，則p是q的__充分__條件，q是p的__必要__條件p是q的__充分不必要__條件p?q且qpp是q的__必要不充分__條件pq且q?pp是q的__充要__條件p?qp是q的__既不充分又不必要__條件pq且qpeq\x(歸)eq\x(納)eq\x(拓)eq\x(展)1．若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，則(1)若A?B，則p是q的充分條件；(2)若A?B，則p是q的必要條件；(3)若A＝B，則p是q的充要條件；(4)若AB，則p是q的充分不必要條件；(5)若AB，則p是q的必要不充分條件；(6)若AB且A?B，則p是q的既不充分也不必要條件．2．充分條件與必要條件的兩個特征：(1)對稱性：若p是q的充分條件，則q是p的必要條件，即“p?q”?“q?p”．(2)傳遞性：若p是q的充分(必要)條件，q是r的充分(必要)條件，則p是r的充分(必要)條件，即“p?q且q?r”?“p?r”(“p?q且q?r”?“p?r”)．留意：不能將“若p，則q”與“p?q”混為一談，只有“若p，則q”為真命題時，才有“p?q”，即“p?q”?“若p，則q”為真命題．eq\x(雙)eq\x(基)eq\x(自)eq\x(測)題組一走出誤區(qū)1．推斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)語句x2－3x＋2＝0是命題．(×)(2)命題“三角形的內角和是180°”的否命題是“三角形的內角和不是180°”．(×)(3)已知集合A，B，則A∪B＝A∩B的充要條件是A＝B．(√)(4)“α＝β”是“tanα＝tanβ”的充分不必要條件．(×)(5)“若p不成立，則q不成立”等價于“若q成立，則p成立”．(√)[解析](4)當α＝β＝eq\f(π,2)時，tanα、tanβ都無意義．因此不能推出tanα＝tanβ，當tanα＝tanβ時，α＝β＋kπ，k∈Z，不肯定α＝β，因此是既不充分也不必要條件．題組二走進教材2．(選修2－1P8T3改編)下列命題是真命題的是(A)A．矩形的對角線相等B．若a>b，c>d，則ac>bdC．若整數(shù)a是素數(shù)，則a是奇數(shù)D．命題“若x2>0，則x>1”的逆否命題3．(選修2－1P10T4改編)x2－3x＋2≠0是x≠1的__充分不必要__條件．[解析]x＝1是x2－3x＋2＝0的充分不必要條件．題組三走向高考4．(2024·天津，2,5分)設a∈R，則“a>1”是“a2>a”的(A)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[解析]易知a>1?a2>a，而a2>a?a<0或a>1，所以“a>1”是“a2>a”的充分不必要條件．5．(2015·山東，5分)設m∈R，命題“若m>0，則方程x2＋x－m＝0有實根”的逆否命題是(D)A．若方程x2＋x－m＝0有實根，則m>0B．若方程x2＋x－m＝0有實根，則m≤0C．若方程x2＋x－m＝0沒有實根，則m>0D．若方程x2＋x－m＝0沒有實根，則m≤0[解析]由原命題和逆否命題的關系可知D正確．6．(2024·北京，5分)能說明“若f(x)>f(0)對隨意的x∈(0,2]都成立，則f(x)在[0,2]上是增函數(shù)”為假命題的一個函數(shù)是__f(x)＝sinx(答案不唯一)__.[解析]這是一道開放性試題，答案不唯一，只要滿意f(x)>f(0)對隨意的x∈(0,2]都成立，且函數(shù)f(x)在[0,2]上不是增函數(shù)即可．如f(x)＝sinx，答案不唯一．考點突破·互動探究考點一命題及其關系——自主練透例1(1)(2024·新高考八省聯(lián)考)關于x的方程x2＋ax＋b＝0，有下列四個命題：甲：x＝1是該方程的根；乙：x＝3是該方程的根；丙：該方程兩根之和為2；?。涸摲匠虄筛愄枺偃缰挥幸粋€假命題，則該命題是(A)A．甲 B．乙C．丙 D．丁(2)(2024·長春模擬)已知命題α：假如x<3，那么x<5，命題β：假如x≥3，那么x≥5，則命題α是命題β的(A)A．否命題 B．逆命題C．逆否命題 D．否定形式(3)下列命題為真命題的是(D)A．“若a2<b2，則a<b”的否命題B．“全等三角形面積相等”的逆命題C．“若關于x的不等式ax2－2ax＋a＋3>0的解集為R，則a>1”的逆否命題D．“若eq\r(3)x(x≠0)為有理數(shù)，則x為無理數(shù)”的逆否命題(4)命題“若a＋b＝0，則a，b中最多有一個大于零”的否定形式為__若a＋b＝0，則a，b都大于零__，否命題為__若a＋b≠0，則a，b都大于零__.[解析](1)若乙、丙、丁正確，明顯x1＝－1，x2＝3，兩根異號，x1＋x2＝2，故甲錯，因此選A．(2)命題α：假如x<3，那么x<5，命題β：假如x≥3，那么x≥5，則命題α是命題β的否命題．(3)對于A，否命題為“若a2≥b2，則a≥b”，為假命題；對于B，逆命題為“面積相等的三角形是全等三角形”，是假命題；對于C，當a＝0時，3>0恒成立，當a≠0時，由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,Δ<0))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,4a2－4aa＋3<0))，解得a>0，綜上a≥0，所以原命題為假命題，逆否命題也為假命題；對于D，原命題正確，因此該命題的逆否命題也正確，D正確．故選D．(4)否定形式：若a＋b＝0，則a，b都大于零．否命題：若a＋b≠0，則a，b都大于零．名師點撥(1)由原命題寫出其他三種命題，關鍵要分清原命題的條件和結論，假如命題不是“若p，則q”的形式，應先改寫成“若p，則q”的形式；假如命題有大前提，寫其他三種命題時需保留大前提不變．(2)推斷一個命題為真命題，要給出嚴格的推理證明；推斷一個命題為假命題，只需舉出反例．(3)依據(jù)“原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假”這一性質，當一個命題干脆推斷不易進行時，可轉化為推斷其等價命題的真假．考點二充分必要條件考向1充分條件與必要條件的推斷——師生共研方法1：定義法推斷例2(2024·北京，9,4分)已知α，β∈R，則“存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ”是“sinα＝sinβ”的(C)A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件[解析](1)充分性：已知存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ，(ⅰ)若k為奇數(shù)，則k＝2n＋1，n∈Z，此時α＝(2n＋1)π－β，n∈Z，sinα＝sin(2nπ＋π－β)＝sin(π－β)＝sinβ；(ⅱ)若k為偶數(shù)，則k＝2n，n∈Z，此時α＝2nπ＋β，n∈Z，sinα＝sin(2nπ＋β)＝sinβ.由(ⅰ)(ⅱ)知，充分性成立．(2)必要性：若sinα＝sinβ成立，則角α與β的終邊重合或角α與β的終邊關于y軸對稱，即α＝β＋2mπ或α＋β＝2mπ＋π，m∈Z，即存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ，必要性也成立，故選C．方法2：集合法推斷例3(理)(2024·天津，3)設x∈R，則“x3>8”是“|x|>2”的(A)A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件(文)(2024·天津一中高三月考)設x∈R，則“|x－1|<4”是“eq\f(x－5,2－x)>0”的(B)A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件[解析](理)本題主要考查解不等式和充分、必要條件的推斷．由x3>8得x>2，由|x|>2得x>2或x<－2.因為(2，＋∞)(－∞，－2)∪(2，＋∞)，所以“x3>8”是“|x|>2”的充分而不必要條件．故選A．(文)解肯定值不等式可得－4<x－1<4，即－3<x<5，將分式不等式變形可得eq\f(x－5,x－2)<0，解得2<x<5，因為(2,5)(－3,5)，所以“|x－1|<4”是“eq\f(x－5,2－x)>0”的必要而不充分條件．方法3等價轉化法推斷例4(1)給定兩個條件p，q，若?p是q的必要不充分條件，則p是?q的(A)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件(2)“已知命題p：cosα≠eq\f(1,2)，命題q：α≠eq\f(π,3)”，則命題p是命題q的(A)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[解析](1)因為?p是q的必要不充分條件，則q??p，但?pq，其逆否命題為p??q，但?qp，所以p是?q的充分不必要條件．(2)?p：cosα＝eq\f(1,2)，?q：α＝eq\f(π,3)，明顯?q??p，?p?q，∴?q是?p的充分不必要條件，從而p是q的充分不必要條件，故選A．另解：若cosα≠eq\f(1,2)，則α≠2kπ±eq\f(π,3)(k∈Z)，則α也必定不等于eq\f(π,3)，故p?q；若α≠eq\f(π,3)，但α＝－eq\f(π,3)時，依舊有cosα＝eq\f(1,2)，故qp.所以p是q的充分不必要條件．故選A．名師點撥有關充要條件的推斷常用的方法(1)依據(jù)定義推斷：①弄清條件p和結論q分別是什么；②嘗試p?q，q?p.若p?q，則p是q的充分條件；若q?p，則p是q的必要條件；若p?q，qp，則p是q的充分不必要條件；若pq，q?p，則p是q的必要不充分條件；若p?q，q?p，則p是q的充要條件．(2)利用集合推斷記法A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}關系ABBAA＝BAB且BA結論p是q的充分不必要條件p是q的必要不充分條件p是q的充要條件p是q的既不充分也不必要條件(3)利用等價轉化法：對于帶有否定性詞語的命題，常用此法，即要推斷p是q的什么條件，只需推斷?q是?p的什么條件．〔變式訓練1〕(1)指出下列各組中，p是q的什么條件(在“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”“既不充分也不必要條件”中選出一種作答)．①非空集合A，B中，p：x∈(A∪B)，q：x∈B；②已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0；③在△ABC中，p：A＝B，q：sinA＝sinB；④對于實數(shù)x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6.(2)(理)(2024·天津，4)設x∈R，則“eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))<eq\f(1,2)”是“x3<1”的(A)A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件(文)(2024·天津部分區(qū)期末)設x∈R，則“x2－2x<0”是“|x－1|<2”的(A)A．充分不必要條件 B．充要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件[解析](1)①明顯x∈(A∪B)不肯定有x∈B，但x∈B肯定有x∈(A∪B)，所以p是q的必要不充分條件．②條件p：x＝1且y＝2，條件q：x＝1或y＝2，所以p?q但qp，故p是q的充分不必要條件．③在△ABC中，A＝B?sinA＝sinB；反之，若sinA＝sinB，因為A與B不行能互補(三角形三個內角之和為180°)，所以只有A＝B，故p是q的充要條件．④易知?p：x＋y＝8，?q：x＝2且y＝6，明顯?q??p，但?p?q，所以?q是?p的充分不必要條件，依據(jù)原命題和逆否命題的等價性知，p是q的充分不必要條件．(2)(理)本題主要考查解不等式和充分、必要條件的推斷．由eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))<eq\f(1,2)得－eq\f(1,2)<x－eq\f(1,2)<eq\f(1,2)，解得0<x<1.由x3<1得x<1.因為(0,1)(－∞，1)，所以“eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))<eq\f(1,2)”是“x3<1”的充分而不必要條件．(文)解不等式x2－2x<0得0<x<2，解不等式|x－1|<2得－1<x<3，所以“x2－2x<0”是“|x－1|<2”的充分不必要條件．故選A．考向2充要條件的應用——多維探究角度1充要條件的探究例5下列函數(shù)中，滿意“x1＋x2＝0”是“f(x1)＋f(x2)＝0”的充要條件的是(B)A．f(x)＝tanx B．f(x)＝3x－3－xC．f(x)＝x2 D．f(x)＝log3|x|[解析]因為f(x)＝tanx是奇函數(shù)，所以x1＋x2＝0?f(x1)＋f(x2)＝0，但feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)))＝0時，eq\f(π,4)＋eq\f(3π,4)≠0，不符合要求，所以A不符合題意；因為f(x)＝3x－3－x均為單調遞增的奇函數(shù)，所以滿意“x1＋x2＝0”是“f(x1)＋f(x2)＝0”的充要條件，符合題意；對于選項C，f(x)＝x2是偶函數(shù)，不符合題意；對于選項D，由f(x)＝log3|x|的圖象易知不符合題意，故選B．注：滿意條件的函數(shù)是奇函數(shù)且單調．角度2利用充要條件求參數(shù)的值或取值范圍例6已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要條件，則m的取值范圍是__[0,3]__.[解析]由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，所以P＝{x|－2≤x≤10}，由x∈P是x∈S的必要條件，知S?P.則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≤1＋m，,1－m≥－2，,1＋m≤10，))所以0≤m≤3.所以當0≤m≤3時，x∈P是x∈S的必要條件，即所求m的取值范圍是[0,3]．[引申1]若本例將條件“若x∈P是x∈S的必要條件”改為“若x∈P是x∈S的必要不充分條件”，則m的取值范圍是__[0,3]__.[解析]解法一：由(1)若x∈P是x∈S的必要條件，則0≤m≤3，當m＝0時，S＝{1}，不充分；當m＝3時，S＝{x|－2≤x≤4}也不充分，故m的取值范圍為[0,3]．解法二：若x∈P是x∈S的必要且充分條件，則P＝S，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m＝－2，,1＋m＝10))?m無解，∴m的取值范圍是[0,3]．[引申2]若本例將條件“若x∈P是x∈S的必要條件”變?yōu)椤叭舴荘是非S的必要不充分條件”，其他條件不變，則m的取值范圍是__[9，＋∞)__.[解析]由(1)知P＝{x|－2≤x≤10)，∵非P是非S的必要不充分條件，∴S是P的必要不充分條件，∴P?S且SP.∴[－2,10][1－m,1＋m]．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≤－2，,1＋m>10))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m<－2，,1＋m≥10.))∴m≥9，即m的取值范圍是[9，＋∞)．名師點撥充分條件、必要條件的應用，一般表現(xiàn)在參數(shù)問題的求解上．解題時需留意：(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉化為集合之間的關系，然后依據(jù)集合之間的關系列出關于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解．(2)肯定要留意端點值的取舍，處理不當簡單出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象．(3)留意區(qū)分以下兩種不同說法：①p是q的充分不必要條件，是指p?q但qp；②p的充分不必要條件是q，是指q?p但pq.(4)留意下列條件的等價轉化：①p是q的什么條件等價于?q是?p的什么條件，②p是?q的什么條件等價于q是?p的什么條件．〔變式訓練2〕(1)(角度1)(2024·江西贛州十四縣市高三上期中改編)角A，B是△ABC的兩個內角．下列四個條件下，“A>B”的充要條件是(A)A．sinA>sinB B．cosA>cosBC．tanA>tanB D．cos2A>cos2B(2)(角度2)(2024·山東省試驗中學高三診斷)已知p：x≥k，q：(x＋1)(2－x)<0.假如p是q的充分不必要條件，那么實數(shù)k的取值范圍是(B)A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)C．[1，＋∞) D．(