江蘇省鹽城市經(jīng)開區(qū)2024-2025學年九年級上學期期中數(shù)學試卷

2024-2025學年江蘇省鹽城市經(jīng)開區(qū)九年級（上）期中數(shù)學試卷一、選擇題（每題3分，計24分）1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（）A．3x2﹣6x+2 B．a(chǎn)x2﹣bx+c＝0 C． D．x2＝02．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣4＝0，配方正確的是（）A．（x﹣1）2＝3 B．（x﹣1）2＝4 C．（x﹣1）2＝5 D．（x+1）2＝33．（3分）如圖，已知四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，且∠ABC＝120°，那么∠AOC等于（）A．125° B．120° C．110° D．100°4．（3分）一個等腰三角形的兩條邊長分別是方程x2﹣9x+18＝0的兩根，則該等腰三角形的周長是（）A．12 B．9 C．15 D．12或155．（3分）如圖，小球從A口往下落，在每個交叉口都有向左或向右兩種可能，且可能性相同，則小球最終從G口落出的概率為（）A． B． C． D．6．（3分）電影《長津湖》講述了一段波瀾壯闊的歷史，一上映就獲得全國人民的追捧，某地第一天票房約3億元，以后每天票房按相同的增長率增長，三天后票房收入累計達10億元，若把增長率記作x，則方程可以列為（）A．3（1+x）＝10 B．3（1+x）2＝10 C．3+3（1+x）2＝10 D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝107．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，圓上的點D與點C，E分布在直線的兩側，∠BCD＝50°，則∠AED＝（）A．60° B．50° C．45° D．40°8．（3分）圖1是一個地鐵站入口的雙翼閘機．如圖2，它的雙翼展開時，雙翼邊緣的端點A與B之間的距離為10cm，雙翼的弧AP與弧BQ的長都為12π，且與閘機側立面夾角∠PCA＝∠BDQ＝30°．當雙翼收起時，可以通過閘機的物體的最大寬度為（）A．72cm B． C． D．82cm二、填空題（每題3分，計30分）9．（3分）一組數(shù)據(jù)19，15，10，x，4，它的中位數(shù)是13，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是．10．（3分）已知一元二次方程ax2+bx﹣5＝0的其中一個根為x＝2，則的值為．11．（3分）關于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，那么m的取值范圍是．12．（3分）已知，如圖AB，AD是⊙O的弦，∠B＝30°，點C在弦AB上，連結CO并延長交⊙O于點D，∠D＝35°，則∠BAD的度數(shù)是．13．（3分）雙減政策落地，各地學校大力提升學生核心素養(yǎng)，學生的綜合評價分學習、體育和藝術三部分，學習成績、體育成績與藝術成績按5：3：2計入綜合評價，若底底學習成績?yōu)?0分，體育成績?yōu)?0分，藝術成績?yōu)?5分，則他的綜合評價得分為．14．（3分）設m、n為關于x的方程x2+4x﹣2023＝0的兩個實數(shù)根，則m2+5m+n＝．15．（3分）某天的體育課上，老師測量了班級同學的身高，恰巧小明今日請假沒來，經(jīng)過計算得知，除了小明外，該班其他同學身高的平均數(shù)為170cm，方差為acm2．第二天，小明來到學校，老師幫他補測了身高，發(fā)現(xiàn)他的身高也是170cm，此時全班同學身高的方差為bcm2，那么a與b的大小關系是ab．（填“＜”，“＞”或“＝”）16．（3分）已知﹣2是三次方程x3+bx+c＝0的唯一實數(shù)根，求c的取值范圍．下面是小麗的解法：解：因為﹣2是三次方程x3+bx+c＝0的唯一實數(shù)根，所以（x+2）（x2+mx+n）＝x3+bx+c可得m＝﹣2，n＝c．再由Δ＝m2﹣4n＜0．得出c＞2．根據(jù)小麗的解法，則b的取值范圍是．17．（3分）如圖，AB、AC是⊙O的兩條弦，∠A＝30°，過點C的切線與OB的延長線交于點D，則∠D＝°．18．（3分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，⊙O與邊BC，CD相切，現(xiàn)有一條過點B的直線與⊙O相切于點E，連接BE，△ABE恰為等邊三角形，則⊙O的半徑為．三、解答題（共9題，計96分）19．解方程：（1）4（x﹣1）2﹣9＝0；（2）x2﹣2x﹣5＝0；20．“秋風響，蟹腳癢”，正是食蟹好時節(jié)．某蟹農(nóng)在今年五月中旬向自家蟹塘投放蟹苗1200只，為趕在食蟹旺季前上市銷售，該蟹農(nóng)于九月中旬在蟹塘中隨機試捕了4次，獲得如下數(shù)據(jù)：數(shù)量/只平均每只蟹的質量/g第1次試捕4166第2次試捕4167第3次試捕6168第4次試捕6170（1）四次試捕中平均每只蟹的質量為g；（2）若蟹苗的成活率為75%，試估計蟹塘中蟹的總質量為kg；（3）若第3次試捕的蟹的質量（單位：g）分別為：166，170，172，a，169，167．①a＝；②求第3次試捕所得蟹的質量數(shù)據(jù)的方差．21．唐代李皋發(fā)明了“槳輪船”，這種船是原始形態(tài)的輪船，是近代明輪航行模式之先導．如圖，某槳輪船的輪子被水面截得的弦AB長8m，設圓心為O，OC⊥AB交水面AB于點D，輪子的吃水深度CD為2m，求該槳輪船的輪子直徑．22．已知，△ABC內(nèi)接于⊙O，AC為⊙O的直徑，點D為優(yōu)弧BC的中點．（1）如圖1，連接OD，求證：DO⊥BC；（2）如圖2，過點D作DE⊥AC，垂足為E．若AE＝3，BC＝8，求⊙O的半徑．23．已知關于x的一元二次方程2x2+（m+3）x﹣1+m＝0．求證：無論m取何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根．24．如果關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有兩個實數(shù)根，且其中一個根比另一個根大1，那么稱這樣的方程為“鄰根方程”．例如，一元二次方程x2+x＝0的兩個根是x1＝0，x2＝﹣1，則方程x2+x＝0是“鄰根方程”．（1）通過計算，判斷下列方程是否是“鄰根方程”：①x2﹣x﹣6＝0；②2x2﹣2x+1＝0．（2）已知關于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常數(shù)）是“鄰根方程”，求m的值；（3）若關于x的方程ax2+bx+1＝0（a、b是常數(shù)，a＞0）是“鄰根方程”，令t＝8a﹣b2，試求t的最大值．（只寫出最終答案）．25．小明大學畢業(yè)后和同學創(chuàng)業(yè)，合伙開了一家網(wǎng)店，暑期銷售原創(chuàng)設計的手繪圖案T恤衫．已知每件T恤衫的成本價為60元，當銷售價為100元時，每天能售出20件；經(jīng)過一段時間銷售發(fā)現(xiàn)，當銷售價每降低1元時，每天就能多售出2件．（1）若降價8元，則每天銷售T恤衫的利潤為多少元？（2）小明希望每天獲得的利潤達到1050元并且優(yōu)惠最大，則每件T恤衫的銷售價應該定為多少？26．如圖，⊙O是直角三角形ABC的外接圓，直徑AC＝4，過C點作⊙O的切線，與AB延長線交于點D，M為CD的中點，連接BM，OM，且BC與OM相交于點N．（1）求證：BM與⊙O相切；（2）當∠A＝60°時，在⊙O的圓上取點F，使∠ABF＝15°，補全圖形，并求點F到直線AB的距離．27．課本改編（1）如圖1，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，AC為⊙O的直徑，則∠B＝∠D＝度，∠BAD+∠BCD＝度．（2）如果⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD的對角線AC不是⊙O的直徑，如圖2，求證：圓內(nèi)接四邊形的對角互補．知識運用（3）如圖3，等腰三角形ABC的腰AB是⊙O的直徑，底邊和另一條腰分別與⊙O交于點D，E，F(xiàn)是線段CE的中點，連接DF，求證：DF是⊙O的切線．

2024-2025學年江蘇省鹽城市經(jīng)開區(qū)九年級（上）期中數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（每題3分，計24分）1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（）A．3x2﹣6x+2 B．a(chǎn)x2﹣bx+c＝0 C． D．x2＝0【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程的定義（含有一個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程）進行判斷即可．【解答】解：A．不是方程，故此選項不符合題意；B．當a＝0時，ax2﹣bx+c＝0不是一元二次方程，故此選項不符合題意；C．是分式方程，故此選項不符合題意；D．x2＝0是一元二次方程，故此選項符合題意．故選：D．【點評】本題考查了一元二次方程的定義，解題時要注意兩個方面：1、一元二次方程包括三點：①是整式方程，②只含有一個未知數(shù)，③所含未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2；2、一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a≠0）．2．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣4＝0，配方正確的是（）A．（x﹣1）2＝3 B．（x﹣1）2＝4 C．（x﹣1）2＝5 D．（x+1）2＝3【答案】C【分析】此題考查了配方法解一元二次方程，解題時要注意解題步驟的準確使用，把左邊配成完全平方式，右邊化為常數(shù)．【解答】解：∵x2﹣2x﹣4＝0∴x2﹣2x＝4∴x2﹣2x+1＝4+1∴（x﹣1）2＝5故選：C．【點評】此題主要考查了解一元二次方程的解法﹣﹣﹣配方法，配方法的一般步驟：（1）把常數(shù)項移到等號的右邊；（2）把二次項的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數(shù)為1，一次項的系數(shù)是2的倍數(shù)．3．（3分）如圖，已知四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，且∠ABC＝120°，那么∠AOC等于（）A．125° B．120° C．110° D．100°【答案】B【分析】先根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質求出∠D，再利用圓周角定理解答．【解答】解：∵ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠ABC＝120°，∴∠D＝180°﹣∠B＝60°，∴∠AOC＝2∠D＝120°．故選：B．【點評】本題利用了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質求解．4．（3分）一個等腰三角形的兩條邊長分別是方程x2﹣9x+18＝0的兩根，則該等腰三角形的周長是（）A．12 B．9 C．15 D．12或15【答案】C【分析】利用因式分解法求出x的值，再根據(jù)等腰三角形的性質分情況討論求解．【解答】解：∵x2﹣9x+18＝0，∴（x﹣3）（x﹣6）＝0，則x﹣3＝0或x﹣6＝0，解得x＝3或x＝6，當3是腰時，三角形的三邊分別為3、3、6，不能組成三角形；當6是腰時，三角形的三邊分別為3、6、6，能組成三角形，周長為3+6+6＝15．故選：C．【點評】本題考查了因式分解法解一元二次方程，三角形的三邊關系，等腰三角形的性質，要注意分情況討論求解．5．（3分）如圖，小球從A口往下落，在每個交叉口都有向左或向右兩種可能，且可能性相同，則小球最終從G口落出的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)“在每個交叉口都有向左或向右兩種可能，且可能性相等”可知在點B、C、D處都是等可能情況，從而得到在四個出口E、F、G、H也都是等可能情況，然后根據(jù)概率的意義列式即可得解．【解答】解：由圖可知，在每個交叉口都有向左或向右兩種可能，且可能性相等，小球最終落出的點共有E、F、G、H四個，所以，最終從點G落出的概率為，故選：C．【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法，讀懂題目信息，得出所給的圖形的對稱性以及可能性相等是解題的關鍵，用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．6．（3分）電影《長津湖》講述了一段波瀾壯闊的歷史，一上映就獲得全國人民的追捧，某地第一天票房約3億元，以后每天票房按相同的增長率增長，三天后票房收入累計達10億元，若把增長率記作x，則方程可以列為（）A．3（1+x）＝10 B．3（1+x）2＝10 C．3+3（1+x）2＝10 D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝10【答案】D【分析】若把增長率記作x，則第二天票房約為3（1+x）億元，第三天票房約為3（1+x）2億元，根據(jù)三天后票房收入累計達10億元，即可得出關于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：若把增長率記作x，則第二天票房約為3（1+x）億元，第三天票房約為3（1+x）2億元，依題意得：3+3（1+x）+3（1+x）2＝10．故選：D．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．7．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，圓上的點D與點C，E分布在直線的兩側，∠BCD＝50°，則∠AED＝（）A．60° B．50° C．45° D．40°【答案】D【分析】根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得出∠ACB＝90°，結合∠BCD＝50°，可求∠ACD的度數(shù)，然后根據(jù)圓周角定理求解即可．【解答】解：連接AC，∵AB是⊙O的直徑，圓上的點D與點C，E分布在直線的兩側，∴∠ACB＝90°，∵∠BCD＝50°，∴∠AED＝∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝90°﹣50°＝40°，故選：D．【點評】本題考查了圓周角定理，掌握圓周角定理是解題的關鍵．8．（3分）圖1是一個地鐵站入口的雙翼閘機．如圖2，它的雙翼展開時，雙翼邊緣的端點A與B之間的距離為10cm，雙翼的弧AP與弧BQ的長都為12π，且與閘機側立面夾角∠PCA＝∠BDQ＝30°．當雙翼收起時，可以通過閘機的物體的最大寬度為（）A．72cm B． C． D．82cm【答案】D【分析】過點A作AE⊥CP，過點B作BF⊥DQ，在Rt△ACE中，可求得，同理可求得，再由弧長公式可求得AE＝BF＝36cm，即可求解．【解答】解：過點B作BF⊥DQ，過點A作AE⊥CP，如圖，∵∠PCA＝30°，∠BDQ＝30°，∴，，∵∠PCA＝∠BDQ＝30°，雙翼的弧AP與弧BQ的長都為12π，∴，，∴AC＝BD＝72cm，∴AE＝BF＝36cm，∵雙翼邊緣的端點A與B之間的距離為10cm，∴當雙翼收起時，可以通過閘機的物體的最大寬度為36+36+10＝82（cm），故選：D．【點評】本題考查了解直角三角形的應用、勾股定理的應用、圓周角定理等知識，解直角三角形的一般過程是：①將實際問題抽象為數(shù)學問題（畫出平面圖形，構造出直角三角形轉化為解直角三角形問題）．②根據(jù)題目已知特點選用適當銳角三角函數(shù)或邊角關系去解直角三角形，得到數(shù)學問題的答案，再轉化得到實際問題的答案．二、填空題（每題3分，計30分）9．（3分）一組數(shù)據(jù)19，15，10，x，4，它的中位數(shù)是13，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是12.2．【答案】12.2．【分析】由中位數(shù)的定義“將數(shù)據(jù)按大小順序排列起來，形成一個數(shù)列，居于數(shù)列中間位置的那個數(shù)據(jù)”即可判斷出x的值，再利用求平均數(shù)的公式求出結果即可．【解答】解：∵這組數(shù)據(jù)由5個數(shù)組成，為奇數(shù)個，且中位數(shù)為13，∴x＝13，∴這組數(shù)據(jù)為4，19，10，13，15，∴這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)．故答案為：12.2．【點評】本題考查中位數(shù)，求平均數(shù)，掌握中位數(shù)的定義和求平均數(shù)公式是解答本題的關鍵．10．（3分）已知一元二次方程ax2+bx﹣5＝0的其中一個根為x＝2，則的值為7．【答案】7．【分析】代數(shù)式求值，先得出，再代入即可．【解答】解：由條件可知：4a+2b﹣5＝0，∴2（2a+b）＝5，∴，∴，故答案為：7．【點評】本題考查一元二次方程的解，熟練掌握一元二次方程的解是關鍵．11．（3分）關于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，那么m的取值范圍是．【答案】．【分析】關于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，即判別式Δ＝b2﹣4ac≥0．即可得到關于m的不等式，從而求得m的范圍．【解答】解：原方程可化為：x2+（m﹣1）x+＝0，∵一元二次方程有兩個實數(shù)根，∴，解得，故答案為：．【點評】此題考查了根的判別式，用到的知識點是一元二次方程根的情況與判別式△的關系：（1）Δ＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）Δ＝0?方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）Δ＜0?方程沒有實數(shù)根．12．（3分）已知，如圖AB，AD是⊙O的弦，∠B＝30°，點C在弦AB上，連結CO并延長交⊙O于點D，∠D＝35°，則∠BAD的度數(shù)是65°．【答案】65°．【分析】連接OA，根據(jù)圓的半徑都相等即可求出答案．【解答】解：連接OA，∴OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∵OA＝OD，∴∠D＝∠DAO＝35°，∴∠BAD＝35°+30°＝65°，故答案為：65°．【點評】本題考查圓周角定理，解題的關鍵是構造出輔助線OA，本題屬于基礎題型．13．（3分）雙減政策落地，各地學校大力提升學生核心素養(yǎng)，學生的綜合評價分學習、體育和藝術三部分，學習成績、體育成績與藝術成績按5：3：2計入綜合評價，若底底學習成績?yōu)?0分，體育成績?yōu)?0分，藝術成績?yōu)?5分，則他的綜合評價得分為86分．【答案】86分．【分析】根據(jù)加權平均數(shù)的計算方法即可求解．【解答】解：他的綜合評價得分為：＝86（分）．故答案為：86分．【點評】本題考查加權平均數(shù)，解答本題的關鍵是明確題意，利用加權平均數(shù)的計算方法解答．14．（3分）設m、n為關于x的方程x2+4x﹣2023＝0的兩個實數(shù)根，則m2+5m+n＝2019．【答案】2019．【分析】先根據(jù)m是x2+4x﹣2023＝0的一個實數(shù)根，得出m2+4m﹣2023＝0，利用一元二次方程根與系數(shù)的關系得出m+n＝﹣4，然后對原式進行變形后整體代入即可得出答案．【解答】解：∵m是一元二次方程x2+4x﹣2023＝0的一個實數(shù)根，∴m2+4m﹣2023＝0，即m2+4m＝2023，由一元二次方程根與系數(shù)的關系得出m+n＝﹣4，∴m2+5m+n＝m2+4m+（m+n）＝2023+（﹣4）＝2019．故答案為：2019．【點評】本題主要考查一元二次方程的根及根與系數(shù)的關系，掌握一元二次方程根與系數(shù)的關系是解題的關鍵．15．（3分）某天的體育課上，老師測量了班級同學的身高，恰巧小明今日請假沒來，經(jīng)過計算得知，除了小明外，該班其他同學身高的平均數(shù)為170cm，方差為acm2．第二天，小明來到學校，老師幫他補測了身高，發(fā)現(xiàn)他的身高也是170cm，此時全班同學身高的方差為bcm2，那么a與b的大小關系是a＞b．（填“＜”，“＞”或“＝”）【答案】＞．【分析】直接利用方差的求法分析得出答案．【解答】解：∵當多一個人時，由于身高等于平均數(shù)，∴方差公式中分子不變，∵本班身高方差不是0，此時分母擴大，∴方差將減小，即a＞b．故答案為：＞．【點評】此題主要考查了方差，正確掌握方差公式是解題關鍵．16．（3分）已知﹣2是三次方程x3+bx+c＝0的唯一實數(shù)根，求c的取值范圍．下面是小麗的解法：解：因為﹣2是三次方程x3+bx+c＝0的唯一實數(shù)根，所以（x+2）（x2+mx+n）＝x3+bx+c可得m＝﹣2，n＝c．再由Δ＝m2﹣4n＜0．得出c＞2．根據(jù)小麗的解法，則b的取值范圍是b＞﹣3．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)小麗的解法，可知：b＝n+2m，且n＞﹣1，代入可得b的取值范圍．【解答】解：因為﹣2是三次方程x3+bx+c＝0的唯一實數(shù)根，所以（x+2）（x2+mx+n）＝x3+bx+c，x3+mx2+nx+2x2+2mx+2n＝x3+bx+c，x3+（m+2）x2+（n+2m）x+2n＝x3+bx+c，則，可得m＝﹣2，n＝c，再由Δ＝m2﹣4n＜0，4﹣4n＜0，n＞1，∴n﹣4＞﹣3，∵b＝n+2m＝n﹣4，∴b＞﹣3，故答案為：b＞﹣3．【點評】本題是高次方程，考查了高次方程解的情況，解題思路是降次，根據(jù)一元二次方程和一次方程解的情況進行解答．17．（3分）如圖，AB、AC是⊙O的兩條弦，∠A＝30°，過點C的切線與OB的延長線交于點D，則∠D＝30°．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】連接OC，如圖，根據(jù)切線的性質得∠OCD＝90°，再根據(jù)圓周角定理得到∠BOC＝2∠A＝60°，然后利用互余計算∠D的度數(shù)．【解答】解：連接OC，如圖，∵CD為切線，∴OC⊥CD，∴∠OCD＝90°，∵∠BOC＝2∠A＝60°，∴∠D＝90°﹣∠COD＝30°．故答案為30．【點評】本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑，構造定理圖，得出垂直關系．18．（3分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，⊙O與邊BC，CD相切，現(xiàn)有一條過點B的直線與⊙O相切于點E，連接BE，△ABE恰為等邊三角形，則⊙O的半徑為6﹣3．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】過O點作GH⊥BC于G，交BE于H，連接OB、OE，根據(jù)BE＝AB＝3，結合切線的性質得出BG＝BE＝3，通過解直角三角形求得GH＝，BH＝2，設OG＝OE＝x，則EH＝2﹣3，OH＝﹣x，根據(jù)勾股定理列出（2﹣3）2+x2＝（﹣x）2從而求得x＝6﹣3，即可求得⊙O的半徑為6﹣3．【解答】解：過O點作GH⊥BC于G，交BE于H，連接OB、OE，∴G是BC的切點，OE⊥BH，∴BG＝BE，∵△ABE為等邊三角形，∴BE＝AB＝3，∴BG＝BE＝3，∵∠HBG＝30°，∴GH＝，BH＝2，設OG＝OE＝x，則EH＝2﹣3，OH＝﹣x，在RT△OEH中，EH2+OE2＝OH2，即（2﹣3）2+x2＝（﹣x）2解得x＝6﹣3∴⊙O的半徑為6﹣3．故答案為：6﹣3．【點評】本題考查了矩形的性質，正方形的判定和性質，切線的性質等，作出輔助線證得四邊形OGCH是正方形是解題的關鍵．三、解答題（共9題，計96分）19．解方程：（1）4（x﹣1）2﹣9＝0；（2）x2﹣2x﹣5＝0；【答案】（1）x1＝﹣，x2＝﹣；（2），．【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）利用配方法解方程．【解答】解：（1）[2（x﹣1）]2﹣32＝0，（2x﹣2+3）（2x﹣2﹣3）＝0，∴2x+1＝0，2x+5＝0，解得：x1＝﹣，x2＝﹣；（2）x2﹣2x＝5，x2﹣2x+1＝5+1，（x﹣1）2＝6，∴，解得：，．【點評】本題考查解一元二次方程，解題的關鍵是掌握解一元二次方程的一般方法（直接開平方法、配方法、公式法和因式分解法）并根據(jù)情況靈活選用適當?shù)姆椒ń夥匠碳纯桑?0．“秋風響，蟹腳癢”，正是食蟹好時節(jié)．某蟹農(nóng)在今年五月中旬向自家蟹塘投放蟹苗1200只，為趕在食蟹旺季前上市銷售，該蟹農(nóng)于九月中旬在蟹塘中隨機試捕了4次，獲得如下數(shù)據(jù)：數(shù)量/只平均每只蟹的質量/g第1次試捕4166第2次試捕4167第3次試捕6168第4次試捕6170（1）四次試捕中平均每只蟹的質量為168g；（2）若蟹苗的成活率為75%，試估計蟹塘中蟹的總質量為151.2kg；（3）若第3次試捕的蟹的質量（單位：g）分別為：166，170，172，a，169，167．①a＝164；②求第3次試捕所得蟹的質量數(shù)據(jù)的方差．【答案】（1）168；（2）151.2；（3）①164；②7．【分析】（1）根據(jù)加權平均數(shù)的公式列式計算即可；（2）先求出成活蟹的只數(shù)，再根據(jù)總質量＝平均質量×總只數(shù)列式計算即可；（3）①根據(jù)平均數(shù)的定義列式計算即可；②根據(jù)方差公式計算即可．【解答】解：（1）四次試捕中平均每只蟹的質量為＝168（g）．故答案為：168；（2）∵蟹苗的成活率為75%，∴成活蟹的只數(shù)為1200×75%＝900（只），∴估計蟹塘中蟹的總質量為168×900＝151200（g）＝151.2（kg）．故答案為：151.2；（3）①166+170+172+a+169+167＝168×6，∴a＝164．故答案為：164；②S2＝×[（166﹣168）2+（170﹣168）2+（172﹣168）2+（164﹣168）2+（169﹣168）2+（167﹣168）2]＝7．即第3次試捕所得蟹的質量數(shù)據(jù)的方差為7．【點評】本題考查方差的定義：一般地設n個數(shù)據(jù)，x1，x2，…xn的平均數(shù)為，則方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一組數(shù)據(jù)的波動大小，方差越大，波動性越大，反之也成立．也考查了加權平均數(shù)以及利用樣本估計總體．21．唐代李皋發(fā)明了“槳輪船”，這種船是原始形態(tài)的輪船，是近代明輪航行模式之先導．如圖，某槳輪船的輪子被水面截得的弦AB長8m，設圓心為O，OC⊥AB交水面AB于點D，輪子的吃水深度CD為2m，求該槳輪船的輪子直徑．【答案】該槳輪船的輪子直徑為10m．【分析】本題先表示OD＝（r﹣2）m，求解AD＝4m，再利用勾股定理建立方程求解即可．【解答】解：設半徑為rm，則OA＝OC＝rm，∴OD＝（r﹣2）m．∵AB＝8m，OC⊥AB，∴AD＝4m．在Rt△ODA中有OA2＝OD2+AD2，即r2＝（r﹣2）2+4，解得r＝5m則該槳輪船的輪子直徑為10m．【點評】本題考查了垂徑定理，勾股定理，根據(jù)題意在圓內(nèi)構建直角三角形，利用勾股定理求出直徑是解答本題的關鍵．22．已知，△ABC內(nèi)接于⊙O，AC為⊙O的直徑，點D為優(yōu)弧BC的中點．（1）如圖1，連接OD，求證：DO⊥BC；（2）如圖2，過點D作DE⊥AC，垂足為E．若AE＝3，BC＝8，求⊙O的半徑．【答案】（1）見詳解；（2）．【分析】（1）延長DO交BC于F，根據(jù)垂徑定理的推論可得DF⊥BC，即DO⊥BC；（2）連接DO并延長交BC于F，易得DF⊥CB，進而可得，再證明△DOE≌△COF，根據(jù)全等三角形的性質得到OF＝OE＝OA﹣AE，然后在Rt△COF中，根據(jù)勾股定理求解即可．【解答】（1）證明：如圖1，延長DO交BC于F，∵點D為優(yōu)弧BC的中點，∴，∴DF⊥BC，即DO⊥BC；（2）解：連接DO并延長交BC于F，設⊙O的半徑為x，∵點D為優(yōu)弧BC的中點，BC＝8，AE＝3，∴，∴DF⊥CB，∴，∵DE⊥AC，∴∠DEO＝∠OFC＝90°，∵OC＝OD，∠DOE＝∠COF，∴△DOE≌△COF（AAS），∴OF＝OE＝OA﹣AE＝x﹣3，∴OC2＝OF2+CF2，即x2＝（x﹣3）2+42，解得，∴⊙O的半徑為．【點評】本題主要考查垂徑定理的推論、全等三角形的判定和性質、勾股定理等知識，正確的作出輔助線是解題的關鍵．23．已知關于x的一元二次方程2x2+（m+3）x﹣1+m＝0．求證：無論m取何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根．【答案】見解析．【分析】一元二次方程ax2+bxc＝0（a≠0）的根的判別式是Δ＝b2﹣4ac，當Δ＞0時方程有兩個不相等的實數(shù)根，當Δ＝0時方程有兩個相等的實數(shù)根，當Δ＜0時方程沒有實數(shù)根．一元二次方程2x2+（m+3）x﹣1+m＝0的根的判別式為Δ＝（m﹣1）2+16＞0，所以一元二次方程2x2+（m+3）x﹣1+m＝0總有兩個不相等的實數(shù)根．【解答】證明：一元二次方程2x2+（m+3）x﹣1+m＝0中，a＝2，b＝m+3，c＝﹣1+m，∴Δ＝b2﹣4ac＝（m+3）2﹣4×2×（﹣1+m）＝m2﹣2m+17＝（m2﹣2m+1）+16＝（m﹣1）2+16≥16＞0，∴一元二次方程2x2+（m+3）x﹣1+m＝0總有兩個不相等的實數(shù)根．【點評】本題考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握判別式的應用是關鍵．24．如果關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有兩個實數(shù)根，且其中一個根比另一個根大1，那么稱這樣的方程為“鄰根方程”．例如，一元二次方程x2+x＝0的兩個根是x1＝0，x2＝﹣1，則方程x2+x＝0是“鄰根方程”．（1）通過計算，判斷下列方程是否是“鄰根方程”：①x2﹣x﹣6＝0；②2x2﹣2x+1＝0．（2）已知關于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常數(shù)）是“鄰根方程”，求m的值；（3）若關于x的方程ax2+bx+1＝0（a、b是常數(shù)，a＞0）是“鄰根方程”，令t＝8a﹣b2，試求t的最大值．（只寫出最終答案）．【答案】（1）x2﹣x﹣6＝0不是鄰根方程；是鄰根方程；（2）m＝0或m＝﹣2．（3）4．【分析】（1）根據(jù)解一元二次方程的方法求出已知方程的兩個根，再計算兩根的差是否為1，從而確定方程是否為“鄰根方程”；（2）先解方程求得其根，再根據(jù)新定義列出關于m的方程，注意有兩種情況；（3）根據(jù)新定義得方程的大根與小根的差為1，列出a與b的關系式，再由t＝8a﹣b2，得t與a的關系，化簡即可．【解答】解：（1）①x2﹣x﹣6＝0，（x﹣3）（x+2）＝0，∴x﹣3＝0或x+2＝0，∴x1＝3，x2＝﹣2，∵x1﹣x2＝5≠1，∴不符合鄰根方程的定義，∴x2﹣x﹣6＝0不是鄰根方程；②，∵a＝2，，c＝1，∴，∴，∴，，∴x1﹣x2＝1，∴符合鄰根方程的定義，∴是鄰根方程；（2）關于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常數(shù)）是鄰根方程，解方程可得：x1＝m，x2＝﹣1，∴|x1﹣x2|＝|m﹣（﹣1）|＝|m+1|＝1，∴m1＝0，m2＝﹣2，∴m＝0或m＝﹣2．（3）∵關于x的方程ax2+bx+1＝0（a、b是常數(shù)，a＞0）是鄰根方程，設兩個根為x1、x2，∴|x1﹣x2|＝1，∵，，∴，∴b2＝a2+4a，∴t＝8a﹣b2＝﹣a2+4a＝﹣（a﹣2）2+4，∴當a＝2時，t最大值＝4．【點評】本題考查一元二次方程，解題的關鍵是熟練運用一元二次方程的解法以及正確理解“鄰根方程”的定義，本題屬于中等題型．25．小明大學畢業(yè)后和同學創(chuàng)業(yè)，合伙開了一家網(wǎng)店，暑期銷售原創(chuàng)設計的手繪圖案T恤衫．已知每件T恤衫的成本價為60元，當銷售價為100元時，每天能售出20件；經(jīng)過一段時間銷售發(fā)現(xiàn)，當銷售價每降低1元時，每天就能多售出2件．（1）若降價8元，則每天銷售T恤衫的利潤為多少元？（2）小明希望每天獲得的利潤達到1050元并且優(yōu)惠最大，則每件T恤衫的銷售價應該定為多少？【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)利潤＝（原來售價﹣降價﹣成本價）×銷售量列式求解即可；（2）設此時每件T恤衫降價x元，根據(jù)利潤＝（原來售價﹣降價﹣成本價）×銷售量列出方程求解即可．【解答】解：（1）由題意得，每天銷售T恤衫的利潤為：（100﹣8﹣60）×（20+2×8）＝1152（元）．答：降價8元，則每天銷售T恤衫的利潤為1152元．（2）設此時每件T恤衫降價x元，由題意得，（100﹣x﹣60）（20+2x）＝1050，整理得x2﹣30x+125＝0，解得x＝5或x＝25．又∵優(yōu)惠最大，∴x＝25．∴此時售價為100﹣25＝75（元）．答：小明希望每天獲得的利潤達到1050元并且優(yōu)惠最大，則每件T恤衫的銷售價應該定為75元．【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的應用，關鍵是根據(jù)題意找到等量關系式．26．如圖，⊙O是直角三角形ABC的外接圓，直徑AC＝4，過C點作⊙O的切線，與AB延長線交于點D，M為CD的中點，連接BM，OM，且BC與OM相交于點N．（1）求證：BM與⊙O相切；（2）當∠A＝60°時，在⊙O的圓上取點F，使∠ABF＝15°，補全圖形，并求點F到直線AB的距離．【答案】（1）見解析；（2）點F到直線AB的距離為：2﹣或﹣1．【分析】（1）根據(jù)題意可得OM∥AD，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，得出∠ABC＝90°，進而得出OM⊥BC，證明△OBM≌△OCM，得出∠OBM＝90°，即可得證；（2）分點F在以及半圓AOC上，分別