新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)第10章 計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布（測(cè)試）（原卷版）

第十章計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布（測(cè)試）時(shí)間：120分鐘分值：150分第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．從正整數(shù)1，2，……10中任意取出兩個(gè)不同的數(shù)，則取出的兩個(gè)數(shù)的和等于某個(gè)正整數(shù)的平方的概率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“任何一個(gè)大于SKIPIF1<0的偶數(shù)都可以寫(xiě)成兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如SKIPIF1<0.在不超過(guò)SKIPIF1<0的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取SKIPIF1<0個(gè)不同的數(shù)，其和等于SKIPIF1<0的概率是(注：若一個(gè)大于SKIPIF1<0的整數(shù)除了SKIPIF1<0和它本身外無(wú)其他因數(shù)，則稱(chēng)這個(gè)整數(shù)為素?cái)?shù))（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．在概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)中用協(xié)方差來(lái)衡量?jī)蓚€(gè)變量的總體誤差，對(duì)于離散型隨機(jī)變量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，定義協(xié)方差為SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的分布列如下表所示，其中SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（

）SKIPIF1<012SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<012SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．0 B．1 C．2 D．44．已知A，B，C為三個(gè)隨機(jī)事件且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0>0，則A，B，C相互獨(dú)立是A，B，C兩兩獨(dú)立的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．現(xiàn)有甲乙兩個(gè)箱子，分別裝有除顏色外其它都相同的黑色和白色兩種球，甲箱裝有2個(gè)白球3個(gè)黑球，乙箱有3個(gè)白球2個(gè)黑球，先從甲箱隨機(jī)取一個(gè)球放入乙箱，再?gòu)囊蚁潆S機(jī)取一個(gè)球是白球的概率是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．下列說(shuō)法中正確的是（

）①設(shè)隨機(jī)變量SKIPIF1<0服從二項(xiàng)分布SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0②已知隨機(jī)變量SKIPIF1<0服從正態(tài)分布SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0③2023年7月28日第31屆成都大學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)在成都隆重開(kāi)幕，將5名大運(yùn)會(huì)志愿者分配到游泳、乒乓球、籃球和排球4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行志愿者服務(wù)，每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有180種；④SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.A．②③ B．②③④ C．①②④ D．①②7．一個(gè)不透明的袋子中裝有3個(gè)黑球，n個(gè)白球SKIPIF1<0，這些球除顏色外大小、質(zhì)地完全相同，從中任意取出3個(gè)球，已知取出2個(gè)黑球，1個(gè)白球的概率為SKIPIF1<0，設(shè)X為取出白球的個(gè)數(shù)，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．28．在信道內(nèi)傳輸0，1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立．發(fā)送0時(shí)，收到1的概率為SKIPIF1<0，收到0的概率為SKIPIF1<0；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為SKIPIF1<0，收到1的概率為SKIPIF1<0．考慮兩種傳輸方案：?jiǎn)未蝹鬏敽腿蝹鬏敚畣未蝹鬏斒侵该總€(gè)信號(hào)只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)送3次．收到的信號(hào)需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：?jiǎn)未蝹鬏敃r(shí)，收到的信號(hào)即為譯碼；三次傳輸時(shí)，收到的信號(hào)中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到1，0，1的概率為SKIPIF1<0B．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1的概率為SKIPIF1<0C．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為SKIPIF1<0D．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．給定事件SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．若SKIPIF1<0，則A，B互為對(duì)立事件B．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且A，B互斥，則A，B不可能相互獨(dú)立C．SKIPIF1<0D．若A，B為相互獨(dú)立事件且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0【答案】BCD10．甲盒中有3個(gè)白球，2個(gè)黑球，乙盒中有2個(gè)白球，3個(gè)黑球，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．若從甲盒中一次性取出2個(gè)球，記SKIPIF1<0表示取出白球的個(gè)數(shù)，則SKIPIF1<0B．若從甲盒和乙盒中各取1個(gè)球，則恰好取出1個(gè)白球的概率為SKIPIF1<0C．若從甲盒中連續(xù)抽取3次，每次取1個(gè)球，每次抽取后都放回，則恰好得到2個(gè)白球的概率為SKIPIF1<0D．若從甲盒中取出1球放入乙盒中，再?gòu)囊液兄腥〕?球，記SKIPIF1<0：從乙盒中取出的1球?yàn)榘浊?，則SKIPIF1<011．若隨機(jī)變量SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0的密度曲線與SKIPIF1<0軸只有一個(gè)交點(diǎn) B．SKIPIF1<0的密度曲線關(guān)于SKIPIF1<0對(duì)稱(chēng)C．SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<012．學(xué)校食堂每天中午都會(huì)提供A，B兩種套餐供學(xué)生選擇（學(xué)生只能選擇其中的一種），經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)：學(xué)生第一天選擇A套餐的概率為SKIPIF1<0，選擇B套餐的概率為SKIPIF1<0.而前一天選擇了SKIPIF1<0套餐的學(xué)生第二天選擇A套餐的概率為SKIPIF1<0，選擇B套餐的概率為SKIPIF1<0；前一天選擇B套餐的學(xué)生第二天選擇A套餐的概率為SKIPIF1<0，選擇B套餐的概率也是SKIPIF1<0，如此反復(fù).記某同學(xué)第SKIPIF1<0天選擇SKIPIF1<0套餐的概率為SKIPIF1<0，選擇B套餐的概率為SKIPIF1<0.一個(gè)月（30天）后，記甲?乙?丙三位同學(xué)選擇SKIPIF1<0套餐的人數(shù)為SKIPIF1<0，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．6名同學(xué)相約在周末參加創(chuàng)建全國(guó)文明城市志愿活動(dòng)，現(xiàn)有交通值守、文明勸導(dǎo)、文藝宣講三種崗位需要志愿者，其中，交通值守、文明勸導(dǎo)崗位各需2人，文藝宣講崗位需1人．已知這6名同學(xué)中有4名男生，2名女生，現(xiàn)要從這6名同學(xué)中選出5人上崗，剩下1人留守值班．若兩名女生都已經(jīng)到崗，則她們不在同一崗位的概率為.14．若隨機(jī)變量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．15．甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行象棋比賽，采用五局三勝制（當(dāng)一人贏得三局時(shí)，該同學(xué)獲勝，比賽結(jié)束）.根據(jù)以往比賽成績(jī)，每局比賽中甲獲勝的概率都是SKIPIF1<0，且各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.若甲以SKIPIF1<0獲勝的概率不高于甲以SKIPIF1<0獲勝的概率，則SKIPIF1<0的取值范圍為.16．某人投籃命中的概率為0.3，投籃15次，最有可能命中次．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸。17．（10分）習(xí)近平總書(shū)記指出：“要健全社會(huì)心理服務(wù)體系和疏導(dǎo)機(jī)制、危機(jī)干預(yù)機(jī)制，塑造自尊自信、理性平和、親善友愛(ài)的社會(huì)心態(tài).”在2020年新冠肺炎疫情防控阻擊戰(zhàn)中，心理醫(yī)生的相關(guān)心理疏導(dǎo)起到了重要作用.某心理調(diào)查機(jī)構(gòu)為了解市民在疫情期的心理健康狀況，隨機(jī)抽取SKIPIF1<0位市民進(jìn)行心理健康問(wèn)卷調(diào)查，按所得評(píng)分（滿分SKIPIF1<0分）從低到高將心理健康狀況分為四個(gè)等級(jí)：調(diào)查評(píng)分SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0心理等級(jí)有隱患一般良好優(yōu)秀并繪制如圖所示的頻率分布直方圖.已知調(diào)查評(píng)分在SKIPIF1<0的市民為SKIPIF1<0人.

(1)求SKIPIF1<0的值及頻率分布直方圖中SKIPIF1<0的值；(2)在抽取的心理等級(jí)為“有隱患”的市民中，按照調(diào)查評(píng)分分層抽取SKIPIF1<0人，進(jìn)行心理疏導(dǎo).據(jù)以往數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，經(jīng)過(guò)心理疏導(dǎo)后，調(diào)查評(píng)分在SKIPIF1<0的市民心理等級(jí)轉(zhuǎn)為“良好”的概率為SKIPIF1<0，調(diào)查評(píng)分在SKIPIF1<0的市民心理等級(jí)轉(zhuǎn)為“良好”的概率為SKIPIF1<0，若經(jīng)過(guò)心理疏導(dǎo)后的恢復(fù)情況相互獨(dú)立，試問(wèn)在抽取的SKIPIF1<0人中，經(jīng)過(guò)心理疏導(dǎo)后，至少有一人心理等級(jí)轉(zhuǎn)為“良好”的概率為多少?18．（12分）隨著《2023年中國(guó)詩(shī)詞大會(huì)》在央視持續(xù)熱播，它將經(jīng)典古詩(shī)詞與新時(shí)代精神相結(jié)合，使古詩(shī)詞綻放出新時(shí)代的光彩，由此，它極大地鼓舞了人們學(xué)習(xí)古詩(shī)詞的熱情，掀起了學(xué)習(xí)古詩(shī)詞的熱潮.某省某校為了了解高二年級(jí)全部1000名學(xué)生學(xué)習(xí)古詩(shī)詞的情況，舉行了“古詩(shī)詞”測(cè)試，現(xiàn)隨機(jī)抽取100名學(xué)生，對(duì)其測(cè)試成績(jī)（滿分：100分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到樣本的頻率分布直方圖如圖所示.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這100名學(xué)生測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)（單位：分）；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）(2)若該校高二學(xué)生“古詩(shī)詞”的測(cè)試成績(jī)X近似服從正態(tài)分布SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0近似為樣本平均數(shù)，規(guī)定“古詩(shī)詞”的測(cè)試成績(jī)不低于87分的為“優(yōu)秀”，據(jù)此估計(jì)該校高二年級(jí)學(xué)生中成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)；（取整數(shù)）(3)現(xiàn)該校為迎接該省的2023年第三季度“中國(guó)詩(shī)詞大會(huì)”的選拔賽，在五一前夕舉行了一場(chǎng)校內(nèi)“詩(shī)詞大會(huì)”.該“詩(shī)詞大會(huì)”共有三個(gè)環(huán)節(jié)，依次為“詩(shī)詞對(duì)抗賽”“畫(huà)中有詩(shī)”“飛花令車(chē)輪戰(zhàn)”，規(guī)則如下：三個(gè)環(huán)節(jié)均參與，在前兩個(gè)環(huán)節(jié)中獲勝得1分，第三個(gè)環(huán)節(jié)中獲勝得4分，輸了不得分.若學(xué)生甲在三個(gè)環(huán)節(jié)中獲勝的概率依次為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，假設(shè)學(xué)生甲在各環(huán)節(jié)中是否獲勝是相互獨(dú)立的.記學(xué)生甲在這次“詩(shī)詞大會(huì)”中的累計(jì)得分為隨機(jī)變量SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列和數(shù)學(xué)期SKIPIF1<0.（參考數(shù)據(jù)：若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0..19．（12分）現(xiàn)有甲、乙、丙三個(gè)人相互傳接球，第一次從甲開(kāi)始傳球，甲隨機(jī)地把球傳給乙、丙中的一人，接球后視為完成第一次傳接球；接球者進(jìn)行第二次傳球，隨機(jī)地傳給另外兩人中的一人，接球后視為完成第二次傳接球；依次類(lèi)推，假設(shè)傳接球無(wú)失誤．設(shè)第SKIPIF1<0次傳球后，甲接到球的概率為SKIPIF1<0，(1)試證明數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列；(2)解釋隨著傳球次數(shù)的增多，甲接到球的概率趨近于一個(gè)常數(shù)．20．（12分）甲、乙兩位同學(xué)決定進(jìn)行一次投籃比賽，他們每次投中的概率均為P，且每次投籃相互獨(dú)立，經(jīng)商定共設(shè)定5個(gè)投籃點(diǎn)，每個(gè)投籃點(diǎn)投球一次，確立的比賽規(guī)則如下：甲分別在5個(gè)投籃點(diǎn)投球，且每投中一次可獲得1分；乙按約定的投籃點(diǎn)順序依次投球，如投中可繼續(xù)進(jìn)行下一次投籃，如沒(méi)有投中，投籃中止，且每投中一次可獲得2分.按累計(jì)得分高低確定勝負(fù)．(1)若乙得6分的概率SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(2)由（1）問(wèn)中求得的SKIPIF1<0值，判斷甲、乙兩位選手誰(shuí)獲勝的可能性大？21．（12分）(1)對(duì)于任意兩個(gè)事件SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0；(2)貝葉斯公式是由英國(guó)數(shù)學(xué)家貝葉斯發(fā)現(xiàn)的，它用來(lái)描述兩個(gè)條件概率之間的關(guān)系.該公式為：設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0是一組兩兩互斥的事件，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，2，…，SKIPIF1<0，則對(duì)任意的事件SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，2，…，SKIPIF1<0.（i）已知某地區(qū)煙民的肺癌發(fā)病率為1%，先用低劑量SKIPIF1<0進(jìn)行肺癌篩查，醫(yī)學(xué)研究表明，化驗(yàn)結(jié)果是存在錯(cuò)誤的.已知患有肺癌的人其化驗(yàn)結(jié)果99%呈陽(yáng)性（有?。?，而沒(méi)有患肺癌的人其化驗(yàn)結(jié)果99%呈陰性（無(wú)?。?，現(xiàn)某煙民的檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性，請(qǐng)問(wèn)他真的患肺癌的概率是多少？（ii）為了確保診斷無(wú)誤，一般對(duì)第一次檢查呈陽(yáng)性的煙民進(jìn)行復(fù)診.復(fù)診時(shí)，此人患肺癌的概率就不再是1%，這是因?yàn)榈谝淮螜z查呈陽(yáng)性，所以對(duì)其患肺癌的概率進(jìn)行修正，因此將用貝葉斯公式求出來(lái)的概率作為修正概率，請(qǐng)問(wèn)如果該煙民第二次檢查還是呈陽(yáng)性，則他真的患肺癌的概率是多少？22．（12分）