上海市徐匯區(qū)部分學(xué)校聯(lián)考2024-2025學(xué)年上學(xué)期九年級(jí)期中數(shù)學(xué)試卷（帶解析）

第1頁/共1頁2024學(xué)年第一學(xué)期初三數(shù)學(xué)階段練習(xí)試卷（完卷時(shí)間：100分鐘滿分：150分）考生注意：答題時(shí)，考生務(wù)必按答題要求在答題紙規(guī)定的位置上作答，在草稿紙、本試卷上答題一律無效．一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）1.“相似的圖形”是()A.形狀相同的圖形 B.大小不相同的圖形C.能夠重合的圖形 D.大小相同的圖形【答案】A【解析】【分析】根據(jù)相似形的定義直接進(jìn)行判斷即可．【詳解】相似圖形是形狀相同的圖形，大小可以相同，也可以不同，

故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了相似圖形的定義，解題的關(guān)鍵是了解相似圖形是形狀相同的圖形．2.在中，，，，那么的正弦值是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了正弦的定義；根據(jù)正弦的定義，即可求解．【詳解】解：如圖所示，在中，，，，∴,故選：D．3.已知非零向量與，那么下列說法正確的是（）A.如果，那么B.如果，那么；C.如果，那么；D.如果，那么．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量的定義可直接進(jìn)行排除選項(xiàng)．【詳解】A、如果，與的大小相等，但方向不一定相同，故錯(cuò)誤；B、如果，與的大小相等，但不一定平行，故錯(cuò)誤；C、如果，與的大小不一定相等，故錯(cuò)誤；D、如果，那么，故正確；故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查向量，正確理解向量的定義是解題的關(guān)鍵．4.如圖，下列能判斷BC∥ED的條件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理，對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)行分析即可得出答案．【詳解】∵，∴BC∥ED；故選C．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線分線段成比例，找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系，列出正確的比例式是解題的關(guān)鍵．5.如圖，在四邊形中，已知，那么補(bǔ)充下列條件后不能判定和相似的是（）A.平分 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查添加條件使三角形相似，根據(jù)相似三角形的判定方法，逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵平分，∴，∵，∴，故A選項(xiàng)不符合題意；∵，，∴，故B選項(xiàng)不符合題意；C選項(xiàng)無法判定和相似，不符合題意；∵，，∴，故D選項(xiàng)不符合題意；故選C．6.如圖，的兩條中線、交于點(diǎn)，且，連接并延長與交于點(diǎn)，如果，，那么下列結(jié)論不正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了三角形的中線和重心，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，由三角形的重心可得，，，即可由勾股定理得，，得到，即可判斷；由直角三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)而得，即得，即可判斷、，據(jù)此即可求解，掌握三角形的中線和重心的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵的兩條中線交于點(diǎn)，∴點(diǎn)是的重心，∴，，，∵，∴，，∴，故正確，不符合題意；錯(cuò)誤，符合題意；∵，是中點(diǎn)，∴，∴，∴，故、正確，不符合題意；故選：．二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）7.如果地圖上、兩處的圖距是，表示這兩地實(shí)際的距離是，那么實(shí)際距離是的兩地在地圖上的圖距是______．【答案】【解析】【分析】本題考查了比例線段，先設(shè)這個(gè)圖距是，根據(jù)圖上距離比上實(shí)際距離等于比例尺，可得關(guān)于的方程，即可求解，解題的關(guān)鍵是根據(jù)比例尺不變列出方程．【詳解】解：設(shè)這個(gè)圖距是，則，解得，故答案為：．8.已知線段a=9，c=4，如果線段b是a、c的比例中項(xiàng)，那么b=__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)比例中項(xiàng)可直接進(jìn)行列式求解．【詳解】解：由題意得：，∵a=9，c=4，∴，即；故答案為6．【點(diǎn)睛】本題主要考查比例中項(xiàng)，熟練掌握比例中項(xiàng)的定義是解題的關(guān)鍵．9.已知，那么的值為______．【答案】【解析】【分析】本題考查了比例的性質(zhì)，根據(jù)比例的性質(zhì)即可求解，掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，故答案為：．10.計(jì)算：=_______；【答案】3-2【解析】【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)與向量相乘法則即可解答.【詳解】=+3=3-2，故答案為3-2.【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)與向量相乘的運(yùn)算，理解運(yùn)算意義是解題關(guān)鍵.11.已知點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，，則______．【答案】【解析】【分析】本題考查了黃金分割，由題意得，然后把，代入計(jì)算求解即可，熟練掌握黃金分割是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，∴，∵，，∴，∴或（舍去），故答案為：．12.邊長為2的等邊三角形的重心到邊的距離是___________．【答案】##【解析】【分析】本題考查的是三角形的重心的概念、等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理求出高，根據(jù)重心的性質(zhì)計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，為等邊三角形，過A作，交于點(diǎn)D，則，，在中，由勾股定理可得：，則重心到邊的距離是為：，故答案為：．13.已知兩個(gè)相似三角形的面積之比是，那么這兩個(gè)三角形的周長之比是______．【答案】【解析】【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，由兩個(gè)相似三角形的面積比是，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，相似三角形的周長比等于相似比，即可求解，掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵兩個(gè)相似三角形的面積比是，∴這兩個(gè)相似三角形的相似比是，∴它們的周長比是，故答案為：．14.已知在Rt中，∠C=90°，BC=6，sinA=，那么AB=_____．【答案】9．【解析】【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出AB的值．【詳解】∵sinA=，∴AB==9，故答案為9．15.如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)在邊上，連接，交對(duì)角線于點(diǎn)．如果，，那么______．【答案】【解析】【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，由，則，再通過平行四邊形的性質(zhì)得，，則，由相似三角形的性質(zhì)得，最后由線段和差即可求解，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：．16.如圖，已知AD∥BE∥CF，它們依次交直線l1、l2于點(diǎn)A、B、C和D、E、F，如果AB＝6，BC＝10，那么的值是____．【答案】【解析】【分析】求出AC=6，根據(jù)平行線分線段成比例可得，代入可求得答案．【詳解】解：∵AB=6，BC=10，∴AC=AB+BC=16，∵AD∥BE∥FC，∴．故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線分線段成比例，掌握平行線分線段所得線段對(duì)應(yīng)成比例是解題的關(guān)鍵．17.如圖，在梯形中，，與交于點(diǎn)，，點(diǎn)在的延長線上，如果，那么______．【答案】##23【解析】【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積關(guān)系，先證得得出，，由得出，即可得出答案，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，∴故答案為：．18.如圖，在中，，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，將沿翻折，使得點(diǎn)落在點(diǎn)處，當(dāng)時(shí)，______．【答案】【解析】【分析】本題考查了解直角三角形，勾股定理，折疊的性質(zhì)，由勾股定理得，由折疊性質(zhì)可知：，，通過，得，從而求出，，然后由勾股定理即可求解，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，時(shí)，則，∵，，，∴，∵是的中點(diǎn)，∴，由折疊性質(zhì)可知：，，∴，∴，∴，，∴，在中，由勾股定理得，∴，∴，故答案為：．三、簡答題：（本大題共4題，每題10分，共40分）19.計(jì)算：【答案】【解析】【分析】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值的混合運(yùn)算，把特殊角的三角函數(shù)值代入算式計(jì)算即可求解，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：原式．20.如圖，在中，點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)．設(shè)，．（1）填空：向量______（用向量，的式子表示）．（2）在圖中作出向量在向量，方向上的分向量（不要求寫作法，但要指出所作圖中表示結(jié)論的向量）．【答案】（1）（2）作圖見解析【解析】【分析】（）首先利用平面向量三角形法則求得，然后由是邊的中點(diǎn)即可求解；（）過點(diǎn)作交于點(diǎn)，、即為向量在向量，方向上的分向量；本題考查了平面向量，掌握平行四邊形法則與三角形法則的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．小問1詳解】解：∵在中，，∴，∵是邊的中點(diǎn)，∴，故答案為：；【小問2詳解】解：如圖所示，向量和即為所求．21.如圖，已知，和相交于點(diǎn)，交于，，．（1）求的長；（2）如果的面積為，求的面積．【答案】（1）；（2）的面積為．【解析】【分析】（）先證明，然后由性質(zhì)得，通過性質(zhì)可得出，又，，則，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；（）由相似三角形的性質(zhì)即可求解；本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行公理及推論，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【小問1詳解】解：∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，即，∴；【小問2詳解】解：由（）得：，∴，∴，∵的面積為，∴，∴的面積為．22.設(shè)，是銳角的兩條高，連接．（1）求證：；（2）若，，求．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】【分析】（）根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等證明，根據(jù)性質(zhì)得，則又，根據(jù)判定方法即可求證；（）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和正弦的定義即可求解；本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【小問1詳解】證明：∵于，于，∴，又∵，∴，∴，∴，又∵，∴；【小問2詳解】解：由（）得，∴，∴，∴．四、解答題：（本大題共3題，23、24題每題12分，25題14分，共38分）23.已知：如圖，在四邊形中，，對(duì)角線、BD交于點(diǎn)，點(diǎn)在邊AB上，連接CF交線段于點(diǎn)，．（1）求證：；（2）連接，求證：．【答案】（1）見解析；（2）見解析.【解析】【分析】（1）先根據(jù)CG2=GE?GD得出，再由∠CGD=∠EGC可知△GCD∽△GEC，∠GDC=∠GCE．根據(jù)AB∥CD得出∠ABD=∠BDC，故可得出結(jié)論；（2）先根據(jù)∠ABD=∠ACF，∠BGF=∠CGE得出△BGF∽△CGE，故．再由∠FGE=∠BGC得出△FGE∽△BGC，進(jìn)而可得出結(jié)論．【詳解】（1）∵，∴．又∵，∴．∴．∵，∴．∴．（2）∵，，∴．∴．又∵，∴．∴．∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，熟知相似三角形的判定定理是解答此題的關(guān)鍵．24.已知：如圖，第一象限內(nèi)的點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖像上，點(diǎn)在軸上，軸，點(diǎn)的坐標(biāo)為，且．求：（1）反比例函數(shù)的解析式；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）的余弦值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】本題考查反比例函數(shù)與幾何圖形的應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、圖形與坐標(biāo)、銳角三角函數(shù)，數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用是解答的關(guān)鍵．（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（2）過A作于D，則，設(shè)，根據(jù)坐標(biāo)與圖形性質(zhì)得到，，進(jìn)而列方程求解t值即可；（3）先求得，再根據(jù)勾股定理求解，再根據(jù)余弦定義求解即可．【小問1詳解】解：設(shè)反比例函數(shù)的解析式為，∵第一象限內(nèi)的點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖像上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，∴反比例函數(shù)的解析式為；小問2詳解】解：過A作于D，則，設(shè)，∵軸，∴，，∴，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，符合所列方程，故點(diǎn)C坐標(biāo)為0,1；【小問3詳解】解：∵軸，∴點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為1，將代入中，得，則，∴，又，，∴，∴．25.如圖，已知平行四邊形中，，，，點(diǎn)在射線上，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，交射線于點(diǎn)，交射線于點(diǎn)，連接、，設(shè)．（1）當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，求的面積；（用含的代數(shù)式表示）當(dāng)時(shí)，求的值；（2）當(dāng)點(diǎn)在邊的延長線上時(shí)，如果與相似，求的值．【答案】（1）；的值為；（2）值為或．【解析】【分析】（）先證明，，，即，則，再用勾股定理表示出，再判斷出，得出比例式表示出，即可得出結(jié)論；先表示出，再用，建立方程求出，即可得出結(jié)論；（）分兩種情況：當(dāng)時(shí)，得出，進(jìn)而得出，，再根據(jù)勾股定理得，進(jìn)而得出，最后判斷出，得出比例式建立方程求解即可得出結(jié)論；當(dāng)時(shí)，先判斷出，進(jìn)而得出，再根據(jù)勾股定理得，求出，得出，同理，再判斷出，得出比例式建立方程求解即可得出結(jié)論；此題主要考查了平行四邊形性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，三角形的面積公式，相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題