《電子測量技術(shù)基礎(chǔ)》課件第2章

第2章測量誤差和測量結(jié)果處理2.1測量誤差的基本概念2.2測量誤差的來源2.3誤差的分類2.4隨機(jī)誤差分析2.5系統(tǒng)誤差分析2.6系統(tǒng)誤差的合成2.7測量數(shù)據(jù)的處理小結(jié)

2.1測量誤差的基本概念

2.1.1誤差概念

1.測量中涉及的幾個量值

1)真值A(chǔ)0

一個物理量在一定條件下所呈現(xiàn)的真實(shí)數(shù)值稱作它的

真值。

2)指定值A(chǔ)s

因?yàn)榻^對真值是不可知的，所以一般由國家設(shè)立各種盡可能維持不變的實(shí)物標(biāo)準(zhǔn)(或基準(zhǔn))，以法令的形式指定其所體現(xiàn)的量值作為計量單位的指令值。

3)實(shí)際值A(chǔ)

實(shí)際測量中，不可能都直接與國家基準(zhǔn)相比對，所以國家通過一系列各級實(shí)物計量標(biāo)準(zhǔn)構(gòu)成量值傳遞網(wǎng)，把國家基準(zhǔn)所體現(xiàn)的計量單位逐級比較并傳遞到日常工作儀器或量具上。在每一級的比較中，都以上一級標(biāo)準(zhǔn)所體現(xiàn)的值當(dāng)作準(zhǔn)確無誤的值，通常稱為實(shí)際值，也稱作相對真值。

4)標(biāo)稱值

測量器具上標(biāo)定的數(shù)值稱為標(biāo)稱值，如標(biāo)準(zhǔn)砝碼上標(biāo)出的1kg，標(biāo)準(zhǔn)電阻上標(biāo)出的1Ω，標(biāo)準(zhǔn)電池上標(biāo)出的電動勢1.0186V，標(biāo)準(zhǔn)信號發(fā)生器刻度盤上標(biāo)出的輸出正弦波的頻率100kHz等。

5)示值

由測量器具指示的被測量量值稱為測量器具的示值，也稱測量值，它包括數(shù)值和單位。一般來說，示值與測量儀表的讀數(shù)有區(qū)別，讀數(shù)是儀器刻度盤上直接讀到的數(shù)字。

2.測量誤差

在實(shí)際測量中，測量器具不準(zhǔn)確，測量手段不完善，環(huán)境影響，測量操作不熟練及工作疏忽等都會導(dǎo)致測量結(jié)果與被測量真值不同。測量儀器儀表的測得值與被測量真值之間的差異稱為測量誤差。

3.單次測量和多次測量

單次(一次)測量是用測量儀器對待測量進(jìn)行一次測量的過程。顯然，為了得知某一量的大小，必須至少進(jìn)行一次測量。在測量精度要求不高的場合，可以只進(jìn)行單次測量。單

次測量不能反映測量結(jié)果的精密度，一般只能給出一個量的大致概念和規(guī)律。

4.等精度測量和非等精度測量

在保持測量條件不變的情況下對同一被測量進(jìn)行的多次測量過程稱作等精度測量。這里所說的測量條件包括所有對測量結(jié)果產(chǎn)生影響的客觀和主觀因素，如測量儀器、方法、測量環(huán)境、操作者的操作步驟和細(xì)心程度等。等精度測量的測量結(jié)果具有同樣的可靠性。2.1.2誤差的表示方法

1.絕對誤差

絕對誤差定義為

Δx=x－A0

(2.1-1)

式中，Δx為絕對誤差，x為測得值，A0為被測量真值。前面已提到，真值A(chǔ)0一般無法得到，所以用實(shí)際值A(chǔ)代替A0，因而絕對誤差更有實(shí)際意義的定義是

Δx=x－A

(2.1-2)絕對誤差具有下面幾個特點(diǎn)：

(1)絕對誤差是有單位的量，其單位與測得值和實(shí)際值相同。

(2)絕對誤差是有符號的量，其符號表示測得值與實(shí)際值的大小關(guān)系，若測得值較實(shí)際值大，則絕對誤差為正值，反之為負(fù)值。

(3)測得值與被測量實(shí)際值間的偏離程度和方向通過絕對誤差來體現(xiàn)。但僅用絕對誤差通常不能說明測量的質(zhì)量。

(4)對于信號源、穩(wěn)壓電源等供給量儀器，絕對誤差定義為

Δx=A－x

(2.1-3)

式中，A為實(shí)際值，x為供給量的指示值(標(biāo)稱值)。如果沒有特殊說明，本書中涉及的絕對誤差按式(2.1-2)計算。

與絕對誤差絕對值相等但符號相反的值稱為修正值，一般用符號c表示

c=－Δx=A－x

(2.1-4)測量儀器的修正值可通過檢定由上一級標(biāo)準(zhǔn)給出，它可以是表格、曲線或函數(shù)表達(dá)式等。利用修正值和儀器示值可得到被測量的實(shí)際值：

A=x+c

(2.1-5)

例如，由某電流表測得的電流示值為0.83mA，查該電流表檢定證書得知該電流表在0.8mA及其附近的修正值都為－0.02mA，那么被測電流的實(shí)際值為

A=0.83+(－0.02)=0.81mA

2.相對誤差

實(shí)際中常用相對誤差來說明測量精度的高低，它可分為以下幾種。

(1)實(shí)際相對誤差定義為

(2.1-6)

(2)示值相對誤差(又稱標(biāo)稱值相對誤差)定義為

(2.1-7)

(3)滿度相對誤差

定義為儀器量程內(nèi)最大絕對誤差Δxm與測量儀器滿度值(量程上限值)xm的百分比值

(2.1-8)

滿度相對誤差又稱為滿度誤差和引用誤差。由式(2.1-8)可以看出，滿度誤差實(shí)際上給出了儀表各量程內(nèi)絕對誤差的最大值

(2.1-9)

【例2.1-1】某電壓表s=1.5，試算出它在0~100V量程中的最大絕對誤差。

解：在0~100V量程內(nèi)上限值xm=100V，由式(2.1-9)得

【例2.1-2】某1.0級電流表的滿度值xm=100μA，求測量值分別為x1=100μA，x2=80μA，x3=20μA時的絕對誤差和示值相對誤差。

解：由式(2.1-9)得絕對誤差為

前已敘述，絕對誤差是不隨測量值改變的。測得值分別為100μA、80μA、20μA時的示值相對誤差各不相同，分別為

【例2.1-3】要測量100℃的溫度，現(xiàn)有0.5級、測量范圍為0℃~300℃和1.0級、測量范圍為0℃~100℃的兩種溫度計，試分析各自產(chǎn)生的示值誤差。

解：對0.5級溫度計，可能產(chǎn)生的最大絕對誤差為

按照誤差整量化原則，認(rèn)為該量程內(nèi)絕對誤差x1=Δxm1=

±1.5℃，因此示值相對誤差為同樣可算出用1.0級溫度計可能產(chǎn)生的絕對誤差和示值相對誤差為

(4)在電子測量中還常用到分貝誤差。分貝誤差是用對數(shù)表示誤差的一種形式，單位為分貝(dB)。分貝誤差廣泛用于增益(衰減)量的測量中。下面以電壓增益測量為例，引出分貝誤差的表示形式。

設(shè)雙口網(wǎng)絡(luò)(如放大器、衰減器等)輸入、輸出電壓的測量值分別為Ui和Uo，則電壓增益Au的測量值為

(2.1-10)

用對數(shù)表示為

Gx=20lgAu(dB)

(2.1-11)設(shè)A為電壓增益實(shí)際值，其分貝值G=20lgA，由式(2.1-2)及式(2.1-11)可得

(2.1-12)

(2.1-13)由此得到

(2.1-14)

(2.1-15)顯然，式(2.1-15)中γdB與增益的相對誤差有關(guān)，可看成相對誤差的對數(shù)表現(xiàn)形式，稱之為分貝誤差。若令

并設(shè)γA≈γx，則式(2.1-15)可改寫成：

γdB=20lg(1+γx)(dB)

(2.1-16)

式(2.1-16)即為分貝誤差的一般定義式。

若測量的是功率增益，則因?yàn)楣β逝c電壓呈平方關(guān)系，并考慮對數(shù)運(yùn)算規(guī)則，所以這時的分貝誤差定義為

γdB=10lg(1+γx)(dB)

(2.1-17)

【例2.1-4】某電壓放大器，當(dāng)輸入端電壓Ui=1.2mV時，測得輸出電壓Uo=6000mV，設(shè)Ui誤差可忽略，Uo的

測量誤差γ2=±3%。求放大器電壓放大倍數(shù)的絕對誤差ΔA、相對誤差γx及分貝誤差γdB。

解：電壓放大倍數(shù)為

電壓分貝增益為輸出電壓絕對誤差為

因忽略Ui誤差，故電壓增益的絕對誤差為電壓增益的相對誤差為

電壓增益的分貝誤差為實(shí)際電壓的分貝增益為

G=74±0.26dB

當(dāng)γx值很小時，分貝增益定義式(2.1-16)和式(2.1-17)中的γdB可分別利用下面近似式得到：

γdB≈8.69γxdB(電壓、電流類增益)

(2.1-18)

γdB≈4.34γxdB(功率類增益)

(2.1-19)

如果在測量中使用的儀器是用分貝作單位的，則分貝誤差直接按Δx=x－A計算。例如，某衰減器的標(biāo)稱值為20dB,經(jīng)檢定為20.5dB，則其分貝誤差為

Δx=20－20.5=－0.5dB2.1.3測量儀器的容許誤差

1.工作誤差

工作誤差是指在額定工作條件下儀器誤差的極限值，即來自儀器外部的各種影響量和儀器內(nèi)部的影響特性為任意可能的組合時，儀器誤差的最大極限值。

2.固有誤差

固有誤差是當(dāng)儀器的各種影響量和影響特性處于基準(zhǔn)條件時儀器所具有的誤差。基準(zhǔn)條件如表2.1-1所示。這些基準(zhǔn)條件是比較嚴(yán)格的，所以這種誤差能夠更準(zhǔn)確地反映儀器

所固有的性能，便于在相同條件下，對同類儀器進(jìn)行比較和校準(zhǔn)。

3.影響誤差

影響誤差是指當(dāng)一個影響量在其額定使用范圍內(nèi)取任

一值，而其他影響量和影響特性均處于基準(zhǔn)條件時所測得

的誤差，例如溫度誤差、頻率誤差等。只有當(dāng)某一影響量在工作誤差中起重要作用時才給出影響誤差，它是一種誤差的極限。

4.穩(wěn)定誤差

穩(wěn)定誤差是儀器的標(biāo)稱值在其他影響量和影響特性保持恒定的情況下，在規(guī)定時間內(nèi)產(chǎn)生的誤差極限。常以相對誤差形式給出或者注明最長連續(xù)工作時間。例如，DS-33型交流數(shù)字電壓表就是用上述四種誤差標(biāo)注的。工作誤差：50Hz~1MHz，1mV~1V量程為±1.5%±滿量程的0.5%。固有誤差：1kHz，1V時為讀數(shù)的0.4%±1個字。溫度影響誤差：1kHz，1V時的溫度系數(shù)為10-4/C。頻率影響誤差：50Hz~1MHz為±0.5%±滿量程的0.1%。穩(wěn)定誤差：在溫度為-10℃~+40℃，相對濕度為80%以下，大氣壓為650~800mmHg的環(huán)境內(nèi)，連續(xù)工作7小時。如同DS-33型交流數(shù)字電壓表一樣，許多測量儀器(尤其是較為精密的儀器和數(shù)字式儀器)的容許誤差常用誤差的絕對數(shù)值和相對數(shù)值相結(jié)合來表示。例如國產(chǎn)SX1842型四位半顯示直流數(shù)字電壓表，在2V擋的容許誤差(工作誤差)為±0.025%±1個字，其含義是該電壓表在2V擋的最大絕對誤差為

(2.1-20)式中，第一項(xiàng)±0.025%是以相對形式給出的誤差；第二項(xiàng)是以絕對形式給出的誤差?！?指的是顯示數(shù)字的最低位1個字所表示的數(shù)值，因此該項(xiàng)也稱為±1個字誤差。SX1842是

即四位半顯示，其含義是數(shù)字顯示共五位，最高位只

能是0或者1，后四位每一位取值均可為0~9，因此最大顯示為19999，現(xiàn)為2V擋，所以最低位為1時所代表的數(shù)值是

如果用該表測量某電壓時的測量值是1.5000V，則僅由儀器誤差造成的測量相對誤差為

【例2.1-5】用位數(shù)字電壓表2V擋和200V擋測量1V電壓，該電壓表各擋容許誤差均為±0.03%±1個字，試分析用上述兩擋分別測量時的相對誤差。

解：(1)用2V擋測量，仿照式(2.1-20)，絕對誤差為為了便于觀察，式中前一項(xiàng)是容許誤差的相對值部分，后一項(xiàng)是絕對值部分，即±1個字誤差，此時后者影響較小，測量數(shù)值(顯示值)為0.9996~1.0004V時，有效顯示數(shù)字

是四位到五位。相對誤差為

(2)用200V擋測量，絕對誤差為可見，此時±1個字誤差占了誤差的絕大部分(為了便于觀察，100×10－4未按科學(xué)計數(shù)法的規(guī)定寫成1.0×10－2)，由于此時最末位1個字誤差或最末位為1時代表的數(shù)值是10mV或0.01V，因此此時電壓表顯示為0.99~1.01V，顯示有效數(shù)字為二到三位。相對誤差為

2.2測量誤差的來源

2.2.1儀器誤差

儀器誤差又稱設(shè)備誤差，是由于設(shè)計、制造、裝配、檢定等的不完善以及儀器使用過程中元器件老化，機(jī)械部件磨損，疲勞等而使測量儀器設(shè)備帶有的誤差。2.2.2使用誤差

使用誤差又稱操作誤差，是由于對測量設(shè)備操作不當(dāng)而造成的誤差。2.2.3人身誤差

人身誤差主要指由于測量者感官的分辨能力、視覺疲勞、固有習(xí)慣等對測量實(shí)驗(yàn)中的現(xiàn)象與結(jié)果判斷不準(zhǔn)確而造成的誤差。比如指針式儀表刻度的讀取，諧振法測量L、C、Q時諧振點(diǎn)的判斷等，都很容易產(chǎn)生誤差。2.2.4影響誤差

影響誤差是指各種環(huán)境因素與要求條件不一致而造成的誤差。對電子測量而言，最主要的影響因素是環(huán)境溫度、電源電壓和電磁干擾等。當(dāng)環(huán)境條件符合要求時，影響誤差通?？刹挥杩紤]。但在精密測量及計量中，需根據(jù)測量現(xiàn)場的溫度、濕度、電源電壓等影響數(shù)值求出各項(xiàng)影響誤差，以便根據(jù)需要做進(jìn)一步的數(shù)據(jù)處理，來提高測量結(jié)果的準(zhǔn)確度。2.2.5方法誤差

顧名思義，方法誤差是指所使用的測量方法不當(dāng)，或測量所依據(jù)的理論不嚴(yán)密，或?qū)y量計算公式不適當(dāng)簡化等原因造成的誤差。方法誤差也稱作理論誤差。例如當(dāng)用平均值檢波器測量交流電壓時，平均值檢波器的輸出正比于被測正弦電壓的平均值，而交流電壓表通常以有效值U定度，兩者間理論上應(yīng)有下述關(guān)系：

(2.2-1)式中，稱為定度系數(shù)。由于π和均為無

理數(shù)，因此當(dāng)用有效值定度時，取近似公式：

(2.2-2)

顯然，兩者相比就產(chǎn)生了誤差，這種由于計算公式的簡化或近似造成的誤差就是一種理論誤差。

【例2.2-1】1.4節(jié)及圖1.4-2曾提及測量儀表的負(fù)載效應(yīng)，現(xiàn)重畫于圖2.2-1中。圖中虛框代表一臺內(nèi)電阻

RV=10MΩ，儀器工作誤差(也稱不確定度)為“±0.005%讀數(shù)±2個字”的數(shù)字電壓表，讀數(shù)Uo=10.0225V。試分析儀器誤差和方法誤差。圖2.2-1方法誤差示例

解：由圖2.2-1可以計算出：

(2.2-3)

(2.2-4)即比值Rs/RV愈大，示值相對誤差也愈大，這是一種方法誤差。將RV=10MΩ，Rs=10kΩ代入式(2.2-4)，得方法誤差：電壓表本身的儀器誤差:

可見，這里的方法誤差較儀器誤差大得多。

不過，由式(2.2-3)可以看出，測量值Uo與實(shí)際值Us間有確定的函數(shù)關(guān)系，只要知道Rs、RV和Uo，那么這里的方法誤差就可以得到修正。實(shí)際上由式(2.2-3)可以解得：

(2.2-5)利用式(2.2-5)修正公式和有關(guān)數(shù)據(jù)得到：

如果我們不用上面的偏差法原理測量Uo，而改用第1章中提到的零位法或微差法測量，則將基本避免方法誤差

(見2.5節(jié))。當(dāng)然，偏差法測量在測量操作實(shí)施上要比后兩

種方法方便得多。

2.3誤差的分類

2.3.1系統(tǒng)誤差

在多次等精度測量同一量值時，誤差的絕對值和符號保持不變，或當(dāng)條件改變時誤差按某種規(guī)律變化，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差，簡稱系差。圖2.3-1系統(tǒng)誤差的特征例如，標(biāo)準(zhǔn)電池的電動勢隨環(huán)境溫度變化而變化，因

而實(shí)際值和標(biāo)稱值間產(chǎn)生一定的誤差ΔE，它遵循下面的

規(guī)律：2.3.2隨機(jī)誤差

隨機(jī)誤差又稱偶然誤差，是指對同一量值進(jìn)行多次等精度測量時，其絕對值和符號均以不可預(yù)測的方式無規(guī)則變化的誤差。圖2.3-2電阻測量值的隨機(jī)誤差2.3.3粗大誤差

在一定的測量條件下，測量值明顯地偏離實(shí)際值所形成的誤差稱為粗大誤差，也稱為疏失誤差，簡稱粗差。*2.4隨機(jī)誤差分析

2.4.1測量值的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差

1.數(shù)學(xué)期望

設(shè)對被測量x進(jìn)行n次等精度測量，得到n個測量值：

x1，x2，x3，…，xn

由于隨機(jī)誤差的存在，這些測量值也是隨機(jī)變量。

n個測量值(隨機(jī)變量)的算術(shù)平均值為

(2.4-1)當(dāng)測量次數(shù)n→∞時，樣本平均值的極限定義為測量值的數(shù)學(xué)期望：

(2.4-2)

式中，Ex也稱作總體平均值。假設(shè)上面的測量值中不含系統(tǒng)誤差和粗大誤差，則第i次測量得到的測量值xi與真值A(chǔ)(前已敘述，由于真值A(chǔ)0一般無法得知，因此通常以實(shí)際值A(chǔ)代替)間的絕對誤差就等于隨機(jī)誤差，即

(2.4-3)

式中，Δxi、δi分別表示絕對誤差和隨機(jī)誤差。隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值為當(dāng)n→∞時，上式中第一項(xiàng)即為測得值的數(shù)學(xué)期望Ex，所以

(2.4-4)

由于隨機(jī)誤差具有抵償性，因此當(dāng)測量次數(shù)n趨于無限大時，趨于零，即

(2.4-5)

即隨機(jī)誤差的數(shù)學(xué)期望等于零。由式(2.4-4)和式(2.4-5)可得

Ex=A

(2.4-6)

即測量值的數(shù)學(xué)期望等于被測量真值A(chǔ)。實(shí)際上不可能做到無限多次測量，對于有限次測量，當(dāng)測量次數(shù)足夠多時近似認(rèn)為

(2.4-7)

(2.4-8)

由上述分析得出結(jié)論，在實(shí)際測量工作中，當(dāng)基本消除系統(tǒng)誤差且剔除粗大誤差后,雖然仍有隨機(jī)誤差存在,但多次測得值的算術(shù)平均值很接近被測量真值，因此就將它作為最后的測量結(jié)果,并稱之為被測量的最佳估值或最可信賴值。

2.剩余誤差

當(dāng)進(jìn)行有限次測量時，各次測得值與算術(shù)平均值之差稱為剩余誤差或殘差，其定義為

(2.4-9)

對式(2.4-9)兩邊分別求和，有

(2.4-10)

3.方差與標(biāo)準(zhǔn)差

隨機(jī)誤差反映了實(shí)際測量的精密度，即測量值的分散程度。由于隨機(jī)誤差具有抵償性，因此不能用它的算術(shù)平均值來估計測量的精密度，而應(yīng)使用方差進(jìn)行描述。方差定義為當(dāng)n→∞時測量值與期望值之差的平方的統(tǒng)計平均值，即

(2.4-11)因?yàn)殡S機(jī)誤差δi=xi－Ex，所以

(2.4-12)

式中，σ2稱為測量值的樣本方差，簡稱方差。由于實(shí)際測量中δi都帶有單位(mV、μA等)，因而方差σ2是相應(yīng)單位的平方，使用不方便。為了與隨機(jī)誤差δi單位一致，將式(2.4-12)兩邊開方，取正平方根，得

(2.4-13)

有時還會用到平均誤差，其定義為

(2.4-14)2.4.2隨機(jī)誤差的正態(tài)分布

1.正態(tài)分布

在大多數(shù)情況下，測量值在其期望值上出現(xiàn)的概率最大，隨著對期望值偏離的增大，出現(xiàn)的概率急劇減小。表

現(xiàn)在隨機(jī)誤差等于零的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率最大，隨著隨

機(jī)誤差絕對值的加大，出現(xiàn)的概率急劇減小。測量值和隨

機(jī)誤差的這種統(tǒng)計分布規(guī)律稱為正態(tài)分布，如圖2.4-1和圖2.4-2所示。圖2.4-1xi的正態(tài)分布曲線圖2.4-2δi的正態(tài)分布曲線設(shè)測量值xi在x~x+dx范圍內(nèi)出現(xiàn)的概率為P，它正比于dx，并與x值有關(guān)，即

(2.4-15)

式中，定義為測量值xi的分布密度函數(shù)或概率分布函數(shù)，顯然有

(2.4-16)對于正態(tài)分布的xi，其概率密度函數(shù)為

(2.4-17)

同樣，對于正態(tài)分布的隨機(jī)誤差δi，有

(2.4-18)

2.均勻分布

在測量實(shí)踐中，還有其他形式的概率密度分布形式，其中，均勻分布是僅次于正態(tài)分布的一種重要分布，如圖2.4-3所示。均勻分布的特點(diǎn)是：在誤差范圍內(nèi)，誤差出現(xiàn)的概率各處相同。在電子測量中常見的有下列幾種情況。

(1)儀表度盤刻度誤差。

(2)數(shù)字顯示儀表的最低位“±1個字”的誤差。

(3)由于舍入引起的誤差。圖2.4-3均勻分布的概率密度在圖2.4-3所示的均勻分布中，因一定滿足

所以概率密度為

(2.4-19)可以證明，式(2.4-19)所示的均勻分布的數(shù)學(xué)期望為

(2.4-20)

方差為

(2.4-21)

標(biāo)準(zhǔn)差為

(2.4-22)

3.極限誤差Δ

對于正態(tài)分布的隨機(jī)誤差，根據(jù)式(2.4-18)可以算出隨機(jī)誤差落在［－σ，+σ］區(qū)間的概率為

(2.4-23)同樣可以求得隨機(jī)誤差落在±2σ或±3σ范圍內(nèi)的概率分別為

(2.4-24)

(2.4-25)即當(dāng)測得值xi的置信區(qū)間為［Ex－2σ，Ex+2σ］和［Ex－3σ，Ex+3σ］時置信概率分別為0.954和0.997。由式(2.4-25)可見，隨機(jī)誤差絕對值大于3σ的概率(可能性)僅為0.003或0.3%，實(shí)際上出現(xiàn)的可能性極小，因此定義

Δ=3σ

(2.4-26)

4.貝塞爾公式

在上面的分析中，隨機(jī)誤差δi=xi－Ex=xi－A，其中xi

為第i次測量值，A為真值，Ex為xi的數(shù)學(xué)期望，且

在這種前提下，我們用測量值數(shù)列的標(biāo)準(zhǔn)差σ來表征測量值的分散程度，并有

實(shí)際上不可能做到n→∞的無限次測量。當(dāng)n為有限值時，我們用殘差

來近似或代替真正的隨機(jī)誤差δi，用表示有限次測量時標(biāo)準(zhǔn)誤差的最佳估計值，可以證明：

(2.4-27)標(biāo)準(zhǔn)差的最佳估計值還可以用式(2.4-28)求出：

(2.4-28)

這是貝塞爾公式的另一種表達(dá)形式。有時簡稱為標(biāo)準(zhǔn)差估計值。

仍以表2.3-1為例，可以算出：

5.算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差

如果在相同條件下將同一被測量分成m組，每組重復(fù)n次測量，則每組測得值都有一個平均值。由于隨機(jī)誤差的存在，這些算術(shù)平均值也不相同，而是圍繞真值有一定的分

散性，即算術(shù)平均值與真值間也存在著隨機(jī)誤差。我們用

來表示算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差，由概率論中方差運(yùn)算法則可以求出：

(2.4-29)同樣定義為算術(shù)平均值的極限誤差，與真值

間的誤差超過這一范圍的概率極小，因此，測量結(jié)果可以表示為

(2.4-30)在有限次測量中，以表示算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)差的最佳估值，有

(2.4-31)因?yàn)閷?shí)際測量中n只能是有限值，所以有時就將和

稱作測量值的標(biāo)準(zhǔn)差和測量平均值的標(biāo)準(zhǔn)差，從而將式

(2.4-27)和式(2.4-31)直接寫成

(2.4-32)

(2.4-33)2.4.3有限次測量下測量結(jié)果的表達(dá)

由于實(shí)際上只可能做到有限次等精度測量，因而我們分別用式(2.4-32)和式(2.4-33)來計算測量值的標(biāo)準(zhǔn)差和算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差，如前所述，實(shí)際上是兩種標(biāo)準(zhǔn)差的最佳估值。由式(2.4-33)可以看到，算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差隨測量次數(shù)n的增大而減小，但減小速度要比n的增長慢得多，即僅靠單純增加測量次數(shù)來減小標(biāo)準(zhǔn)差收效不大，因而實(shí)際測量中n的取值并不很大，一般在10~20之間。

【例2.4-1】用電壓表對某一電壓測量10次，設(shè)已消

除系統(tǒng)誤差及粗大誤差，測得數(shù)據(jù)及有關(guān)計算值如表2.4-1

所示，試給出最終測量結(jié)果表達(dá)式。

解：計算得到∑vi=0，表示的計算正確。進(jìn)一步計算得到：

因此該電壓的最終測量結(jié)果為

x=75.045±0.029V

2.5系統(tǒng)誤差分析

2.5.1系統(tǒng)誤差的特性

剔除粗差后，測量誤差等于隨機(jī)誤差δi和系統(tǒng)誤差εi的代數(shù)和，即

(2.5-1)

假設(shè)進(jìn)行n次等精度測量，并設(shè)系差為恒值系差或其變化非常緩慢，即εi=ε，則Δxi的算術(shù)平均值為

(2.5-2)

當(dāng)n足夠大時，由于隨機(jī)誤差的抵償性，δi的算術(shù)平均值趨于零，于是由式(2.5-2)得到

(2.5-3)2.5.2系統(tǒng)誤差的判斷

1.理論分析法

凡屬由于測量方法或測量原理引入的系差，不難通過對測量方法的定性和定量分析發(fā)現(xiàn)系差，甚至計算出系差的大小。2.2節(jié)例2.2-1中用內(nèi)阻不高的電壓表測量高內(nèi)阻電源電壓就是一例。

2.校準(zhǔn)和比對法

當(dāng)懷疑測量結(jié)果可能會有系差時，可用準(zhǔn)確度更高的測量儀器進(jìn)行重復(fù)測量以發(fā)現(xiàn)系差。測量儀器定期進(jìn)行校準(zhǔn)或檢定并在檢定證書中給出修正值，目的就是發(fā)現(xiàn)和減小使用被檢儀器進(jìn)行測量時的系統(tǒng)誤差。

3.改變測量條件法

系差常與測量條件有關(guān)，如果能改變測量條件，比如更換測量人員、測量環(huán)境、測量方法等，則可對分組測量數(shù)據(jù)進(jìn)行比較來發(fā)現(xiàn)系差。

4.剩余誤差觀察法

剩余誤差觀察法是根據(jù)測量數(shù)據(jù)數(shù)列各個剩余誤差的大小、符號的變化規(guī)律，以判斷有無系差及系差類型。圖2.5-1系統(tǒng)誤差的判斷

5.公式判斷法

馬林科夫判據(jù)和阿卑-赫梅特判據(jù)可分別用來判定有

無累進(jìn)性系差和周期性系差，詳細(xì)論述可參閱參考文獻(xiàn)［1］、［3］。2.5.3消除系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的根源

產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因很多，如果能找出并消除產(chǎn)生系

差的根源或采取措施防止其影響，則將是解決問題最根本

的辦法。2.5.4削弱系統(tǒng)誤差的典型測量技術(shù)

1.零示法

零示法是在測量中，將待測量與已知標(biāo)準(zhǔn)量相比較，當(dāng)二者的效應(yīng)互相抵消時，零示器示值為零，此時已知標(biāo)準(zhǔn)量的數(shù)值就是被測量的數(shù)值。零示法原理如圖2.5-2所示圖2.5-2零示法原理圖電位差計是采用零示法的典型例子。圖2.5-3是電位差計的原理圖。圖2.5-3電位差計原理圖調(diào)Rs使IP=0，則被測電壓Ux=Us，即

(2.5-4)

2.替代法

替代法又稱置換法。它是在測量條件不變的情況下，用一標(biāo)準(zhǔn)已知量去替代待測量，通過調(diào)整標(biāo)準(zhǔn)量而使儀器的示值不變，于是標(biāo)準(zhǔn)量的值等于被測量值。由于替代前后整個測量系統(tǒng)及儀器示值均未改變，因此測量中的恒定系差對測量結(jié)果不產(chǎn)生影響，測量準(zhǔn)確度主要取決于標(biāo)準(zhǔn)已知量的準(zhǔn)確度及指示器的靈敏度。圖2.5-4是替代法在精密電阻電橋中的應(yīng)用實(shí)例。首先接入未知電阻Rx，調(diào)節(jié)電橋使之平衡，即IP=0，此時有

(2.5-5)圖2.5-4替代法測量電阻由于R1、R2、R3都有誤差，因此若利用它們的標(biāo)稱值來計算Rx，則Rx也帶有誤差，即

(2.5-6)

忽略增量乘積項(xiàng)，并考慮式(2.5-5)關(guān)系，近似得到：

(2.5-7)為了消除上述誤差，現(xiàn)用可變標(biāo)準(zhǔn)電阻Rs代替Rx，并在保持R1、R2、R3不變的情況下通過調(diào)節(jié)Rs，使電橋重新平衡，因而得到：

(2.5-8)

比較式(2.5-6)和式(2.5-8)，得到：

(2.5-9)

3.補(bǔ)償法

下面以諧振法(如Q表)測電容為例說明這種測量方法。圖2.5-5為測量原理圖，其中，u為高頻信號源，L為電感，

C0為分布電容，Cx為待測電容，假設(shè)電子電壓表內(nèi)阻為無窮大。調(diào)節(jié)信號源頻率使電路諧振(此時電壓表指示最大)，設(shè)諧振頻率為f0，可以算出：

(2.5-10)圖2.5-5諧振法測電容可見，Cx與頻率f0、電感L、分布電容C0都有關(guān)，它們的準(zhǔn)確度(尤其C0，常常很難給出具體準(zhǔn)確的數(shù)值)都會對Cx的準(zhǔn)確度產(chǎn)生影響?，F(xiàn)改用補(bǔ)償法測量，如圖2.5-6所示，首先斷開Cx，調(diào)節(jié)標(biāo)準(zhǔn)電容Cs使電路諧振，設(shè)此時標(biāo)準(zhǔn)電容為

Cs1，而后保持信號源頻率不變，接入Cx，重新調(diào)整標(biāo)準(zhǔn)電容使電路諧振，設(shè)此時標(biāo)準(zhǔn)電容量為Cs2。圖2.5-6補(bǔ)償法測電容由式(2.5-10)容易得到僅接入Cs1時有

(2.5-11)

接入Cx后有

(2.5-12)

比較兩式得到：

Cx=Cs1－Cs2

(2.5-13)

可見，此時待測電容Cx僅與標(biāo)準(zhǔn)電容有關(guān)，從而測量準(zhǔn)確度要比用圖2.5-5所示電路的結(jié)果高得多。

4.對照法

對照法又稱交換法，適于在對稱的測量裝置中用來檢查其對稱性是否良好，或從兩次測量結(jié)果的處理中削弱或消除系統(tǒng)誤差?，F(xiàn)以圖2.5-7所示的等臂電橋?yàn)槔f明這種方法圖2.5-7對照法測電阻先按圖2.5-7(a)的接法調(diào)節(jié)標(biāo)準(zhǔn)電阻Rs使電橋平衡，設(shè)此時標(biāo)準(zhǔn)電阻阻值為Rs1，因而

(2.5-14)

然后按圖2.5-7(b)交換Rx、Rs的位置，調(diào)節(jié)Rs使電橋平衡。設(shè)此時標(biāo)準(zhǔn)電阻阻值為Rs2，因而

(2.5-15)如果R1=R2(故稱為等臂電橋)，則由式(2.5-14)和式(2.5-15)可知Rs1=Rs2=Rs，進(jìn)而得到

(2.5-16)

如果R1≠R2，則Rs1≠Rs2，可由式(2.5-14)和式(2.5-15)得到：

(2.5-17)

從而消除了R1、R2的誤差對測量結(jié)果的影響。

5.微差法

微差法又稱虛零法或差值比較法，實(shí)質(zhì)上是一種不徹底的零示法(見1.3節(jié)及圖1.3-2)。在零示法中必須仔細(xì)調(diào)節(jié)標(biāo)準(zhǔn)量s使之與x相等，這通常很費(fèi)時間，有時甚至不可能做到。

微差法允許標(biāo)準(zhǔn)量s與被測量x的效應(yīng)不完全抵消，即相差一微小量δ，測得δ=x－s，即可得到待測量：

x=s+δ

(2.5-18)

x的示值相對誤差為

(2.5-19)

由于δ<<s，因此s+δ≈s。又由于δ<<x，所以有

(2.5-20)

即被測量的相對誤差基本上等于標(biāo)準(zhǔn)量的相對誤差，偏差式儀表產(chǎn)生的系差Δδ/δ幾乎可以忽略。

6.交叉讀數(shù)法

交叉讀數(shù)法是上述對照法的一種特殊形式。現(xiàn)以諧振頻率測量為例，說明交叉讀數(shù)法的具體應(yīng)用。LC諧振電路的諧振曲線如圖2.5-8所示，由于在諧振點(diǎn)fx=f0附近曲線平坦，電壓變化很小，很難判斷真正的諧振狀態(tài)，所以會引入一定的方法誤差：

(2.5-21)式中，Q為電路品質(zhì)因數(shù)，ΔU/U0主要是由于電壓表分辨力不高造成的。如果Q=100，ΔU/U0=2%，則得到示值誤差：

為了削弱該誤差，改用交叉讀數(shù)法，在諧振點(diǎn)兩旁曲線斜率較大處(一般取U=分別測出兩個失諧頻率f1和f2，則待測頻率可用式(2.5-22)求出：

(2.5-22)由此產(chǎn)生的理論誤差為

(2.5-23)

若Q值仍為100，可算得：

相對誤差要比直接用諧振法測量小得多。圖2.5-8LC諧振電路的諧振曲線2.5.5消除或削弱系統(tǒng)誤差的其他方法

1.利用修正值或修正因數(shù)加以消除

根據(jù)測量儀器檢定書中給出的校正曲線、校正數(shù)據(jù)或利用說明書中的校正公式對測量值進(jìn)行修正，是實(shí)際測量中常用的辦法，這種方法原則上適用于任何形式的系差(見2.1節(jié)的式(2.1-5))。

2.隨機(jī)化處理

所謂隨機(jī)化處理，是指利用同一類型測量儀器的系統(tǒng)誤差具有隨機(jī)特性的特點(diǎn)，對同一被測量用多臺儀器進(jìn)行測量，取各臺儀器測量值的平均值作為測量結(jié)果。通常這種方法用得并不多，首先費(fèi)時較多，其次需要多臺同類型儀器，這往往也是難以做到的。

3.智能儀器中系統(tǒng)誤差的消除

在智能儀器中，可利用微處理器的計算控制功能削弱或消除儀器的系統(tǒng)誤差。利用微處理器削弱系差的方法很多，下面介紹兩種常用的方法。

(1)直流零位校準(zhǔn)。

(2)自動校準(zhǔn)。

圖2.5-9是運(yùn)算放大器誤差修正原理圖。圖中，ε表示由于溫漂、時漂等造成的運(yùn)算放大器等效失調(diào)電壓；Ux為被測電壓；Us為基準(zhǔn)電壓；R1、R2為分壓電阻。當(dāng)開關(guān)S接于Ux處時，運(yùn)放輸出為

(2.5-24)

設(shè)P=(R1+R2)/R2，代入式(2.5-24)得

(2.5-25)圖2.5-9運(yùn)放的自動校準(zhǔn)原理可以利用微處理器軟件實(shí)現(xiàn)定時修正：通過程序控制輸入端開關(guān)依次接通Ux、Us和地，分別得到輸出電壓Uox、

Uos、Uoz并加以存儲。輸出電壓為

(2.5-26)

(2.5-27)

(2.5-28)由上述三式解得

(2.5-29)

這就是最后的結(jié)果。與式(2.5-25)相比，式(2.5-29)中不含P、ε、A0等，因而就不會受這些因素變化的影響而帶來誤差。*2.6系統(tǒng)誤差的合成

2.6.1誤差的合成

設(shè)最終測量結(jié)果為y，各分項(xiàng)測量值為x1、x2、…、xn

(分項(xiàng)測量值可以是單臺儀器中各部件的標(biāo)稱值，如上述電橋中的R1、R2和R3，也可以是間接測量中各單項(xiàng)測量值，如上述功率測量中的U、I，U、R或I、R)，它們滿足函數(shù)關(guān)系：

y=f(x1，x2，…，xn)

(2.6-1)設(shè)各xi間彼此獨(dú)立，xi的絕對誤差為Δxi，y的絕對誤差為Δy，則

(2.6-2)

將式(2.6-2)按泰勒級數(shù)展開得略去上式右邊(二階以上)高階項(xiàng)，得

所以

(2.6-3)當(dāng)式(2.6-3)中各分項(xiàng)的符號不能確定時，通常采用保守的辦法計算誤差，將式中各分項(xiàng)取絕對值后再相加，即

(2.6-4)

若用相對誤差形式表示總的合成誤差，則

(2.6-5)同樣，當(dāng)各分項(xiàng)符號不明確時，為可靠起見，取絕對值相加，即

(2.6-6)

式(2.6-3)~式(2.6-6)為系統(tǒng)誤差合成公式，其中，式(2.6-3)、式(2.6-4)也稱為絕對誤差傳遞公式，式(2.6-5)、式(2.6-6)稱為相對誤差傳遞公式。2.6.2常用函數(shù)的合成誤差

1.和差函數(shù)的合成誤差

設(shè)

y=x1±x2

y+Δy=(x1+Δx1)±(x2+Δx2)

以上兩式相減得絕對誤差為

Δy=Δx1±Δx2

(2.6-7)當(dāng)Δx1、Δx2符號不能確定時，同式(2.6-4)一樣的考慮，取

(2.6-8)

相對誤差為

(2.6-9)或者寫成：

(2.6-10)對于和函數(shù)，由式(2.6-8)得

(2.6-11)

對于差函數(shù)，有

(2.6-12)

【例2.6-1】電阻R1=1kΩ，R2=2kΩ，相對誤差均為±5%，求串聯(lián)等效電阻R的相對誤差。

解：串聯(lián)后的等效電阻為

R=R1+R2

由式(2.6-11)得串聯(lián)后電阻的相對誤差為

【例2.6-2】用指針式頻率計測量放大電路的頻帶寬度，儀器的滿度值fm=10MHz，準(zhǔn)確度為±1%，測得高端截止頻率fh=10MHz，低端截止頻率fl=9MHz，試計算頻帶寬度的合成誤差。

解：儀器的最大絕對誤差為

即頻帶寬度的相對誤差為

由此可見，所用儀器為1.0級，準(zhǔn)確度已很高，但最終測量結(jié)果的相對誤差卻很大。這是由于fh、fl比較接近的緣故，屬于測量方法不當(dāng)。

2.積函數(shù)的合成誤差

設(shè)y=x1·x2，由式(2.6-3)得絕對誤差為相對誤差為

(2.6-13)

若γx1、γx2都有正負(fù)號，則

(2.6-14)

【例2.6-3】已知電阻上電壓及電流的相對誤差分別為γU=±3%，γI=±2%，用P=UI

計算功率，則P的相對誤差是多少?

解：由式(2.6-14)積函數(shù)誤差合成公式得

γP=±(3%+2%)=±5%

3.商函數(shù)的合成誤差

設(shè)x1、x2的絕對誤差分別為Δx1、Δx2，則由式(2.6-3)得絕對誤差為

(2.6-15)相對誤差為

(2.6-16)

若γx1、γx2都帶有正負(fù)號，則

(2.6-17)

【例2.6-4】用間接法測電阻上的直流電流。已知電阻為1kΩ，標(biāo)稱值相對誤差γR=±2%，電壓表測得該電阻端電壓U=2.0V，相對誤差γU=±3%。求流過該電阻的電流I及其相對誤差。

解：

由式(2.6-17)得相對誤差：

4.冪函數(shù)的合成誤差

設(shè)y=kxm1·xn2，k為常數(shù)，將積函數(shù)的合成誤差公式略加推廣得

(2.6-18)

當(dāng)γx1、γx2帶有正負(fù)號時，有

(2.6-19)

【例2.6-5】電流流過電阻產(chǎn)生的熱量Q=0.24I2Rt，若已知γI=±2%，γR=±1%，γt=±0.5%，求γQ。

解：直接引用式(2.6-14)和式(2.6-19)的結(jié)論，有

5.積商冪函數(shù)的合成誤差

設(shè)式中k、m、n、p均為常數(shù)，綜合上述各函數(shù)合成誤差公式，直接得到

(2.6-20)

當(dāng)γx1、γx2、γx3都有正負(fù)號時，有

(2.6-21)

【例2.6-6】用電橋法測電阻，Rx=R1·R3/R2，已知R1=R3=100Ω，R2=1000Ω，各電阻絕對誤差均為正值，ΔR1=0.01Ω，ΔR3=0.1Ω，ΔR2=1.0Ω，求測量值Rx的相對誤差γRx。

解：各已知電阻的相對誤差為由于這里各誤差符號均為已知，因此引用式(2.6-20)得如果僅知道ΔR1=±0.01Ω，ΔR3=±0.1Ω，ΔR2=

±1.0Ω，則應(yīng)引用誤差合成公式(2.6-21)，有2.6.3系統(tǒng)不確定度

系統(tǒng)誤差可能變化的最大幅度稱為系統(tǒng)不確定度，用εym表示，相對系統(tǒng)不確定度用γym表示，例如測量儀器的基本誤差、工作誤差等都屬此類。

1.系統(tǒng)不確定度的絕對值合成法

用εim和εym分別代替式(2.6-4)中的Δxi和Δy，用γym代替式(2.6-6)中的γy，得到

(2.6-22)

(2.6-23)

【例2.6-7】將R1=100×(1±10%)Ω和R2=400×(1±5%)Ω的電阻串聯(lián)，求等效電阻的誤差范圍(系統(tǒng)不確定度)。

解：

按式(2.6-22)得

2.系統(tǒng)不確定度的均方根合成法

(2.6-24)

(2.6-25)

【例2.6-8】用均方根合成法求例2.6-7中兩電阻串聯(lián)后的總誤差。

解：

可見，用均方根合成法要比絕對值合成法計算的結(jié)

果小。

【例2.6-9】某晶體管毫伏表的技術(shù)指標(biāo)為：①頻率為1kHz時，基本誤差γm≤±2.5%；②以20℃為參考的溫度誤差γt≤±0.1%/℃；③在50Hz~50kHz范圍內(nèi)，頻率附加誤差γf≤±2.5%；④電源電壓220V變化范圍±10%時，附加誤差γn≤±2%；⑤每更換一只晶體管，附加誤差γT≤

±1%?，F(xiàn)已知該表已換過一只晶體管，用其10V量程測

30kHz、5V信號，供電電源電壓為210V，室溫30℃。求總的測量誤差。

解：本例題給出的技術(shù)指標(biāo)包括基本誤差和附加誤差。基本誤差的含義是指儀器在規(guī)定的正常條件下所具有的誤差，同2.1節(jié)中敘述的固有誤差含義相似，但這里的“正常

工作條件”比“基準(zhǔn)工作條件”的要求松。附加誤差是指儀

器超出正常工作條件時所增加的誤差，與前述影響誤差的

含義相似。在一般工程測量中，系統(tǒng)誤差起主要作用，一般可按儀器的技術(shù)說明書提供的指標(biāo)，用系統(tǒng)不確定度分析儀器測量誤差。

各分項(xiàng)系統(tǒng)不確定度如下所述。

(1)電壓表基本示值的相對誤差：

(2)30℃時的溫度示值相對誤差：

(3)頻率附加誤差：

(4)電源波動引起的相對誤差：

(5)更換一晶體管引起的相對誤差：絕對值合成法計算得到的測量誤差為

均方根合成法計算得到的測量誤差為

后者的結(jié)果較為合理。

2.7測量數(shù)據(jù)的處理

2.7.1有效數(shù)字的處理

1.有效數(shù)字

由于含有誤差，因此測量數(shù)據(jù)及由測量數(shù)據(jù)計算出來的算術(shù)平均值都是近似值。

2.多余數(shù)字的舍入規(guī)則

對測量結(jié)果中的多余有效數(shù)字，應(yīng)按下面的舍入規(guī)則進(jìn)行：以保留數(shù)字的末位為單位，它后面的數(shù)字若大于0.5單位，末位進(jìn)1；小于0.5個單位，末位不變；恰為0.5個單位，則末位為奇數(shù)時加1，末位為偶數(shù)時不變，即使末位湊成偶

數(shù)。簡單概括為“小于5舍，大于5入，等于5時采取偶數(shù)法則”。

【例2.7-1】將下列數(shù)字保留到小數(shù)點(diǎn)后一位：12.34，12.36，12.35，12.45。

解：

【例2.7-2】用一臺0.5級電壓表的100V量程擋測量電壓，電壓表的指示值為85.35V，試確定有效位數(shù)。

解：該表在100V擋的最大絕對誤差為

3.有效數(shù)字的運(yùn)算規(guī)則

當(dāng)需要對幾個測量數(shù)據(jù)進(jìn)行運(yùn)算時，要考慮有效數(shù)字保留多少位的問題，以便不使運(yùn)算過于麻煩而又能正確反映測量的精確度。保留的位數(shù)原則上取決于各數(shù)中精度最差的那一項(xiàng)。

(1)加法運(yùn)算：以小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)最少的為準(zhǔn)(若各項(xiàng)無小數(shù)點(diǎn)，則以有效位數(shù)最少者為準(zhǔn))，其余各數(shù)可多取一位。例如：

(2)