工程圖學 課件 02點線面的投影

第二章點、直線、平面的投影2.1投影法概述

2.2點的投影2.3直線的投影2.4平面的投影一.投影法的基本知識二.正投影的基本知識三.三視圖的形成及投影規(guī)律2.1投影法概述投影中心投影面投影線空間點投影SBAba投射線通過物體，向選定的平面進行投射，并在該面上得到圖形的方法——投影法。一．投影法的基本知識1.中心投影法abcdABCDS特點：投影光線交于一點。投射中心、物體、投影面三者之間的相對距離對投影的大小有影響。度量性較差。投影特性物體位置改變，投影大小也改變。投射線物體投影面投影投射中心2.平行投影法斜投影法ABCDcabd特點：投影光線相互平行。正投影法ABCDabcd特點：投影光線相互平行且垂直投影面。投影特性投影：大小與物體和投影面之間的距離無關，度量性較好。工程圖樣多數采用正投影法繪制。斜投影法正投影法投影法中心投影法平行投影法正投影法斜投影法透視圖斜軸測圖工程圖樣及正軸測圖3投影法應用舉例

透視圖是根據中心投影法繪制的，它和人的眼睛實際上看的形象一樣，所以圖立體感較強。多在建筑工程上使用。透視圖多面正投影圖多面視圖真實地表達了零件的內外部結構和形狀，配以尺寸標注和其它技術要求后，完全滿足了機械加工的要求。軸測圖

它的優(yōu)點是直觀性較好，但度量性差，作圖較繁。因此，在工程上常用作插圖，以彌補多面正投影圖直觀性差的缺點。從屬性等比性ⅠⅡ二.正投影的基本性質平行性積聚性真實性類似性三．三視圖的形成及投影規(guī)律1．三投影面體系的建立一般情況下，物體的一個投影不能確定其形狀。

要反映物體的完整形狀，必須用多個不同投射方向的投影，互相補充，才能將物體表達清楚。工程上一般采用三面正投影圖來表達物體的形狀正立投影面V（簡稱V面）水平投影面H（簡稱H面）側立投影面W（簡稱W面）相互垂直的三個投影面之間的交線稱為投影軸V面與H面之間的交線稱為OX軸H面與W面之間的交線稱為OY軸V面與W面之間的交線稱為OZ軸三條投影軸相互垂直并相交，交點稱為原點O。2.三視圖的形成物體向投影面作正投影所獲得的圖形稱為視圖主視圖—由前向后投射，在正立投影面上所得的視圖俯視圖—由上向下投射，在水平投影面上所得的視圖左視圖—由左向右投射，在側立投影面上

所得的視圖

3.三視圖之間的投影關系物體有長、寬、高三個方向的尺寸主視圖反映物體的長和高；俯視圖反映物體的長和寬；左視圖反映物體的寬和高。主視圖和俯視圖在投影長度方向上對正主視圖和左視圖在投影高度方向上平齊俯視圖和左視圖在投影寬度方向上相等基本體與幾何要素棱線頂點棱面底面母線軸線2.2點的投影一．點在三投影面體系中的投影二．兩點的相對位置一．點在三投影面體系中的投影1．三投影面體系的建立正立投影面V（簡稱V面）水平投影面H（簡稱H面）側立投影面W（簡稱W面）空間八個分角一．點在三投影面體系中的投影1．三投影面體系的建立規(guī)定：空間元素用大寫字母A、B、C、…表示；水平投影用相應的小寫字母a、b、c、…表示；正面投影用相應的小寫字母加一撇表示，如a′、b′、c′、…；側面投影用相應的小寫字母加兩撇表示，如a″、b″、c″、…2．點的投影特性（1）點的投影連線垂直于相應的投影軸。a′a⊥OX（2）點的投影到投影軸的距離，反映空間點到以投影軸為界的另一投影面的距離。Aa″=aay=a＇az

（反映空間點到W面的距離）Aa＇=aax=a″az

（反映空間點到V面的距離）Aa=a＇ax=a″ay

（反映空間點到H面的距離）a′a″⊥OZ3、點的投影與點的坐標的關系V面——XOZ坐標面1）投影面與坐標面的對應關系H面——XOY坐標面W面——YOZ坐標面2）點的投影與直角坐標的一一對應關系OZAa’XaXaZaaYVYa”V面投影——a’

(x，z)

W面投影——a”

(y，z)H面投影——a

(x，y)點的兩個投影完全確定其在空間的位置2)點的投影與直角坐標的一一對應關系a’aa”XZYHYwOV面投影——a’

(x，z)

W面投影——a”

(y，z)H面投影——a

(x，y)4.點的投影作圖1）根據點的空間坐標(x，y，z)，求點的三面投影。2）已知點的兩個投影求第三投影。例1已知點A(15,10,20)，求作點A的三面投影。YHYWOXZ20mm10mm15mm10mma’a’’a1.畫坐標軸；3.整理作圖線。2.求作點的投影；axaYH作圖步驟：例1已知點A(15,10,20)，求作點A的三面投影。YHYWOXZ1.畫坐標軸；3.整理作圖線。2.求作點的投影；ax作圖步驟：a’a’’aaYH20mm10mm15mm10mm例2已知點B的投影b’、b”

，求點B的水平投影b。YHYWOXZ?用圓規(guī)截取Y相等b’b’’a例2已知點B的投影b’、b”

，求點B的水平投影b。YHYWOXZb’b’’b作45°輔助線，使y相等。正方形的各邊相等45°畫圓弧，使y相等。Y相等的其它作圖方法：二.點的相對位置1.兩點相對位置的判斷方法2.重影點1.兩點相對位置的判斷方法空間兩點的相對位置，可以通過兩點的同組投影判斷其前后、上下、左右關系。

X軸方向稱左右

Y軸方向稱前后

Z軸方向稱上下Va’b’AXBbaOa”b”ZY左右前后上下約定:a’b’XbaOa”b”ZYHYWB點在A點的左側前面下方分析空間兩點的各個同面投影之間的坐標關系，可以判斷空間兩點的相對位置：1）根據x坐標值的大小，判斷兩點的左右位置，x坐標值大的在左側。2）根據z坐標值的大小，判斷兩點的上下位置，z坐標值大的在上方。3）根據y坐標值的大小，判斷兩點的前后位置，y坐標值大的在前面。V2.重影點定義：在同一條投射線上的兩點，其在某投影面上的投影重合，稱這兩點為該投影面的重影點。A、B

為H

面上的重影點。a’b’ABab()a”b”a’b’ab()a”b”XZYHYW水平投影重影，由正(側)面投影判斷上下關系。XOZYOVC、D為V面上的重影點。c’d’()cdc’d’

(

)d”XZYHYW正面投影重影，由水平(和側面)投影判斷前后。c”d”dcDCc”XOZYOa’b’aba”b”XZYHYW重影點的可見性判別水平投影重影由正面(和側面)投影判斷上下：

Z值大在上，可見；

Z值小在下，不可見。投影不可見加括號。（）O重影點的可見性判別XZYHYW正面投影重影由水平面(和側面)投影判斷前后：

Y值大在前，可見；

Y值小在后，不可見。cdc’d’d”c”（）O重影點的可見性判別側面投影重影由正面(和水平)投影判斷左右：

X值大在左，可見；

X值小在右，不可見。側面投影重影？§2.3直線的投影一．各種位置直線的投影特性二．求一般位置直線實長四．直角投影定理三．兩直線的相對位置直線投影圖的畫法兩點的同面投影相連得直線的投影a’b’XbaOa”b”ZYHYW一．各種位置直線的投影特性直線特殊位置直線投影面垂直線投影面平行線一般位置直線1、一般位置直線的投影特性對三個投影面都傾斜的直線稱為一般位置直線。約定:直線對投影面的傾角是直線與其在該投影面上的投影之間的夾角。與V面的夾角,稱為正面夾角β。ab

AB對H面的傾角即AB與ab

的夾角。與H面的夾角,稱為水平夾角α。與W面的夾角,稱為側面夾角γ。BA1、一般位置直線的投影特性一般位置線段的投影特性：Va’b’AXBbaOa”b”zY三個投影長都縮短；三個投影都傾斜于相應的投影軸。αβγa’b’XbaOa”b”ZYHYWZa’b’XbaOa”b”YWYH2、直線上點的投影特性Va’b’AXBbaOa”b”ZY從屬性——點在直線上，則點的投影在直線的同面投影上，且點的投影符合點的投影規(guī)律。Cc’cc”c’定比性——點分線段之比投影后不變。=a’c’/c’b’AC/CB=ac/cb=a”c”/c”b”c”c2、直線上點的投影特性投影作圖例1已知C點在直線AB上，據c，求c’

、c”

。Za’b’XbaOa”b”YWYHcc”c’2、直線上點的投影特性投影作圖例2求點C，使AC:CB=1:4。cc”Za’b’XbaOa”b”YWYHc’分析作圖2、直線上點的投影特性投影作圖例3判斷點K是否在AB直線上。XOa’b’abkk’否2、直線上點的投影特性投影作圖例4判斷點C是否在AB直線上。a”b”c”a’ab’bXO

YWZYH

c'c兩種判斷方法：從屬性---作側面投影；定比性---分析比例關系。否≠

a’c’/c’b’

ac/cb否3、直線的跡點1.定義直線與投影面的交點稱為跡點。直線與V面的交點——正面跡點，以“N”標記。OXa'aVABb'bMN(n‘)(m)nm’直線與H面的交點——水平跡點，以“M”標記。2.跡點的投影特性正面跡點的正面投影與跡點自身重合，水平投影在軸上。水平跡點的水平投影與跡點自身重合，正面投影在軸上。跡點的投影在直線的同面投影上。4、

特殊位置直線的投影1）投影面平行線2）投影面垂直線1）投影面平行線平行某一投影面，傾斜另兩個投影面的直線稱為投影面平行線。投影面平行線分為三種：水平線(∥于H面，∠于V面和W面）。正平線(∥于V面，∠于H面和W面）。側平線(∥于W面，∠于H

面和V面）。1）投影面平行線（1）水平線VBAa'baa”b”b'1)ab=AB;2)反映β、γ實角;3)a’b’∥OX軸，a”b’’∥OYW軸。γβ實長XZYab'bYWb''a''ZYHOa'X實長投影特性γβγβ1）投影面平行線（2）正平線Va’b’AXBbaOb”ZYa”XbaOb”ZYHYWa”b’a’實長1)a’b’=AB

；2)反映α、γ實角；3)ab∥OX軸，a’’b’’∥OZ軸。實長α投影特性αγαγγ1）投影面平行線（3）側平線1)a”b”=AB

；2)反映α、β實角；3)ab∥OY軸，a’b’∥OZ軸。投影特性VAXBOZY實長實長αβabb’a’βαZXbaOb”YHYWa”b’a’a”b”βα1）投影面平行線投影面平行線的投影特性：直線的另兩個投影平行于相應的軸，且長度縮短。直線在所平行的投影面上的投影反映實長、投影與相應軸的夾角反映直線與另外兩個投影面的夾角實際大小；2）投影面垂直線空間垂直某一投影面的直線稱為投影面垂直線。投影面垂直線分為三種：鉛垂線(⊥于H面，∥于V面和W面)。正垂線(⊥于V面，∥于H面和W面)。側垂線(⊥于W面，∥于H

面和V面)。2）投影面垂直線（1）鉛垂線Va’b’AXB（b）aOb”a”ZYWOXb'a(b)a'b''ZYHYa''1)ab積聚為一點；2)a’b’=a”b”=AB；3)a’b’⊥OX軸,a”b”⊥OYW

軸。投影特性積聚性實長2）投影面垂直線（2）正垂線1)a’b’

積聚為一點；2)ab=a”b”=AB

；3)ab⊥OX軸，a”b”⊥OZ軸。a''YWYHZb''aba'(b')XOVXOZYa‘（b‘）abb”a”AB投影特性積聚性實長VXOZY2）投影面垂直線3.側垂線1)a”b”積聚為一點；2)ab=a’b’=AB

；3)ab⊥OYH軸,a’b’⊥OZ軸。a‘ab(b”)a”b‘BAHYWYZ(b”)a“bb'aa'XO投影特性積聚性實長實長2）投影面垂直線投影面垂直線的投影特性在所垂直的投影面上的投影積聚為一點；另外兩個投影反映實長，且垂直于相應的軸。

例：已知立體上直線AB、CD的空間位置，在投影圖中標注其投影位置，并填空。二、

求一般位置線段的實長1、直角三角形法2、換面法（不作要求自學）1.原理分析1VXZYOα△ABB0為直角三角形B0AB0=abBB0=zb’-za’BAa'bab'實長zb’-za’結論：已知線段的兩個投影，可利用直角三角形法，求出線段的實長及對H投影面的傾角α。直角三角形法直角三角形法1.原理分析2VXZ

YOβ△AA0B為直角三角形A0A0B=a’b’AA0=ya-ybBa'bab'實長ya-yb結論：已知線段的兩個投影，可利用直角三角形法，求出線段的實長及對V投影面的傾角。A直角三角形法例1求線段AB的實長及α。a'b‘aboX實長所得直角三角形的斜邊即實長AB。AB與ab的夾角為α。1.以ab為一直角邊；2.取zb’-za’為另一直角邊;方法1zb’-za’zb’-za’解題完畢V

XZYOαB0B

Aa'bab'zb’-za’α直角三角形法oX實長a'b'ab實長方法2所得直角三角形的斜邊即實長AB。AB與ab的夾角為α。1.以zb’-za’

為一直角邊；2.取ab為另一直角邊;zb’-za’例1求線段AB的實長及α。ααV

XZYOB0B

Aa'bab'zb’-za’αb'aba'X直角三角形法例2求線段AB的實長及β。oABβ所得直角三角形的斜邊即實長AB。AB與a’b’的夾角為β。1.以a’b’

為一直角邊；2.取ya-yb

為另一直角邊;方法1ya-ybya-ybVXZYOβA0Ba'bab'Ab'aba'XOβ直角三角形法所得直角三角形的斜邊即實長AB。AB與a’b’的夾角為β。1.以ya–yb為一直角邊；2.取a’b’為另一直角邊;方法2ABβ例2求線段AB的實長及β。解題完畢ya-ybVXZYOβA0Ba'bab'A直角三角形法例3已知EF=30，試完成e’f’。f'EFzf’-ze’R30zf’-ze’OXe'ef1.以ef為一直角邊；2.以R30為半徑畫弧，在另一直角邊上截得zf’-ze’;方法13.在ff’

投影連線上定f’點，完成

e’f’

。解題完畢e’f’直角三角形法f'EFR30OXe'ef1.以ye-yf為一直角邊；2.以R30

為半徑畫弧，在另一直角邊上截得e’f’;方法23.以e’f’為半徑畫弧,在ff’

投影連線上定f’點，完成e’f’

。ye-yfe’f’

解題完畢例3已知EF=30，試完成e’f’。直角三角形法小結1)實長、坐標差、投影長、傾角為直角三角形的四要素。

注意：直線的坐標差、投影長、傾角是對同一投影面而言。

αZ坐標差水平投影TL(實長)

βY坐標差正面投影TL(實長)

γX坐標差側面投影TL(實長)直角三角形法小結

2)只要已知其中任兩個，即可通過直角三角形求得另兩個。因此直角三角形法的題型衍生為多種形式。α水平投影z

坐標差實長z

坐標差水平投影實長α水平投影實長z坐標差αz坐標差實長α水平投影αz坐標差實長水平投影α實長z坐標差水平投影可求已知（以H面為例列舉說明）三、

兩直線的相對位置1、兩直線平行2、兩直線相交3、兩直線交叉VXZY

O1、兩直線平行兩直線在空間平行則它們的各組同面投影必平行a’

b’c’d'abcdACBD平行OXabb’a’c’d’dc平行即若AB∥CD則ab∥cd

；a’b’∥c’d’。1．若空間兩直線相互平行，則它們的同名投影必然相互平行。反之，如果兩直線的各個同名投影相互平行，則此兩直線在空間也一定相互平行。

2．平行兩線段之比等于其投影之比。1、兩直線平行例1過點E（e、e’）作直線∥AB。OXee’a’b’ba若使EF∥

AB，須ef∥

ab

；e’f’∥a’b’。ff’分析:作圖:解題完畢VXZY2、兩直線相交空間兩直線相交，其同面投影必相交，且交點的投影符合點的投影規(guī)律。BCa'bab'OADdd'c'ck'kKOXabb’a’c’d’dckk'VXZY3、兩直線交叉既不平行也不相交的空間兩直線稱為交叉。DACBc'd'b'a'badcⅣⅠⅡⅢ1‘(2’)3(4)投影圖上的交點是重影點。OXabb’a’c’d’dc1‘（2’）3（4）4’3’12不符合投影規(guī)律O例1判斷AB、EF兩直線的相對位置。相交OXabb’a’f’e’efk’k’b’a’分析：判斷方法：方法一作第三投影（略）方法二按定比性。k由于a’k’:k’b’=ak:kb結論：所以AB、EF相交。解題完畢例2判斷AB、CD兩直線的相對位置。交叉OXabb’a’c’d’dc分析：判斷方法：方法一作第三投影（略）方法二按定比性。（略）方法三：假定AB、CD平行，則ABCD共面，AD和BC必相交，AB、CD

兩交叉直線。結論：平行？交叉？作圖：1、垂直相交的兩直線的投影定理一

垂直相交的兩直線，其中有一條直線平行于投影面時，則兩直線在該投影面上的投影仍反映直角。定理二

相交兩直線在同一投影面上的投影反映直角，且有一條直線平行于該投影面，則空間兩直線的夾角必是直角。2、交叉垂直的兩直線的投影定理三

相互垂直的兩直線，其中有一條直線平行于投影面時，則兩直線在該投影面上的投影仍反映直角。定理四

兩直線在同一投影面上的投影反映直角，且有一條直線平行于該投影面，則空間兩直線的夾角必是直角。例題1例題2例題3例題4四、

垂直兩直線的投影1、垂直相交的兩直線的投影cXb

a

c

baAB垂直于AC,且AB平行于H面,則有ab

acAB垂直于MN,且AB平行于H面,則有ab

mn2、交叉垂直的兩直線的投影[例1]

過點A作線段EF的垂線AB，并使AB平行于V面。[例2]過點A作直線與直線CD垂直

。ee'f分析：有無數解。能圖示出垂直關系的有兩條：一條水平線，一條正平線。f’aa’dd’c’cxo作圖：作正平線AE，使a’e’⊥c’d’，ae∥OX。作水平線AF，使af⊥cd，a’f’∥OX。解題完畢[例3]過點E作線段AB、CD的公垂線EF。b

[例4]作三角形ABC，

ABC為直角，使BC在MN上，且BC

AB=2

3。bcABa

b

|yA-yB|b

c

=BCc

a

a§2.4平面的投影2.4.2各種位置平面的投影2.4.3平面內的線和點2.4.1平面的表示法2.4.1平面的表示法一、幾何元素表示法二、跡線表示法PABC一.平面的表示方法1.幾何元素表示法直線及線外一點兩平行直線兩相交直線平面圖形不共線的三點PABCPABCDPABCPABCXOa'b'c'abcXOa'b'c'abcXOa'b'c'abcdd’XOa'b'c'abcVXZY一.平面的表示方法2.跡線表示法跡線：平面與投影面的交線。PPVPHPWPXPYPZ規(guī)定：V、H、W各面跡線分別用PV、PH、PW

表示。

XZYHYWOPVPZPXPHPYHPYWPWO2.4.2各種位置平面的投影一、投影面垂直面二、投影面平行面三、一般位置平面一、投影面垂直面垂直于某一投影面，傾斜于另兩個投影面的平面稱為投影面垂直面。投影面垂直面分為三種：鉛垂面(⊥于H

面，∠于V面和W面)正垂面(⊥于V

面，∠于H面和W面)側垂面(⊥于W

面，∠于H

面和V面)VXZY一、投影面垂直面1.鉛垂面積聚性類似性類似性c”b”a”cbac'b'a'YWZYHXb'a'CBAcbac”

a”投影特性：H

投影積聚為-傾斜線；反映β和γV投影和

W

投影為類似形。γβγβOc'b”O(jiān)一、投影面垂直面1.鉛垂面VXZYYWZYHXPVPHPWγβPHPWPV跡線表示?POOVXZY一、投影面垂直面2.正垂面a”b”c”d”abcdYWZYHX積聚性類似形類似形αγαγOV投影積聚為-傾斜線；反映α和γ；H

投影和W

投影為類似形。投影特性：ABCDOc’(b’)d’(a’)VXZY一、投影面垂直面2.正垂面RHRWRVRVRHRWYWZYHXαγ跡線表示ROOYVXZ一、投影面垂直面3.側垂面W投影積聚為-傾斜線；反映α和β；H

投影和

V投影為類似形。αβYWZYHXαβ積聚性類似形類似形投影特點：OOYVXZ一、投影面垂直面3.側垂面YWZYHXQWQVQVQHQWαβ跡線表示OOQHQ一、投影面垂直面例1包含A（a，a’）作α=30°

的正垂面。30°a’axoa’axo30°兩相交直線決定平面跡線表示平面bcb’c’RVRHdd’一、投影面垂直面例2包含AB（ab，a’b’）作鉛垂面。a’b’abXOcc’一、投影面垂直面例3完成側垂面的水平投影。1‘2‘3‘4‘5‘1“2“4“3“5“6“165243側垂面注意：

V、H投影的“類似性”。投影分析：XOZYHYW6‘二、投影面平行面平行于某一投影面的平面稱為投影面平行面。投影面平行面分為三種：水平面(∥于H面，⊥于V、W面)正平面(∥于V

面，⊥于H、W面)側平面(∥于W面，⊥于H

、V面)VXZYo二、投影面平行面1.水平面CABa’b’c’a”b”c”abc投影特性：H

投影反映實形；V投影和

W

投影積聚為直線；積聚投影垂直于OZ軸。YWYHXZa’b’c’abca”b”c”實形OVXZYo二、投影面平行面1.水平面QWQVYWYHXZQVQW跡線表示CABOVXZYo二、投影面平行面2.正平面投影特性：V

投影反映實形；H

投影和

W

投影積聚為直線；積聚投影都垂直于OY軸。YWYHXZ實形OVXZYo二、投影面平行面2.正平面PPHPWYWYHXZPHPW跡線表示OVXZYo二、投影面平行面3.側平面投影特點：W投影反映實形；H投影和

V

投影積聚為直線；積聚投影垂直于OX軸。XZYHYW實形OVXZYo二、投影面平行面3.側平面RHRVXZYHYW

RVRH跡線表示RO二、投影面平行面例1包含點A（a，a’）作正平面。a’axo正平面的水平投影為一條∥OX軸的直線。bcb’c’二、投影面平行面例2含水平線BC（bc，b’c’）作平面P

平行于H面。b’bxocc’PV三、一般位置平面傾斜于三個投影面的平面，稱為一般位置平面。VXZY三個投影均是類似形。投影特性：XZYHYWb’c’b’a’bcac’b’a’bcaa’’c’’b’’

a’’c’’b’’BACoo三、一般位置平面用跡線表示的一般位置平面VXZYPPVPHPWPXPYPZ

XZYHYWOPVPZPXPHPYHPYWPW三、一般位置平面例包含A（a，a’）作一般位置平面。任作兩相交直線決定一平面.bcb’c’axoa’無數解!2.4.3平面內的直線和點一、直線在平面內的幾何條件二、平面內的一般位置直線三、平面內的投影面平行線四、平面內的點P一、直線在平面內的幾何條件通過一平面上的兩個點；通過平面上一點同時又平行該平面上另一直線。平行MN二、平面內的一般位置直線例1在平面△ABC內作一任意直線。1’22’abcXOa'b'c'1無數解!二、平面內的一般位置直線例2判斷直線ⅠⅡ是否在ABC平面內。1’22’abcXOb'a'c’1否3’4’43三、平面內的投影面平行線1.定義:

平面內平行于某一投影面的直線，稱為平面內的投影面平行線。在一般位置平面內可取三類投影面平行線:水平線；正平線；側平線。VXZYO三、平面內的投影面平行線從屬性(屬于平面);投影面平行線的投影特性。DEe'd'edA

Cc'

b'a'abcde=DEd’e’∥oxdea‘b’c‘cabOXd'e'取平面內的水平線DE2.投影特性:d’e’∥OX軸B三、平面內的投影面平行線例在平面(AB∥CD)內作直線EF∥V面，使距離V面為15。eff'15bb'aa'Xdcc'Od'e'[例]

已知點E

在

ABC平面上，且點E距離H面15，距離V面10，試求點E的投影。P四、平面內的點點在平面上的幾何條件：在平面內定點時，一般要通過包含點在平面內取輔助線求解。點在平面內的一條直線上。五、平面內的點例1已知點K在平面ABCD內，據k求k’。作圖分析：在平面內取一條過K點的直線，如AI

。使k’

在a’1’上，則K在平面內。k’a‘b’c‘cadOXd‘bk11’作圖：解題完畢五、平面內的點例2已知點K在平面△ABC內，據k’

求k

。平面的水平投影積聚；c'cbb'aa'OXK’k使k落在投影abc上即可。解題完畢作圖分析：作圖：五、平面內的點例3完成平面四邊形ABCD的水平投影。作圖分析：平面四邊形ABCD的對角線必相交。k’cXa‘b’c‘adOd‘bk作圖：解題完畢五、平面內的點例4試判斷K點是否在平面內。分析：cXa‘c‘

adOd‘b’bk’k1‘1作圖：

KD與平面內的線不平行或相交。點K不在平面內解題完畢

K與平面內任一點連線,若K在平面內則該連線應與平面內的線平行或相交。五、平面內的點例5完成平面多邊形的水平投影，并求側面投影。作圖：投影分析：帶切口的三角形一般位置平面有關線段平行2‘b4’13‘cxa‘c‘a

ob’zYHYH1’42a”c”b”4”1”3”2”解題完畢3bckada

d

b

c

ada

d

b

c

k

bc例6：已知AC為正平線，補全平行四邊形ABCD的水平投影。解法一解法二五、平面內的點2.5.2相交問題2.5.3垂直問題2.5.1平行問題§2.5直線與平面及兩平面間的相對位置一、直線和平面平行二、平面與平面平行2.5.1平行問題P如果平面P外的一條直線AB與平面內的一條直線平行,那么這條直線AB和這個平面P平行。AB反之，如果直線AB與平面P平行，那么在平面內一定有一條直線與該直線AB平行。L∵L∈P；

L

∥AB；∴AB

∥P。只要含點Ⅰ作直線與AB平行

，則含此直線所作的任意平面均符合題意。1.作1'

3'∥a'b'；

13∥ab；3'322’XOa'b'ab1’1作圖：2.任作12，1’2’。則平面ⅠⅡⅢ平行于直線AB。分析：只要判斷能否在平面內找到一條與AB直線平行的直線即可，有則平行，否則不平行。1.在平面內取直線ⅠD，使1’d'∥a'b'；a'b'ab1’1作圖：2.連接1d；∵1d與ab不平行，∴平面ⅠⅡⅢ

與直線AB不平行。分析：XO2'3'23d'd如果一平面內的兩相交直線與另一平面內的兩相交直線分別對應平行，則兩平面平行。PRL1L2L3L4∵

L1∥L2

；

L3∥

L4

；∴

R

∥

P。b‘1c‘1XOa'2b'2c'2a2b2c2a‘1a1c1b1只要含點A1作相交直線分別與A2B2

和A2C2

平行即可。1.作a‘1b‘1

∥a'2b'2

；

a1b1∥a2b2；作圖：則平面(A1B1×A1C1)與平面（A2B2×A2C2）平行。分析：2.作a‘1c‘1∥a'2c'2

；

a1c1

∥a2c2

；兩投影面垂直面平行，在它們所垂直的投影面上，它們的積聚性投影相互平行。pQXqq’p’pP∥Qp∥q0概述一、特殊位置平面與直線或平面相交二、一般位置直線和平面相交三、兩一般位置平面相交2.5.2相交問題直線和平面、平面和平面若不平行就必相交?；締栴}性質求共有點的方法1.利用積聚性，確定交點的已知投影直接作圖；2.通過輔助平面作圖。1.求交點、交線；2.判別可見性。共有點；共有線。求交點——求直線和平面的共有點；求交線——求出兩個共有點，然后連線。舉例利用積聚性投影作圖例1求直線AB與平面△CDE的交點。例2求直線AB與平面P(跡線面)的交點。例3求兩平面△ABC與△DEF的交線。例5求兩平面Q平面與△ABC的交線。例4求兩平面△EFG和□ABCD的交線。例6求一平面與共邊兩平面△SAB、△SAC的交線。利用積聚性投影作圖ocbac'b'a'xd'e'edkk’BAECD例1求直線AB與平面△CDE的交點。分析：Kk作圖：從屬性利用積聚性投影作圖ocbac'b'a'xd'e'edkk’可見性判別：方法1：利用重影點2’1’12()k’b’可見，線段描粗；k’2’不可見，畫細虛線。例1求直線AB與平面△CDE的交點。2在前方法2BAECDKk利用積聚性投影作圖ocbac'b'a'xd'e'edkk’可見性判別：方法2：根據空間位置關系前，可見界V

投影投射方向BAECDKk例1求直線AB與平面△CDE的交點。解題完畢后，不可見Pk’koPHbab'a'xPVPXABK例2求直線AB與平面P(跡線面)的交點。利用積聚性投影作圖分析：平面P為正垂面，交點的V投影已知；根據點在線上的從屬性，可求得交點的H投影。k’koPHbab'a'xPVPXPABK上，可見下，不可見。H投影投射方向利用積聚性投影作圖可見性判別：

H投影需判別可見性，

PV為界。界例2求直線AB與平面P(跡線面)的交點。解題完畢BACEFDocbac'b'a'xd'f'e'efd例3求兩平面△ABC與△DEF的交線。利用積聚性投影作圖分析：△DEF為鉛垂面，交線的H投影已知；根據從屬性，求交線的V投影。abckll’k’KLklocbac'b'a'xd'f'e'efd利用積聚性投影作圖判別可見性：根據空間位置關系判別。前，可見后，不可見界例3求△ABC與△DEF兩平面的交線。kll’k’解題完畢V面投影投射方向BACEFDabcKLklkocbac'b'a'xd'defgg'e'f'例4求兩平面△EFG和□ABCD的交線。利用積聚性投影作圖分析：△EFG為水平面;k’l’l交線的V投影已知；根據從屬性，求交線的H投影。kLocbac'b'a'xd'defgg'e'f'利用積聚性投影作圖判別可見性：根據空間位置關系判別。上,可見下,不可見。H投影投射方向kl界例4求兩平面△EFG和□ABCD的交線。解題完畢k’l’kLQklocbac'b'a'xQVk'l'例5求平面Q與平面△ABC的交線。利用積聚性投影作圖分析：

Q面為正垂面;交線的V投影已知；根據從屬性，求交線的H投影。kLBACklOcbac'b'a'XQVk'利用積聚性投影作圖判別可見性：根據空間位置關系判別。上,可見下,不可見。界例5求Q平面與平面△ABC的交線。解題完畢H投影投射方向l’QkLBAC例6求矩形平面與共邊兩平面△SAB、△SAC的交線。利用積聚性投影作圖分析：矩形平面為水平面;cbac'b'a'BACSS'S其與△SAB、△SAC的交線是兩水條平線;交線V投影已知；求H投影。作圖：判別可見性：解題完畢XO引：求直線DE與平面△ABC的交點。輔助平面法cbac'b'a'xod'e'de分析KACBPE(D)KACBPE(D)已知平面輔助平面法作圖過程：1.包含直線作輔助平面；2.求輔助平面與已知平面的交線；3.求交線與已知直線的交點。已知直線輔助平面交點輔助平面的位置原則?特殊位置平面引：求直線DE與△ABC平面的交點。輔助平面法cbac'b'a'xoPV1‘2’(

)

1234(

)

4’3‘kk’作圖過程：1.包含直線DE作正垂面P(或鉛垂面）；2.求P平面與△ABC平面的交線，并確定交點K；3.利用重影點判別可見性。引：求直線DE與平面△ABC的交點。輔助平面法直線V投影的可見性直線H投影的可見性解題完畢d'

e'deKACBPE(D)PVkk’4’a2'1'a'xo12433’ⅠⅡⅢⅣA方法一分析：將點A與直線ⅠⅡ構成平面，求直線ⅢⅣ與該平面的交點K，連線AK必與直線ⅠⅡ相交，交點為B

。KB投影作圖：bb’例2包含點A作直線AB使與兩交叉直線ⅠⅡ、ⅢⅣ

相交。解題完畢4’a2'1'a'xo12433’方法二分析：換面法ⅠⅡⅢⅣABK例2包含點A作直線AB使與交叉直線ⅠⅡ、ⅢⅣ相交。解題過程略ⅠⅡⅢⅣABQVk1’k1k2k2’4’a2'1'a'xo12433’bb'K1K