高等數(shù)學(xué)（第二版）上冊課件：換元積分法

換元積分法4.2.2第二類換元法4.2.1第一類換元法（湊微分法）4.2.1

第一類換元法（湊微分法）例4.2.1

求分析無法直接利用積分公式，因此可以將作為整體，湊出積分變量，再進(jìn)行計(jì)算.解令，則由此可見,計(jì)算的關(guān)鍵步驟是把它變成,然后通過變量代換就可化為易計(jì)算的積分.

而如果又是另一個變量的函數(shù)是一般地，如果的一個原函數(shù)，則且可微，那么根據(jù)復(fù)合函數(shù)的微分法，有由此得

于是有如下定理：定理4.2

則有換元公式注：如果積分不能直接利用利用基本積分公式計(jì)算，而其被積表達(dá)式能表示為可導(dǎo)，是具有原函數(shù)

設(shè)的形式，較易計(jì)算，那么可令且代入后有這樣就得到了的原函數(shù).這種積分稱為第一類換元法.由于在積分過程中，先要從被積表達(dá)式中湊出一個積分因子因此第一類換元法也稱為湊微分法.解

分析

被積函數(shù)

是

與構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，因此作變量代換.例4.2.2

求

例4.2.3

求解

被積函數(shù)可看成

與構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，雖沒有這個因子，但我們可以湊出這個因子：如果令便有

，把它化為

一般地，對于積分總可以作變量代換

例4.2.4

求解

令,則在方法比較熟悉后，不定積分的換元法就可以刪繁就簡，略去設(shè)中間變量和換元的步驟，而直接湊成基本積分公式的形式．，即分析

可將

作為

例4.2.5

求分析

將作為，將其湊成微分部分.解：

例4.2.6

求

分析

湊微分，利用積分公式

計(jì)算.解

類似的方法可以計(jì)算

如下：解類似地可得

例

4.2.7

求和

分析

將正切函數(shù)轉(zhuǎn)化成正余弦，再湊微分.解類似地可得

例4.2.8

求

和

分析

此題可以轉(zhuǎn)化為正余弦，也可直接變形湊微分計(jì)算，采用第二種方法較為簡單.

例4.2.9

求分析

含有

的函數(shù)求積分，通常利用求解.解

例4.2.10

求分析

原式變形，利用

求解.解解類似地可得

例4.2.11

求下列不定積分.(1)(2)(1)分析

通常三角函數(shù)平方的積分需要先降次再積分.(2)分析

正割的4次方，充分利用湊出微分求解.解

目前為止，我們已經(jīng)掌握所有三角函數(shù)以及三角函數(shù)平方的積分了.(1)

(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)

湊微分是利用第一類換元法求解積分的主要技巧，熟記常見湊微分的形式往往會提高解題速度和能力。一般地，有如下幾種常見的湊微分形式：4.2.2第二類換元法

第一類換元法是通過變量代換

，將積分化為積分．第二類換元法是通過變量代換，將積分化為積分

上述公式的成立是需要一定條件的，首先等式右邊的不定積分要存在，即被積函數(shù)在求出后一個積分后,再以反函數(shù)代回去,這樣換元積分公式可表示為:的有原函數(shù)；其次,的反函數(shù)要存在.我們有下面的定理．定理4.3

設(shè)函數(shù)

連續(xù),單調(diào)、可導(dǎo)，并且，則有換元公式證明

設(shè)的原函數(shù)為，記,利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則及反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可得：即

是

的原函數(shù)，所以有：證明完畢．第二類換元法通常適用于以下幾個類型：1.被積函數(shù)含有2.被積函數(shù)含有3.被積函數(shù)含有下面逐個舉例說明．分析

為使被積函數(shù)有理化，利用三角公式解

令

，,則它是的單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)，具有反函數(shù)且

例4.2.12

求因而t分析

利用公式，可以去掉根號.解

令，如圖，則于是

其中

例4.2.13

求

例4.2.14

求分析

同上題，利用解令

，則

，，于是，

例4.2.15

求分析

為使被積函數(shù)有理化，利用三角恒等式解

被積函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

，令可求得被積函數(shù)在內(nèi)的不定積分，這時,故其中

，當(dāng)

時，可令類似地可得到相同形式的結(jié)果．

例4.2.16

求

分析

同上題，利用三角恒等式解被積函數(shù)定義域?yàn)椋睿藭r，故原式=利用直角三角形，回代：原式=當(dāng)時，此時原式=因此，

綜上可以看出，第二類換元法一般是利用三角代換將被積函數(shù)中的無理因式化為三角函數(shù)的有理因式，從而解決根號下含有二次函數(shù)型的積分．現(xiàn)總結(jié)如下：1.若被積函數(shù)中含有時，可作代換或2.含有

時，可作代換3.含有

時，可作代換

變量回代時，利用直角三角形可以快速解出所求量,因此不失為一種切實(shí)有效的方法.

除以上三角換元之外，很多時候還需用到其他換元的方法，比如常見的有倒代換和根式換元等等.下面舉一兩個例子加以說明.例4.2.17

求解因此當(dāng)時，有綜合起來，得當(dāng)時，,有,則令例4.2.18求分析

被積函數(shù)含有根號，但根號下是一元函數(shù)，無法使用三角換元.為了消去根號，因此可考慮用根式換元.解

令，,將回代得：原式=由此題可知，當(dāng)被積函數(shù)中含有無理式或者

(a,b,c,d為實(shí)數(shù))時，我們常作代換或

在本節(jié)的例題中，有幾個積分結(jié)果是以后經(jīng)常會遇到的．所以它們通常也被當(dāng)作公式使用．這樣,常用的積分公式，除了基本積分表中的以外，再添加下面幾個(其中常數(shù)a＞0).通常這21個式子可以被當(dāng)作公式使用．(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)例4.2.19求下列不定積分．（1）（2）

(1)分析

分母是二次函數(shù)，能因式分解，將其拆開裂項(xiàng)，再分別積分.解

(2)分析

分母是二次函數(shù)，但不能因式分解，此時需要配方，再用積分公式.解利用公式(18)，可得思考