高等數(shù)學(xué)（第二版）下冊課件：二重積分的計(jì)算

7.2.2直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分步驟7.2.1二重積分區(qū)域類型7.2.3利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分

二重積分的計(jì)算及交換二次積分次序定義7.2X-型區(qū)域.7.2.1二重積分區(qū)域類型

如果積分區(qū)域，，是為上的連續(xù)函數(shù)，則稱其中為X-區(qū)域..

和軸的直線所圍的帶狀區(qū)域與上封線函數(shù)和下封線函數(shù)共同圍成封閉區(qū)域，因而穿過區(qū)域且平行于軸的直線與區(qū)域的邊界相交不多于兩個交點(diǎn).特點(diǎn)：平行于為底、以為頂?shù)那斨w的體積，應(yīng)用計(jì)算“平行截面面積為已知的立體求體積”的方法，有由幾何意義知，為以積分的二次積分.此為先對積分,后對

特別地，切記在X-型區(qū)域的劃分中一定要滿足下限小于上限：

我們可用“穿線法”.來確定下限函數(shù)

和上限函數(shù)

，用平行軸的直線自

軸負(fù)方向穿向

軸正方向（自下

向上）,首先觸碰的函數(shù)為下限函數(shù)

，次后觸碰的函數(shù)自然就是上限函數(shù)

.于，如果積分區(qū)域定義7.3Y-型區(qū)域其中，是上的連續(xù)函數(shù)，則稱為Y-型區(qū)域.特點(diǎn)：平行于軸的直線所圍的帶和狀區(qū)域與右封線函數(shù)和左封線函數(shù)共同圍成封閉區(qū)域，因而穿過區(qū)域且平行于軸的直線與區(qū)域的邊界相交不多于兩個交點(diǎn).類似X-型區(qū)域，如果區(qū)域?yàn)閅-型區(qū)域，則二重積分的計(jì)算公式為相應(yīng)地，亦可使用”穿線法“來確定下限函數(shù)積分的二次積分.積分，后對此為先對軸負(fù)方軸的直線自，用平行于和上限函數(shù)，軸正方向（自左向右），首先觸碰發(fā)函數(shù)為向穿向次后觸碰的函數(shù)為.特別地，如果積分區(qū)域然后在每塊積分區(qū)域上應(yīng)用相應(yīng)的公式，再根據(jù)二重積Y-型區(qū)域，可以將其分割成若干個X-型區(qū)域、Y-型區(qū)域，分對積分區(qū)域的可加性，就可以計(jì)算出所給的二重積分.即：既不是X-型區(qū)域也不是特殊情況下，當(dāng)更為特殊地，如果積分區(qū)域是上述的矩形而被積函數(shù)時，有，的邊界是與坐標(biāo)軸平行的矩形時，有可以分離成兩個一元函數(shù)的乘積，即（）7.2.2

直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分步驟、

交換二次積分次序(1)在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分的步驟①確定積分函數(shù)，畫出積分區(qū)域

，求出邊界曲線的交點(diǎn)．④計(jì)算—把二重積分轉(zhuǎn)化為二次積分．②根據(jù)

的形狀和

的性質(zhì)確定積分次序．③確定積分限（注意：無論

-型區(qū)域還是

-型區(qū)域，都必須滿足下限

上限）．③重新寫出二重積分．(2)交換二次積分次序①對于給定的二重積分，先確定積分限，畫出積分區(qū)域．②根據(jù)積分區(qū)域的圖形，按新的次序確定積分區(qū)域的積分限．(3)根據(jù)積分區(qū)域的對稱性和被積函數(shù)的奇偶性簡化二重積分①如果積分區(qū)域關(guān)于

軸對稱，被積函數(shù)是

的奇函數(shù)，則二重積分為零．④如果積分區(qū)域關(guān)于

軸對稱，被積函數(shù)是

的偶函數(shù)，則二重積分為半?yún)^(qū)域的兩倍．③如果積分區(qū)域關(guān)于

軸對稱，被積函數(shù)關(guān)于

是奇函數(shù)，則二重積分為零．②如果積分區(qū)域關(guān)于

軸對稱，被積函數(shù)是

的偶函數(shù)，則二重積分為半?yún)^(qū)域的兩倍．例7.2.1計(jì)算解

方法1可把分析畫出積分區(qū)域所圍閉區(qū)域.，及是由直線，其中X-型區(qū)域或Y-區(qū)域，帶入公式.，將其寫成于是，，看成是X-型區(qū)域：，方法2也可把看成是Y-型區(qū)域：，于是，，例7.2.2計(jì)算，將其寫成X-型區(qū)域或Y-型區(qū)域，帶入公式畫出區(qū)域，其中分析解例7.2.3改變解的積分次序.分析仍需畫出積分區(qū)域，辨識當(dāng)前積分域型，轉(zhuǎn)換為對稱域型即可.由將區(qū)域轉(zhuǎn)換為Y型域：例7.2.4

求

，

是由

和

所圍成的閉區(qū)域．解首先畫出積分區(qū)域（見圖7-11）.由于

“積不出來”，只能作為“

-型區(qū)域”．===例7.2.5

計(jì)算

，其中

是由直線

及拋物線

所圍成的閉區(qū)域．解首先畫出積分區(qū)域.積分區(qū)域

可表示為:

于是

積分區(qū)域也可以表示為

，其中

，于是

此時計(jì)算復(fù)雜.例7.2.6

求兩個底圓半徑都等于

的直交圓柱面所圍成的立體的體積．解設(shè)這兩個圓柱面的方程分別為

及

，利用立體關(guān)于坐標(biāo)平的對稱性，只要算出它在第一卦限部分的體積

，然后再乘以8就得出立體體積.第一卦限部分是以

為底、以

為頂?shù)那斨w．于是例

7.2.7

求由

與

所圍成的圖形（見圖）的面積（兩部分都要計(jì)算）．解7.2.3利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分1.極坐標(biāo)體系下面積的確定.以從極點(diǎn)O出發(fā)的一簇射線及以

極點(diǎn)為中心的一簇同心圓構(gòu)成的網(wǎng)格區(qū)域D分為n個小閉區(qū)域,如圖所示，小閉區(qū)域

的面積為其中

表示相鄰兩圓弧的半徑平均值.在

內(nèi)取點(diǎn)

，設(shè)其直角坐標(biāo)為

，則有

.于是即補(bǔ)：直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系（1）極點(diǎn)在區(qū)域D內(nèi)，區(qū)域的邊界為

，顯然

的取值范圍為

，

的取值范圍為

，則2.極點(diǎn)和積分區(qū)域的位置關(guān)系.（2）極點(diǎn)在區(qū)域D

外，如果從極點(diǎn)作兩條射線

，把區(qū)域的邊界分為兩個單值部分

和

，顯然在區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)

，

，則

（3）極點(diǎn)在區(qū)域D邊界上，從極點(diǎn)作兩條射線與區(qū)域相切，切線為

和

，顯然曲線上的點(diǎn)

，

，則例7.2.8計(jì)算

，其中

由中心在

原點(diǎn)，半徑

為的圓周圍成.解在極坐標(biāo)系中，閉區(qū)域

可表示為

，

，于是例7.2.9設(shè)區(qū)域D為