高等數(shù)學(xué)（第二版）下冊課件：偏導(dǎo)數(shù)

偏導(dǎo)數(shù)6.3.1偏導(dǎo)數(shù)的概念6.3.2高階偏導(dǎo)數(shù)預(yù)備知識1.一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義：2.導(dǎo)數(shù)四則運算法則3.高階導(dǎo)數(shù)的定義：在研究一元函數(shù)時,我們從研究函數(shù)的變化率問題引入本節(jié)我們研究在其他自變量固定不變時,多元函數(shù)關(guān)于對于多元函數(shù)同樣需要討論變化率問題.但多元函數(shù)的了導(dǎo)數(shù)的概念.自變量不止一個,自變量與因變量之間的關(guān)系要比一元函數(shù)復(fù)雜．一個自變量的變化率問題,即偏導(dǎo)數(shù)．6.3.1偏導(dǎo)數(shù)的概念二元函數(shù)中，如果只有自變量變化，另一個到定義6.8：是固定的(相當(dāng)于常量)，此時就能看作的一元函數(shù)，函數(shù)對的導(dǎo)數(shù)就能稱為二元函數(shù)對的偏導(dǎo)數(shù)，得如果極限

存在則稱此極限為函數(shù)

在點

處對

的偏導(dǎo)數(shù)，

，

，

或定義6.8設(shè)函數(shù)

在點

的某一鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)固定在而在處有增量時,相應(yīng)地,函數(shù)有增量記作類似的，函數(shù)

在

點

處對

的偏導(dǎo)數(shù)定義為記作

，

，

或類似地，可定義函數(shù)

對

的偏導(dǎo)函數(shù)

，

，

或以后可在不易混淆的情況下把偏導(dǎo)函數(shù)稱為偏導(dǎo)數(shù).偏導(dǎo)函數(shù)的定義為：記為

根據(jù)定義，求函數(shù)

的偏導(dǎo)數(shù)，并不需要新的方法，定義中只有一個自變量在變化，另一個自變量看作固定的，仍是一元函數(shù)的微分法問題.求類似地，求時，只要把暫時看作常量而對求導(dǎo)數(shù)；時，只要把暫時看作常量而對求導(dǎo)數(shù).其中

是函數(shù)

的定義域的內(nèi)點，求

偏導(dǎo)數(shù)的概念還可以推廣到二元以上的函數(shù).例如三元函數(shù)在點處對的偏導(dǎo)數(shù)定義為：法仍是一元函數(shù)的微分法問題.解

，例6.3.1求

在點(1,2)處的偏導(dǎo)數(shù)分析

先求函數(shù)

分別對

，

的偏導(dǎo)數(shù)，再將點代入偏導(dǎo)數(shù)表達(dá)式中解

導(dǎo)數(shù),將另外的自變量看作常量.例6.3.2求

的偏導(dǎo)數(shù).分析

求函數(shù)

對其中一個自變量的偏證明

因所以例6.3.3設(shè)求證分析

先求函數(shù)

分別對

，

的偏導(dǎo)數(shù)

代入等式兩端，驗證左右兩端相等：解例6.3.4求

的偏導(dǎo)數(shù).將

和

看作常量，得類似的，例6.3.5已知理想氣體的狀態(tài)方程為求證：

證明因為,,,所以

從上例中我們看到,偏導(dǎo)數(shù)的記號是一個整體記號,不能看作分子、分母之商．這是與一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)記號的不同之處．

設(shè)

為曲面

上的一點，過

二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義

就是曲線在點

處的切線對

軸的斜率(對

的變化率)，同樣，偏導(dǎo)數(shù)

就是曲線在點

處的切線對

軸的斜率(對

的變化率).做平面

上的方程為,截此曲面得一條曲線，此曲線在平面,則對的偏導(dǎo)數(shù)關(guān)于多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù),我們說明幾點：(1)對于分段函數(shù)分段點處的偏導(dǎo)數(shù),我們只能利用偏導(dǎo)(3)偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)性之間的關(guān)系：與一元函數(shù)不同,對于多數(shù)的定義求,不能直接利用求導(dǎo)法則求．多元函數(shù)來說,即使各偏導(dǎo)數(shù)在某點處都存在,也不能保證函數(shù)在該點處連續(xù)．點(0,0)處為分段點,對的偏導(dǎo)數(shù)需利用定義求,即類似的，即偏導(dǎo)數(shù)存在,而由上節(jié)例6.2.6可知,不二元函數(shù)存在，故該函數(shù)在(0,0)處不連續(xù).6.3.2高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)在區(qū)域

內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù)那么在內(nèi),都是

的函數(shù).如果這兩個函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)也存在,則稱它們是函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)按照對變量求導(dǎo)次序的不同,有下列四個二階偏導(dǎo)數(shù)：其中,稱為混合偏導(dǎo)數(shù)．同樣可得三階、四階、以及n階偏導(dǎo)數(shù)．二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)．純偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)定義：二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù).解問題：具備怎樣的條件才能使混合偏導(dǎo)數(shù)相等？解

定理

如果函數(shù)