高等數(shù)學(xué)（第二版）下冊(cè)課件：數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂判別法

數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂判別法8.2.1正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法8.2.2交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法8.2.3絕對(duì)收斂與條件收斂預(yù)備知識(shí)1.級(jí)數(shù)收斂的定義及性質(zhì)；2.單調(diào)有界數(shù)列必有極限；收斂數(shù)列必有界；3.等價(jià)無窮小：時(shí)，4.兩類重要極限：則稱該級(jí)數(shù)稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù)由單調(diào)有界數(shù)列必有極限，可得下面重要定理定理8.1（正項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本收斂定理）

在級(jí)數(shù)

中，如果每一項(xiàng)易見：部分和數(shù)列

單調(diào)增加

正項(xiàng)級(jí)數(shù)

收斂的充要條件是其部分和數(shù)列

有界

8.2.1正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法即正項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列

有界，因此正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂.解

級(jí)數(shù)部分和例

8.2.1

判斷正項(xiàng)級(jí)數(shù)

的斂散性.定理

8.2

比較審斂法大收則小收，小散則大散。（1）若級(jí)數(shù)

收斂，則級(jí)數(shù)

也收斂（2）若級(jí)數(shù)

發(fā)散，則級(jí)數(shù)

也發(fā)散

設(shè)有兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)

和

，有

成立，則證明（2）設(shè)且（1）設(shè)且即部分和數(shù)列有界，所以

收斂.不是有界數(shù)列則發(fā)散推論使得從某一項(xiàng)起（例如從第N項(xiàng)起），總有

（1）若級(jí)數(shù)

收斂，則級(jí)數(shù)

也收斂（2）若級(jí)數(shù)

發(fā)散，則級(jí)數(shù)

也發(fā)散成立，那么

設(shè)有兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)

和

，且存在正數(shù)

由

發(fā)散及比較審斂法知，

發(fā)散解因此分析

分

和

兩種情況，.當(dāng)

時(shí)，對(duì)于

，有

例

8.2.2

討論

級(jí)數(shù)

的斂散性

當(dāng)

時(shí)

，

分別利用比較審斂法和正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂基本定理.上式說明

有界，因此級(jí)數(shù)

收斂綜上所述，當(dāng)

時(shí)，級(jí)數(shù)

收斂

當(dāng)

時(shí)，級(jí)數(shù)

發(fā)散于是

級(jí)數(shù)的部分和

定理8.3比較審斂法的極限形式

設(shè)

和

都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果

則(2)當(dāng)

時(shí)，

若

收斂,則

亦收斂;(3)當(dāng)

時(shí)，若

發(fā)散,則

亦發(fā)散．(1)當(dāng)

時(shí),與

具有相同的收斂性;證明當(dāng)n＞N時(shí),有即由比較審斂法知結(jié)論成立．結(jié)論(2)、結(jié)論(3)的證明類似（1）由于取則存在

例8.2.3判斷級(jí)數(shù)

的斂散性由比較審斂法的極限形式知

收斂．解

因?yàn)?/p>

=1而

級(jí)數(shù)

收斂例8.2.4證明正項(xiàng)級(jí)數(shù)

發(fā)散證明

因?yàn)榍艺{(diào)和級(jí)數(shù)

發(fā)散故由比較審斂法的極限形式知,正項(xiàng)級(jí)數(shù)

發(fā)散例8.2.5判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性(1)(2)解(1)因?yàn)槎{(diào)和級(jí)數(shù)

發(fā)散根據(jù)比較審斂法的極限形式可知級(jí)數(shù)

發(fā)散

(2)因?yàn)?/p>

而級(jí)數(shù)

為

的

級(jí)數(shù),是收斂的根據(jù)比較審斂法的極限形式可知級(jí)數(shù)

收斂.

定理8.4達(dá)朗貝爾(d′Alembert)比值審斂法

=ρ,設(shè)有正項(xiàng)級(jí)數(shù)

，如果極限

那么(1)當(dāng)

時(shí),級(jí)數(shù)收斂;(2)當(dāng)

(包括ρ=+∞)時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散;

(3)當(dāng)

時(shí),級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散(需另行判別)．證明(1)由于,因此可找到正數(shù),使得根據(jù)極限定義,必有正整數(shù),當(dāng)

時(shí)，有不等式

，成立因此，,

而級(jí)數(shù)是公比的等比級(jí)數(shù),是收斂級(jí)數(shù)再由定理8.2的推論知，正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂.由于=ρ＞1,可取一個(gè)適當(dāng)?shù)恼龜?shù)＞0,使得

這就是說,對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù),從第

項(xiàng)開始有據(jù)極限定義,必有正整數(shù),當(dāng)時(shí),有不等式

因此，即.,成立

根據(jù)級(jí)數(shù)收斂的必要條件可知，正項(xiàng)級(jí)數(shù)

發(fā)散正項(xiàng)級(jí)數(shù)從第

項(xiàng)開始,級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)是逐漸增大的,從而.

因此只根據(jù)不能判斷級(jí)數(shù)的收斂性.(3)當(dāng)ρ=1時(shí),正項(xiàng)級(jí)數(shù)可能收斂,也可能發(fā)散．這個(gè)結(jié)論從

級(jí)數(shù)就可以看出．事實(shí)上,若為

級(jí)數(shù),則對(duì)于任意實(shí)數(shù)

,有但當(dāng)

時(shí),

級(jí)數(shù)發(fā)散;

時(shí),

級(jí)數(shù)收斂．證明

因?yàn)槔?.2.6判斷級(jí)數(shù)

的斂散性．

==所以由比值審斂法知,級(jí)數(shù)發(fā)散．例8.2.7判斷正向級(jí)數(shù)

的斂散性分析一般項(xiàng)中含有階乘及次方,利用比值審斂法.解因?yàn)樗杂杀戎祵彅糠ㄖ?級(jí)數(shù)收斂．分析利用比較審斂法或其極限形式因?yàn)?比值審斂法失效,必須用其它方法來判別級(jí)數(shù)的收斂性.例8.2.8判斷級(jí)數(shù)的斂散性.=1解或

而級(jí)數(shù)收斂,因此由比較審斂法(或其極限形式)可知所給級(jí)數(shù)收斂.解

因?yàn)樗?當(dāng),即

時(shí),級(jí)數(shù)收斂;*例8.2.9討論級(jí)數(shù)

的斂散性．分析利用比值審斂法,因一般項(xiàng)中含有

，分情況討論.當(dāng),即

時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散當(dāng)時(shí),雖然不能由比值審斂法直接得出級(jí)數(shù)收斂

=>1.于是可知,級(jí)數(shù)的后項(xiàng)總是大于前項(xiàng),故

所以級(jí)數(shù)發(fā)散．或發(fā)散的結(jié)論，但由于數(shù)列

是一個(gè)單調(diào)增加而有上界的數(shù)列，即

，

因此對(duì)于任意有限的

，有

定理8.5柯西(Cauchy)根值審斂法(3)當(dāng)ρ=1時(shí)，

可能收斂，也可能發(fā)散

該定理證明與定理8.4的證明完全相仿設(shè)

滿足

，那么有以下結(jié)論(1)當(dāng)

時(shí)，則

收斂；(2)當(dāng)

（包括

）時(shí)，

則

發(fā)散；

所以,由根值審斂法知該級(jí)數(shù)收斂．例8.2.10討論級(jí)數(shù)

的斂散性．分析

一般項(xiàng)含

有次冪,利用根值審斂法.解

因?yàn)?/p>

分析

利用根值審斂法.

所以,由根值審斂法知級(jí)數(shù)發(fā)散.例8.2.11判斷級(jí)數(shù)

的斂散性解

因?yàn)榉治?/p>

利用根值審斂法.

所以,由根值審斂法知級(jí)數(shù)發(fā)散.*例8.2.12判斷級(jí)數(shù)

的斂散性解

因?yàn)檫@樣的任意項(xiàng)級(jí)數(shù)叫做交錯(cuò)級(jí)數(shù)．它的一般形式為8.2.2交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法

如果如果在任意項(xiàng)級(jí)數(shù)

中,正負(fù)號(hào)相間出現(xiàn),這樣的任意

或者

其中兩種級(jí)數(shù)有相同的斂散性判斷法

我們主要針對(duì)級(jí)數(shù)來證明關(guān)于交錯(cuò)級(jí)數(shù)的一個(gè)審斂法定理8.6萊布尼茨(Leibniz)判別法設(shè)交錯(cuò)級(jí)數(shù)

滿足：(1)

;(2)

;則級(jí)數(shù)

收斂,且其和.證明

先證前

項(xiàng)的和

的極限存在,將

寫成兩種形式：及

根據(jù)定理?xiàng)l件(1)知,所有括號(hào)中的差都是非負(fù)的，由

第一種形式可知數(shù)列

是單調(diào)增加的,由第二種形式

可知，根據(jù)單調(diào)有界數(shù)列必有極限的準(zhǔn)則知,數(shù)列

的極限存在.

設(shè)

有

.

而

由于級(jí)數(shù)

的部分和數(shù)列

的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)極限存在且相等,數(shù)列的極限存在,且有,從而證明交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂于.例

8.2.13

判斷級(jí)數(shù)

的斂散性.分析

交錯(cuò)級(jí)數(shù),利用萊布尼茲判別法.解

由于且由萊布尼茲判別法知收斂．

例

8.2.14

判斷級(jí)數(shù)的斂散性.分析

交錯(cuò)級(jí)數(shù),利用萊布尼茲判別法.

解即

又

=

=0,由萊布尼茲判別法可知,級(jí)數(shù)

收斂．8.2.3

絕對(duì)收斂與條件收斂如果

發(fā)散，但

收斂，則稱級(jí)數(shù)

條件收斂.定義

8.3定理

8.7

如果級(jí)數(shù)

收斂，則級(jí)數(shù)

也收斂.

對(duì)于級(jí)數(shù),若

收斂，則稱級(jí)數(shù)

絕對(duì)收斂；

證明

令則

，且

而

收斂，

由比較審斂法知，級(jí)數(shù)

收斂，從而級(jí)數(shù)

收斂又

，由收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)2知級(jí)數(shù)

收斂.例8.2.15

判別下列級(jí)數(shù)是否收斂，如果是收斂

（1）分析

利用絕對(duì)收斂和條件收斂的定義,先判斷一般項(xiàng)加

解(1)因?yàn)?/p>

(2)絕對(duì)值后的級(jí)數(shù)是否收斂，若收斂，則為絕對(duì)收斂，否則繼續(xù)判斷原級(jí)數(shù)的斂散性.級(jí)數(shù)，指出其是絕對(duì)收斂還是條件收斂.又因?yàn)槭諗浚杀容^收斂法知，級(jí)數(shù)

(2)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，容易驗(yàn)證其滿足萊布尼茨判

且級(jí)數(shù)