高等數(shù)學(xué)（第三版）課件：微分中值定理

微分中值定理一、羅爾定理二、拉格朗日中值定理定理1

設(shè)函數(shù)f(x)滿足(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),(3)f(a)=f(b),注意：羅爾中值定理的條件有三個(gè)，如果缺少其中任何一個(gè)條件，定理將不成立.一、羅爾中值定理羅爾中值定理幾何意義：

若曲線弧在[a,b]上為連續(xù)弧段，在(a,b)內(nèi)曲線弧上每點(diǎn)都有不平行于y軸的切線，且曲線弧段在兩個(gè)端點(diǎn)處的縱坐標(biāo)相同，那么曲線弧段上至少有一點(diǎn)，過該點(diǎn)的切線必定平行于x軸.定理2

設(shè)函數(shù)f(x)滿足(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；則至少存在一點(diǎn)

分析與羅爾定理相比，拉格朗日中值定理中缺少條件是f(a)=f(b).如果能由f(x)構(gòu)造一個(gè)新函數(shù)使在[a,b]上滿足羅爾定理?xiàng)l件，且由能導(dǎo)出則問題可解決.二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理的幾何意義：

如果在[a,b]上的連續(xù)曲線，除端點(diǎn)外處處有不垂直于x軸的切線，那么在曲線弧上至少有一點(diǎn)使曲線在該點(diǎn)處的切線平行于過曲線弧兩端點(diǎn)的弦線.弦線的方程為作輔助函數(shù)即可.的幾何意義為：曲線的縱坐標(biāo)與曲線弧兩端點(diǎn)連線對應(yīng)的縱坐標(biāo)之差.推論1

若在(a,b)內(nèi)恒等于零，則f(x)在(a,b)內(nèi)必為某常數(shù).事實(shí)上，對于(a,b)內(nèi)的任意兩點(diǎn)，由拉格朗日中值定理可得由拉格朗日中值定理可以得出積分學(xué)中有用的推論：

位于x1，x2之間，故有f(x1)=f(x2).由x1，x2的任意性可知f(x)在(a,b)內(nèi)恒為某常數(shù).推論2

若在(a,b)內(nèi)恒有，則有其中C為某常數(shù).由推論1可知f(x)－g(x)=C，即f(x)=g(x)+C.f(x)=g(x)+C,事實(shí)上，由已知條件及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)可得例１試證對于所給不等式，可以認(rèn)定為函數(shù)的增量與自變量的增量之間的關(guān)系.因此可以設(shè)f(x)=arctanx.證設(shè)f(x)=arctanx,不妨設(shè)a<b.由于arctanx在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo).可知必定存在一點(diǎn),使得由于因此arctanx在[a,b]上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件.由于，因此從而有例２當(dāng)x>0時(shí),試證不等式分析取f(t)=ln(1+t)，a=0，b=x.則f(t)=ln(1+t)在區(qū)間[0,x]上滿足拉格朗日中值定理，因此必有一點(diǎn)使得.說明本例中，若令y=lnt，