2020-2024年五年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編專題08 直線、圓與圓錐曲線（解析版）

2020-2024年五年高考真題分類匯編PAGEPAGE1專題08直線、圓與圓錐曲線考點(diǎn)五年考情（2020-2024）命題趨勢(shì)考點(diǎn)1點(diǎn)到直線的距離（5年1考）2024天津卷：求點(diǎn)到直線的距離由標(biāo)準(zhǔn)方程確定圓心和半徑根據(jù)拋物線方程求焦點(diǎn)或準(zhǔn)線；1.直線在高考的考查主要包含了，直線的方程，點(diǎn)到直線的距離等。2.圓在高考的考查主要包含了，圓的方程，圓的弦長(zhǎng)，切線問(wèn)題等。3.圓錐曲線在高考的考查主要包含了，橢圓、雙曲線與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓與雙曲線的離心率，以及圓錐曲線的綜合問(wèn)題。考點(diǎn)2直線與圓弦長(zhǎng)問(wèn)題（5年4考）2023天津卷：由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)求直線與拋物線相交所得弦的弦長(zhǎng)；2022天津卷：已知圓的弦長(zhǎng)求方程或參數(shù)；2021天津卷：切線長(zhǎng)已知切線求參數(shù)；2020天津卷：已知圓的弦長(zhǎng)求方程或參數(shù)；考點(diǎn)3雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程（5年3考）2024天津卷：根據(jù)a、b、c求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；2023天津卷：求點(diǎn)到直線的距離根據(jù)a、b、c求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程根據(jù)雙曲線的漸近線求標(biāo)準(zhǔn)方程；2020天津卷：根據(jù)雙曲線的漸近線求標(biāo)準(zhǔn)方程；考點(diǎn)4雙曲線離心率（5年1考）2021天津卷：已知方程求雙曲線的漸近線求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍根據(jù)拋物線方程求焦點(diǎn)或準(zhǔn)線雙曲線中的通徑問(wèn)題；考點(diǎn)5拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程（5年1考）2022天津卷：根據(jù)a、b、c求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程已知方程求雙曲線的漸近線根據(jù)拋物線方程求焦點(diǎn)或準(zhǔn)線；考點(diǎn)6橢圓綜合（5年5考）2024天津卷：根據(jù)a、b、c求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程根據(jù)離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求橢圓中的參數(shù)及范圍；2023天津卷：根據(jù)a、b、c求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程:求橢圓的離心率或離心率的取值范圍橢圓中三角形(四邊形)的面積根據(jù)韋達(dá)定理求參數(shù)；2022天津卷：根據(jù)a、b、c求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程求橢圓的離心率或離心率的取值范圍求橢圓的切線方程橢圓中三角形(四邊形)的面積；2021天津卷：根據(jù)a、b、c求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程求橢圓的切線方程；2020天津卷：討論橢圓與直線的位置關(guān)系；考點(diǎn)01點(diǎn)到直線的距離1．（2024·天津·高考真題）圓(x-1)2+y2=25的圓心與拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F重合，【答案】45/〖祥解〗先求出圓心坐標(biāo)，從而可求焦準(zhǔn)距，再聯(lián)立圓和拋物線方程，求A及AF的方程，從而可求原點(diǎn)到直線AF的距離.【詳析】圓(x-1)2+y2=25的圓心為F由x-12+y2=25y2故A4,±4，故直線AF:y=±43x-1即故原點(diǎn)到直線AF的距離為d=4故答案為：4考點(diǎn)02直線與圓弦長(zhǎng)問(wèn)題2．（2022·天津·高考真題）若直線x-y+m=0m>0被圓x-12+y-12=3截得的弦長(zhǎng)為m【答案】2〖祥解〗計(jì)算出圓心到直線的距離，利用勾股定理可得出關(guān)于m的等式，即可解得m的值.【詳析】圓x-12+y-12=3圓心到直線x-y+m=0m>0的距離為1-1+m由勾股定理可得m22+m2故答案為：2.3．（2021·天津·高考真題）若斜率為3的直線與y軸交于點(diǎn)A，與圓x2+y-12=1相切于點(diǎn)B【答案】3〖祥解〗設(shè)直線AB的方程為y=3x+b，則點(diǎn)A0,b，利用直線AB與圓x2+y-12【詳析】設(shè)直線AB的方程為y=3x+b，則點(diǎn)由于直線AB與圓x2+y-12=1則b-12=1，解得b=-1或b=3，所以因?yàn)锽C=1，故AB故答案為：3.4．（2020·天津·高考真題）已知直線x-3y+8=0和圓x2+y2=r2(r>0)相交于【答案】5〖祥解〗根據(jù)圓的方程得到圓心坐標(biāo)和半徑，由點(diǎn)到直線的距離公式可求出圓心到直線的距離d，進(jìn)而利用弦長(zhǎng)公式|AB|=2r2-【詳析】因?yàn)閳A心(0,0)到直線x-3y+8=0的距離由|AB|=2r2-d2故答案為：5．【『點(diǎn)石成金』】本題主要考查圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題，涉及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和點(diǎn)到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題．考點(diǎn)03雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程5．（2024·天津·高考真題）雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為FA．x28-y22=1 B．【答案】C〖祥解〗可利用△PF1F2三邊斜率問(wèn)題與正弦定理，轉(zhuǎn)化出三邊比例，設(shè)PF2=m【詳析】如下圖：由題可知，點(diǎn)P必落在第四象限，∠F1P∠PF2F1=因?yàn)椤螰1PF2=90°，所以sinθ2=則由PF2=m由S△PF1則PF由雙曲線第一定義可得：PF1-所以雙曲線的方程為x2故選：C6．（2023·天津·高考真題）已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2A．x28-C．x24-【答案】D〖祥解〗先由點(diǎn)到直線的距離公式求出b，設(shè)∠POF2=θ，由tanθ=bOP=ba得到OP=a，OF【詳析】如圖，

因?yàn)镕2c,0，不妨設(shè)漸近線方程為y=b所以PF所以b=2.設(shè)∠POF2=θ,則tanθ=P因?yàn)?2ab=12c?yP,所以Pa因?yàn)镕1所以kP所以2a2+2所以雙曲線的方程為x故選：D7．（2022·天津·高考真題）已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2，拋物線yA．x216-C．x24-【答案】D〖祥解〗由已知可得出c的值，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，分析可得AF1=F1F2，由此可得出關(guān)于【詳析】拋物線y2=45x的準(zhǔn)線方程為x=-5，則c=不妨設(shè)點(diǎn)A為第二象限內(nèi)的點(diǎn)，聯(lián)立y=-baxx=-c，可得因?yàn)锳F1⊥F1且AF1=F1所以，ba=2c=5c故選：D.8．（2020·天津·高考真題）設(shè)雙曲線C的方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)和點(diǎn)(0,b)的直線為lA．x24-y24=1 B．【答案】D〖祥解〗由拋物線的焦點(diǎn)1,0可求得直線l的方程為x+yb=1，即得直線的斜率為-b，再根據(jù)雙曲線的漸近線的方程為y=±bax，可得【詳析】由題可知，拋物線的焦點(diǎn)為1,0，所以直線l的方程為x+yb=1又雙曲線的漸近線的方程為y=±bax，所以-b=-ba，-b×故選：D．【『點(diǎn)石成金』】本題主要考查拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，雙曲線的幾何性質(zhì)，以及直線與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．考點(diǎn)04雙曲線離心率9．（2021·天津·高考真題）已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)與拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)重合，拋物線的準(zhǔn)線交雙曲線于AA．2 B．3 C．2 D．3【答案】A〖祥解〗設(shè)公共焦點(diǎn)為(c,0)，進(jìn)而可得準(zhǔn)線為x=-c，代入雙曲線及漸近線方程，結(jié)合線段長(zhǎng)度比值可得a2=【詳析】設(shè)雙曲線x2a2-y則拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線為令x=-c，則c2a2-y又因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為y=±bax所以2bca=22b所以雙曲線的離心率e=c故選：A.考點(diǎn)05拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程10．（2023·天津·高考真題）已知過(guò)原點(diǎn)O的一條直線l與圓C:(x+2)2+y2=3相切，且l與拋物線y2=2px(p>0)交于點(diǎn)【答案】6〖祥解〗根據(jù)圓x+22+y2=3和曲線y2=2px【詳析】易知圓x+22+y2=3和曲線y2=2px所以2k1+k2=3，解得：k=3，由所以O(shè)P=2p3當(dāng)k=-3故答案為：6．考點(diǎn)06橢圓綜合11．（2024·天津·高考真題）已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)橢圓的離心率e=(1)求橢圓方程．(2)過(guò)點(diǎn)0,-32的動(dòng)直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)P，Q．在y軸上是否存在點(diǎn)T使得【答案】(1)x(2)存在T0,t-3≤t≤32〖祥解〗（1）根據(jù)橢圓的離心率和三角形的面積可求基本量，從而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)該直線方程為：y=kx-32，Px1,y1,Qx2,y【詳析】（1）因?yàn)闄E圓的離心率為e=12，故a=2c，b=3所以A-2c,0,B0,-故c=3，所以a=23，b=3，故橢圓方程為：（2）若過(guò)點(diǎn)0,-32的動(dòng)直線的斜率存在，則可設(shè)該直線方程為：設(shè)Px1由3x2+4故Δ=144k而TP=故TP====3+2t因?yàn)門P?TQ≤0恒成立，故3+2t若過(guò)點(diǎn)0,-32的動(dòng)直線的斜率不存在，則P0,3此時(shí)需-3≤t≤3，兩者結(jié)合可得-3≤t≤3綜上，存在T0,t-3≤t≤32【『點(diǎn)石成金』】思路『點(diǎn)石成金』：圓錐曲線中的范圍問(wèn)題，往往需要用合適的參數(shù)表示目標(biāo)代數(shù)式，表示過(guò)程中需要借助韋達(dá)定理，此時(shí)注意直線方程的合理假設(shè).12．（2023·天津·高考真題）已知橢圓x2a2+y2b(1)求橢圓的方程和離心率；(2)點(diǎn)P在橢圓上（異于橢圓的頂點(diǎn)），直線A2P交y軸于點(diǎn)Q，若三角形A1PQ的面積是三角形【答案】(1)橢圓的方程為x24+(2)y=±6〖祥解〗（1）由a+c=3a-c=1解得a=2,c=1，從而求出b=3（2）先設(shè)直線A2P的方程，與橢圓方程聯(lián)立，消去y，再由韋達(dá)定理可得xA2?xP，從而得到P點(diǎn)和Q點(diǎn)坐標(biāo).由S△A2【詳析】（1）如圖，

由題意得a+c=3a-c=1，解得a=2,c=1，所以b=所以橢圓的方程為x24+（2）由題意得，直線A2P斜率存在，由橢圓的方程為x2設(shè)直線A2P的方程為聯(lián)立方程組x24+y2由韋達(dá)定理得xA2?所以P8k2所以S△A2QA所以S△所以2yQ=3解得k=±62，所以直線A213．（2022·天津·高考真題）橢圓x2a2+y2b2=1(1)求橢圓的離心率e；(2)直線l與橢圓有唯一公共點(diǎn)M，與y軸相交于點(diǎn)N（N異于M）．記O為原點(diǎn)，若OM=ON，且△MON的面積為【答案】(1)e=(2)x〖祥解〗（1）根據(jù)已知條件可得出關(guān)于a、b的等量關(guān)系，由此可求得該橢圓的離心率的值；（2）由（1）可知橢圓的方程為x2+3y2=a2，設(shè)直線l的方程為y=kx+m，將直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立，由Δ=0【詳析】（1）解：BFAB離心率為e=c（2）解：由（1）可知橢圓的方程為x2易知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=kx+m，聯(lián)立y=kx+mx2+3由Δ=36kxM=-3km由OM=ON可得m由S△OMN=3可得聯(lián)立①②③可得k2=13，m214．（2021·天津·高考真題）已知橢圓x2a2+y2b2=1（1）求橢圓的方程；（2）直線l與橢圓有唯一的公共點(diǎn)M，與y軸的正半軸交于點(diǎn)N，過(guò)N與BF垂直的直線交x軸于點(diǎn)P．若MP//BF，求直線【答案】（1）x25+y2〖祥解〗（1）求出a的值，結(jié)合c的值可得出b的值，進(jìn)而可得出橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)Mx0,y0，分析出直線l的方程為x0x5+y0y=1，求出點(diǎn)P【詳析】（1）易知點(diǎn)Fc,0、B0,b，故因?yàn)闄E圓的離心率為e=ca=25因此，橢圓的方程為x2（2）設(shè)點(diǎn)Mx0,先證明直線MN的方程為x0聯(lián)立x0x5+y0y=1因此，橢圓x25+y2在直線MN的方程中，令x=0，可得y=1y0，由題意可知y直線BF的斜率為kBF=-bc=-在直線PN的方程中，令y=0，可得x=-12y因?yàn)镸P//BF，則kMP=k所以，x0=-5y0，因?yàn)閤025所以，直線l的方程為-66x+【『點(diǎn)石成金』】結(jié)論『點(diǎn)石成金』：在利用橢圓的切線方程時(shí)，一般利用以下方法進(jìn)行直線：（1）設(shè)切線方程為y=kx+m與橢圓方程聯(lián)立，由Δ=0進(jìn)行求解；（2）橢圓x2a2+y2b2=1在其上一點(diǎn)15．（2020·天津·高考真題）已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）已知點(diǎn)C滿足3OC=OF，點(diǎn)B在橢圓上（B異于橢圓的頂點(diǎn)），直線AB與以C為圓心的圓相切于點(diǎn)P，且P為線段AB【答案】（Ⅰ）x218+y29=1〖祥解〗（Ⅰ）根據(jù)題意，并借助a2（Ⅱ）利用直線與圓相切，得到CP⊥AB，設(shè)出直線AB的方程，并與橢圓方程聯(lián)立，求出B點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出P點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)CP⊥AB，求出直線AB的斜率，從而得解.【詳析】（Ⅰ）∵橢圓x2a2∴b=3，由OA=OF，得又由a2=b所以，橢圓的方程為x2（Ⅱ）∵直線AB與以C為圓心的圓相切于點(diǎn)P，所以CP⊥AB，根據(jù)題意可知，直線AB和直線CP的斜率均存在，設(shè)直線AB的斜率為k，則直線AB的方程為y+3=kx，即y=kx-3，y=kx-3x218+y29=1，消去將x=12k2k2+1所以，點(diǎn)B的坐標(biāo)為12k2因?yàn)镻為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為0,-3，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為6k2由3OC=OF，得點(diǎn)C所以，直線CP的斜率為kCP又因?yàn)镃P⊥AB，所以k?3整理得2k2-3k+1=0，解得k=所以，直線AB的方程為y=12x-3【『點(diǎn)石成金』】本題考查了橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解、直線與橢圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式以及直線垂直關(guān)系的應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.當(dāng)看到題目中出現(xiàn)直線與圓錐曲線位置關(guān)系的問(wèn)題時(shí)，要想到聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程.16．（2024·天津河西·二模）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點(diǎn)為F1、F2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)A．2 B．6 C．22 D．【答案】B〖祥解〗利用余弦定理構(gòu)建齊次方程，求解離心率即可.【詳析】由題意得F1(-c,0)，設(shè)一條漸近線的方程為所以MF1=因?yàn)镸F1垂直于漸近線，所以因?yàn)镸F2=3OM，所以在△MOF2中，由余弦定理得因?yàn)椤螹OF1+∠MO化簡(jiǎn)得c2=6a2，所以c=6a故選：B17．（2024·天津和平·二模）已知拋物線C1：x2=32y的焦點(diǎn)為點(diǎn)F，雙曲線C2:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為點(diǎn)F2，線段FFA．y=±433x B．y=±2x【答案】D〖祥解〗根據(jù)題意可知F0,324，F(xiàn)2【詳析】拋物線C1：x2=32y∴FF2直線方程為x3聯(lián)立x+22y-3=0x2=32y又線段FF2與C1在第一象限的交點(diǎn)為點(diǎn)M，∴M由y=x23∴C1在點(diǎn)M處的切線斜率為又C1在點(diǎn)M處的切線平行于C∴雙曲線C2的一條漸近線的斜率為2∴雙曲線C2的漸近線方程為y=±故選：D．18．（2024·天津和平·二模）過(guò)直線y=x上的點(diǎn)P作圓C：x+32+y-52=4的兩條切線l1，l2，當(dāng)直線l1，A．1,1 B．35,35 C．【答案】A〖祥解〗根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系、兩直線的交點(diǎn)等知識(shí)求得正確答案.【詳析】圓C:x+32+直線l1,l2關(guān)于直線y=x對(duì)稱時(shí)，所以直線CP的方程為y-5=-x+3由x+y-2=0y=x解得x=1y=1，所以故選：A.19．（2024·天津·二模）設(shè)雙曲線C：x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線與雙曲線C交于A．7 B．6 C．5 D．2【答案】B〖祥解〗由雙曲線的對(duì)稱性可得F1A=F2B【詳析】由雙曲線的對(duì)稱性可知F1A=F2令F1A=由雙曲線定義可知F2A-F1即F1A=則F=-8a即c2=6a2，故選：B【『點(diǎn)石成金』】方法『點(diǎn)石成金』：求雙曲線的離心率（或離心率的取值范圍），常見(jiàn)有兩種方法：一：求出a,c，代入公式e=c二：只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a,b,c的齊次式，結(jié)合b2=c2-a2轉(zhuǎn)化為a,c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(20．（2024·天津南開(kāi)·二模）已知雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2A．x23-C．x29-【答案】C〖祥解〗|AF2|=|F2F1【詳析】因?yàn)閨AF由雙曲線的定義可知AF可得|AF由于過(guò)F2的直線斜率為24所以在等腰三角形AF1F2中，由余弦定理得：cos∠A化簡(jiǎn)得39c2-50ac-25a2=0，可得可得a:b=3:4，a2所以此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可能為：x2故選：C21．（2024·天津河北·二模）函數(shù)fx=x+1x被稱為“對(duì)勾函數(shù)”，它可以由雙曲線C:x2a2-y2A．y=±33xC．y=±2-3x【答案】B〖祥解〗由題意可得雙曲線夾角為π4，再結(jié)合二倍角的正切公式求出ba【詳析】因?yàn)橹本€x=0和直線y=x的夾角為π4由題意可得雙曲線C:x2a而雙曲線C:x2a所以tanπ則tanπ4=所以雙曲線C的漸近線方程為y=±2故選：B.22．（2023·天津和平·三模）雙曲線C1:x2a2-y2b2=1a>0,b>0與拋物線C2:y2=2pxp>0交于M，N兩點(diǎn)，若拋物線C2與雙曲線C1A．55 B．63 C．25【答案】C〖祥解〗設(shè)雙曲線C1的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為(-c,0),(c,0)，拋物線C2的焦點(diǎn)為(p2,0)，設(shè)M(c,-2pc)，N(c,2pc)，M在雙曲線上可得c2【詳析】設(shè)雙曲線C1的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為(-c,0),(c,0)，拋物線C2的焦點(diǎn)為由MN過(guò)C1的焦點(diǎn)，可設(shè)M(c,-2pc)又M在雙曲線上，可得c2由y=±ba由PQ過(guò)C2可得2pa2b2=可得5-25pa則|PQ||MN|故選：C.23．（2024·天津河西·二模）已知拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為F，圓C與直線3x-4y-12=0相切，且與圓x2+mx+y2=0相切于點(diǎn)F【答案】x+12+y〖祥解〗利用拋物線的性質(zhì)得到F(2,0)，利用圓和圓的位置關(guān)系確定圓心坐標(biāo)，再利用直線與圓相切建立方程，求解即可.【詳析】由題意得F(2,0)，因?yàn)閳AC與直線3x-4y-12=0相切，且與圓x2+mx+y2=0相切于點(diǎn)F得到4+2m=0，解得m=-2，所以圓方程為x2化為標(biāo)準(zhǔn)方程得到(x-1)2+y2=1所以圓C的圓心在x軸上，而圓C與圓x2當(dāng)圓C與圓x2-2x+y2=0設(shè)圓心到直線的距離為d，由點(diǎn)到直線的距離公式得d=3(2-r)-12此時(shí)3(2-r)-125=r，解得r=3(負(fù)根舍去所以此時(shí)圓C的方程為x+12當(dāng)圓C與圓x2-2x+y2=0設(shè)圓心到直線的距離為d，由點(diǎn)到直線的距離公式得d=3(2+r)-12此時(shí)3(2+r)-125=r，解得r=34所以此時(shí)圓C的方程為x-11故答案為：x+12+y24．（2024·天津南開(kāi)·二模）過(guò)圓C：x2+y2=m上的點(diǎn)M1,3作圓C【答案】150°〖祥解〗根據(jù)兩直線垂直和kOM=3得到直線l的斜率，從而得到【詳析】由題意得，直線OM與直線l垂直，因?yàn)閗OM=3，故l故l的傾斜角為150°故答案為：150°25．（2024·天津河北·二模）已知拋物線y2=8x上有一點(diǎn)A，且點(diǎn)A在第一象限，以A為圓心作圓，若該圓經(jīng)過(guò)拋物線的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)，那么這個(gè)圓的方程為【答案】x-1〖祥解〗依題設(shè)點(diǎn)A(t28,t)，t>0，由|AO|=|AF|【詳析】設(shè)點(diǎn)A(t28,t)，則t>0，若拋物線的頂點(diǎn)為O(0,0)依題意，|AO|=|AF|,即t464+則圓的圓心為A(1,22)，半徑為故這個(gè)圓的方程為：x-12故答案為：x-1226．（2024·天津北辰·三模）已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F1且垂直于x軸的直線與該雙曲線的左支交于A，B兩點(diǎn).若AB是虛軸長(zhǎng)的3倍，則該雙曲線的一條漸近線為；若AF2，BF2【答案】y=3x（或y=-3〖祥解〗由題意可知：AB=2b2a.若AB是虛軸長(zhǎng)的3倍，列式整理可得ba=3，即可得漸近線方程；若△PQ【詳析】由題意可知：AB=2b若AB是虛軸長(zhǎng)的3倍，則2b2a所以該雙曲線的一條漸近線為y=3x（或由題意可知：AB∥PQ，且O為線段F1F2的中點(diǎn)，可知P,Q分別為A則AB=2可得AB+AF又因?yàn)辄c(diǎn)A在雙曲線上，則AF2-可得b2a+b2則b2當(dāng)且僅當(dāng)a+1=5a+1，即所以b2a+1的最大值為故答案為：y=3x（或y=-327．（2024·天津北辰·三模）過(guò)拋物線y2=-2px(p>0)的焦點(diǎn)F作圓C：x-22+y2=4的兩條切線，切點(diǎn)分別為M,N，若【答案】4〖祥解〗由拋物線的性質(zhì)，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系求解．【詳析】如圖，過(guò)拋物線y2=－2px(p>0)的焦點(diǎn)F作圓C：x－22+則在直角三角形MCF中，∠CMF=π2，又C(2,0)，F(xiàn)-p2則sin∠MFC=MCCF，即22+p故答案為：4．28．（2024·天津?yàn)I海新·三模）已知圓C的圓心與拋物線x2=4y的焦點(diǎn)關(guān)于直線y=x對(duì)稱，直線3x-4y+2=0與C相交于A,B兩點(diǎn)，且AB=6，則圓C【答案】x-1〖祥解〗根據(jù)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程求出其焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)對(duì)稱關(guān)系求出圓心坐標(biāo)，根據(jù)垂徑定理求出圓的半徑即可得到答案.【詳析】依題意可知拋物線的焦點(diǎn)為(0,1)，∵圓C的圓心與拋物線x2=4y的焦點(diǎn)關(guān)于直線∴圓心坐標(biāo)為(1,0)，設(shè)圓的半徑為r，圓心到直線3x-4y+2=0的距離為d，則d=3+2又∵AB=6，∴則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)故答案為：(x-1)29．（2024·天津·模擬預(yù)測(cè)）若直線l:y=2x與圓C:x2+y2-2x-7=0交于【答案】1255〖祥解〗先求出圓的圓心和半徑，根據(jù)已知條件可得圓心到直線l的距離d，即可求解.【詳析】由題意可得圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x-12所以圓C的圓心為1,0，半徑為22所以圓心1,0到直線l:y=2x的距離d=2×1-0所以AB=2故答案為：1230．（2024·天津武清·模擬預(yù)測(cè)）已知直線x+y-5=0與圓C：x2+y2-4x+2y-m2=0相交于A【答案】±〖祥解〗利用弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線距離公式列方程求解即可.【詳析】根據(jù)題意，圓x2即(x-2)2+(y+1)2=5+若AB=4，則圓心到直線l即AB的距離d=又由圓心到直線x+y-5=0的距離d=|2-1-5|則有1+m2=2故答案為：±731.（2024·天津河西·二模）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0的離心率為22，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，直線l：y=kx+2k>0(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)P為x軸上一點(diǎn)，△PMN是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，求直線l的方程及點(diǎn)P的坐標(biāo).【答案】(1)x(2)直線l方程為y=x+2，點(diǎn)P的坐標(biāo)為-〖祥解〗（1）由△MNF2的周長(zhǎng)借助橢圓的定義可求a，再結(jié)合橢圓的離心率求得c，進(jìn)而求得橢圓（2）聯(lián)立直線和橢圓的方程，表示出MN的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)，根據(jù)PQ⊥MN，表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再由PM⊥PN列出等式，求出k，即得解．【詳析】（1）因?yàn)椤鱉NF2的周長(zhǎng)為MN+NF又橢圓C的離心率為22，即e=ca=∴b=a∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2

（2）設(shè)Mx1,y1，Nx2聯(lián)立y=kx+2x24因?yàn)橹本€l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，故Δ>0，解得kx1+x則x0=-4k2k2+1，代入因?yàn)椤鱌MN是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，∴PQ⊥MN，故kPQ?kMN=-1，即2由PM⊥PN，故kPM?k又y1=kx所以k2經(jīng)計(jì)算，k2=1，因?yàn)閗>0，所以k=1所以直線l的方程為y=x+2，點(diǎn)P的坐標(biāo)為-2

32．（2024·天津和平·二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓x2a2+y2b2=1(1)求橢圓的離心率；(2)是否存在過(guò)原點(diǎn)O的直線l，使得直線l與橢圓在第三象限的交點(diǎn)為點(diǎn)C，且與直線AF交于點(diǎn)D，滿足33FD=2【答案】(1)1(2)因此存在直線l:y=2〖祥解〗（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)求解AB,AF，即可結(jié)合（2）聯(lián)立方程可得C,D坐標(biāo)，即可根據(jù)33FD=2CD【詳析】（1）依題意，AFAB=a又因?yàn)閍2=b（2）設(shè)直線l的方程為y=kx(k>0)，橢圓的方程為x24c設(shè)點(diǎn)Cx1,y1x解得x1=-23直線AF方程為y=-3設(shè)點(diǎn)Dxy=-3(x-c),y=kx.，聯(lián)立方程組，解得x2又因?yàn)?3設(shè)|CD|=λ|OD|，則有33即33|FD|=2λy2，所以所以|CD|=3|OD|，則有y1代入①②有-23ck由題意得k≠0，所以k=233【『點(diǎn)石成金』】方法『點(diǎn)石成金』：解答直線與圓錐曲線的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情況，強(qiáng)化有關(guān)直線與曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問(wèn)題．33．（2024·天津河北·二模）設(shè)橢圓E:x2a2+y2(1)求橢圓E的方程；(2)過(guò)點(diǎn)B且斜率為kk>0的直線與橢圓交于另一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)B作與BP垂直的直線，交直線x=a于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)B作直線x=a的垂線，垂足為M，若∠BQP=∠BQM，求k的值【答案】(1)x(2)1〖祥解〗（1）由橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)3，12和長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，得到a=2b（2）設(shè)直線BP的方程為y=kx+1，與橢圓方程聯(lián)立，求得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，再由BQ⊥BP，設(shè)直線BQ的方程為y=-1kx+1.與直線x=2聯(lián)立，求得Q的坐標(biāo)，然后根據(jù)∠BQP=∠BQM，由tan∠BQP=【詳析】（1）解：橢圓x2a2+y將點(diǎn)坐標(biāo)代入方程，得34解得b∴橢圓的方程為x2（2）如圖所示：∵B0，1，由題意可知，直線BP的斜率k∴直線BP的方程為y=kx+1.聯(lián)立y=kx+1x24+y解得x=0或x=-8k∵點(diǎn)P與點(diǎn)B不同，∴xP∵BQ⊥BP，直線BQ的方程為y=-∵a=2，∴聯(lián)立x=2y=-1∴Q2∵BM垂直于直線x=2，在直角△BQP和直角△BQM中，∠BQP=∠BQM∴tan即BP∵BP=1+BQ=1+MB=2，代入BP化簡(jiǎn)得4解得∣k∣=∵k>0，∴k的值為12【『點(diǎn)石成金』】思路『點(diǎn)石成金』：本題第二問(wèn)的基本思路是根據(jù)點(diǎn)B坐標(biāo)設(shè)出直線BP的方程，與橢圓方程聯(lián)立，求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，再由BQ⊥BP，設(shè)直線BQ的方程，與直線x=2聯(lián)立，求得Q的坐標(biāo)，通過(guò)∠BQP=∠BQM，由BPBQ34．（2024·天津南開(kāi)·二模）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(1)求橢圓C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)P1,0的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A與x軸垂直的直線與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為Q.當(dāng)△BPQ的面積取得最大值時(shí)，求直線l的方程【答案】(1)x(2)x±2y-1=0〖祥解〗（1）由橢圓焦點(diǎn)與頂點(diǎn)的坐標(biāo)與離心率的定義計(jì)算即可得答案；（2）設(shè)出直線l的方程，聯(lián)立曲線方程后可得與坐標(biāo)有關(guān)的韋達(dá)定理表達(dá)式，結(jié)合三角形面積公式表示出面積后借助基本不等式計(jì)算即可得答案.【詳析】（1）設(shè)橢圓C的焦距為2c，依題意，ca=32，解得a=4，b=2，c=23所以橢圓C的方程為x2（2）由題意可得直線l的斜率不為0，故可設(shè)直線l的方程為x=my+1，Ax1,y1，聯(lián)立直線l與橢圓C的方程x=my+1x216由于直線過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn)，故必有Δ>0，則y又S△ABQ=1易知x2-x所以S==15當(dāng)且僅當(dāng)m=4m所以△BPQ面積的最大值為154，此時(shí)直線l的方程為x±2y-1=035．（2024·天津?yàn)I海新·三模）已知橢圓M：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率為1(1)求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)橢圓M的右頂點(diǎn)為C，P是橢圓M上不與頂點(diǎn)重合的動(dòng)點(diǎn)．①若點(diǎn)P1,y0（y0>0），點(diǎn)D在橢圓M上且位于x軸下方，設(shè)△APC和△DPC的面積分別為S1，②若直線AB與直線CP交于點(diǎn)Q，直線BP交x軸于點(diǎn)N，設(shè)直線QN和直線QC的斜率為kQN，kQC，求證：【答案】(1)x2(2)①D1,-32；②〖祥解〗（1）根據(jù)已知條件，列出關(guān)于a，b，c的方程組即可求解；（2）①根據(jù)面積關(guān)系可得S△DPC=S△OPC，從而得OD∥PC，據(jù)此即可求解；②聯(lián)立QC和AB的方程，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立QC和橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理求出P點(diǎn)坐標(biāo)，求出【詳析】（1）由題意得ca=121∴橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）①由（1）可得C2,0，點(diǎn)P1,y0（y0連接PC，∵S1∴S△DPC∴OD∥PC，∴kOD∴直線OD的方程為y=-32x解得xD=1y∴D1,-②設(shè)直線QC的斜率為k，則直線QC的方程為：y=kx-2又B0,3，A-2,0，直線AB由y=kx-2y=3∴Q2由y=kx-2x2Δ=256則2xP=16則yP∴P8依題意B、P不重合，∴8k2-6≠0∴kBP∴直線BP的方程為y=-4令y=0，即-43k2∴N2∴k∴2k【『點(diǎn)石成金』】關(guān)鍵點(diǎn)『點(diǎn)石成金』：本題第二問(wèn)第二小問(wèn)的關(guān)鍵是采用設(shè)線法聯(lián)立橢圓方程得到P8k2-636．（2024·天津北辰·三模）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為12，左?右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線l：y=kx+m(m>0)與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，且P，Q關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為M，N，若OP2+OQ2是一個(gè)與m無(wú)關(guān)的常數(shù)，則當(dāng)四邊形PQMN【答案】(1)x(2)答案見(jiàn)解析〖祥解〗（1）由橢圓的性質(zhì)及已知條件可得a，b，c的關(guān)系，從而可求出a，b，c的值，從而可得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線l方程與橢圓方程聯(lián)立，可得根與系數(shù)的關(guān)系，從而可表示出|OP|2+|OQ|2，由|OP|2+|OQ|2是一個(gè)與m無(wú)關(guān)的常數(shù)，可求出k的值，表示出四邊形PQMN面積，求出當(dāng)四邊形PQMN面積最大時(shí)m的值，即可求解直線l的方程．【詳析】（1）e=cS四邊形A1因?yàn)閍2＝b2+c2，所以a＝2，b=3，c＝1所以橢圓方程為x2（2）如圖，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），OP=6+1聯(lián)立y=kx+mx24+y23=1，消去y整理得（Δ＝（8km）2﹣4（4m2﹣12）（3+4k2）＞0，即m2＜3+4k2，所以x1+x2OP|=6+1因?yàn)閨OP|2+|OQ|2是一個(gè)與m無(wú)關(guān)的常數(shù)，所以32k2﹣24＝0，k2=3x1+xPQ點(diǎn)O到直線l的距離dO所以S△POQ當(dāng)且僅當(dāng)6-m2=m2因?yàn)閙＞0，所以m=3時(shí)，取得最大值為3因?yàn)镾四邊形MNPQ＝4S△POQ，所以S△POQ最大時(shí)，S四邊形MNPQ最大，所以l：y=3專題08直線、圓與圓錐曲線考點(diǎn)五年考情（2020-2024）命題趨勢(shì)考點(diǎn)1點(diǎn)到直線的距離（5年1考）2024天津卷：求點(diǎn)到直線的距離由標(biāo)準(zhǔn)方程確定圓心和半徑根據(jù)拋物線方程求焦點(diǎn)或準(zhǔn)線；1.直線在高考的考查主要包含了，直線的方程，點(diǎn)到直線的距離等。2.圓在高考的考查主要包含了，圓的方程，圓的弦長(zhǎng)，切線問(wèn)題等。3.圓錐曲線在高考的考查主要包含了，橢圓、雙曲線與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓與雙曲線的離心率，以及圓錐曲線的綜合問(wèn)題。考點(diǎn)2直線與圓弦長(zhǎng)問(wèn)題（5年4考）2023天津卷：由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)求直線與拋物線相交所得弦的弦長(zhǎng)；2022天津卷：已知圓的弦長(zhǎng)求方程或參數(shù)；2021天津卷：切線長(zhǎng)已知切線求參數(shù)；2020天津卷：已知圓的弦長(zhǎng)求方程或參數(shù)；考點(diǎn)3雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程（5年3考）2024天津卷：根據(jù)a、b、c求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；2023天津卷：求點(diǎn)到直線的距離根據(jù)a、b、c求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程根據(jù)雙曲線的漸近線求標(biāo)準(zhǔn)方程；2020天津卷：根據(jù)雙曲線的漸近線求標(biāo)準(zhǔn)方程；考點(diǎn)4雙曲線離心率（5年1考）2021天津卷：已知方程求雙曲線的漸近線求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍根據(jù)拋物線方程求焦點(diǎn)或準(zhǔn)線雙曲線中的通徑問(wèn)題；考點(diǎn)5拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程（5年1考）2022天津卷：根據(jù)a、b、c求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程已知方程求雙曲線的漸近線根據(jù)拋物線方程求焦點(diǎn)或準(zhǔn)線；考點(diǎn)6橢圓綜合（5年5考）2024天津卷：根據(jù)a、b、c求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程根據(jù)離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求橢圓中的參數(shù)及范圍；2023天津卷：根據(jù)a、b、c求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程:求橢圓的離心率或離心率的取值范圍橢圓中三角形(四邊形)的面積根據(jù)韋達(dá)定理求參數(shù)；2022天津卷：根據(jù)a、b、c求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程求橢圓的離心率或離心率的取值范圍求橢圓的切線方程橢圓中三角形(四邊形)的面積；2021天津卷：根據(jù)a、b、c求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程求橢圓的切線方程；2020天津卷：討論橢圓與直線的位置關(guān)系；考點(diǎn)01點(diǎn)到直線的距離1．（2024·天津·高考真題）圓(x-1)2+y2=25的圓心與拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F重合，【答案】45/〖祥解〗先求出圓心坐標(biāo)，從而可求焦準(zhǔn)距，再聯(lián)立圓和拋物線方程，求A及AF的方程，從而可求原點(diǎn)到直線AF的距離.【詳析】圓(x-1)2+y2=25的圓心為F由x-12+y2=25y2故A4,±4，故直線AF:y=±43x-1即故原點(diǎn)到直線AF的距離為d=4故答案為：4考點(diǎn)02直線與圓弦長(zhǎng)問(wèn)題2．（2022·天津·高考真題）若直線x-y+m=0m>0被圓x-12+y-12=3截得的弦長(zhǎng)為m【答案】2〖祥解〗計(jì)算出圓心到直線的距離，利用勾股定理可得出關(guān)于m的等式，即可解得m的值.【詳析】圓x-12+y-12=3圓心到直線x-y+m=0m>0的距離為1-1+m由勾股定理可得m22+m2故答案為：2.3．（2021·天津·高考真題）若斜率為3的直線與y軸交于點(diǎn)A，與圓x2+y-12=1相切于點(diǎn)B【答案】3〖祥解〗設(shè)直線AB的方程為y=3x+b，則點(diǎn)A0,b，利用直線AB與圓x2+y-12【詳析】設(shè)直線AB的方程為y=3x+b，則點(diǎn)由于直線AB與圓x2+y-12=1則b-12=1，解得b=-1或b=3，所以因?yàn)锽C=1，故AB故答案為：3.4．（2020·天津·高考真題）已知直線x-3y+8=0和圓x2+y2=r2(r>0)相交于【答案】5〖祥解〗根據(jù)圓的方程得到圓心坐標(biāo)和半徑，由點(diǎn)到直線的距離公式可求出圓心到直線的距離d，進(jìn)而利用弦長(zhǎng)公式|AB|=2r2-【詳析】因?yàn)閳A心(0,0)到直線x-3y+8=0的距離由|AB|=2r2-d2故答案為：5．【『點(diǎn)石成金』】本題主要考查圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題，涉及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和點(diǎn)到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題．考點(diǎn)03雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程5．（2024·天津·高考真題）雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為FA．x28-y22=1 B．【答案】C〖祥解〗可利用△PF1F2三邊斜率問(wèn)題與正弦定理，轉(zhuǎn)化出三邊比例，設(shè)PF2=m【詳析】如下圖：由題可知，點(diǎn)P必落在第四象限，∠F1P∠PF2F1=因?yàn)椤螰1PF2=90°，所以sinθ2=則由PF2=m由S△PF1則PF由雙曲線第一定義可得：PF1-所以雙曲線的方程為x2故選：C6．（2023·天津·高考真題）已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2A．x28-C．x24-【答案】D〖祥解〗先由點(diǎn)到直線的距離公式求出b，設(shè)∠POF2=θ，由tanθ=bOP=ba得到OP=a，OF【詳析】如圖，

因?yàn)镕2c,0，不妨設(shè)漸近線方程為y=b所以PF所以b=2.設(shè)∠POF2=θ,則tanθ=P因?yàn)?2ab=12c?yP,所以Pa因?yàn)镕1所以kP所以2a2+2所以雙曲線的方程為x故選：D7．（2022·天津·高考真題）已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2，拋物線yA．x216-C．x24-【答案】D〖祥解〗由已知可得出c的值，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，分析可得AF1=F1F2，由此可得出關(guān)于【詳析】拋物線y2=45x的準(zhǔn)線方程為x=-5，則c=不妨設(shè)點(diǎn)A為第二象限內(nèi)的點(diǎn)，聯(lián)立y=-baxx=-c，可得因?yàn)锳F1⊥F1且AF1=F1所以，ba=2c=5c故選：D.8．（2020·天津·高考真題）設(shè)雙曲線C的方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)和點(diǎn)(0,b)的直線為lA．x24-y24=1 B．【答案】D〖祥解〗由拋物線的焦點(diǎn)1,0可求得直線l的方程為x+yb=1，即得直線的斜率為-b，再根據(jù)雙曲線的漸近線的方程為y=±bax，可得【詳析】由題可知，拋物線的焦點(diǎn)為1,0，所以直線l的方程為x+yb=1又雙曲線的漸近線的方程為y=±bax，所以-b=-ba，-b×故選：D．【『點(diǎn)石成金』】本題主要考查拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，雙曲線的幾何性質(zhì)，以及直線與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．考點(diǎn)04雙曲線離心率9．（2021·天津·高考真題）已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)與拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)重合，拋物線的準(zhǔn)線交雙曲線于AA．2 B．3 C．2 D．3【答案】A〖祥解〗設(shè)公共焦點(diǎn)為(c,0)，進(jìn)而可得準(zhǔn)線為x=-c，代入雙曲線及漸近線方程，結(jié)合線段長(zhǎng)度比值可得a2=【詳析】設(shè)雙曲線x2a2-y則拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線為令x=-c，則c2a2-y又因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為y=±bax所以2bca=22b所以雙曲線的離心率e=c故選：A.考點(diǎn)05拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程10．（2023·天津·高考真題）已知過(guò)原點(diǎn)O的一條直線l與圓C:(x+2)2+y2=3相切，且l與拋物線y2=2px(p>0)交于點(diǎn)【答案】6〖祥解〗根據(jù)圓x+22+y2=3和曲線y2=2px【詳析】易知圓x+22+y2=3和曲線y2=2px所以2k1+k2=3，解得：k=3，由所以O(shè)P=2p3當(dāng)k=-3故答案為：6．考點(diǎn)06橢圓綜合11．（2024·天津·高考真題）已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)橢圓的離心率e=(1)求橢圓方程．(2)過(guò)點(diǎn)0,-32的動(dòng)直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)P，Q．在y軸上是否存在點(diǎn)T使得【答案】(1)x(2)存在T0,t-3≤t≤32〖祥解〗（1）根據(jù)橢圓的離心率和三角形的面積可求基本量，從而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)該直線方程為：y=kx-32，Px1,y1,Qx2,y【詳析】（1）因?yàn)闄E圓的離心率為e=12，故a=2c，b=3所以A-2c,0,B0,-故c=3，所以a=23，b=3，故橢圓方程為：（2）若過(guò)點(diǎn)0,-32的動(dòng)直線的斜率存在，則可設(shè)該直線方程為：設(shè)Px1由3x2+4故Δ=144k而TP=故TP====3+2t因?yàn)門P?TQ≤0恒成立，故3+2t若過(guò)點(diǎn)0,-32的動(dòng)直線的斜率不存在，則P0,3此時(shí)需-3≤t≤3，兩者結(jié)合可得-3≤t≤3綜上，存在T0,t-3≤t≤32【『點(diǎn)石成金』】思路『點(diǎn)石成金』：圓錐曲線中的范圍問(wèn)題，往往需要用合適的參數(shù)表示目標(biāo)代數(shù)式，表示過(guò)程中需要借助韋達(dá)定理，此時(shí)注意直線方程的合理假設(shè).12．（2023·天津·高考真題）已知橢圓x2a2+y2b(1)求橢圓的方程和離心率；(2)點(diǎn)P在橢圓上（異于橢圓的頂點(diǎn)），直線A2P交y軸于點(diǎn)Q，若三角形A1PQ的面積是三角形【答案】(1)橢圓的方程為x24+(2)y=±6〖祥解〗（1）由a+c=3a-c=1解得a=2,c=1，從而求出b=3（2）先設(shè)直線A2P的方程，與橢圓方程聯(lián)立，消去y，再由韋達(dá)定理可得xA2?xP，從而得到P點(diǎn)和Q點(diǎn)坐標(biāo).由S△A2【詳析】（1）如圖，

由題意得a+c=3a-c=1，解得a=2,c=1，所以b=所以橢圓的方程為x24+（2）由題意得，直線A2P斜率存在，由橢圓的方程為x2設(shè)直線A2P的方程為聯(lián)立方程組x24+y2由韋達(dá)定理得xA2?所以P8k2所以S△A2QA所以S△所以2yQ=3解得k=±62，所以直線A213．（2022·天津·高考真題）橢圓x2a2+y2b2=1(1)求橢圓的離心率e；(2)直線l與橢圓有唯一公共點(diǎn)M，與y軸相交于點(diǎn)N（N異于M）．記O為原點(diǎn)，若OM=ON，且△MON的面積為【答案】(1)e=(2)x〖祥解〗（1）根據(jù)已知條件可得出關(guān)于a、b的等量關(guān)系，由此可求得該橢圓的離心率的值；（2）由（1）可知橢圓的方程為x2+3y2=a2，設(shè)直線l的方程為y=kx+m，將直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立，由Δ=0【詳析】（1）解：BFAB離心率為e=c（2）解：由（1）可知橢圓的方程為x2易知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=kx+m，聯(lián)立y=kx+mx2+3由Δ=36kxM=-3km由OM=ON可得m由S△OMN=3可得聯(lián)立①②③可得k2=13，m214．（2021·天津·高考真題）已知橢圓x2a2+y2b2=1（1）求橢圓的方程；（2）直線l與橢圓有唯一的公共點(diǎn)M，與y軸的正半軸交于點(diǎn)N，過(guò)N與BF垂直的直線交x軸于點(diǎn)P．若MP//BF，求直線【答案】（1）x25+y2〖祥解〗（1）求出a的值，結(jié)合c的值可得出b的值，進(jìn)而可得出橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)Mx0,y0，分析出直線l的方程為x0x5+y0y=1，求出點(diǎn)P【詳析】（1）易知點(diǎn)Fc,0、B0,b，故因?yàn)闄E圓的離心率為e=ca=25因此，橢圓的方程為x2（2）設(shè)點(diǎn)Mx0,先證明直線MN的方程為x0聯(lián)立x0x5+y0y=1因此，橢圓x25+y2在直線MN的方程中，令x=0，可得y=1y0，由題意可知y直線BF的斜率為kBF=-bc=-在直線PN的方程中，令y=0，可得x=-12y因?yàn)镸P//BF，則kMP=k所以，x0=-5y0，因?yàn)閤025所以，直線l的方程為-66x+【『點(diǎn)石成金』】結(jié)論『點(diǎn)石成金』：在利用橢圓的切線方程時(shí)，一般利用以下方法進(jìn)行直線：（1）設(shè)切線方程為y=kx+m與橢圓方程聯(lián)立，由Δ=0進(jìn)行求解；（2）橢圓x2a2+y2b2=1在其上一點(diǎn)15．（2020·天津·高考真題）已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）已知點(diǎn)C滿足3OC=OF，點(diǎn)B在橢圓上（B異于橢圓的頂點(diǎn)），直線AB與以C為圓心的圓相切于點(diǎn)P，且P為線段AB【答案】（Ⅰ）x218+y29=1〖祥解〗（Ⅰ）根據(jù)題意，并借助a2（Ⅱ）利用直線與圓相切，得到CP⊥AB，設(shè)出直線AB的方程，并與橢圓方程聯(lián)立，求出B點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出P點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)CP⊥AB，求出直線AB的斜率，從而得解.【詳析】（Ⅰ）∵橢圓x2a2∴b=3，由OA=OF，得又由a2=b所以，橢圓的方程為x2（Ⅱ）∵直線AB與以C為圓心的圓相切于點(diǎn)P，所以CP⊥AB，根據(jù)題意可知，直線AB和直線CP的斜率均存在，設(shè)直線AB的斜率為k，則直線AB的方程為y+3=kx，即y=kx-3，y=kx-3x218+y29=1，消去將x=12k2k2+1所以，點(diǎn)B的坐標(biāo)為12k2因?yàn)镻為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為0,-3，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為6k2由3OC=OF，得點(diǎn)C所以，直線CP的斜率為kCP又因?yàn)镃P⊥AB，所以k?3整理得2k2-3k+1=0，解得k=所以，直線AB的方程為y=12x-3【『點(diǎn)石成金』】本題考查了橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解、直線與橢圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式以及直線垂直關(guān)系的應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.當(dāng)看到題目中出現(xiàn)直線與圓錐曲線位置關(guān)系的問(wèn)題時(shí)，要想到聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程.16．（2024·天津河西·二模）已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點(diǎn)為F1、F2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)A．2 B．6 C．22 D．【答案】B〖祥解〗利用余弦定理構(gòu)建齊次方程，求解離心率即可.【詳析】由題意得F1(-c,0)，設(shè)一條漸近線的方程為所以MF1=因?yàn)镸F1垂直于漸近線，所以因?yàn)镸F2=3OM，所以在△MOF2中，由余弦定理得因?yàn)椤螹OF1+∠MO化簡(jiǎn)得c2=6a2，所以c=6a故選：B17．（2024·天津和平·二模）已知拋物線C1：x2=32y的焦點(diǎn)為點(diǎn)F，雙曲線C2:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為點(diǎn)F2，線段FFA．y=±433x B．y=±2x【答案】D〖祥解〗根據(jù)題意可知F0,324，F(xiàn)2【詳析】拋物線C1：x2=32y∴FF2直線方程為x3聯(lián)立x+22y-3=0x2=32y又線段FF2與C1在第一象限的交點(diǎn)為點(diǎn)M，∴M由y=x23∴C1在點(diǎn)M處的切線斜率為又C1在點(diǎn)M處的切線平行于C∴雙曲線C2的一條漸近線的斜率為2∴雙曲線C2的漸近線方程為y=±故選：D．18．（2024·天津和平·二模）過(guò)直線y=x上的點(diǎn)P作圓C：x+32+y-52=4的兩條切線l1，l2，當(dāng)直線l1，A．1,1 B．35,35 C．【答案】A〖祥解〗根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系、兩直線的交點(diǎn)等知識(shí)求得正確答案.【詳析】圓C:x+32+直線l1,l2關(guān)于直線y=x對(duì)稱時(shí)，所以直線CP的方程為y-5=-x+3由x+y-2=0y=x解得x=1y=1，所以故選：A.19．（2024·天津·二模）設(shè)雙曲線C：x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線與雙曲線C交于A．7 B．6 C．5 D．2【答案】B〖祥解〗由雙曲線的對(duì)稱性可得F1A=F2B【詳析】由雙曲線的對(duì)稱性可知F1A=F2令F1A=由雙曲線定義可知F2A-F1即F1A=則F=-8a即c2=6a2，故選：B【『點(diǎn)石成金』】方法『點(diǎn)石成金』：求雙曲線的離心率（或離心率的取值范圍），常見(jiàn)有兩種方法：一：求出a,c，代入公式e=c二：只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a,b,c的齊次式，結(jié)合b2=c2-a2轉(zhuǎn)化為a,c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(20．（2024·天津南開(kāi)·二模）已知雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2A．x23-C．x29-【答案】C〖祥解〗|AF2|=|F2F1【詳析】因?yàn)閨AF由雙曲線的定義可知AF可得|AF由于過(guò)F2的直線斜率為24所以在等腰三角形AF1F2中，由余弦定理得：cos∠A化簡(jiǎn)得39c2-50ac-25a2=0，可得可得a:b=3:4，a2所以此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可能為：x2故選：C21．（2024·天津河北·二模）函數(shù)fx=x+1x被稱為“對(duì)勾函數(shù)”，它可以由雙曲線C:x2a2-y2A．y=±33xC．y=±2-3x【答案】B〖祥解〗由題意可得雙曲線夾角為π4，再結(jié)合二倍角的正切公式求出ba【詳析】因?yàn)橹本€x=0和直線y=x的夾角為π4由題意可得雙曲線C:x2a而雙曲線C:x2a所以tanπ則tanπ4=所以雙曲線C的漸近線方程為y=±2故選：B.22．（2023·天津和平·三模）雙曲線C1:x2a2-y2b2=1a>0,b>0與拋物線C2:y2=2pxp>0交于M，N兩點(diǎn)，若拋物線C2與雙曲線C1A．55 B．63 C．25【答案】C〖祥解〗設(shè)雙曲線C1的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為(-c,0),(c,0)，拋物線C2的焦點(diǎn)為(p2,0)，設(shè)M(c,-2pc)，N(c,2pc)，M在雙曲線上可得c2【詳析】設(shè)雙曲線C1的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為(-c,0),(c,0)，拋物線C2的焦點(diǎn)為由MN過(guò)C1的焦點(diǎn)，可設(shè)M(c,-2pc)又M在雙曲線上，可得c2由y=±ba由PQ過(guò)C2可得2pa2b2=可得5-25pa則|PQ||MN|故選：C.23．（2024·天津河西·二模）已知拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為F，圓C與直線3x-4y-12=0相切，且與圓x2+mx+y2=0相切于點(diǎn)F【答案】x+12+y〖祥解〗利用拋物線的性質(zhì)得到F(2,0)，利用圓和圓的位置關(guān)系確定圓心坐標(biāo)，再利用直線與圓相切建立方程，求解即可.【詳析】由題意得F(2,0)，因?yàn)閳AC與直線3x-4y-12=0相切，且與圓x2+mx+y2=0相切于點(diǎn)F得到4+2m=0，解得m=-2，所以圓方程為x2化為標(biāo)準(zhǔn)方程得到(x-1)2+y2=1所以圓C的圓心在x軸上，而圓C與圓x2當(dāng)圓C與圓x2-2x+y2=0設(shè)圓心到直線的距離為d，由點(diǎn)到直線的距離公式得d=3(2-r)-12此時(shí)3(2-r)-125=r，解得r=3(負(fù)根舍去所以此時(shí)圓C的方程為x+12當(dāng)圓C與圓x2-2x+y2=0設(shè)圓心到直線的距離為d，由點(diǎn)到直線的距離公式得d=3(2+r)-12此時(shí)3(2+r)-125=r，解得r=34所以此時(shí)圓C的方程為x-11故答案為：x+12+y24．（2024·天津南開(kāi)·二模）過(guò)圓C：x2+y2=m上的點(diǎn)M1,3作圓C【答案】150°〖祥解〗根據(jù)兩直線垂直和kOM=3得到直線l的斜率，從而得到【詳析】由題意得，直線OM與直線l垂直，因?yàn)閗OM=3，故l故l的傾斜角為150°故答案為：150°25．（2024·天津河北·二模）已知拋物線y2=8x上有一點(diǎn)A，且點(diǎn)A在第一象限，以A為圓心作圓，若該圓經(jīng)過(guò)拋物線的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)，那么這個(gè)圓的方程為【答案】x-1〖祥解〗依題設(shè)點(diǎn)A(t28,t)，t>0，由|AO|=|AF|【詳析】設(shè)點(diǎn)A(t28,t)，則t>0，若拋物線的頂點(diǎn)為O(0,0)依題意，|AO|=|AF|,即t464+則圓的圓心為A(1,22)，半徑為故這個(gè)圓的方程為：x-12故答案為：x-1226．（2024·天津北辰·三模）已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F1且垂直于x軸的直線與該雙曲線的左支交于A，B兩點(diǎn).若AB是虛軸長(zhǎng)的3倍，則該雙曲線的一條漸近線為；若AF2，BF2【答案】y=3x（或y=-3〖祥解〗由題意可知：AB=2b2a.若AB是虛軸長(zhǎng)的3倍，列式整理可得ba=3，即可得漸近線方程；若△PQ【詳析】由題意可知：AB=2b若AB是虛軸長(zhǎng)的3倍，則2b2a所以該雙曲線的一條漸近線為y=3x（或由題意可知：AB∥PQ，且O為線段F1F2的中點(diǎn)，可知P,Q分別為A則AB=2可得AB+AF又因?yàn)辄c(diǎn)A在雙曲線上，則AF2-可得b2a+b2則b2當(dāng)且僅當(dāng)a+1=5a+1，即所以b2a+1的最大值為故答案為：y=3x（或y=-327．（2024·天津北辰·三模）過(guò)拋物線y2=-2px(p>0)的焦點(diǎn)F作圓C：x-22+y2=4的兩條切線，切點(diǎn)分別為M,N，若【答案】4〖祥解〗由拋物線的性質(zhì)，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系求解．【詳析】如圖，過(guò)拋物線y2=－2px(p>0)的焦點(diǎn)F作圓C：x－22+則在直角三角形MCF中，∠CMF=π2，又C(2,0)，F(xiàn)-p2則sin∠MFC=MCCF，即22+p故答案為：4．28．（2024·天津?yàn)I海新·三模）已知圓C的圓心與拋物線x2=4y的焦點(diǎn)關(guān)于直線y=x對(duì)稱，直線3x-4y+2=0與C相交于A,B兩點(diǎn)，且AB=6，則圓C【答案】x-1〖祥解〗根據(jù)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程求出其焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)對(duì)稱關(guān)系求出圓心坐標(biāo)，根據(jù)垂徑定理求出圓的半徑即可得到答案.【詳析】依題意可知拋物線的焦點(diǎn)為(0,1)，∵圓C的圓心與拋物線x2=4y的焦點(diǎn)關(guān)于直線∴圓心坐標(biāo)為(1,0)，設(shè)圓的半徑為r，圓心到直線3x-4y+2=0的距離為d，則d=3+2又∵AB=6，∴則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)故答案為：(x-1)29．（2024·天津·模擬預(yù)測(cè)）若直線l:y=2x與圓C:x2+y2-2x-7=0交于【答案】1255〖祥解〗先求出圓的圓心和半徑，根據(jù)已知條件可得圓心到直線l的距離d，即可求解.【詳析】由題意可得圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x-12所以圓C的圓心為1,0，半徑為22所以圓心1,0到直線l:y=2x的距離d=2×1-0所以AB=2故答案為：1230．（2024·天津武清·模擬預(yù)測(cè)）已知直線x+y-5=0與圓C：x2+y2-4x+2y-m2=0相交于A【答案】±〖祥解〗利用弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線距離公式列方程求解即可.【詳析】根據(jù)題意，圓x2即(x-2)2+(y+1)2=5+若AB=4，則圓心到直線l即AB的距離d=又由圓心到直線x+y-5=0的距離d=|2-1-5|則有1+m2=2故答案為：±731.（2024·天津河西·二模）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0的離心率為22，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，直線l：y=kx+2k>0(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)P為x軸上一點(diǎn)，△PMN是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，求直線l的方程及點(diǎn)P的坐標(biāo).【答案】(1)x(2)直線l方程為y=x+2，點(diǎn)P的坐標(biāo)為-〖祥解〗（1）由△MNF2的周長(zhǎng)借助橢圓的定義可求a，再結(jié)合橢圓的離心率求得c，進(jìn)而求得橢圓（2）聯(lián)立直線和橢圓的方程，表示出MN的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)，根據(jù)PQ⊥MN，表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再由PM⊥PN列出等式，求出k，即得解．【詳析】（1）因?yàn)椤鱉NF2的周長(zhǎng)為MN+NF又橢圓C的離心率為22，即e=ca=∴b=a∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2

（2）設(shè)Mx1,y1，Nx2聯(lián)立y=kx+2x24因?yàn)橹本€l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，故Δ>0，解得kx1+x則x0=-4k2k2+1，代入因?yàn)椤鱌MN是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，∴PQ⊥MN，故kPQ?kMN=-1，即2由PM⊥PN，故kPM?k又y1=kx所以k2經(jīng)計(jì)算，k2=1，因?yàn)閗>0，所以k=1所以直線l的方程為y=x+2，點(diǎn)P的坐標(biāo)為-2

32．（2024·天津和平·二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓x2a2+y2b2=1(1)求橢圓的離心率；(2)是否存在過(guò)原點(diǎn)O的直線l，使得直線l與橢圓在第三象限的交點(diǎn)為點(diǎn)C，且與直線AF交于點(diǎn)D，滿足33FD=2【答案】(1)1(2)因此存在直線l:y=2〖祥解〗（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)求解AB,AF，即可結(jié)合（2）聯(lián)立方程可得C,D坐標(biāo)，即可根據(jù)33FD=2CD【詳析】（1）依題意，AFAB=a又因?yàn)閍2=b（2）設(shè)直線l的方程為y=kx(k>0)，橢圓的方程為x24c設(shè)點(diǎn)Cx1,y1x解得x1=-23直線AF方程為y=-3設(shè)點(diǎn)Dxy=-3(x-c),y=kx.，聯(lián)立方程組，解得x2又因?yàn)?3設(shè)|CD|=λ|OD|，則有33即33|FD|=2λy2，所以所以|CD|=3|OD|，則有y1代入①②有-23ck由題意得k≠0，所以k=233【『點(diǎn)石成金』】方法『點(diǎn)石成金』：解答直線與圓錐曲線的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建