2025版新教材高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)48雙曲線訓(xùn)練含解析新人教B版

四十八雙曲線(建議用時(shí)：45分鐘)A組全考點(diǎn)鞏固練1．(2024·瀘縣高三月考)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦距為4eq\r(2)，且兩條漸近線相互垂直，則該雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為()A．2 B．4C．6 D．8B解析：雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x.因?yàn)閮蓷l漸近線相互垂直，所以－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2＝－1，得a＝b.因?yàn)殡p曲線的焦距為4eq\r(2)，所以c＝2eq\r(2).由c2＝a2＋b2得2a2＝8，解得a＝2，所以實(shí)軸長(zhǎng)為2a＝4.2．(2024·內(nèi)蒙古自治區(qū)高三二模)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的頂點(diǎn)分別為A1，A2，以線段A1A2為直徑的圓與直線ax＋by－2ab＝0相切，且雙曲線C的焦距為4，則雙曲線C的方程為()A.eq\f(x2,3)－y2＝1 B.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,3)＝1C.x2－eq\f(y2,3)＝1 D.eq\f(y2,9)－eq\f(x2,3)＝1A解析：由題意知，圓的半徑為a，圓心為(0,0)．設(shè)圓心到直線的距離為d，則d＝eq\f(|－2ab|,\r(a2＋b2))＝a，所以a2＝3b2.因?yàn)殡p曲線的焦距為4，所以c＝2，又c2＝a2＋b2，解得a＝eq\r(3)，b＝1，所以雙曲線的方程為eq\f(x2,3)－y2＝1.3．(2024·青島市高三二模)已知曲線C的方程為eq\f(x2,k2－2)－eq\f(y2,6－k)＝1(k∈R)，則下列結(jié)論正確的是()A．當(dāng)k＝8時(shí)，曲線C為橢圓，其焦距為4＋eq\r(15)B．當(dāng)k＝2時(shí)，曲線C為雙曲線，其離心率為eq\r(3)C．存在實(shí)數(shù)k使得曲線C為焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線D．當(dāng)k＝3時(shí)，曲線C為雙曲線，其漸近線與圓(x－4)2＋y2＝9相切B解析：對(duì)于A，當(dāng)k＝8時(shí)，曲線C的方程為eq\f(x2,62)＋eq\f(y2,2)＝1，軌跡為橢圓，焦距為2c＝2eq\r(62－2)＝4eq\r(15)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)k＝2時(shí)，曲線C的方程為eq\f(x2,2)－eq\f(y2,4)＝1，軌跡為雙曲線，則a＝eq\r(2)，c＝eq\r(6)，所以離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(3)，B正確；對(duì)于C，若曲線C表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6－k<0，,k2－2<0，))解集為空集，所以不存在實(shí)數(shù)k使得曲線C為焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)k＝3時(shí)，曲線C的方程為eq\f(x2,7)－eq\f(y2,3)＝1，軌跡為雙曲線，其漸近線方程為y＝±eq\f(\r(21),7)x，則圓(x－4)2＋y2＝9的圓心到漸近線的距離d＝eq\f(|±4\r(21)|,\r(21＋49))＝eq\f(4\r(3),\r(10))＝eq\f(2\r(30),5)≠3，所以雙曲線漸近線與圓(x－4)2＋y2＝9不相切，D錯(cuò)誤．4．(2024·邢臺(tái)市其次中學(xué)高三模擬)已知點(diǎn)A(0，－1)是拋物線x2＝2py的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，P為拋物線上的點(diǎn)，且|PF|＝m|PA|.若雙曲線C的中心在原點(diǎn)，F(xiàn)是它的一個(gè)焦點(diǎn)，且過(guò)P點(diǎn)，當(dāng)m取最小值時(shí)，雙曲線C的離心率為()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C.eq\r(2)＋1 D.eq\r(3)＋1C解析：由點(diǎn)A在拋物線的準(zhǔn)線上，得p＝2，故拋物線方程為x2＝4y，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(0,1)．過(guò)點(diǎn)P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，如圖所示，由拋物線定義可得|PN|＝|PF|.因?yàn)閨PF|＝m|PA|，所以|PN|＝m|PA|，則eq\f(|PN|,|PA|)＝m.當(dāng)直線PA的斜率不存在時(shí)，m＝1.當(dāng)直線PA的斜率存在時(shí)，設(shè)直線PA的傾斜角為α，則sinα＝m，當(dāng)m取得最小值時(shí)，sinα最小，此時(shí)直線PA與拋物線相切．設(shè)直線PA的方程為y＝kx－1，代入拋物線方程得x2－4kx＋4＝0.由根的判別式Δ＝16k2－16＝0，解得k＝±1，易得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,1)或(－2,1)．由題意可知，A，F(xiàn)是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，所以|PA|－|PF|＝2eq\r(2)－2＝2a，c＝1，所以雙曲線的離心率為eq\f(1,\r(2)－1)＝eq\r(2)＋1.5．(多選題)若雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的實(shí)軸長(zhǎng)為6，焦距為10，右焦點(diǎn)為F，則下列結(jié)論正確的是()A．C的漸近線上的點(diǎn)到F距離的最小值為4B．C的離心率為eq\f(5,4)C．C上的點(diǎn)到F距離的最小值為2D．過(guò)F的最短的弦長(zhǎng)為eq\f(32,3)AC解析：由題意可得2a＝6,2c＝10，所以a＝3，c＝5，b＝eq\r(c2－a2)＝4，右焦點(diǎn)F(5,0)，漸近線的方程為4x－3y＝0，所以C的漸近線上的點(diǎn)到F距離的最小值為F到漸近線的距離d＝eq\f(bc,c)＝b＝4，所以A正確，離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(5,3)，所以B不正確；雙曲線上的點(diǎn)為頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離最小，5－3＝2，所以C正確；過(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)為垂直與x軸的直線與雙曲線的弦長(zhǎng)，eq\f(2b2,a)＝eq\f(32,3)，而斜率為0時(shí)，弦長(zhǎng)為實(shí)軸長(zhǎng)2a＝6＜eq\f(32,3)，所以最短的弦長(zhǎng)為6，故D不正確．6．(2024·全國(guó)卷Ⅰ)已知F為雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)，A為C的右頂點(diǎn)，B為C上的點(diǎn)，且BF垂直于x軸．若AB的斜率為3，則C的離心率為_(kāi)_______．2解析：點(diǎn)B為雙曲線的通徑位于第一象限的端點(diǎn)，其坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,0)．因?yàn)锳B的斜率為3，所以eq\f(\f(b2,a),c－a)＝3，即eq\f(c2－a2,ac－a)＝eq\f(c＋a,a)＝e＋1＝3，所以e＝2.7．(2024·臨沂市高三模擬)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線與圓F：(x－2)2＋y2＝3相切，且雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)與圓F的圓心重合，則雙曲線C的方程為_(kāi)___________．x2－eq\f(y2,3)＝1解析：由題意，圓F：(x－2)2＋y2＝3的圓心F(2,0)是雙曲線C的右焦點(diǎn)，所以c＝2.雙曲線C的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x.因?yàn)殡p曲線C的漸近線與圓F相切，所以圓心F(2,0)到直線y＝eq\f(b,a)x的距離等于圓的半徑，即eq\f(|2b－0|,\r(a2＋b2))＝eq\r(3).所以b2＝3a2.又c2＝a2＋b2＝4，所以a2＝1，b2＝3.所以雙曲線C的方程為x2－eq\f(y2,3)＝1.8．已知雙曲線C：x2－y2＝m(m>0)的焦距為4eq\r(2)，且它的漸近線與圓x2＋(y－m)2＝16有交點(diǎn)，連接全部交點(diǎn)的線段圍成了幾何圖形M，則幾何圖形M的面積為_(kāi)_______．16解析：由雙曲線C：x2－y2＝m(m>0)，得eq\f(x2,m)－eq\f(y2,m)＝1，則c＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(2m)＝2eq\r(2)，解得m＝4.所以雙曲線的漸近線方程為y＝±x.圓x2＋(y－m)2＝16化為x2＋(y－4)2＝16，如圖．聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，,x2＋y－42＝16，))解得B(4,4)；聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－x，,x2＋y－42＝16，))解得A(－4,4)．所以幾何圖形M的面積為eq\f(1,2)×8×4＝16.9．(2024·黃岡中學(xué)高三月考)已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在坐標(biāo)軸上，離心率為eq\r(2)，且過(guò)點(diǎn)(4，－eq\r(10))．點(diǎn)M(3，m)在雙曲線上．(1)求雙曲線的方程；(2)求證：eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0；(3)求△F1MF2的面積．(1)解：因?yàn)閑＝eq\r(2)，所以雙曲線的實(shí)軸、虛軸相等．可設(shè)雙曲線方程為x2－y2＝λ.因?yàn)殡p曲線過(guò)點(diǎn)(4，－eq\r(10))，所以16－10＝λ，即λ＝6.所以雙曲線方程為eq\f(x2,6)－eq\f(y2,6)＝1.(2)證明：不妨設(shè)F1，F(xiàn)2分別為左、右焦點(diǎn)，則eq\o(MF1,\s\up6(→))＝(－2eq\r(3)－3，－m)，eq\o(MF2,\s\up6(→))＝(2eq\r(3)－3，－m)，所以eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝(3＋2eq\r(3))×(3－2eq\r(3))＋m2＝－3＋m2.因?yàn)辄c(diǎn)M在雙曲線上，所以9－m2＝6，即m2－3＝0，所以eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0.(3)解：△F1MF2的底邊|F1F2|＝4eq\r(3).由(2)知m＝±eq\r(3)，所以△F1MF2的高h(yuǎn)＝|m|＝eq\r(3)，所以S△F1MF1＝eq\f(1,2)×4eq\r(3)×eq\r(3)＝6.B組新高考培優(yōu)練10．(多選題)(2024·淄博市高三二模)已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在雙曲線C：x2－eq\f(y2,3)＝1上，雙曲線C的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，下列結(jié)論正確的是()A．雙曲線C的離心率為2B．雙曲線C的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(3),3)xC．動(dòng)點(diǎn)P到兩條漸近線的距離之積為定值D．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在雙曲線C的左支上時(shí)，eq\f(|PF1|,|PF2|2)的最大值為eq\f(1,4)AC解析：對(duì)于雙曲線C：x2－eq\f(y2,3)＝1，a＝1，b＝eq\r(3)，c＝2，所以雙曲線C的離心率為e＝eq\f(c,a)＝2，漸近線方程為y＝±eq\r(3)x，A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)，則xeq\o\al(2,0)－eq\f(y\o\al(2,0),3)＝1，雙曲線C的兩條漸近線方程分別為x－eq\f(\r(3),3)y＝0和x＋eq\f(\r(3),3)y＝0，則點(diǎn)P到兩條漸近線的距離之積為eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x0－\f(\r(3),3)y0)),\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)))2))·eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x0＋\f(\r(3),3)y0)),\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))2))＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,0)－\f(y\o\al(2,0),3))),\f(4,3))＝eq\f(3,4)，C選項(xiàng)正確；當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在雙曲線C的左支上時(shí)，|PF1|≥c－a＝1，|PF2|＝2a＋|PF1|＝|PF1|＋2，所以eq\f(|PF1|,|PF2|2)＝eq\f(|PF1|,|PF1|＋22)＝eq\f(|PF1|,|PF1|2＋4＋4|PF1|)＝eq\f(1,|PF1|＋\f(4,|PF1|)＋4)≤eq\f(1,2\r(|PF1|·\f(4,|PF1|))＋4)＝eq\f(1,8)，當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|＝2時(shí)，等號(hào)成立，所以eq\f(|PF1|,|PF2|2)的最大值為eq\f(1,8)，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．11．(2024·甘肅適應(yīng)測(cè)試)已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，P是雙曲線上一點(diǎn)．若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小內(nèi)角為eq\f(π,6)，則雙曲線的漸近線方程為()A．y＝±2x B．y＝±eq\f(1,2)xC．y＝±eq\f(\r(2),2)x D．y＝±eq\r(2)xD解析：不妨設(shè)P為雙曲線右支上一點(diǎn)，則|PF1|>|PF2|.由雙曲線的定義得|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a，所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.又因?yàn)閑q\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2c>2a，,4a>2a，))所以∠PF1F2為最小內(nèi)角，故∠PF1F2＝eq\f(π,6).由余弦定理，得coseq\f(π,6)＝eq\f(4a2＋2c2－2a2,2·4a·2c)＝eq\f(\r(3),2)，即(eq\r(3)a－c)2＝0，所以c＝eq\r(3)a，則b＝eq\r(2)a，所以雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\r(2)x.12．(多選題)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線方程為x－2y＝0，雙曲線的左焦點(diǎn)在直線x＋y＋eq\r(5)＝0上，A，B分別是雙曲線的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線右支上位于第一象限的動(dòng)點(diǎn)，PA，PB的斜率分別為k1，k2，則k1＋k2的取值可能為()A．eq\f(3,4) B．1C．eq\f(4,3) D．2CD解析：由雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線方程為x－2y＝0，可得a＝2b.由雙曲線的左焦點(diǎn)在直線x＋y＋eq\r(5)＝0上，可得－c＝－eq\r(5)，即c＝eq\r(5).由a2＋b2＝5，解得a＝2，b＝1，雙曲線的方程為eq\f(x2,4)－y2＝1.由題意可得A(－2,0)，B(2,0)，設(shè)P(m，n)，可得eq\f(m2,4)－n2＝1，即有eq\f(n2,m2－4)＝eq\f(1,4)，所以k1k2＝eq\f(n,m＋2)·eq\f(n,m－2)＝eq\f(n2,m2－4)＝eq\f(1,4)(k1，k2＞0)，則k1＋k2≥2eq\r(k1k2)＝1.由A，B為左右頂點(diǎn)，可得k1≠k2，則k1＋k2＞1.13．(2024·泉州模擬)已知橢圓M：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，雙曲線N：eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝1.若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個(gè)交點(diǎn)及橢圓M的兩個(gè)焦點(diǎn)恰為一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn)，則橢圓M的離心率為_(kāi)_______；雙曲線N的離心率為_(kāi)_______．eq\r(3)－12解析：如圖，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F(c,0)，雙曲線N的漸近線與橢圓M在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為A.由題意可知Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)，\f(\r(3)c,2)))，因?yàn)辄c(diǎn)A在橢圓M上，所以eq\f(c2,4a2)＋eq\f(3c2,4b2)＝1，所以b2c2＋3a2c2＝4a2b2.因?yàn)閎2＝a2－c2，所以(a2－c2)c2＋3a2c2＝4a2(a2－c2)，所以4a4－8a2c2＋c4＝0，所以eeq\o\al(4,橢圓)－8eeq\o\al(2,橢圓)＋4＝0，所以eeq\o\al(2,橢圓)＝4±2eq\r(3)，所以e橢圓＝eq\r(3)＋1(舍去)或e橢圓＝eq\r(3)－1，所以橢圓M的離心率為eq\r(3)－1.因?yàn)殡p曲線的漸近線過(guò)點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)，\f(\r(3)c,2)))，所以漸近線方程為y＝eq\r(3)x，所以eq\f(n,m)＝eq\r(3)，故雙曲線的離心率e雙曲線＝eq\r(\f(m2＋n2,m2))＝2.14．已知橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,m)＝1與雙曲線x2－eq\f(y2,n)＝1的離心率分別為e1，e2，且有公共的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，則4eeq\o\al(2,1)－eeq\o\al(2,2)＝________.若P為兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，則|PF1|·|PF2|＝________.03解析：由題意得橢圓的半焦距滿(mǎn)意ceq\o\al(2,1)＝4－m，雙曲線的半焦距滿(mǎn)意ceq\o\al(2,2)＝1＋n.因?yàn)閮汕€有相同的焦點(diǎn)，所以4－m＝1＋n，即m＋n＝3，則4eeq\o\al(2,1)－eeq\o\al(2,2)＝4×eq\f(4－m,4)－(1＋n)＝3－(m＋n)＝0.不妨設(shè)F1，F(xiàn)2分別為兩曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為兩曲線在第一象限的交點(diǎn)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|＋|PF2|＝4，,|PF1|－|PF2|＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|＝3，,|PF2|＝1，))所以|PF1|·|PF2|＝3.15．(2024·八省聯(lián)考)雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，動(dòng)點(diǎn)B在C上．當(dāng)BF⊥AF時(shí)，|AF|＝|BF|.(1)求C的離心率；(2)若B在第一象限，證明：∠BFA＝2∠BAF.(1)解：設(shè)雙曲線的半焦距為c，則F(c,0)，Beq\b\lc\