新高考數(shù)學一輪復習講練測第7章第05講 空間向量及其應用（練習）（解析版）

第05講空間向量及其應用（模擬精練+真題演練）1．（2023·內(nèi)蒙古烏蘭察布·?？既＃┱襟wSKIPIF1<0中，E，F(xiàn)分別是SKIPIF1<0的中點，則直線SKIPIF1<0與EF所成角的余弦值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】正方體SKIPIF1<0中，E，F(xiàn)分別是SKIPIF1<0的中點，設正方體SKIPIF1<0中棱長為2，以D為原點，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸，建立空間直角坐標系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，

設直線SKIPIF1<0與EF所成角為θ，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，∴直線SKIPIF1<0與EF所成角的余弦值是SKIPIF1<0．故選：B．2．（2023·西藏日喀則·統(tǒng)考一模）已知向量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0垂直，則SKIPIF1<0（

）.A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由于SKIPIF1<0與SKIPIF1<0垂直，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故選：D3．（2023·江蘇揚州·揚州中學校考模擬預測）定義兩個向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的向量積是SKIPIF1<0一個向量，它的模SKIPIF1<0，它的方向與SKIPIF1<0和SKIPIF1<0同時垂直，且以SKIPIF1<0的順序符合右手法則（如圖），在棱長為2的正四面體SKIPIF1<0中，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0. C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】設SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為三角形SKIPIF1<0的外心，所以SKIPIF1<0，進而SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0由于SKIPIF1<0與SKIPIF1<0共線，且方向相同，則SKIPIF1<0，故選：D

4．（2023·黑龍江哈爾濱·哈師大附中?？寄M預測）如圖，四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0為正方形，SKIPIF1<0是正三角形，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】取SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0是正三角形，所以SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，如圖建立空間直角坐標系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0.

故選：A5．（2023·云南保山·統(tǒng)考二模）已知正方體SKIPIF1<0，Q為上底面SKIPIF1<0所在平面內(nèi)的動點，當直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的所成角為45°時，點Q的軌跡為（

）A．圓 B．直線 C．拋物線 D．橢圓【答案】C【解析】以點D為原點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為x，y，z的正方向，建立空間直角坐標系，設正方體棱長為1，則SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的所成角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，化簡可得SKIPIF1<0，所以點Q的軌跡為拋物線.故選：C.

6．（2023·江蘇徐州·?？寄M預測）在空間直角坐標系中，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，空間一點SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】根據(jù)題意，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0的方向向量為SKIPIF1<0，又因為過點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的射影為：SKIPIF1<0，故點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為：SKIPIF1<0.故選：D.7．（2023·貴州畢節(jié)·校考模擬預測）鐘鼓樓是中國傳統(tǒng)建筑之一，屬于鐘樓和鼓樓的合稱，是主要用于報時的建筑.中國古代一般建于城市的中心地帶，在現(xiàn)代城市中，也可以常?？匆姼接戌姌堑慕ㄖ?如圖，在某市一建筑物樓頂有一頂部逐級收攏的四面鐘樓，四個大鐘對稱分布在四棱柱的四個側(cè)面（四棱柱看成正四棱柱，鐘面圓心在棱柱側(cè)面中心上），在整點時刻（在0點至12點中取整數(shù)點，含0點，不含12點），已知在3點時和9點時，相鄰兩鐘面上的時針所在的兩條直線相互垂直，則在2點時和8點時，相鄰兩鐘面上的時針所在的兩條直線所成的角的余弦值為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】如圖，在正四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分別為側(cè)面SKIPIF1<0和側(cè)面SKIPIF1<0的中心，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0點鐘時針，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0點鐘時針，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設正四棱柱的底面邊長為SKIPIF1<0，側(cè)棱長為SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為原點，以SKIPIF1<0的方向分別為SKIPIF1<0軸建立空間直角坐標系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.所以在2點時和8點時，相鄰兩鐘面上的時針所在的兩條直線所成的角的余弦值為SKIPIF1<0.

故選：B8．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預測）在空間直角坐標系中，已知SKIPIF1<0，則當點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離最小時，直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】因為SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0的法向量，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最小值，此時SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0.故選：C.9．（多選題）（2023·福建寧德·?？寄M預測）已知空間單位向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩兩夾角均為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下列說法中正確的是（

）A．SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0四點可以共面B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】BC【解析】由于單位向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩兩夾角均為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，假設SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0四點可以共面，則SKIPIF1<0共面，所以存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，分別用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0點乘，則SKIPIF1<0，由于該方程組無解，所以不存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0共面，故SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0四點不共面，故A錯誤，對于B，SKIPIF1<0,故B正確，對于C，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,故C正確；對于D，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故D錯誤，故選：BC.10．（多選題）（2023·海南?？凇ば？寄M預測）在長方體SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0上（含端點）的一動點，則下列說法正確的是（

）A．該長方體外接球表面積為SKIPIF1<0 B．三棱錐SKIPIF1<0的體積為定值C．當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的最大值為1【答案】ABD【解析】設長方體SKIPIF1<0外接球的半徑為SKIPIF1<0，該長方體外接球的直徑即為長方體對角線的長，即有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以外接球表面積為SKIPIF1<0，故A正確；因為在長方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0上（含端點）的一動點，所以SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離即為SKIPIF1<0的長，所以SKIPIF1<0，是定值，故B正確；如圖，以SKIPIF1<0為原點建立空間直角坐標系，

則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，故C錯誤；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最大值為1，故D正確.故選：ABD11．（多選題）（2023·福建福州·福建省福州第一中學?？寄M預測）如圖，在各棱長均為2的正三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0的中點，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（

）

A．當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0D．當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0【答案】AC【解析】

取SKIPIF1<0中點為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，以點SKIPIF1<0為坐標原點，分別以SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸，以過點SKIPIF1<0且與SKIPIF1<0平行的直線為SKIPIF1<0軸，建立空間直角坐標系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.對于A項，當SKIPIF1<0時，有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故A項正確；對于B項，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0的一個法向量，則有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0的一個法向量.若SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0不共線，故B錯誤；對于C項，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0的一個法向量.要使SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則應有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故C項正確；對于D項，當SKIPIF1<0時，點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0的一個法向量，設SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故D項錯誤.故選：AC.12．（多選題）（2023·海南海口·海南華僑中學校考一模）如圖，在棱長為1的正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上的動點，則下列說法正確的是（

）

A．不存在點SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0B．存在點SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0C．對于任意點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離的取值范圍為SKIPIF1<0D．對于任意點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都是鈍角三角形【答案】ABC【解析】由題知，在正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上的動點，建立以SKIPIF1<0為原點，分別以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方向為SKIPIF1<0軸、SKIPIF1<0軸、SKIPIF1<0軸的正方向的空間直角坐標系SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，顯然方程組無解，所以不存在SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，即不存在點SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，故A項正確；當SKIPIF1<0時，解得SKIPIF1<0，故B項正確；因為SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，所以點Q到SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，故C項正確；因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以三角形為SKIPIF1<0直角三角形或鈍角三角形，故D項錯誤.

故選：ABC13．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預測）點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別是正四面體ABCD棱SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點，則SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【解析】以SKIPIF1<0為基底，它們兩兩之間均為SKIPIF1<0，設正四面體ABCD棱長為2，則SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,故答案為：SKIPIF1<014．（2023·重慶沙坪壩·重慶一中?？寄M預測）在空間直角坐標系中，一四面體的四個頂點坐標分別為SKIPIF1<0，則其體積為．【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【解析】設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設平面ABC的一個法向量為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向的投影的絕對值即為點D到平面ABC的距離SKIPIF1<0，四面體SKIPIF1<0的體積SKIPIF1<0；故答案為：SKIPIF1<0.15．（2023·北京大興·?？既＃┤鐖D，在正方體SKIPIF1<0，中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為線段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的動點.給出下列四個結(jié)論:

①存在點SKIPIF1<0，存在點SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0∥平面SKIPIF1<0；②任意點SKIPIF1<0，存在點SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0∥平面SKIPIF1<0；③任意點SKIPIF1<0，存在點SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0；④任意點SKIPIF1<0，存在點SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0.其中所有正確結(jié)論的序號是.【答案】①③【解析】對①，當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點時，取SKIPIF1<0中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則根據(jù)中位線的性質(zhì)可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.故①正確.

對②，當SKIPIF1<0在SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0∥平面SKIPIF1<0不成立，故②錯誤；對③④，以SKIPIF1<0為坐標原點建立如圖空間直角坐標系，設正方體SKIPIF1<0棱長為1，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，則當SKIPIF1<0時SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故對任意的SKIPIF1<0，存在SKIPIF1<0滿足條件，即任意點SKIPIF1<0，存在點SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0.故③正確；當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0點時，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，不滿足SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0不在SKIPIF1<0上，故④錯誤.

故答案為：①③16．（2023·全國·模擬預測）已知長方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0上靠近點SKIPIF1<0的三等分點，記直線SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0之間的大小關(guān)系為．（橫線上按照從小到大的順序進行書寫）【答案】SKIPIF1<0【解析】

記SKIPIF1<0，如圖，以SKIPIF1<0為原點，建立空間直角坐標系，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0.17．（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預測）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上的中點.

(1)求三棱錐SKIPIF1<0的體積；(2)求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0夾角的余弦值.【解析】（1）因為四邊形SKIPIF1<0是菱形，所以SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上的中點，所以SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴三棱錐SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0.（2）取棱SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.SKIPIF1<0兩兩垂直，故以SKIPIF1<0為原點，分別以SKIPIF1<0的方向為SKIPIF1<0軸的正方向，建立空間直角坐標系.因SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.

因SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上的中點，則SKIPIF1<0.設平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.平面SKIPIF1<0的一個法向量為SKIPIF1<0.設平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.故平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0夾角的余弦值為SKIPIF1<0.18．（2023·江蘇徐州·?？寄M預測）在三棱臺SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成二面角大小為SKIPIF1<0，求三棱錐SKIPIF1<0的體積．【解析】（1）在三棱臺SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，則SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．（2）∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點，∴SKIPIF1<0．以SKIPIF1<0為正交基底，建立空間直角坐標系SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設平面SKIPIF1<0的一個法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又平面SKIPIF1<0的一個法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．

19．（2023·寧夏銀川·?？寄M預測）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是邊長為2的菱形，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上一點，且SKIPIF1<0.

(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的余弦值.【解析】（1）證明：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中點，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）底面SKIPIF1<0是邊長為2的菱形，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，如圖所示，以SKIPIF1<0為原點，以SKIPIF1<0所在直線為SKIPIF1<0軸，建立空間直角坐標系，

SKIPIF1<0SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0是邊長為2的菱形，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設平面SKIPIF1<0的一個法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0．SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，故有SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的余弦值SKIPIF1<0.20．（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考模擬預測）如圖，在正四棱臺SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點，棱SKIPIF1<0上存在一點SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．

(1)求SKIPIF1<0；(2)當正四棱臺SKIPIF1<0的體積最大時，求SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值．【解析】（1）作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，再作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0．因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．又平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．又因為SKIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0的四等分點，故SKIPIF1<0也為棱SKIPIF1<0的四等分點，所以SKIPIF1<0．（2）由（1）易知SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的四等分點，所以點SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0的正上方，所以SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0．設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以該四棱臺的體積SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0．當且僅當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時取等號，此時SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．以SKIPIF1<0為原點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0軸、SKIPIF1<0軸，過SKIPIF1<0平行于SKIPIF1<0的直線為SKIPIF1<0軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．設平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．設SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0．21．（2023·山東濰坊·三模）如圖，SKIPIF1<0為圓錐的頂點，SKIPIF1<0是圓錐底面的圓心，SKIPIF1<0為底面直徑，SKIPIF1<0為底面圓SKIPIF1<0的內(nèi)接正三角形，且邊長為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在母線SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0.

(1)求證：直線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(3)若點SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0上的動點．當直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值最大時，求此時點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離.【解析】（1）如圖，設SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0是底面圓的內(nèi)接正三角形，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0..

（2）因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（3）易知SKIPIF1<0，以點SKIPIF1<0為坐標原點，SKIPIF1<0所在直線分別為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，

設平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，設直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時，等號成立，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0有最大值4，即當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的最大值為1，此時點SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，故當直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值最大時，點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0.1．（2023?新高考Ⅰ）如圖，在正四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別在棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）證明：SKIPIF1<0；（2）點SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上，當二面角SKIPIF1<0為SKIPIF1<0時，求SKIPIF1<0．【解析】（1）證明：根據(jù)題意建系如圖，則有：SKIPIF1<0，2，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，2，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四點不共線，SKIPIF1<0；（2）在（1）的坐標系下，可設SKIPIF1<0，2，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又由（1）知SKI