2023年上海中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：三角形（原卷版+解析）

專題13三角形

三角形是中考數(shù)學(xué)的重要知識點，也是解幾何部分的解答題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵，中考主要以選擇題、填

空題，以及滲透在解答題中，主要考查三角形的有關(guān)概念，全等三角形的判定與性質(zhì)，特殊三角形的判定

與性質(zhì)，勾股定理等。主要體現(xiàn)的思想方法：轉(zhuǎn)化的思想、分類討論的思想、數(shù)形結(jié)合的思想等.

在知識導(dǎo)圖

Q工三角形的兩邊之和大于第三邊

一三條邊,-----------------------------

?------I,三角形的兩邊只差小于第三邊

;三個內(nèi)角

銳角三角形

?按角分直角三角形

L分類I鈍角三角形

三邊不相等的三角形

「按邊分,二底和腰不相等的三角形

等腰三角形/_二_------------

等邊三角形

穩(wěn)定性

一高三條高線交于一點叫重心

與三角形有關(guān)的線段心中線三條中線交于一點叫重心

.角平分線三條角平分線交于一點叫內(nèi)心

三角形的內(nèi)角和定理：三角形的三個內(nèi)角和等于180°

三角形的外角和等于360。

一三角形的外角----------------------

--------------性質(zhì)：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和

性質(zhì)：直角三角形的兩個銳角互余

“直角三角形卜判定:有兩個嶼逑三角形是直角三角形

具備普通三角形的判定方法

9直角三角形

斜邊和一條直角邊（HL）

全等三角形的判定邊邊邊（SSS）

邊角邊（SAS）

普通三角形

角邊角（ASA）

角角邊（AAS）

,對應(yīng)邊相等

------------------,對應(yīng)角相等

全等三角形的性質(zhì)k_

------------------,對應(yīng)中線、高和角平分線相等

面積相等

找夾角（SAS）

全等三角形

二已知兩邊一找直角（HL）

找第三邊（SSS）

找已知角的另7（SAS）

一邊為角的鄰邊一找已知邊的對角（AAS）

考察題型

已知一邊一角:找已知邊的另一夾角（ASA）

邊為角的對邊、找任意角（AAS）

找兩角的夾邊（ASA）

找任意7（AAS）

角平分線上的任意一點到角的兩邊距離相等

角的平分線

尺規(guī)作圖

稱軸對稱的兩個圖形全等

軸對稱的性質(zhì)

稱軸對稱的兩個圖形中，對應(yīng)點的連線被對稱軸垂直平分

垂直平分線所在的直線是它的對稱軸

軸對稱

Q線段線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等

到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上

角平分線所在的直線是它的對稱軸

軸對稱圖形卜角角平分線上的點到角的兩邊距離相等

角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上

等腰三角形底邊上的高（頂角的角平分線，底邊中線）所在的直線是它的對稱軸

等腰三角形的兩底角相等，等腰三角形底邊的中線、底邊的高及頂角的平分線重合

者等腰三角形，

有兩個角相等的三角形是等腰三角形直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

三條邊所在的高（或三個頂角的角平分線、或三條邊的中線）所在的直線是它的對稱軸

一等邊三角形等邊三角形的各角都等于60°

三個角都相等的三角形是等邊三角形，有一個是60°的等腰三角形是等邊三角形

t

0-重點考向

一、三角形的有關(guān)概念與全等三角形

1、三角形的定義：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接組成的圖形叫做三角形。

三角形有三條邊，三個內(nèi)角，三個頂點.組成三角形的線段叫做三角形的邊;相鄰兩邊所組成的角叫做三

角形的內(nèi)角；相鄰兩邊的公共端點是三角形的頂點，三角形ABC用符號表示為△ABC,三角形ABC的邊

AB可用邊AB所對的角C的小寫字母c表示，AC可用b表示，BC可用a表示。三角形具有穩(wěn)定性。

2、三角形的分類：

三角形按邊的關(guān)系分類如下：

r不等邊三角形

三角形J底和腰不相等的等腰三角形

”等腰三角形|

,等邊三角形

三角形按角的關(guān)系分類如卜：

,直角三角形（有一個角為直角的三角形）

三角形銳角三角形（三個角都是銳角的三角形）

鈍角三角形（有一個角為鈍角的三角形）

3、三角加的主要線段的定義：

（1）三角形的中線

三角形中，連結(jié)一個頂點和它對邊中點的線小段.

表示法：1.AD是△ABC的BC上的中線./\

2.BD=DC=-BC./\

2BDC

注意：①三角形的中線是線段；

（2）三角形的角平分線

三角形一個內(nèi)角的平分線與它的對邊相交，這個角頂點與交點之間的線段

表示法：1.AD是4ABC的/BAC的平分線.

1

2.Z1=Z2=-ZBAC.

2

（3）三角形的高

從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線，頂點和垂足之間的線段.

注意：三角形的中線、角平分線、高是均是線段。

4、三角形的三邊關(guān)系：

三角形的任意兩邊之和大于第三邊;任意兩邊之差小于第三邊.]

5、三角形的角與角之間的關(guān)系：/\

（1）三角形三個內(nèi)角的和等于180。；\

（2）三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；BDC

（3）三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角.

（4）直角三角形的兩個銳角互余.

三角形的內(nèi)角和定理

定理：三角形的內(nèi)角和等于180。.

推論：直角三角形的兩個銳角互余。

三角形的外角的定義

三角形一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角.

注意：每個頂點處都有兩個外角，但這兩個外角是對頂角.

三角形外角的性質(zhì)

（1）三角形的外角和等于360。（三個外角的和）。

（2）三角形的一個外角等于它不相鄰的兩個內(nèi)角之和.

（3）三角形的一個角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角.

6、特殊三角形的性質(zhì)和判定：

1.有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形；三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特

殊的等腰三角形。

2.等腰三角形的性質(zhì)：

（1）等腰三角形的兩個底角相等；

（2）等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合。

3.等腰三角形的判定：

如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等。

4.等邊三角形的性質(zhì)：

等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每一個角都等于60。。

5.等邊三角形的判定：

（1）三個角都相等的三角形是等邊三角形；

（2）有一個角是60。的等腰三角形是等邊三角形。

7、全等三角形的性質(zhì)與判定

1.全等三角形的性質(zhì)

全等三角形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等.

2.全等三角形的判定定理

全等三角形判定1-“邊邊邊”：三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等.（可以簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）.

全等三角形判定2-“角邊角”：兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角邊角”或

“ASA”）.

全等三角形判定3?角角邊”：兩個角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角

角邊”或“AAS”）

全等三角形判定4—“邊角邊”：兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊角邊”或

“SAS”).

全等三角形判定5—在兩個直角三角形中，有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（可以

簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）

真例引擷

______1.I_____________

一、單選題

1.下列各組線段能構(gòu)成三角形的是（）

A.2cm,2cm,4cmB.2cm,3cm,4cm

C.2cm,2cm,5cmD.2cm,3cm,6cm

2.已知，圖中的虛線部分是小明作的輔助線，則（）

B.8是AC邊的高

C.8。是CB邊的高D.是CD邊的高

3.下列說法中正確的是（）

A.形狀相同的兩個三角形全等B.面積相等的兩個三角形全等

C.完全重合的兩個三角形全等D.周長相等的兩個三角形全等

4.已知圖中的兩個三角形全等，則/n的度數(shù)是（）

A.72°B.60°C.58°D.50°

5.如圖，在ZkABC和ADEC中，已知還需添加兩個條件才能使△4B（*ZkOEC,添加的一組條件

不正確的是（）

A.BC=DC,ZA=ZDB.BC=EC,AC=DC

C./B=NE,ZBCE=ZACDD.BC=EC,NB=/E

6.下列命題：①真命題都是定理；②垂直于同一條直線的兩條直線平行；③三角形的三條高線交于一點；

④有兩邊和一個角對應(yīng)相等的兩個三角形全等；⑤全等三角形對應(yīng)邊上的高相等；⑥三角形中至少有一個

角不小于60。.是真命題的有（）個

A.2B.3C.4D.5

7.如圖，心AABC中，ZC=90°,利用尺規(guī)在BC,54上分別截取BE,BD,使BE=BD；分別以。，E

為圓心、以大于為長的半徑作弧，兩弧在一曲內(nèi)交于點尸；作射線所交AC于點G,若CG=1,P

為A3上一動點，則G尸的最小值為（）

8.如圖，將一根筆直的竹竿斜放在豎直墻角A08中，初始位量為CD,當(dāng)一端C下滑至C時，另一端。

向右滑到DC,則下列說法正確的是（）

A.下滑過程中，始終有CC'=W

B.下滑過程中，始終有CCTDD

C.若OC<OD,則下滑過程中，一定存在某個位置使得CC=09

D.若OC>OD,則下滑過程中，一定存在某個位置使得CC=￡>￡>'

9.如圖所示，設(shè)甲、乙、丙、丁分別表示△ABC,AACD,△EFG,AEGH.已知/CAD=/EFG

=ZEGH=70°,NBAC=/ACD=/EGF=NEHG=50°,則敘述正確的是（）

圖①圖②

A.甲、乙全等，丙、丁全等B,甲、乙全等，丙、丁不全等

C.甲、乙不全等，丙、丁全等D.甲、乙不全等，丙、丁不全等

10.如圖，R3ABC中，ZACB=9Q°,ZB=50°,D,尸分別是BC,AC上的點，DEYAB,垂足為E,CF

=BE,DF=DB,則/ADE的度數(shù)為（）

C.70°D.71°

二、填空題

11.已知三角形三邊長分別為2,9,x,若x為偶數(shù)，則這樣的三角形有個.

12.如圖，在△ABC中，是BC邊上的中線，E是的中點，5^=12cm2,貝|S陰影=cm2.

13.在AA8C和△￡）￡/中，?AB=DE,②BC=EF,@AC=DF,?ZA=ZD,從這四個條件中選取三個條件能

判定AA8C三XDEF的方法共有種.

14.如圖，點。在A8上，點E在AC上，CO與8E相交于點O,MAD=AE,AB=AC.若/B=20。，C￡?=5cm,

貝I]ZC=,BE=.

15.如圖，CD±AB,AELBC,垂足分別為。點E,CO與AE交于點/，若BD=DF=3,5AADF=6,

則CF的長是.

A

16.如圖在AABC中，。為A8中點，DELAB,ZACE+ZBCE=180°,EF_L8C交AC于凡AC=8,BC

=12,則8/的長為.

在重點考向

二、幾何證明

1.命題和證明

(1)命題

定義：判斷一件事情的句子.

判斷為正確的命題，叫做真命題；

判斷為錯誤的命題，叫做假命題.

(2)演繹證明(簡稱證明)

從已知的概念、條件出發(fā)，依據(jù)已被確認(rèn)的事實和公認(rèn)的邏輯規(guī)則，推導(dǎo)出某結(jié)論為正確的過程.

要點：

命題通常由題設(shè)、結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知的事項，結(jié)論是由已知事項推出的事項，可以寫成

“如果……那么……”的形式，“如果”開始的部分是題設(shè)，“那么”開始的部分是結(jié)論.

2.公理和定理

(1)公理：人們從長期的實踐中總結(jié)出來的真命題叫做公理，它們可以作為判斷其他命題真假的原

始依據(jù).

(2)定理：從公理或其他真命題出發(fā)，用推理方法證明為正確的，并能進(jìn)一步作為判斷其他命題真

假的依據(jù)，這樣的真命題叫做定理.

3.逆命題與逆定理

(1)在兩個命題中，如果第一個命題的題設(shè)是第二個命題的結(jié)論，而第一個命題的結(jié)論又是第二個

命題的題設(shè)，則這兩個命題叫互逆命題.其中一個命題叫原命題；另一個命題叫它的逆命題.

(2)如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明也是定理，則這兩個定理叫做互逆定理，其中一個叫另一個的

逆定理.

三、線段的垂直平分線和角的平分線

1.線段的垂直平分線

(1)線段垂直平分線的定義

垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線.

(2)線段垂直平分線的性質(zhì)定理

線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等.

如圖：：MN垂直平分線段AB

.*.PA=PB

(3)線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理

和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.

要點：

線段的垂直平分線定理與逆定理往往與邊相等、角相等的證明密切相關(guān)，它提供了證明邊、角相等

的又一種重要的方法，在以后的學(xué)習(xí)中還會與直角三角形、角平分線、勾股定理等連在一起綜合應(yīng)用.

2.角的平分線

(1)角的平分線的定義：一條射線把一個角分成兩個相等的角,這條射線叫做這個角的平分線.

(2)角的平分線有下面的性質(zhì)定理：

①角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.

②到一個角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上.

如圖:VOP平分/AOB,

PD±OA,PE±OB,

.\PD=PE.

3.垂線的性質(zhì)

性質(zhì)1：過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.

性質(zhì)2：直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短.簡稱：垂線段最短.

要點：

(1)當(dāng)題目中的條件涉及到角平分線上的點與角的兩邊的垂直關(guān)系時，利用角的平分線性質(zhì)可直接得

到垂線段相等，而不必用全等三角形來證，但是在書寫過程中，不要漏掉垂直關(guān)系；

(2)已知角的平分線，有兩種常用的添加輔助線的方法：一是把角沿著角平分線翻折，在這個角的兩

邊截取相等線段，從而創(chuàng)設(shè)兩個全等的三角形；二是過角平分線上的點向角兩邊做垂線段，利用角平

分線的性質(zhì)定理及其逆定理來解題.

四、軌跡

1.軌跡的定義

把符合某些條件的所有點的集合叫做點的軌跡.

要點：

軌跡定義包含以下兩層含義：

其一、軌跡圖形是由符合條件的那些點組成的，就是說，圖形上的任何一點都符合條件(也稱圖形的

純粹性)；

其二、軌跡圖形包含了符合條件的所有的點，就是說，符合條件的任何一點都在圖形上(也稱圖形的

完備性)；

所謂軌跡問題的證明就是用論證的方法證明得到的軌跡符合上述兩層含義.

2.三條基本軌跡

軌跡1：和已知線段兩個端點距離相等的點的軌跡是這條線段的垂直平分線；

軌跡2：到己知角的兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的平分線；

軌跡3：到定點的距離等于定長的點的軌跡是以定點為圓心、以定長為半徑的圓.

3.交軌法作圖

利用軌跡相交進(jìn)行作圖的方法叫做交軌法.

如果要求作的點(圖形)同時要滿足兩個條件時，我們通常先作出滿足條件A的軌跡，然后再作出滿

足條件B的軌跡，兩軌跡的交點則同時滿足條件A和條件B.

交軌法是常用的作圖方法，我們在利用尺規(guī)作三角形、線段的垂直平分線、角平分線時，都運用了交

軌法.

要點：

“尺規(guī)作圖”是指限用無刻度直尺和圓規(guī)來作幾何圖形，基本的尺規(guī)作圖有如下幾種：

(1)作一條線段等于已知線段；

(2)作一個角等于已知角；

(3)作己知角的平分線；

(4)經(jīng)過一點作已知直線的垂線；

(5)作線段的垂直平分線.

五、直角三角形

1.直角三角形全等的判定

(1)直角三角形全等一般判定定理：

直角三角形是特殊的三角形，一般三角形全等的判定方法也適用于直角三角形，即(SAS、ASA、SSS、

AAS)

(2)直角三角形全等的HL判定定理：

如果兩個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等，那么這兩個直角三角形全等(簡記為：HL)

綜上：直角三角形全等的判定方法有SAS、ASA、SSS、AAS、HL.

2.直角三角形的性質(zhì)

定理：直角三角形的兩個銳角互余；

定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；

推論：在直角三角形中，如果一個銳角等于30。，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；

推論：在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角等于30°.

一、單選題

1.已知一個等腰三角形兩內(nèi)角的度數(shù)之比為1：4,則這個等腰三角形頂角的度數(shù)為（）

A.20°B.120°C.20?；?20°D.36°

2.如圖，在AABC中，ZACB=100°,。、E為A8邊上的兩點，MAC=AE,BC=BD,則/DCE的度數(shù)為

（）

A.45°B.40°C.35°D.30°

3.下列命題中，逆命是假命題的是（）

A.兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)

B.直角三角形的兩個銳角互余

C.全等三角形的對應(yīng)角相等

D.直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方

4.如圖，已知"LBC中，NABC=45。，/是高和班的交點，F(xiàn)D=4,Ab=2,則線段BC的長度為（）

A.6B.8C.10D.12

5.下列說法錯誤的是（）.

A.在一個角的內(nèi)部（包括頂點）到角的兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的平分線

B.到點P距離等于1cm的點的軌跡是以點P為圓心，半徑長為1cm的圓

C.到直線/距離等于2cm的點的軌跡是兩條平行于/且與/的距離等于2cm的直線

D.等腰三角形ABC的底邊固定，頂點A的軌跡是線段BC的垂直平分線

6.如圖，在RdABC中，ZB=90°,EZ）是AC的垂直平分線，交AC于點D,交8c于點E.已知/C=7N8AE,

則/C的度數(shù)為（)

BEC

A.41°B.42°C.43°D.44°

7.已知a,b是一個等腰三角形的兩邊長，且滿足〃+廿一6a—86+25=0,則這個等腰三角形的周長為（）

A.10B.11C.10或11D.12

8.如圖，已知“RC中，ZACB=90°,是NBAC的平分線，CE是A2邊上的高，AD與CE交于點、F,

過點。作。G〃CE交邊A3于點G,聯(lián)結(jié)CG交AD于點則下列結(jié)論中，不一定成立的是（）

A.CD=DGB.CF=DGC.FH=DHD.EF=EG

二、填空題

9.等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30。，則頂角的度數(shù)為.

10.如圖，在AABC中，AB=AC,D為BC上一點,且AD=DC,則NC=____度

11.如圖，在等邊AABC中，D、E分別是AB、AC上的點，且AD=CE,貝。/BCD+/CBE=___度.

12.到定點的距離等于定長的點的軌跡是.

13.如圖AD,3E分別是AABC的中線和角平分線，若AB=AC,NC4D=20。，則—WE的度數(shù)是

A

BDC

14.如圖，在44BC中，AB=AC,ZC=30°,AB±AD,AD=3cm,則8C為cm.

15.在中，?B90?,ZA=60°,在直線3C上取一點D,使瓦＞=胡，E為AC邊上的中點，連

接ED,則ZAED的度數(shù)為.

16.已知，在AABC中，AB=AC,3D_LAC于點。，于點E.若NS4c=50。，貝！J

NDCO=°.

三、解答題

17.如圖，已知△ABC為等邊三角形，。為8C延長線上的一點，CE平分NACO,CE=BD,求證:

(1)AABZ)^AAC￡；

(2)試判斷△ADE的形狀，并證明.

18.如圖，在//8C中，A8的垂直平分線分別交AB、8C于點。、E,AC的垂直平分線分別交AC、8c于

點F、G.

(1)若8c=7,求44EG的周長.

(2)若/BAC=110。，求NEAG的度數(shù).

19.如圖，已知AABC和ACQE均是等邊三角形，點8、C、E在同一條直線上，AE與8。交于點O,AE與

C。交于點G,AC與89交于點E連接。C、FG,

BCE

(1)求證：BD=AE,并求出/OOE的度數(shù)；

(2)判斷ACEG的形狀并說明理由；

(3)求證：OA+OC=OB.

在重,點考向

六、勾股定理

①直角三角形直角邊與斜邊之間的大小關(guān)系

定理：在直角三角形中，斜邊大于直角邊.

②勾股定理

直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果直角三角形的兩直角邊長分別為a,b,斜邊長為c，那

么a2+02=c2-

③勾股定理的逆定理

如果三角形的三條邊長a,b,c，滿足4+。2=02,那么這個三角形是直角三角形.

注意：當(dāng)。2+廿<02時，此三角形為鈍角三角形；當(dāng)a2+〃2>c2時，此三角形為銳角三角形，其中C為三

角形的最大邊.

一、單選題

1.如圖，在RtZkABC中NC=90。，AC=2,BC=5,貝(

C.V26D.6

2.下列三個數(shù)中，能組成一組勾股數(shù)的是()

____2

A?戈，爾，回B.12,(閭，32

C.12,15,9D.—,—，—

345

3.如圖，點尸是以A為圓心，A3為半徑的圓弧與數(shù)軸的交點，則數(shù)軸上點尸表示的實數(shù)是()

B

A.-2B.l+VioC.1-VlOD.Vio-l

4.如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻壁，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離為0.7米，頂端

距離地面2.4米?若梯子底端位置保持不動，將梯子斜靠在右墻時，頂端距離地面1.5米，則小巷的寬度為（）

A.2.7米B.2.5米C.2米D.1.8米

5.適合下列條件的中，直角三角形的個數(shù)為（）

@a=—,b=一,c=—；②^A=—NB=—NC；（3）a=-\/2,b=>/3,c=s/5；@a=1,b=24,c=25；

34523

⑤。=2*=2,c=4.@a:b:c=3:4:5

A.2個B.3個C.4個D.5個

6.如圖，AABC的頂點A,B,C在邊長為1的正方形網(wǎng)格的格點上，則邊長的高為（）

7.如圖，已知1號、4號兩個正方形的面積之和為7,2號、3號兩個正方形的面積之和為4,則a、b、c

三個正方形的面積之和為（）

D.22

8.如圖，在RCABC中，？390?,AD平分/54C,DE垂直平分AC,若ABf,則DE的值為（）

A-TB.6C.1D.（

9.我們在學(xué)習(xí)勾股定理的第二課時時，以下圖形可以用來驗證勾股定理的有（）個.

10.如圖，三角形紙片ABC中，點D是BC邊上一點，連接AD,把小ABD沿著直線AD翻折，得到△AED,

9

DE交AC于點G,連接BE交AD于點F.若DG=EG,AF=4,AB=5,△AEG的面積為―，則BD的長

為（）

A

BDC

A.TnB.c.V7D.75

二、填空題

11.已知直角三角形的兩邊長分別為3、4.則第三邊長為一

12.命題“等邊三角形的三個角都相等.”這個命題的逆命題是一_________________________.這個逆命題是

_________命題.（填真或假）

13.在直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知點A（〃z,0）,B（0,-3）,且AB=5,那么的值是_______.

14.如圖，四邊形A3CD中，ZA=ZC=90°,ZABC=135°CD=6,AB=2,

A

C1-----------------------

15.如圖，有一個圓柱形杯子，底面周長為12cm,高為8cln,A點在內(nèi)壁距杯口2cm處，在A點正對面的

外壁距杯底2cm的B處有一只小蟲，小蟲要到A處飽餐一頓至少要走cm.（杯子厚度忽略不計）

16.如圖，已知等腰AA5C,AB=AC,過點A、C分別做AB,AC的垂線交于點￡）,AD與相交于點

E,若BE=4-,AD=6,則AB的長為.

一、單選題

1.（2022.上海靜安.統(tǒng)考二模）下列說法中，不正碗的是（）

A.周長相等的兩個等邊三角形一定能夠重合B.面積相等的兩個圓一定能夠重合

C.面積相等的兩個正方形一定能夠重合D.周長相等的兩個菱形一定能夠重合

2.（2022.上海奉賢?統(tǒng)考二模）如圖，在AABC中，AB=AC,NA=100。，點。在邊AB的延長線上，根據(jù)圖

中尺規(guī)作圖的痕跡，可知ND3E的度數(shù)為（）

A.60°B.65°C.70°D.75°

3.（2020?上海.統(tǒng)考一模）三角形的外心是三角形的（）

A.三條中線的交點B.三條角平分線的交點

C.三邊垂直平分線的交點D.三條高所在直線的交點

4.（2022?上海徐匯?統(tǒng)考二模）如圖，兩把完全相同的長方形直尺按如圖方式擺放，記兩把尺的接觸點為點

P.其中一把直尺邊緣恰好和射線OA重合，而另一把直尺的下邊緣與射線OB重合，上邊緣與射線OA于

點聯(lián)結(jié)。尸.若尸=28。，則NAMP的大小為（）

A

5^678910

OB

A.62°B.56°C.52°D.46°

5.（2021?上海普陀?統(tǒng)考二模）已知在△ABC和△A5C中，AB=A'B',AC=A'C,下列條件中，不一定能

得到△ABC四的是（）

A.BC=B'CB.C.ZC=ZCD.ZB=ZB'=90°

6.（2022?上海黃浦?統(tǒng)考二模）已知三角形兩邊的長分別是4和9,則此三角形第三邊的長可以是（）

A.4B.5C.10D.15

7.（2021?上海崇明?一模）已知點G是AABC的重心，如果連接AG,并延長AG交邊BC于點。，那么下列

說法中錯誤的是（）

A.BD=CDB.AG=GDC.AG=2GDD.BC=2BD

8.（2020.上海奉賢.統(tǒng)考二模）若線段分別是AABC邊上的高線和中線，則（）

A.AP>AQB.AP>AQ

C.AP<AQD.AP<AQ

9.（2021?上海嘉定?統(tǒng)考一模）在RSABC中，ZACB=90°,ZA=3O°,CD1AB,垂足為D.下列四個

選項中，不正確的是（）

AC_^/3BC?BDy/3BC

?—-D?—x?—

AB2CD2CD3AC3

10.（2019?上海奉賢?統(tǒng)考二模）如圖，已知AABC,點。、E分別在邊AC、AB±,ZABD=ZACE,下列

條件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（）

BD=CEC.ZECB=ZDBCD.NBEC=NCDB

二、填空題

H.（2022?上海松江??？既＃┤绻粋€等腰直角三角形的面積是5,那它的直角邊長是.

12.（2017.上海楊浦?統(tǒng)考二模）如圖，已知：AABC中，ZC=90°,AC=40,3D平分/ABC交AC于。,

AD:DC=5:3,則。點到AB的距離是.

A

13.（2022?上海松江??？既＃┤鐖D，直線/】〃/2,點A在直線4上，點3在直線《上,

AC=BC,BD=CD,ZC=30°,則Nl=.

14.（2022?上海松江?校考三模）如圖，在AABC中，已知垂足為。,50=28,若E是AD的中點,

q

則產(chǎn)=.

、4ECD

15.（2022?上海普陀?統(tǒng)考二模）如圖，在AABC中，AB=AC,點。在邊8C上，4）=助，如果々40=102。。,

那么ZBAD=__________度.

A

16.（2022?上海黃浦?統(tǒng)考二模）如圖，已知如果NA8C=70。，NCZ）E=147。,那么N8CZ）='

17.（2022?上海黃浦?統(tǒng)考二模）如圖，已知三根長度相等的木棍，現(xiàn)將木棍A8垂直立于水平的地面上，把

木棍C。斜釘在木棍A8上，點。是木棍A8的中點，再把木棍EF斜釘在木棍C￡）上，點尸是木棍CZ）的中

點，如果A、。、E在一條直線上，那么片的值為.

B

D

F

ACE

18.（2023?上海靜安?統(tǒng)考一模）如圖，AABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90。后得A￡>EC,如果點8、。、E在一直

線上，S.ZBDC=60°,BE=3,那么A、。兩點間的距離是.

19.（2022?上海?一模）如圖，在AABC中，ZACB=90°,AC=&，BC=2近,將AABC繞點C按逆時針

方向旋轉(zhuǎn)得到ADEC,連接AD,BE,直線A￡）,BE相交于點尸，連接CF,在旋轉(zhuǎn)過程中，線段C尸的最

大值為?

專題13三角形

三角形是中考數(shù)學(xué)的重要知識點，也是解幾何部分的解答題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵，中考主要

以選擇題、填空題，以及滲透在解答題中，主要考查三角形的有關(guān)概念，全等三角形的判定

與性質(zhì)，特殊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等。主要體現(xiàn)的思想方法：轉(zhuǎn)化的思想、分類

討論的思想、數(shù)形結(jié)合的思想等.

先知為導(dǎo)圖

一三角形的兩邊之和大于第三邊

一三條邊----------------------

:——［三角形的兩邊只差小于第三邊

三個內(nèi)角

銳角三角形

?按角分直角三角形

廄，念

鈍角三角形

分類

三邊不相等的三角形

匚按邊分

0,底和腰不相等的三角形

等腰三角形、.---

-----------1等邊三角形

穩(wěn)定性

三角形

一高三條高線交于一點叫重心

與三角形有關(guān)的線段上中線三條中線交于一點叫重心

.角平分線三條角平分線交于一點叫內(nèi)心

三角形的內(nèi)角和定理：三角形的三個內(nèi)角和等于180。

與三角形有關(guān)的角

三角形的外角和等于360。

「三角形的外角

性質(zhì)：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和

性質(zhì)：直角三角形的兩個銳角互余

?直角三角形

判定：有兩個角互余的三角形是直角三角形

具備普通三角形的判定方法

e直角三角形

斜邊和一條直角邊(HL)

全等三角形的判定邊邊邊(SSS)

邊角邊(SAS)

e普通三角形

角邊角(ASA)

角角邊(AAS)

對應(yīng)邊相等

對應(yīng)角相等

全等三角形的性質(zhì)

對應(yīng)中線、高和角平分線相等

面積相等

找夾角(SAS)

全等三角形

二已知兩邊?找直角(HL)

找第三邊(SSS)

找已知角的另一邊(SAS)

邊為角的鄰邊一找已知邊的對角(AAS)

考察題型

P已知一邊一角找已知邊的另一夾角(ASA)

邊為角的對邊、找任意角(AAS)

找兩角的夾邊(ASA)

找任意一邊(AAS)

八“角平分線上的任意一點到角的兩邊距離相等

角的平分線

------------尺規(guī)作圖

好3k稱軸對稱的兩個圖形全等

軸對稱的性質(zhì)一

------稱軸對稱的兩個圖形中，對應(yīng)點的連線被對稱軸垂直平分

垂直平分線所在的直線是它的對稱軸

軸對稱

,線段線段垂直平分線上的點