2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：面積問題（學(xué)生版+教師版）

第71講面積問題

知識梳理

1、三角形的面積處理方法

⑴以三.底?高(通常選弦長做底，點到直線的距離為高)

⑵％=3.水平寬-鉛錘高=小郎層-*或％=￥叩為-九|

(3)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知△(?加的頂點分別為0(0,0),％),

NO：2,%)，三角形的面積為5=1y2-%2%|?

2、三角形面積比處理方法

(2)等角、共角模型

1

3、四邊形面積處理方法

4、面積的最值問題或者取值范圍問題

一般都是利用面積公式表示面積，然后將面積轉(zhuǎn)化為某個變量的一個函數(shù)，再求解函數(shù)

的最值（一般處理方法有換元，基本不等式，建立函數(shù)模型，利用二次函數(shù)、三角函數(shù)的有

界性求最值或利用導(dǎo)數(shù)法求最值，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)等等），在算面積的過程中，優(yōu)先選擇長度

為定值的線段參與運算，靈活使用割補法計算面積，盡可能降低計算量.

必考題型全歸納

題型一：三角形的面積問題之?底?高

2

22

例1.(2024?福建漳州?高三統(tǒng)考開學(xué)考試)已知橢圓C:=+==l(a>b>0)的左焦點為

ab

F卜品0),且過點

⑴求C的方程；

(2)不過原點。的直線/與C交于P,0兩點，且直線OP,PQ,。。的斜率成等比數(shù)列.

(i)求/的斜率；

(ii)求△。尸。的面積的取值范圍.

例2.(2024?湖南常德?高三常德市一中?？茧A段練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系中，已知點

A《,0),點B在直線=上運動，過點B與/垂直的直線和A3的中垂線相交于點

22

⑴求動點M的軌跡E的方程；

(2)設(shè)點P是軌跡E上的動點，點氏N在》軸上，圓C:(x-l)2+y2=i內(nèi)切于△PRN,求

△PRN的面積的最小值.

例3.(2024?浙江?模擬預(yù)測)我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難

入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.”事實上，很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加

以解決，已知曲線C上任意一點尸(尤,y)滿足+0)2+以一上一行f+/=2.

(1)化簡曲線C的方程；

⑵已知圓O：/+y2=i為坐標(biāo)原點)，直線/經(jīng)過點A(〃z,o)(機(jī)>1)且與圓。相切，過點

/作直線/的垂線，交C于M,N兩點，求△。跖V面積的最小值.

3

22

變式1.（2024?河北秦皇島?校聯(lián)考二模）已知雙曲線本=1（。>08>0）實軸的一個端點

是P,虛軸的一個端點是Q,直線尸。與雙曲線的一條漸近線的交點為14■

⑴求雙曲線的方程;

（2）若直線>=丘+：（0<k<1）與曲線C有兩個不同的交點A、B,。是坐標(biāo)原點，求AOAB的

K

面積最小值.

變式2.（2024?四川成都?成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學(xué)?？既＃┰O(shè)橢圓

⑴求橢圓E的方程；

（2）AABC內(nèi)接于橢圓E,過點汽4.1）和點A的直線/與橢圓E的另一個交點為點。，與

8C交于點Q,滿足網(wǎng)匹卜|砌|叫，求面積的最大值.

題型二：三角形的面積問題之分割法

例4.（2024?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)動點M與定點b（c,0）（c>。）的距離和M到定直線/：

/4的距離的比是c?

C2

⑴求動點"的軌跡方程，并說明軌跡的形狀；

⑵當(dāng)c=0時，記動點M的軌跡為Q,動直線機(jī)與拋物線「：丁二人相切，且與曲線。

交于點B.求AAOB面積的最大值.

4

例5.(2024?四川成都?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知橢圓C的對稱中心為坐標(biāo)原點，對稱軸

為坐標(biāo)軸，焦點在》軸上，離心率e=g,且過點尸(3,2).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵若直線/與橢圓交于A，8兩點，且直線m，PB的傾斜角互補，點M(0,8),求三角形

肱42面積的最大值.

22

例6.(2024?廣東?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知雙曲線f-斗=l,(a>0,b>0)的離心率為

a'b'

2,右焦點尸到漸近線的距離為

(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若點P為雙曲線右支上一動點，過點P與雙曲線相切的直線/,直線/與雙曲線的漸近線

分別交于N兩點，求AFMN的面積的最小值.

22

變式3.(2024?廣東廣州?高三中山大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí))過橢圓上+匕=1的右焦

43

點歹作兩條相互垂直的弦A8,CD.AB,。的中點分別為M,N.

(1)證明：直線過定點；

(2)若A8,。的斜率均存在，求△b跖V面積的最大值.

5

題型三：三角形、四邊形的面積問題之面積坐標(biāo)化

2

例7.（2024?全國?高三專題練習(xí)）如圖，已知雙曲線C:無2一=1的左右焦點分別為耳、

尸2,若點P為雙曲線C在第一象限上的一點，且滿足|P團(tuán)+|P段=8,過點P分別作雙曲線

C兩條漸近線的平行線PA、PB與漸近線的交點分別是A和B.

22

（2）若對于更一般的雙曲線=-與=1（。>0,6>0）,點P，為雙曲線C'上任意一點，過

ab

點P'分別作雙曲線C'兩條漸近線的平行線PA、P'B'與漸近線的交點分別是A和B'.請問

四邊形OAP?的面積為定值嗎？若是定值，求出該定值（用b表示該定值）；若不是

定值，請說明理由.

22

例8.（2024?浙江?高三競賽）已知直線/與橢圓C：1+與=i（Q〉b〉o）交于A、8兩點,

ab

直線AB不經(jīng)過原點O.

（1）求AOAB面積的最大值；

（2）設(shè)M為線段A3的中點，延長O"交橢圓C于點P,若四邊形。4P3為平行四邊形，

求四邊形。APB的面積.

6

例9.(2024?全國?高三專題練習(xí))片，鳥分別是橢圓于二+尸=1的左、右焦點.

4'

(1)若P是該橢圓上的一個動點，求西?恒的取值范圍；

(2)設(shè)A(2,0),8(0,1)是它的兩個頂點，直線了=履(％20)與N8相交于點。，與橢圓相交于

E、尸兩點.求四邊形/￡昉面積的最大值.

變式4.(2024?江蘇蘇州?模擬預(yù)測)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知拋物線

C：V=4x的焦點為尸，過歹的直線交C于A,8兩點(其中點A在第一象限)，過點A作

C的切線交x軸于點P,直線交C于另一點Q,直線QA交x軸于點7.

⑴求證：\AF\-\AT\=\BF\-\QT\.

(2)記AAOP,AAFT,△BQT的面積分別為E，邑，邑，當(dāng)點A的橫坐標(biāo)大于2時，求

c'c的最小值及此時點A的坐標(biāo).

d2-dl

變式5.(2024?上海浦東新?高三上海市進(jìn)才中學(xué)?？茧A段練習(xí))設(shè)橢圓E：

7

工+==電>6>0）的一個頂點為4（0,1）,離心率為也，尸為橢圓E的右焦點.

ab2

（1）求橢圓E的方程；

（2）設(shè)過/且斜率為左的直線與橢圓E交于O,G兩點，若滿足ADLAG,求上的值；

（3）過點尸（2,0）的直線與橢圓E交于B,C兩點，過點B,C分別作直線/：x=f的垂線

（點8,C在直線/的兩側(cè)）.垂足分別為M,N,記△BMP,△MNP,ACNP的面積分

別為S2,&，試問：是否存在常數(shù)乙使得s，1s2,邑總成等比數(shù)列？若存在，求

出f的值，若不存在，請說明理由.

變式6.（2024?福建泉州?泉州七中校考模擬預(yù)測）已知圓C:（x-g）2+/=16,點

G（-A/3,0）,圓周上任一點P,若線段尸G的垂直平分線和CP相交于點。點0的軌跡為

曲線E.

⑴求曲線E的方程；

⑵若過點（1,0）的動直線n與橢圓C相交于N兩點，直線/的方程為x=4.過點M作

于點T,過點N作福，/于點R.記△GZRMGTM.ZkGRV的面積分別為S,R,邑.

問是否存在實數(shù)彳，使得％府司-s=o成立？若存在，請求出2的值；若不存在，請說

明理由.

變式7.（2024?上海浦東新?高三上海市洋涇中學(xué)校考開學(xué)考試）設(shè)拋物線「：V=4x的焦

點為尸，經(jīng)過x軸正半軸上點M（m,0）的直線/交「于不同的兩點A和B.

8

⑴若|FA|=3,求A點的坐標(biāo);

(2)若加=2,求證：原點?？傇谝跃€段A8為直徑的圓的內(nèi)部；

(3)若=且直線4/〃，乙與「有且只有一個公共點E,問：的面積是否存

在最小值？若存在，求出最小值，并求出時點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.(三角形

面積公式：在AABC中，設(shè)C%=2=(占,%),CB=b=(x2,y2),貝曙43。的面積為

變式8.(2024?四川眉山?高三校考階段練習(xí))在△尸月耳中，已知點耳卜君,0),

《(百,0),P片邊上的中線長與尸層邊上的中線長之和為6；記△尸片鳥的重心G的軌跡為

曲線C.

(1)求C的方程；

(2)若圓O：x2+y2=l,￡(0,-1),過坐標(biāo)原點。且與》軸不重合的任意直線/與圓。相交

于點A,B,直線E4,￡8與曲線C的另一個交點分別是點M,N,求AEMN面積的最

大值.

9

題型四：三角形的面積比問題之共角、等角模型

例10.(2024?河北?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知拋物線C:無2=2py(p>0),過點尸(0,2)的直線/與

C交于A,8兩點，當(dāng)直線/與，軸垂直時，OALOB(其中O為坐標(biāo)原點).

(1)求C的準(zhǔn)線方程；

(2)若點A在第一象限，直線/的傾斜角為銳角，過點A作C的切線與》軸交于點7,連接

交C于另一點為O,直線A￡)與曠軸交于點Q,求“尸。與AAOT面積之比的最大值.

例11.(2024?北京東城?高三北京市第十一中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知橢圓

J+丁=l(a>b>0),c=4a2-b1,且過(2,0),1*兩點.

(1)求橢圓E的方程和離心率e；

(2)若經(jīng)過加(1,0)有兩條直線它們的斜率互為倒數(shù)，1與橢圓￡交于48兩點，4與

橢圓￡交于C,。兩點，P,0分別是CD的中點試探究：△OPQ與AMPQ的面積之

比是否為定值？

若是，請求出此定值；若不是，請說明理由.

22

例12.(2024?江蘇徐州?高三校考開學(xué)考試)設(shè)橢圓T+谷=1(。>6>0)的左右頂點分別為

ab

A，4,右焦點為尸,已知|A尸|=3,|4尸|=L

(1)求橢圓方程及其離心率；

(2)已知點P是橢圓上一動點(不與端點重合)，直線A?尸交，軸于點Q,若三角形4尸。的

面積是三角形4尸產(chǎn)面積的二倍，求直線的方程.

10

變式9.（2024?廣東深圳?深圳中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知定點尸（2,0）,關(guān)于原點O對稱的動

點尸，Q到定直線/:x=4的距離分別為dQ,且竽，記P的軌跡為曲線C.

apaQ

（1）求曲線C的方程，并說明曲線C是什么曲線？

（2）已知點M,N是直線〃z：x=Jy+2與曲線C的兩個交點，M,N在x軸上的射影分別

k

為M],MM不同于原點O）,且直線〃戶與直線/：X=4相交于點R,求ARMN

與面積的比直

變式10.（2024?河北?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知拋物線C：y2=2pMp>0）上一點

A（a,a）（a豐0）到焦點F的距離為].

（1）求拋物線C的方程；

（2）過點尸的直線/與拋物線C交于尸,。兩點，直線OPQQ與圓目（》-2）2+丁=4的另一

交點分別為河,N,O為坐標(biāo)原點，求△OP。與AOMN面積之比的最小值.

變式11.（2024?陜西商洛?陜西省丹鳳中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知橢圓

22

C:當(dāng)+工=1（。>6>0）的左、右頂點分別為AB,長軸長為短軸長的2倍，點P在C上運

ab

動，且AAB尸面積的最大值為8.

⑴求C的方程；

11

⑵若直線/經(jīng)過點Q(L。)，交C于M,N兩點，直線AM.3N分別交直線X=4于。，￡兩

點，試問△AB。與AAQE的面積之比是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理

由.

變式12.(2024?福建廈門?廈門一中?？寄M預(yù)測)已知A,B分別是橢圓C：

221

二+與=1(。>6>0)的右頂點和上頂點，|AB|=V5,直線42的斜率為一不

ab2

(1)求橢圓的方程；

(2)直線〃443,與x,》軸分別交于點M,N,與橢圓相交于點C,D.

(i)求AOCM的面積與△ODN的面積之比；

(ii)證明：為定值.

題型五：三角形的面積比問題之對頂角模型

22

例13.(2024?安徽黃山噸溪一中?？寄M預(yù)測)已知橢圓C：T+==l(a>6>0)的離心

ab

率為孝，且C經(jīng)過點1,

⑴求橢圓C方程；

(2)直線>=履(4>0)與橢圓C交于點M、N,尸為C的右焦點，直線板、NF分別交C于另

12

s

一點M，記與的面積分別為E、邑，求寸的范圍.

32

例14.（2024?全國?高三對口高考）在平面直角坐標(biāo)系my中，點8與點關(guān)于原點

O對稱，P是動點，且直線4P與8P的斜率之積等于-：.

（1）求動點尸的軌跡方程；

（2）設(shè)直線AP和8尸分別與直線尤=3交于點跖N問：是否存在點P使得APAB與dMN的

面積相等？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

例15.（2024?重慶?高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）已知。為坐標(biāo)原點，拋物線的方程為

22

/=2皿0＞0）,下是拋物線的焦點，橢圓的方程為芯+%=15＞。＞0）,過尸的直線/

與拋物線交于M,N兩點，反向延長OAf,ON分別與橢圓交于尸，。兩點.

⑴求心乂'k（）N的值；

⑵若「「+|OQ「=5恒成立，求橢圓的方程;

（3）在（2）的條件下，若會”的最小值為1,求拋物線的方程（其中黑。.，凡”。分別

）△OPQ

是AOMN和△OPQ的面積）.

13

22

變式13.(2024?四川?校聯(lián)考一模)已知點(-2,0)在橢圓c*+1=1(。>6>0)上，點

加］見在橢圓C內(nèi).設(shè)點以為C的短軸的上、下端點，直線AM,分別

與橢圓C相交于點及尸，且胡，血的斜率之積為

4

(1)求橢圓C的方程；

(2)記入BME，S,AMF分別為ABME,AAMF的面積，若me(-百,求部空的

、ABME

取值范圍.

變式14.(2024?貴州貴陽?高三貴陽一中校考開學(xué)考試)已知點(-2,0)在橢圓C：

二+4=1(°>6>0)上，點”(〃7,與(機(jī)力。)在橢圓C內(nèi).設(shè)點48為C的短軸的上、下

abI2/

端點，直線/跖分別與橢圓C相交于點E,F,且E4,班的斜率之積為-;

4

⑴求橢圓C的方程；

S1

(2)記S^BME，S'AMF分別為ABME,AAMF的面積，若黃紇=1,求m的值.

,△BME"

變式15.(2024?四川南充?四川省南充高級中學(xué)?？既?已知橢圓

22>

C：2r+Av=l(a>6>0)的左、右焦點為E，居，離心率為g.點P是橢圓C上不同于頂點的

任意一點，射線尸片,尸工分別與橢圓C交于點△尸與8的周長為8.

⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

14

(2)設(shè)△尸片鳥，APFQ,的面積分別為HMM.求證：三義三+三'為定值.

DqD,D]

題型六：四邊形的面積問題之對角線垂直模型

22

例16.(2024?河南?襄城高中校聯(lián)考三模)設(shè)雙曲線E:宏-1=l(a>0,6>0)的左、右焦

點分別為耳E，|耳劇=2百，且E的漸近線方程為》=±(

⑴求￡的方程；

(2)過用作兩條相互垂直的直線乙和4,與E的右支分別交于4C兩點和8,。兩點，求四

邊形ABCD面積的最小值.

22

例17.(2024?山西朔州?高三校聯(lián)考開學(xué)考試)已知橢圓E：1+與=1(〃>6>0)的左、右

ab

焦點分別為耳，F(xiàn)],M為橢圓E的上頂點，西.匹=0,點N(0,-1)在橢圓E上.

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)經(jīng)過焦點鳥的兩條互相垂直的直線分別與橢圓E相交于42兩點和C,D兩點,求

四邊形NCAD的面積的最小值.

例18.(2024?江西?高三統(tǒng)考階段練習(xí))已知直線/：x-y+l=。與拋物線C:x2=2py(p>0)

交于兩點，|AB|=8.

⑴求P;

15

(2)設(shè)拋物線C的焦點為尸，過點尸且與/垂直的直線與拋物線C交于瓦G,求四邊形

AEBG的面積.

題型七：四邊形的面積問題之一般四邊形

22

例19.(2024?湖南長沙?高三長沙一中?？茧A段練習(xí))已知橢圓C:2+今=1(。>6>0)過

(1)求橢圓C的方程；

(2)如圖所示，記橢圓的左、右頂點分別為4B,當(dāng)動點M在定直線x=4上運動時，直線

AM,BM分別交橢圓于兩點P和Q.

(i)證明：點8在以PQ為直徑的圓內(nèi)；

(ii)求四邊形APBQ面積的最大值.

22

例20.(2024?新疆伊犁?高三?？茧A段練習(xí))已知橢圓C：=+3=1①>6>0)經(jīng)過點

ab

尸。為坐標(biāo)原點，若直線/與橢圓C交于42兩點，線段/臺的中點為直

線/與直線的斜率乘積為-1.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

16

(2)若四邊形OAPB為平行四邊形，求四邊形OAPB的面積.

例21.(2024?上海黃浦?高三格致中學(xué)?？奸_學(xué)考試)定義：若橢圓

22

。:5+馬=13>6>0)上的兩個點4(%，%)，8(%，%)滿足呼+警=。，則稱AB為該

abQ匕

橢圓的一個“共軌點對”，記作[4町已知橢圓C的一個焦點坐標(biāo)為川-2亞,0),且橢圓C

過點A(3,l).

⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)求“共抽點對”[A叫中點B所在直線/的方程；

(3)設(shè)。為坐標(biāo)原點，點尸，。在橢圓C上，且尸Q〃OA,(2)中的直線/與橢圓C交于兩點

穌修，且4點的縱坐標(biāo)大于0,設(shè)四點與2%。在橢圓C上逆時針排列.證明：四邊形

耳尸不。的面積小于8g.

22

變式16.(2024?四川成都?高三石室中學(xué)?？奸_學(xué)考試)已知橢圓C|：=+[=1

ab

(a>6>0)左、右焦點分別為耳，F(xiàn)2,且8為拋物線G：/=8X的焦點，P(2,夜)為

橢圓G上一點.

⑴求橢圓G的方程；

(2)已知A,B為橢圓C1上不同兩點，且都在x軸上方，滿足串=；1月瓦

(i)若2=3,求直線4A的斜率；

(ii)若直線片A與拋物線丁=彳無交點，求四邊形片8氏4面積的取值范圍.

17

22

變式17.（2024?湖北?高三孝感高中校聯(lián)考開學(xué)考試）已知橢圓E：3+}=l（a>6>0）的

離心率e=*,且經(jīng)過點（夜，-1）.

（1）求橢圓E的方程；

⑵設(shè)直線/：丫=履+〃?與橢圓E交于/,B兩點,且橢圓E上存在點“，使得四邊形。4MB

為平行四邊形.試探究：四邊形。/兒"的面積是否為定值？若是定值，求出四邊形

的面積；若不是定值，請說明理由.

變式18.（2024?浙江?高三浙江省普陀中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）類似于圓的垂徑定理，橢圓

22

c：\+A=l（a>A>0）中有如下性質(zhì)：不過橢圓中心。的一條弦P2的中點為

ab

h2

M，當(dāng)PQ,OM斜率均存在時，k-k=~,利用這一結(jié)論解決如下問題：已知橢圓

PQOMa

22

E-.土+匕=1,直線。尸與橢圓E交于A,8兩點，且礪=3而，其中。為坐標(biāo)原點.

819

⑴求點P的軌跡方程「；

（2）過點P作直線CD交橢圓E于C,。兩點，使定+而=。，求四邊形ACBD的面積.

變式19.（2024?浙江?高三舟山中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知拋物線E：>=/與圓加：

+（丁一4）2=/（廠>。）相交于A,B,C,。四個點.

18

(1)當(dāng)r=2時，求四邊形ABC。的面積；

⑵四邊形ABCD的對角線交點是否可能為"，若可能，求出此時廠的值，若不可能，請說

明理由；

(3)當(dāng)四邊形ABCQ的面積最大時，求圓M的半徑廠的值.

變式20.(2024?四川成都?校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知橢圓G：鼻+/=1(”1)與橢圓

a

22

c2：卷+方=1(0＜萬＜20)的離心率相同，且橢圓C2的焦距是橢圓CI的焦距的若

倍.

⑴求實數(shù)。和6的值；

(2)若梯形A3CD的頂點都在橢圓C］上，AB//CD,CD=2AB,直線BC與直線4D相交

于點P.且點P在橢圓Q上，試探究梯形A3CD的面積是否為定值，若是，請求出該定

值；若不是，請說明理由.

變式21.(2024?廣東佛山?統(tǒng)考模擬預(yù)測)在平面直角坐標(biāo)系中，點。為坐標(biāo)原點，

N(l,0),。為線段“V上異于的一動點，點尸滿足踹=圖=2.

(1)求點P的軌跡E的方程；

(2)點AC是曲線E上兩點，且在X軸上方，滿足AM//NC,求四邊形4MNC面積的最大

19

值.

變式22.(2024?廣東廣州?高三華南師大附中?？茧A段練習(xí))已知。為坐標(biāo)原點，

月(-1,0),工(L。)是橢圓E的兩個焦點，斜率為:的直線4與E交于A,B兩點,線段

A8的中點坐標(biāo)為g],直線4過原點且與E交于C,。兩點，橢圓E過。的切線為

4，的中點為G.

(1)求橢圓￡■的方程.

(2)過G作直線。的平行線乙與橢圓E交于M,N兩點，在直線人上取一點0使

CG=GQ,求證：四邊形MQNC是平行四邊形.

(3)判斷四邊形VQVC的面積是否為定值，若是定值請求出面積，若不是，請說明理由.

變式23.(2024?全國?高三專題練習(xí))已知拋物線E：丁=工與圓河：

。-4)2+；/=/&>0)相交于4B,C,。四個點.

(1)當(dāng)廠=2時，求四邊形ABCD面積;

(2)當(dāng)四邊形ABQ)的面積最大時，求圓加的半徑廠的值.

20

變式24.(2024?浙江?校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知橢圓G：與+J=l(q>b>0)的離心率為

ab

―,拋物線G：/=8y的準(zhǔn)線與Q相交，所得弦長為2m.

2

(1)求。的方程；

⑵若A(%,％),磯々,女)在Cz上，且占<0<%,分別以為切點，作G的切線相交于點

P,點尸恰好在G上，直線ARBP分別交X軸于M,N兩點.求四邊形面積的取值范

圍.

變式25.(2024?山東濰坊?三模)已知橢圓C：g+，=l(a>b>0)的離心率為孝，且過

點。m

⑴求橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若動直線/：y=-gx+相(14機(jī)<2)與橢圓。交于4,8兩點，且在坐標(biāo)平面內(nèi)存在兩個定

點尸,2,使得七4%=%3=丸(定值)，其中初,左網(wǎng)分別是直線PAPB的斜率，kQA,kQB

分別是直線。AQ8的斜率.

①求2的值；

②求四邊形P428面積的最大值

21

第71講面積問題

知識梳理

1、三角形的面積處理方法

⑴以三.底?高(通常選弦長做底，點到直線的距離為高)

⑵％=3.水平寬-鉛錘高=小郎層-*或％=￥叩為-九|

(3)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知△(?加的頂點分別為0(0,0),％),

NO：2,%)，三角形的面積為5=1y2-%2%|?

2、三角形面積比處理方法

(2)等角、共角模型

1

3、四邊形面積處理方法

4、面積的最值問題或者取值范圍問題

一般都是利用面積公式表示面積，然后將面積轉(zhuǎn)化為某個變量的一個函數(shù)，再求解函數(shù)

的最值（一般處理方法有換元，基本不等式，建立函數(shù)模型，利用二次函數(shù)、三角函數(shù)的有

界性求最值或利用導(dǎo)數(shù)法求最值，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)等等），在算面積的過程中，優(yōu)先選擇長度

為定值的線段參與運算，靈活使用割補法計算面積，盡可能降低計算量.

必考題型全歸納

題型一：三角形的面積問題之?底?高

2

22

例1.（2024?福建漳州?高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知橢圓C:=+與=1（。＞。＞0）的左焦點

ab

為￡（-6,0）,且過點

⑴求C的方程；

⑵不過原點。的直線/與C交于P,Q兩點，且直線。P,PQ,OQ的斜率成等比數(shù)列.

⑴求/的斜率；

（ii）求△。尸。的面積的取值范圍.

【解析】（1）由題知，

橢圓C的右焦點為罵（道,0）,且過點《石,￡|,

所以+百J+：+-4,

所以。=2.

又c=6，所以/?=yja2-c2=1,

所以C的方程為二+y2=i.

4-

（2）（i）由題知，直線/的斜率存在，且不為0.

設(shè)/:〉=履+機(jī)（〃件0）,尸（國,%）,。（馬，%），

ii；；：4=0'所以（1+4/卜？+8kmx+4（m2-l）=0,

則

bt、rSkiTl4（以2—1

所以玉+々=口,%馬=△―r

1+47左7121+4產(chǎn)

22

且A=64km-16（1+4朽乂病一°>0,BP4F-7??2+1>O.

因為直線。P,PQ,OQ的斜率成等比數(shù)列.

所以乂?&=F,即-也+而心+々）+分=左2,玉

3

―“22

所以*+蘇=o,且那力1.

1+4左2

因為MH0,所以公=；,所以左=±g.

（ii）由（i）矢口4左2一〃，+1>0,后=±|>

所以0<根2<2,且加2。］.

設(shè)點。到直線PQ的距離為d,所以駕

7k+1

因為尢=土;，所以（占+尤2）2=4〃/,尤=2（蘇一1）,

11ImII----

2

所以/0蛇=彳〃|PQ|=-t------rVl+^|再一司

227i+H

=；ImIJ（X]+%2）2-4%1%2-個川（2-m2）

=J—"2—1）+],

又?！锤?V2,且機(jī)2±i.所以SA°QW（0,1）

即△。尸Q的面積的取值范圍（0』）.

例2.（2024?湖南常德?高三常德市一中校考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點

4：,0）,點B在直線/“=-；上運動，過點B與/垂直的直線和的中垂線相交于點

⑴求動點M的軌跡E的方程；

（2）設(shè)點P是軌跡E上的動點，點R,N在》軸上，圓C:（尤-1）2+/=1內(nèi)切于△PRN,求

△PRN的面積的最小值.

【解析】（1）設(shè)點M（x，y）為軌跡上任意一點，由題意知，1MAi=|MB|,

所以動點M的軌跡E是以A（：,0）為焦點，以//=-；為準(zhǔn)線的拋物線，

設(shè)其方程為y=2px（0>O）,所以=即P=l,故拋物線方程為V=2x,

所以動點"的軌跡E的方程為V=2x.

（2）設(shè)尸（%,%）,R（O,b）,N（O,c）,且2>c,

所以直線PR的方程為（,yo-b）x-xoy+xob=O.

圓C:（x—l）2+y2=i的圓心為（1,0）,半徑為1,

因為圓C:（x-1y+V=1內(nèi)切于△PRN,所以直線產(chǎn)尺與圓C相切，

4

\y-b+xb\

oo=1

則圓心（1,。）到直線PR的距離為1,即+x()2

則2x0Z?(y-6)+￥?=考①,

2

因為％>2,所以化簡①得，（xo-2）b+2yob-x0=0②，

圓。:。-1）2+丁=1內(nèi)切于△PRN,所以直線PN與圓C相切,

同理可得（尤0-2）。2+2%。-%=。③，

由②③可知，b,c為方程（尤0-2）_?+2%尤-尤0=0的兩根，所以1°,

bc=-一

.4一2

又b>c,%=2x0,%>2,

所以|"|=6一c=Jg+c）2-4歷=）（-2）2-4（一三）=也片+化-%=三,

,%—2%-2%-2%-2

故△P7W的面積為5=（（6-。）/=工？=（%-2）+/?+4“每一2>」^+4=8,

2/一2%一/'x0-2

c4

等號當(dāng)且僅當(dāng)天-2=/工（%>2）,即％=4等號成立，

此時點P的坐標(biāo)為（4,2a））或（4,-2a）.

故當(dāng)戶的坐標(biāo)為（4,272）或（4,-2&）時,4PRN的面積取最小值8.

例3.（2024?浙江?模擬預(yù)測）我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說："數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)

時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.”事實上，很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問

題加以解決，已知曲線C上任意一點P（x,y）滿足機(jī)升夜了+產(chǎn)一］。一&y+y=2.

5

⑴化簡曲線c的方程;

⑵已知圓O：f+y2=i(。為坐標(biāo)原點)，直線/經(jīng)過點A(皿0)(機(jī)＞1)且與圓。相切，過點

A作直線/的垂線，交C于M,N兩點，求△(?肱V面積的最小值.

【解析1(1)，(了+收)+^_J(x-后y+L=2=＞?x+臥+y2=血丫+丁+2

n(x+V2)2+y2=(x-V2)2+y2+4IJ(X-A/2)2+y2+4x2-y2=1,由

(x+>/2)2+y2>(無一亞)？+;/得尤>0.

所以曲線C的方程是x2-y2=l(x＞0)；

(2)設(shè)A/a，%),N(%,%),直線MN方程是＞=左(工-機(jī))，則直線/方程為y=-1(x-"z),即

k

x+ky—m=0f

\m\

直線/與已知圓相切，所以行\(zhòng)=1,貝b九2=r+1,

＞Jl+k2

x2-y2=l

由y得，(k2-l)x2-2mk2x+m2k2+1=0,

y=k(x-m)

2/221),

由題意△=4利一4伏一1)(?72公+1)=4(根公一獷+1)＞。c：m＞

加2后2+1

2mk2

玉+x>0,=---------->0,.??左〈一1或左>1,

2k2-la2卜2—1

+12+%)2—41%2=

\MN\=J[卜]-x2\=Jl+/.Ja2"1+k)(：kk,

又原點o到直線MN的距離為d=Ji

Jr+1

?

,?uq^OMN

由左＜一1或左＞1得上2一1＞0，設(shè)/=%2_1,

旦旺華3“+5,+1。+5

2

(公一I)?ttP

24=4＞當(dāng)且僅當(dāng)好及時等號成立,

+—*2—>2

5r+y>2^5?—=1072,

當(dāng)且僅當(dāng)t=0時等號成立,

6

?"=及時，加焉=14+100,

：.F-1=6,即％=±J0+1時，(5^)^=714+1072.

22

變式1.（2024?河北秦皇島?校聯(lián)考二模）已知雙曲線多-2=1（。＞0力＞0）實軸的一個端

ab

點是P,虛軸的一個端點是。，直線P。與雙曲線的一條漸近線的交點為

⑴求雙曲線的方程；

⑵若直線＞=履+!（0〈左＜1）與曲線C有兩個不同的交點4民。是坐標(biāo)原點，求AOAB的

面積最小值.

【解析】（1）設(shè)點尸（凡0），點。（0力），則直線P2的方程為二+；=1,

ab

a

"=1x=—

與漸近線y=?bx聯(lián)立，得a?,解之得＜2

abb，

y=-x7=

a2

即直線PQ與雙曲線的一條漸近線交點為

又直線P2與雙曲線的一條漸近線的交點為

a

所以:即〃=8=1,因此雙曲線方程為必―y2=i.

b

32

(2)

7

設(shè)把尸質(zhì)+：代入xf

得（1_42-2苫-,_1=0,

則A=4+4（l-陰1*+j=4（l；+左）>0,占+%=占，%馬=

=Jl+廿J（%+々）2_4%王=Jl+'2,[][2]-4.;

|A同=J1+左之|石—

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2F+1-fc4kr+1一/

S=^\AB\d=^x2^1+k