天津南開中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試卷

高三數(shù)學(xué)學(xué)科第二次月考考試時(shí)間：考試時(shí)間：120分鐘本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分．第I卷1至3頁(yè)，第II卷3至6頁(yè)．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)和填涂卡號(hào)填寫或涂寫在答題紙上．答卷時(shí)，考生務(wù)必將答案涂寫在答題紙上，答在試卷上的無效．考試結(jié)束后，將答題紙交回．祝各位考生考試順利！第I卷(共45分)一．選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．（1）已知集合，集合，則（

）．A． B．C． D．（2）已知，“”是“”的（

）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件（3）函數(shù)的圖象大致為（

）．A． B．C． D．（4）對(duì)變量記錄觀測(cè)數(shù)據(jù)，并繪制散點(diǎn)圖如圖1所示；對(duì)變量記錄觀測(cè)數(shù)據(jù)，并繪制散點(diǎn)圖如圖2所示．用分別表示變量之間與變量之間的樣本相關(guān)系數(shù)，則下列說法正確的是（

）．變量與呈現(xiàn)正相關(guān)，且 B．變量與呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)，且C．變量與呈現(xiàn)正相關(guān)，且 D．變量與呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)，且（5）已知，，則（

）．A． B． C． D．（6）已知，，，則的大小關(guān)系是（

）．A．B． C． D．（7）已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，且為等比數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng)，則的值為（）．A． B．4 C．2 D．（8）定義在上的函數(shù)滿足，對(duì)任意的，，恒有，則關(guān)于的不等式的解集為（

）．A． B． C． D．（9）已知函數(shù)，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，且在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）．A. B． C． D．第II卷（共105分）二、填空題：本大題共6小題，每小題５分，共30分．（10）是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則_________．（11）在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為．（12）口袋里有標(biāo)號(hào)為1，2，3的三個(gè)小球，從中任取一球，記下它的號(hào)碼后放回袋中，這樣連續(xù)操作三次．若每次取到各個(gè)小球的可能性相等，記事件“三次抽到的號(hào)碼不全相同”，則；記事件“三次抽到的號(hào)碼之和為7”，則．（用數(shù)字作答）（13）如圖，已知的面積為，，若，點(diǎn)分別為邊中點(diǎn)，則的最大值為．（14）已知數(shù)列滿足，且，，，則；記的前項(xiàng)和為，則．已知，，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)分別為，且，則的取值范圍是．三、解答題：本大題共５小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．（16）（本小題滿分14分）在中，角的所對(duì)的邊分別為，已知．（Ⅰ）求角的大?。唬á颍┤舻拿娣e為，且.（i）求的值；（ii）求的值．（17）（本小題滿分15分）如圖，在直三棱柱中，，，，點(diǎn)分別在棱和棱上，且，．（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)為棱中點(diǎn)，求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；（Ⅲ）求平面與平面夾角的余弦值．（18）（本小題滿分15分）已知橢圓過點(diǎn)，其長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，下頂點(diǎn)為，若作與軸不重合且不平行的直線交橢圓于兩點(diǎn)，直線分別與軸交于兩點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)橫坐標(biāo)的乘積為時(shí)，試探究直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，請(qǐng)求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．（19）（本小題滿分15分）已知等差數(shù)列前項(xiàng)和為，數(shù)列是等比數(shù)列，，，，.（Ⅰ）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）對(duì)任意的正整數(shù)，設(shè)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.（Ⅲ）設(shè)，若對(duì)任意的，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（20）（本小題滿分16分）已知函數(shù)（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)，求的最小值；（Ⅲ）若對(duì)任意給定的在上總存在兩個(gè)不同的,使得成立，求的取值范圍．高三數(shù)學(xué)學(xué)科第二次月考答案：ABDCCAABD10.;11.12.;13.14.15.16.(I)，得，即，故.(II)因?yàn)榈拿娣e，所以，解得，所以由余弦定理得，即，所以，由正弦定理得所以，(ii),,.17.（1）取的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，而，，則，，故，所以，則四邊形為平行四邊形，故，而平面，平面，故平面；（2）在直三棱柱中，，故兩兩垂直，以所在直線為軸建立空間直坐標(biāo)系，，則，設(shè)平面的法向量為n=x,y令，則，設(shè)直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為.(3)設(shè)平面的法向量為,則，令，則，,所以平面與平面夾角的余弦值為.18.(1)由題意，，所以所以橢圓的方程為.（2）由題意直線的斜率存在，設(shè)直線，，，由得：，則，即，，；由（1）知：，直線方程為：，令，解得：，即；同理可得：，，即，解得：，此時(shí)，即或，滿足題意；，恒過定點(diǎn).19.（1）由得方程組，解得（2）,設(shè)，（3）設(shè)20解：（Ⅰ）當(dāng) 所以，所以切線方程為.（Ⅱ）∵函數(shù)上無零點(diǎn)，∴對(duì)任意的恒成立，或者恒成立，因?yàn)樯虾愠闪⒉豢赡?，所以恒成?令則