北京市一七一中學2024-2025學年九年級上學期月考數(shù)學試卷（10月份）

2024-2025學年北京171中九年級（上）月考數(shù)學試卷（10月份）一、選擇題：本題共8小題，每小題2分，共16分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.風力發(fā)電機可以在風力作用下發(fā)電.如圖的轉子葉片圖案繞中心O旋轉后能與原來的圖案重合，那么n的值可能是(

)A.120 B.90 C.6 D.452.用配方法解方程，變形后結果正確的是(

)A. B. C. D.3.將拋物線向右平移3個單位，再向上平移1個單位得到的解析式是(

)A. B. C. D.4.根據(jù)圓規(guī)作圖的痕跡，可用直尺成功的找到三角形內(nèi)心的是(

)A. B.

C. D.5.同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，則一枚硬幣正面向上、一枚硬幣反面向上的概率是(

)A. B. C. D.6.如圖，點A、B、C都在上，若，則的度數(shù)(

)A.

B.

C.

D.7.如圖，在一塊長30m，寬20m的矩形苗圃基地上修建兩橫一縱三條等寬的道路，剩余空地種植花苗，設道路的寬為xm，若種植花苗的面積為，依題意列方程(

)A.

B.

C.

D.8.如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊DC，CB上的動點，且始終滿足，AE，DF交于點連接CP，線段CP長的最小值為(

)A.

B.

C.

D.二、填空題：本題共8小題，每小題2分，共16分。9.請寫出一個開口向上，經(jīng)過點的拋物線的解析式______.10.平面直角坐標系中，若點，則點A關于原點中心對稱的點的坐標是______.11.半徑為4的圓中，圓心角為的扇形面積為______.12.如圖，在的正方形方格圖形中，小正方形的頂點稱為格點，的頂點都在格點上，則的正弦值是____.

13.關于x的一元二次方程，有一個根是0，則______.14.如圖，在?ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊AD，BD上，，DE：：3，，則CD的長為______.

15.如圖，將繞點A順時針旋轉得到，點B的對應點D恰好落在邊BC上，則__________用含的式子表示

16.2019年11月，聯(lián)合國教科文組織將每年的3月14日定為“國際數(shù)學日”，也被許多人稱為“節(jié)”.某校今年“節(jié)”策劃了五個活動，規(guī)則見圖：

小云參與了所有活動.

若小云只挑戰(zhàn)成功一個，則挑戰(zhàn)成功的活動名稱為______；

若小云共挑戰(zhàn)成功兩個，且她參與的第四個活動成功，則小云最終剩下的“幣”數(shù)量的所有可能取值為______.三、解答題：本題共12小題，共68分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.本小題5分

解一元二次方程：18.本小題5分

下面是“過圓外一點作圓的切線”的尺規(guī)作圖過程.

已知：如圖1，和外一點

求作：過點P的的切線.

作法：如圖2，

①連結OP，作線段OP的中點M；

②以M為圓心，MP的長為半徑作圓，交于點A，B；

③作直線PA和PB，直線PA，PB即為所求作的切線.

請在圖2中補全圖形，并完成下面的證明.

證明：連接OA，如圖2，

由作法可知，OP為的直徑，

______填推理的依據(jù)，

，

點A在上，

直線PA是圓的切線______填推理的依據(jù)，

同理，直線PB也是圓的切線.19.本小題5分

如圖，AB為的直徑，弦于點E，若，，求半徑的長.20.本小題5分

已知二次函數(shù)

補全表格，并在平面直角坐標系中用描點法畫出該函數(shù)圖象；x…0123…y…03…根據(jù)圖象回答：時，x的取值范圍是______；

根據(jù)圖象回答：當時，y的取值范圍是______.21.本小題5分

如圖，三個頂點的坐標分別為，，

請在圖中作出繞點A逆時針方向旋轉后得到的圖形；

求點C運動到點所經(jīng)過的路徑的長結果保留22.本小題5分

關于x的一元二次方程

求證：方程總有兩個實數(shù)根；

若方程有一個根小于1，求m的取值范圍.23.本小題6分

2021年6月17日，神舟十二號成功發(fā)射，標志著我國載人航天踏上新征程．某學校舉辦航天知識講座，需要兩名引導員，決定從A，B，C，D四名志愿者中通過抽簽的方式確定兩人．抽簽規(guī)則：將四名志愿者的名字分別寫在四張完全相同且不透明卡片的正面，把四張卡片背面朝上，洗勻后放在桌面上，先從中隨機抽取一張卡片，記下名字，再從剩余的三張卡片中隨機抽取第二張，記下名字．

“A志愿者被選中”是______事件填“隨機”、“不可能”或“必然”；

用畫樹狀圖或列表的方法求出A，B兩名志愿者同時被選中的概率．24.本小題6分

某公園在垂直于湖面的立柱上安裝了一個多孔噴頭，從噴頭每個孔噴出的水柱形狀都相同，可以看作是拋物線的一部分，當噴頭向四周同時噴水時，形成一個環(huán)狀噴泉．安裝后，通過測量其中一條水柱，獲得如下數(shù)據(jù)，在距立柱水平距離為d米的地點，水柱距離湖面的高度為h米．米0米請解決以下問題：

在網(wǎng)格中建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担鶕?jù)已知數(shù)據(jù)描點，并用

平滑的曲線連接；

結合表中所給數(shù)據(jù)或所畫圖象，直接寫出這條水柱最高點距離湖面的高度；

求所畫圖象對應的函數(shù)表達式；

從安全的角度考慮，需要在這個噴泉外圍設立一圈正方形護欄，這個噴泉的任何一條水柱在湖面上的落點到護欄的距離不能小于1米，請通過計算說明公園至少需要準備多少米的護欄不考慮接頭等其他因素25.本小題6分

如圖，已知AB為的直徑，D是上的一點，且點C是的中點，過點C作直線AD于點

求證：直線CE是的切線；

連接AC，過點O作于F，延長FO交于M，若B為的中點，半徑為4，求OF的長26.本小題6分

在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線

若拋物線過點，求該拋物線的對稱軸；

若，，在拋物線上，且滿足，當拋物線對稱軸為直線時，求t的取值范圍.27.本小題7分

如圖，在中，，，過點A作BC的垂線AD，垂足為D，E為線段DC上一動點不與點C重合，連接AE，以點A為中心，將線段AE逆時針旋轉得到線段AF，連接BF，與直線AD交于點

依題意補全圖形；并直接寫出BC與CF的位置關系；

求證：點G為BF的中點.

寫出AE，BE，AG之間的數(shù)量關系，并證明.28.本小題7分

在平面直角坐標系xOy中，已知點A和B，對于點P定義如下：以點A為對稱中心作點P的對稱點，再將對稱點繞點B逆時針旋轉，得到點Q，稱點Q為點P的反轉點.

如圖，點，，點，點Q為點P的反轉點.

①當時，在圖中畫出點Q，并寫出點Q的坐標為______；

②當時，求線段AQ長的取值范圍；

已知的半徑為，點A是上一點，點B和P是外兩個點，點Q為點P的反轉點.若點P在第一象限內(nèi)，點B在第四象限內(nèi)，當點A在上運動時，直接寫出線段PQ長的最大值和最小值的差.

答案和解析1.【答案】A

【解析】解：，

的值為120；

故選：

列式求出葉片之間的夾角即可．

本題考查旋轉對稱圖形，解題的關鍵是讀懂題意，列出算式．2.【答案】A

【解析】解：，

兩邊加上4可得，即，

故選：

方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方，進行配方即可．

本題考查解一元二次方程，解題的關鍵是根據(jù)方程的特點選擇合適的方法．3.【答案】C

【解析】解：將拋物線向右平移3個單位得，再向上平移1個單位得到的解析式得

故選：

根據(jù)右減上加的規(guī)律求解即可．

本題考查了二次函數(shù)圖象的平移，其規(guī)律是：將二次函數(shù)解析式轉化成頂點式為常數(shù)，，“左加右減括號內(nèi)，上加下減括號外”，熟練掌握這一規(guī)律是解答本題的關鍵．4.【答案】B

【解析】解：三角形內(nèi)心為三角形內(nèi)角平分線的交點，選項B中作了兩個角的平分線．

故選：

利用基本作圖和三角形內(nèi)心的定義進行判斷．

本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握基本作圖作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線也考查了線段垂直平分線的性質(zhì)．5.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查了求隨機事件的概率，用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．得到所求的情況數(shù)是解決本題的關鍵．

畫樹狀圖，共4種等可能的結果，一枚硬幣正面向上，一枚硬幣反面向上的有2種結果，再由概率公式求解即可．

【解答】

解：畫樹形圖得：

由樹形圖可知共4種等可能的結果，一枚硬幣正面向上，一枚硬幣反面向上的有2種結果，

一枚硬幣正面向上，一枚硬幣反面向上的的概率為6.【答案】C

【解析】解：如圖，在優(yōu)弧AC上取點D，連接AD，CD，

，

，

故選：

在優(yōu)弧AC上取點D，連接AD，CD，根據(jù)圓周角定理求出的度數(shù)，進而可得出結論．

本題考查了圓周角定理，圓心角，弧，弦的關系，熟知在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半是解題的關鍵．7.【答案】C

【解析】解：設道路的寬為xm，則種植花苗的部分可合成長，寬的矩形，

依題意得：，

故選：

設道路的寬為xm，則種植花苗的部分可合成長，寬的矩形，根據(jù)種植花苗的面積為，即可得出關于x的一元二次方程，此題得解．

本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．8.【答案】C

【解析】解：在邊長為2的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊DC，CB上的動點，且始終滿足，AE，DF交于點P，

，，

在和中，

，

≌，

，

，

，

，

取AD的中點O，連接OP，則定值，

根據(jù)兩點之間線段最短得C、P、O三點共線時線段CP的值最小，

在中，由勾股定理得，

的最小值，

故選：

根據(jù)“邊角邊”證明和全等，根據(jù)全等三角形對應角相等可得，然后求出，取AD的中點O，連接OP，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得點P到AD的中點的距離不變，再根據(jù)兩點之間線段最短可得C、P、O三點共線時線段CP的值最小，然后根據(jù)勾股定理列式求出OC，再求解即可．

本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形三邊關系，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線，勾股定理，確定出點P到AD的中點的距離是定值是解題的關鍵．9.【答案】答案不唯一

【解析】解：根據(jù)函數(shù)開口向上和過點可得：答案不唯一，

故答案為：答案不唯一

根據(jù)開口向上和過點，可知二次項系數(shù)大于0，與y軸交于，即可寫出解析式．

本題主要考查了二次函數(shù)的解析式求解，熟練運用二次函數(shù)的頂點式是解題的關鍵．10.【答案】

【解析】解：點A關于原點中心對稱的點的坐標是

故答案為：

根據(jù)關于原點對稱的點的橫坐標與縱坐標均互為相反數(shù)解答即可．

本題考查了關于原點對稱的點的坐標．掌握兩點關于原點對稱，則兩點的橫、縱坐標均互為相反數(shù)是解題關鍵．11.【答案】

【解析】解：由題意得，，，

扇形的面積，

故答案為：

根據(jù)扇形面積計算公式直接計算即可求解．

本題考查了扇形的面積，掌握據(jù)扇形面積計算公式是解題的關鍵．12.【答案】

【解析】【分析】

本題考查的是勾股定理的逆定理以及銳角三角函數(shù)，關鍵是熟知：在一個三角形中，如果兩條邊的平方之和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形．

先根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出的形狀，再由銳角三角函數(shù)的定義即可得出結論．

【解答】

解：、、，

，

為直角三角形，且，

則，

故答案為：13.【答案】2

【解析】解：因為關于x的一元二次方程，有一個根是0，

所以，

解得

故答案為：

根據(jù)一元二次方程解的定義，將代入方程即可解決問題．

本題主要考查了一元二次方程的解，熟知一元二次方程解得定義是解題的關鍵．14.【答案】10

【解析】解：在?ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊AD，BD上，，

∽，

，

：：3，，

：：，即DE：：5，

，

，

四邊形ABCD是平行四邊形，

，

故答案為：

根據(jù)平行判定相似，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，結合平行四邊形的性質(zhì)求解．

本題考查平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關鍵．15.【答案】

【解析】解：由旋轉的性質(zhì)可知，，，

，

，

，

，

故答案為：

根據(jù)旋轉的性質(zhì)得到，，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，利用三角形的內(nèi)角和定理求得，即可求得

本題考查的是旋轉變換的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握旋轉前、后的圖形全等是解題的關鍵．16.【答案】魯班鎖

1枚或2枚或3枚

【解析】解：小云參與了所有活動，且小云只挑戰(zhàn)成功一個，

小云用活動前發(fā)放的一枚“幣”參與了魯班鎖，且挑戰(zhàn)成功，贏得4枚“幣”，再次參與了其余四個活動，未挑戰(zhàn)成功，

故答案為：魯班鎖；

小云共挑戰(zhàn)成功兩個，且參與的第四個活動成功，

小云參與的第一個活動成功，且為華容道、魔方或魯班鎖，

若參與的第一個活動為華容道，則參與的第四個活動可能為24點、數(shù)獨、魔方或魯班鎖，最終剩下的“幣”數(shù)量可能是1枚、2枚或3枚，

若參與的第一個活動為魔方，則參與的第四個活動可能為24點、數(shù)獨、華容道或魯班鎖，最終剩下的“幣”數(shù)量可能是1枚、2枚或3枚，

若參與的第一個活動為魯班鎖，則參與的第四個活動可能為24點、數(shù)獨、華容道或魔方，最終剩下的“幣”數(shù)量可能是2枚或3枚，

故答案為：1枚、2枚或3枚．

因為小云參與了所有活動，且小云只挑戰(zhàn)成功一個，所以推斷小云只能參與了魯班鎖，且挑戰(zhàn)成功，贏得4枚“幣”，足夠她參與其余四個活動；

小云共挑戰(zhàn)成功兩個，且參與的第四個活動成功，所以推斷小云參與的第一個活動成功，且為華容道、魔方或魯班鎖，分別討論參與的第一個活動為華容道、魔方或魯班鎖，最終剩下的“幣”數(shù)量的可能．

本題考查了推理能力，關鍵是注意分類討論．17.【答案】解：，

，

，

或，

所以，

【解析】先把方程化為一般式，再利用因式分解法把方程轉化為或，然后解兩個一次方程即可．

本題考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．18.【答案】直徑所對的圓周角為直角

經(jīng)過圓半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

【解析】解：補畫圖形如下，

證明：連接OA，OB，如圖2，

由作法可知，OP為的直徑，

直徑所對的圓周角為直角，

，

點A在上，

直線PA是圓的切線經(jīng)過圓半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，

同理，直線PB也是圓的切線．

故答案為：直徑所對的圓周角為直角，經(jīng)過圓半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．

根據(jù)題干步驟補全作圖即可；根據(jù)圓周角定理的推論和切線的判定定理即可填空．

本題主要考查了作圖-過圓外一點作圓的切線、圓周角定理的推論和切線的判定定理等知識，熟練掌握基本作圖方法和熟記直徑所對的圓周角為直角是解題關鍵．19.【答案】解：連接OC，

設的半徑為R，則，

，AB為的直徑，

，

在中，由勾股定理得，，

即，

整理得，，

解得，，

則的半徑為

答：的半徑為

【解析】連接OC，設的半徑為R，根據(jù)垂徑定理“垂直于弦的直徑平分這條弦”求出CE，根據(jù)勾股定理列式計算，得到答案．

本題考查的是垂徑定理、勾股定理，關鍵是垂徑定理的熟練應用．20.【答案】

【解析】解：，

時，，時，，時，，

填表如下：x…0123…y…03430…描點、連線、繪制函數(shù)圖象如下：

觀察函數(shù)圖象知：時，；

故答案為：；

觀察函數(shù)圖象知，當時，y的取值范圍是；

故答案為：

將x的值代入解析式，求出y值，填表，進而畫出函數(shù)圖象即可；

圖象法進行求解即可；

圖象法進行求解即可．

本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，正確的畫出函數(shù)圖象，是解題的關鍵．21.【答案】解：如圖所示；

，

點C運動到點所經(jīng)過的路徑的長為：

【解析】根據(jù)旋轉的性質(zhì)得出點B、C的對應點、的位置，順次連接即可；

根據(jù)勾股定理求出AC，再利用弧長公式計算即可．

本題考查了作圖-旋轉變換，勾股定理以及弧長公式，熟練掌握旋轉的性質(zhì)，找出對應點的位置是解題的關鍵．22.【答案】證明：，，，

，

此方程總有兩個實數(shù)根．

解：，

，

此方程有一個根小于

【解析】先根據(jù)方程有兩個相等的實數(shù)根列出關于m的一元二次方程，求出m的值即可；

利用求根公式得到，根據(jù)題意得到即可求得

本題考查的是根的判別式及一元二次方程解的定義，在解答時得到方程的兩個根是解題的關鍵．23.【答案】解：隨機；

畫樹狀圖如下：

共有12種等可能的結果，其中A，B兩名志愿者同時被選中的結果有2種，

，B兩名志愿者同時被選中的概率為

【解析】此題考查的是樹狀圖法求概率以及隨機事件的概念．樹狀圖法可以不重復不遺漏地列出所有可能的結果，適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回試驗還是不放回試驗．用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．

根據(jù)隨機事件、不可能事件及必然事件的概念求解即可；

畫樹狀圖，共有12種等可能的結果，其中A，B兩名志愿者同時被選中的結果有2種，再由概率公式求解即可．24.【答案】解：如圖，

由和可知，拋物線的對稱軸為，

當時，，

水柱最高點距離湖面的高度是5米；

由圖象可得，頂點，

設二次函數(shù)的關系式為，

把代入可得，

；

當時，即，

解得舍去或，

正方形的周長為米，

至少需要準備欄桿米，

公園至少需要準備72米的護欄．

【解析】本題考查二次函數(shù)的實際應用，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關鍵．

根據(jù)對應點畫圖象即可；

由圖象可得答案；

利用待定系數(shù)法可得關系式；

求出落水點距離噴頭的水平距離，進而求出正方形的邊長，進而可以求出正方形的周長．25.【答案】證明：連接BD，OC，交于點S，

為的直徑，

，

點C是的中點，

，，

，

，

四邊形DECS是矩形，

，

是半徑，

直線CE是的切線；

解：如圖，過點O作于F，延長FO交于M，

為的中點，

，

，

，而，

，

，

，

半徑為，

【解析】連接BD，OC，交于點S，證明四邊形DECS是矩形，從而可得結論；

證明，結合三角形的外角的性質(zhì)可得：，再求解，從而可得答案．

本題考查的是矩形的判定與性質(zhì)，圓周角定理的應用，弧，圓心角之間的關系，垂徑定理的應用，圓的切線的判定，熟練的運用圓的基本性質(zhì)與圓中基本定理是解本題的關鍵．26.【答案】解：拋物線，

當時，，故

拋物線經(jīng)過點，

又拋物線過點，

拋物線的對稱軸為直線，即直線；

若拋物線對稱軸為直線，則，即，

拋物線的解析式為，

，，在拋物線上，

，，，

又，

，

【解析】求出拋物線與y軸的交點為，對稱性求出對稱軸即可；

由拋物線對稱軸為直線，得到，即，將，，分別代入，得，，，根據(jù)，建立不等式組，計算可得．

本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵．27.【答案】解：如圖，

將線段AE逆時針旋轉得到線段AF，

，，

，

，，

，，

，

在和中，

≌，

，

，

；

證明：，，

，

，，

∽，

，

，，

，

，

，

，

；

解：，證明如下：

延長BA交CF延長線于H，如圖，

，，

平分，

，

，，

，，

∽，

，

，

，

，

，，

，

在和中，

，

≌，

，

在中，根據(jù)勾股定理，

在中，，

即，

【解析】