導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用之函數(shù)的最值問題（5題型分類）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版+解析版）

專題14導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用■函數(shù)的最值問題5題型分類

彩題總

題型1：求函數(shù)的最值（不含參）

題型5：不等式恒成立與存在性問題

題型2：求函數(shù)的最值（含參）

專題14導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一函數(shù)

的最值問題5題型分類

題型4：函數(shù)單調(diào)性、極值、最值得綜合應(yīng)用

V題型3：根據(jù)最值求參數(shù)

彩和源宏庫

1.函數(shù)的最值

函數(shù)，=/（x）最大值為極大值與靠近極小值的端點(diǎn)之間的最大者；函數(shù)“X）最小值為極小值與靠近極大值的

端點(diǎn)之間的最小者.

2

導(dǎo)函數(shù)為f(x)=ax+bx+c=a(x-x)(x-x^^m<x1<x2<n)

（1）當(dāng)a>0時(shí)，最大值是/區(qū)）與/（”）中的最大者；最小值是/（Z）與/（”，）中的最小者.

（2）當(dāng)a<0時(shí)，最大值是/（3）與/（⑼中的最大者；最小值是/（國）與，（■）中的最小者.

一般地，設(shè)了=/（x）是定義在［加，〃］上的函數(shù)，了=/（尤）在（"7,"）內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)V=/（x）在［加，上的最

大值與最小值可分為兩步進(jìn)行：

（1）求V=/（X）在（"7，3內(nèi)的極值（極大值或極小值）；

（2）將v=y（x）的各極值與/（⑼和/（”）比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值.

注：①函數(shù)的極值反映函數(shù)在一點(diǎn)附近情況，是局部函數(shù)值的比較，故極值不一定是最值；函數(shù)的最值是

對(duì)函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上函數(shù)值比較而言的，故函數(shù)的最值可能是極值，也可能是區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值；

②函數(shù)的極值點(diǎn)必是開區(qū)間的點(diǎn)，不能是區(qū)間的端點(diǎn)；

③函數(shù)的最值必在極值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處取得.

2.不等式的恒成立與能成立問題

（1）若函數(shù)“X）在區(qū)間。上存在最小值〃x"n和最大值/（x）1mx,貝（I

不等式/(尤)>a在區(qū)間。上恒成立o/(X)疝n>a；

不等式/(x)2。在區(qū)間。上恒成立o1(力?1n>a；

不等式〃x)<b在區(qū)間。上恒成立o/(x).<b；

不等式/(x)46在區(qū)間。上恒成立o/(尤)1mxW6；

(2)若函數(shù)〃x)在區(qū)間。上不存在最大(小)值，且值域?yàn)?加，?),則

不等式/(x)>“或/'(x)2a)在區(qū)間。上恒成立o機(jī)Na.

不等式〃x)<”或/'(x)W6)在區(qū)間。上恒成立om&b.

(3)若函數(shù)〃x)在區(qū)間〃上存在最小值〃x)1nM和最大值〃x)111ax,即則對(duì)不等式有解問題

有以下結(jié)論：

不等式a</(x)在區(qū)間。上有解oa</(》\&；

不等式a4/(x)在區(qū)間。上有解oaW/aZ”；

不等式a>/(x)在區(qū)間。上有解oa>〃x)1111n；

不等式在區(qū)間D上有解oaN/(x；^；

(4)若函數(shù)/(x)在區(qū)間。上不存在最大(小)值，如值域?yàn)?加，”)，則對(duì)不等式有解問題有以下結(jié)論：

不等式a</(》)(或24/(X))在區(qū)間D上有解

不等式b>f(x)(或b>f(x))在區(qū)間D上有解ob>m

(5)對(duì)于任意的再目。,可，總存在zejm,n],使得/(xjWg(x2)O/(占)厘Wg(x2)1n；

(6)對(duì)于任意的王4出6],總存在％26血,〃],使得/(占)*(工2)0/(占)向112g仁解；

(7)若存在占4氏b\,對(duì)于任意的々e[m,n],使得〃西)四(々)0/(再)1ntoM8(的1nto；

(8)若存在玉e[a,目，對(duì)于任意的zdm,n\,使得/(xj2g^)=〃占)1mx28仁)鵬；

(9)對(duì)于任意的不目生b],x2e[m,可使得/(xj4g(%)=/(xj111ax4gG*；

(10)對(duì)于任意的再目見b],x2e[m,可使得「巨)*(％)=/(西僵Ng(%)1m*；

（11）若存在再e?6］*總存在zefm,n］,使得/（西）Vg（%2）o/（xJ1141Vg（%）厘

（12）若存在西武凡國，總存在”2?皿使得/（再）*（尤2）0/（%）1MsNg（xJ

1-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1

\彩儺題秘籍i

I求函數(shù)的最值I

!1.求函數(shù)“X）在閉區(qū)間切上的最值時(shí)，在得到極值的基礎(chǔ)上，結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值/（。），/⑻與/（X）!

i的各極值進(jìn)行比較得到函數(shù)的最值.

i2.導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}.注|

I意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極（最）值問題處i

I理.

i---------------------------------------------------------------------------------------------------i

j題型1:求函數(shù)的最值（不含參）

!1-1.（2024?全國）函數(shù)/（x）=|2x-l|-21nx的最小值為.

1-2.（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知函數(shù)f（x）=eXsinx-2x.

I⑴求曲線V=/（%）在點(diǎn)（0,7（0））處的切線方程；

（2）求/（x）在區(qū)間［-L1］上的最大值;

I1-3.（2024?江蘇）若函數(shù)/卜）=2尤3-辦2+“ae?在@+8）內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則在卜國上的最|

!大值與最小值的和為.

1-4.（2024?遼寧葫蘆島?二模）已知函數(shù)/'（x）=2sinx（l+cosx）,則/（x）的最大值是.

1-5.（2024?全國）函數(shù)/（x）=cosx+（x+l）sinx+l在區(qū)間［0,2兀］的最小值、最大值分別為（）

題型2：求函數(shù)的最值（含參）

2-1.（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=qlnx+；x-a,aeR.討論函數(shù)/（x）的最值;

I2-2.(2024高三?全國?專題練習(xí))已知函數(shù)/'3=111(1+苫)+辦/.

(1)當(dāng)。=-1時(shí)，討論函數(shù)/(x)在(0,+e)上的單調(diào)性；

|⑵當(dāng)時(shí)，求“X)在(T0］內(nèi)的最大值；

11

12-3.(2024?四川成者B■模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(X)=-］(6+a)x2+(8+6a)x-8aln尤-40,其中aeR.

:⑴若a=2,求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

1<<2)

|(2)已知〃2)=〃4),求〃x)的最小值.(參考數(shù)據(jù)：3(3_4in2)

2-4.(2024?天津和平?三模)已知函數(shù)/'(x)=?-alnx,g(x)=(cosx-l)e',其中aeR.

I⑴若曲線y=/(x)在x=l處的切線4與曲線y=g(x)在x=］處的切線4平行，求。的值；

i⑵若xe(0,?i)時(shí)，求函數(shù)g(x)的最小值；

?3)若了⑺的最小值為〃⑷,證明：當(dāng)ae(0,+8)時(shí),A(a)<l.

j--------------------------------------------------------------------------------------------------

;彩儺題秘籍

(二)

5根據(jù)最值求參數(shù)

!已知函數(shù)在某區(qū)間上的最值求參數(shù)的值(或范圍)是求函數(shù)最值的逆向思維，一般先求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函

i數(shù)的單調(diào)性及極值點(diǎn)，探索最值點(diǎn)，根據(jù)已知最值列方程(不等式)解決問題.其中注意分類討論思想的應(yīng)用.

|題型3:根據(jù)最值求參數(shù)

I

13-1.(2024高三上?廣西桂林?階段練習(xí))已知函數(shù)/'(x)=a石+lnx在x=l處取最大值，則實(shí)數(shù)。=()

A.-1B.1C.-2D.2

3-2.(2024高二下?四川綿陽?期中)已知函數(shù)/(x)=ax+lnx.

|(1)討論函數(shù)〃x)的單調(diào)區(qū)間；

JT

(2)當(dāng)〃=-1時(shí)，函數(shù)g(x)=/(x)+eXcosx-lnx-冽在［0,不|上的最大值為0,求實(shí)數(shù)加的值.

i3-3.(2024高三上?河南新鄉(xiāng)?周測(cè))若函數(shù)f(x)=/-3x在區(qū)間(a,6-/)上有最小值，則實(shí)數(shù)a的取

i值范圍是

3-4.（2024高二?貴州貴陽?階段練習(xí)）若函數(shù)/（無）=12x-x3在區(qū)間（加-5,2機(jī)+1）上有最小值，則實(shí)數(shù)加的取

值范圍為.

3-5.（2024?山東?一模）若函數(shù)/（工）=；/+/一2在區(qū)間上存在最小值，則整數(shù)。的取值可以

是.

36（2024高三上,吉林長春,開學(xué)考試）函數(shù)7?。）=嘲+（0-1攵_3111彳在（1,2）內(nèi)有最小值,則實(shí)數(shù)。的取值

范圍為.

3-7.（2024?全國?模擬預(yù)測(cè)）已知四棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上.若該球的體積為36萬，則該四棱錐

體積的最大值是.

3-8.（2024高三下?云南昆明?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（尤）=lnx-F在區(qū)間［l,e］上最大值為最小值為加，

則的值是.

39（2024?貴州畢節(jié)?模擬預(yù)測(cè)）當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)"％=x；，〈的最小值為1,貝?）

—e—4—x+2,x<ln（-a）

彩僻瓢祕(mì)籍（二）

函數(shù)單調(diào)性、極值、最值得綜合應(yīng)用

求函數(shù)“X）在區(qū)間［凡6］上的最值的方法：

（1）若函數(shù)/（尤）在區(qū)間上單調(diào)，則/（。）與/⑻一個(gè)為最大值，另一個(gè)為最小值；

（2）若函數(shù)在區(qū)間［a,可內(nèi)有極值,則要求先求出函數(shù)“X）在區(qū)間［a,目上的極值，再與/⑷、f（b）

比大小，最大的為最大值，最小的為最小值；

（3）若函數(shù)/（x）在區(qū)間［a,6］上只有唯一的極大點(diǎn)，則這個(gè)極值點(diǎn)就是最大（最小）值點(diǎn)，此結(jié)論在導(dǎo)數(shù)

的實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常用到.

題型4:函數(shù)單調(diào)性、極值、最值得綜合應(yīng)用

4-1.（2024高三?全國?專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)/（x）=ln（a-x）,已知x=0是函數(shù)y=的極值點(diǎn).

⑴若函數(shù)g(x)=/(x)+mx2在內(nèi)單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)加的取值范圍；

(2)討論函數(shù)〃(k=”(可-/的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

⑶求在K內(nèi)的最值.

xL/

4-2.(2024高三?全國?專題練習(xí))已知/(x)=e"sinx.

⑴求函數(shù)4%)在［0,2K］內(nèi)的極值點(diǎn)；

7T7T

(2)求函數(shù)g(%)=/(%)在-于萬上的最值.

4-3.(2024高三?全國?專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=2/一3(〃+1)t2+6辦+1,其中acR.

⑴當(dāng)〃=3時(shí)，求函數(shù)/(%)在(0,3)內(nèi)的極值；

(2)若函數(shù)/(%)在［1,2］上的最小值為5,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

4-4.(2024?天津河北?二模)已知〃>0,函數(shù)/(x)=xlna-qhix+(x-e)2,其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

(1)當(dāng)0=1時(shí)，求曲線了=/(力在點(diǎn)(1,7(1))處的切線方程；

⑵當(dāng)q=e時(shí)，求函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間；

⑶求證：函數(shù)/(x)存在極值點(diǎn)，并求極值點(diǎn)％的最小值.

4-5.(四川省宜賓市2023屆高三三模數(shù)學(xué)(理科)試題)已知函數(shù)/(%)=加猶一“+x-lnx(冽ER).

⑴討論函數(shù)/(%)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；

(2)若加〉0,/(%)的最小值是1+ln加，求實(shí)數(shù)加的所有可能值.

彩儺題淞籍

(四)

不等式恒成立與存在性問題

1.求解不等式的恒成立問題，常用的方法有：(1)分離參數(shù)求最值；(2)直接求函數(shù)的最值；(3)端點(diǎn)優(yōu)先

法.要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.

2.在不等式恒成立或不等式有解條件下求參數(shù)的取值范圍，一般利用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想其轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值或

值域問題加以求解，可采用分離參數(shù)或不分離參數(shù)法直接移項(xiàng)構(gòu)造輔助函數(shù).

1------

題型5:不等式恒成立與存在性問題

5-1.(2024高三?全國?專題練習(xí))若存在,使得不等式2x-sinx之成立，則加的取值范圍為—

5-2.(2024?浙江金華?模擬預(yù)測(cè))對(duì)任意的x>l,不等式3-/+3/11^-亦320恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范

圍為.

5-3.(2024高三上?內(nèi)蒙古呼和浩特?開學(xué)考試)設(shè)函數(shù)〃x)=e「ax,fleR.

⑴當(dāng)”=1時(shí)，求函數(shù)/(x)在x=l處的切線方程；

(2)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

⑶若/(尤絲x在R上恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

54(2024高三上?遼寧朝陽?階段練習(xí))已知函數(shù)/。)=加①一1),其中加?R.

X+1

⑴求函數(shù)〃無)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若存在無e(l,+?0,使得不等式/(x)>lnx成立，求加的取值范圍.

5-5.(2024高三上?福建莆田,開學(xué)考試)已知函數(shù)/'@)=/+辦+2,aeR.

(1)若不等式<0的解集為[1,2],求不等式的解集；

⑵若對(duì)于任意的無目-U],不等式/(x)W2a(x-l)+4恒成立，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

5-6.(2024高三?全國,專題練習(xí))已知函數(shù)/⑴=？%2+x-Ar,g(x)=?+謂+cx+d(aH0)是R上的奇函數(shù)，

當(dāng)x=l時(shí)，g(X)取得極值-2.

(1)求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間和極大值；

(2)若對(duì)任意xe[f3],都有/(x)Wg(x)成立，求實(shí)數(shù)后的取值范圍；

⑶若對(duì)任意王e[T,3],X2G[-1,3],都有/(三)Vg(z)成立，求實(shí)數(shù)上的取值范圍.

煉習(xí)與翌升

一、單選題

L(2024?全國)當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)/(%)=alnx+2取得最大值_2,則八2)=()

x

1

A.—1B.—cD.1

2-i

2.（2024?全國）已知正四棱錐的側(cè)棱長為/,其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為36萬，且34/43百,

則該正四棱錐體積的取值范圍是（）

27812764

A.B.C.D.[18,27]

3.（2024高二下?全國?專題練習(xí)）如果圓柱的軸截面周長/為定值，那么圓柱的體積的最大值是（）

A.兀B.盧

c.爐D-泊一

22

4.（2024高三上?河南焦作?期中）在直角坐標(biāo)系xOy中，一個(gè)長方形的四個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓0：土+匕=1上,

43

將該長方形繞工軸旋轉(zhuǎn)180。，得到一個(gè)圓柱體，則該圓柱體的體積最大時(shí)，其側(cè)面積為（

10乃D16品C8A/6K401

A.——D.------------------D.——

333

24+人40有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為

5.（2024?陜西咸陽?模擬預(yù)測(cè)）已知不等式bu——

xx

)

A.f」1

B.(-8,0)C.----,+8D.[0,+a?)

l2e2e

6.（2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè)）若關(guān)于X的不等式（e-D（ln〃+x"〃ex-1在、式0』內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)。的取值

范圍是（）

121

A.B.-,eC.-,eD.2e，e

7.（2024高三?全國?對(duì)口高考）已知/（無）=f2+加x+1在區(qū)間上的最大值就是函數(shù)〃x）的極大值，

則"2的取值范圍是（）

A.[2,+⑹B.[4,+8）C.[-4,-2]D.[2,4]

8.（2024高三上?重慶沙坪壩?階段練習(xí)）已知a,6eR,關(guān)于x的不等式e*2辦+6在R上恒成立，則曲的

最大值為（）

A.-B.-C.2D.e3

32e

9.（2024高三上?江蘇鎮(zhèn)江?開學(xué)考試）對(duì)于實(shí)數(shù)尤e（O,+s）,不等式e，-In（加x）+（l-機(jī)）x20恒成立，則實(shí)

數(shù)機(jī)的取值范圍為（）

A.0<m<1B.m￡1C.0<m<eD.m<e

二、填空題

10.（2024?全國?模擬預(yù)測(cè)）在直角坐標(biāo)系xS中，矩形的四個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓C：或+4=1上，將該矩形繞y

43

軸旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)圓柱體，當(dāng)該圓柱體的體積最大時(shí)，其側(cè)面積為

11.（2024高三上?重慶?階段練習(xí)）已知夕?（/,?1,則當(dāng)tan2。Tan。取得最大值時(shí)，咽?=.

142Jtan8----------

12.（2024高三上?四川成都?開學(xué)考試）已知面積為拽的銳角段BC其內(nèi)角4B,C所對(duì)邊分別為a,b,

3

c,且2;+'14=2—,則邊。的最小值為______.

tanAtanBsmA

13.（2024高三上?吉林長春?開學(xué)考試）函數(shù)/（刈=/+（"1）尤-31nx在（1,2）內(nèi)有最小值，則實(shí)數(shù)。的取值

范圍為.

14.（2024?湖北武漢三模）已知函數(shù)〃x）=c"sm",工電5],則函數(shù)〃x）的最小值為.

15.（2024?安徽安慶?二模）已知x〉0/〉0,且1口（9），=/,則/y—lnx-x的最小值為.

16.（2024?海南?？凇瞿M預(yù)測(cè)）已知正實(shí)數(shù)加，〃滿足："ln〃=e"-"Inm,則一的最小值為.

m

17.（2024高三?福建泉州?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=|x-l|-alnx的最小值為0,則。的取值范圍

為.

18.（2024高三下?江蘇南通?開學(xué)考試）若函數(shù)/5）=忙，+。|-尤的最小值為-1,則。=.

19.（2024高三?全國?專題練習(xí)）若函數(shù)〃x）=e，（*+2x+a）在區(qū)間（的+1）上存在最大值，則實(shí)數(shù)。的取

值范圍為

20.（2024?山西運(yùn)城?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（力=$3+；/-2式+1,若函數(shù)〃尤）在（2"2,20+3）上存在最

小值.則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

2

21.（2024?貴州黔東南?模擬預(yù)測(cè)）若存在實(shí)數(shù)（0<6<2）,使得關(guān)于x的不等式打入6+方（2*+2對(duì)

xe（0,+<?）恒成立，則b的最大值是.

2

22.（2024高三下?陜西安康?階段練習(xí)）若不等式二+21nq+x-2N0對(duì)Vxe（0,+⑹恒成立，則。的取值

exx

范圍是.

三、解答題

23.（2024?北京）已知函數(shù)/（無）=R，.

(1)若a=0,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1J。))處的切線方程；

(2)若“X)在尸一1處取得極值，求/(x)的單調(diào)區(qū)間，以及其最大值與最小值.

24.(2004?浙江)設(shè)曲線y=e-，(xN0)在點(diǎn)處的切線/與x軸y軸所圍成的三角形面積為義。.

(1)求切線/的方程；

⑵求S⑴的最大值.

25.(2004?湖南)已知函數(shù)/(x)=/e",其中qVO,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

(1)討論函數(shù)Ax)的單調(diào)性；

⑵求函數(shù)/(X)在區(qū)間［0,1］上的最大值.

26.(2024高二下?黑龍江大慶?期中)已知函數(shù)/'(x)=lnr-ax,ae(O,l).

(1)若a=g時(shí)，求“X)的單調(diào)區(qū)間；

⑵求“X)在口，2］上的最小值.

27.(2024?江西)已知函數(shù)/(x)=(#+6x+c)e'在［0,1］上單調(diào)遞減，且滿足"0)=1,/(D=0.

(1)求。的取值范圍；

(2)設(shè)g(x)=〃x)求在［0,1］上的最大值和最小值.

28.(2024高二下?山西朔州?階段練習(xí))設(shè)aGR,函數(shù)加尸6一?/.

(1)若x=2是函數(shù)y=/(x)的極值點(diǎn)，求a的值；

(2)若函數(shù)g(x)=/(x)+/'(x),x￡［0,2］,在x=0處取得最大值，求。的取值范圍

29.(2024高三上?重慶沙坪壩?開學(xué)考試)已知函數(shù)/(x)=xlnx-a尤3+2尤.

(1)設(shè)。=0,經(jīng)過點(diǎn)(0,-1)作函數(shù)y=f(x)圖像的切線，求切線的方程；

⑵若函數(shù)/(無)有極大值，無最大值，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

30.(2024高三?廣東中山?階段練習(xí))用長為18m的鋼條圍成一個(gè)長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬

之比為2:1,問該長方體的長、寬、高各為多少時(shí)，其體積最大？最大體積是多少？

31.(2024高二下?廣東汕頭?期中)某企業(yè)擬建造如圖所示的容器(不計(jì)厚度，長度單位：m),其中容器的

中間為圓柱形，左、右兩端均為半球形，按照設(shè)計(jì)要求容器的容積為等n?,且也2.，假設(shè)該容器的建

造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān)，已知圓柱形部分每平方米的建造費(fèi)用為3萬元，半球形部分每平方米的建造費(fèi)

用為c(03)萬元，該容器的總建造費(fèi)用為了萬元.

（1）寫出y關(guān)于『的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域；

（2）求該容器的總建造費(fèi)用最少時(shí)的，?的值.

32.（2023?福建）在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形/BCD的長為2,寬為1,48,/。邊分別在無軸、了軸的

正半軸上，A點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合（如圖所示）.將矩形折疊，使/點(diǎn)落在線段。C上.

⑴若折痕所在直線的斜率為左，試寫出折痕所在直線的方程；

（2）求折痕的長的最大值.

33.（2024高二下?廣東揭陽?期末）如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其長半軸為"，短半軸為「，計(jì)劃將此鋼

板切割成等腰梯形的形狀，下底是半橢圓的短軸，上底的端點(diǎn)在橢圓上，記CO=2x,梯形面積為S.

（I）求面積S關(guān)于變量x的函數(shù)表達(dá)式，并寫出定義域；

（11）求面積5的最大值.

34.（2024?廣東廣州?一模）人們用大數(shù)據(jù)來描述和定義信息時(shí)代產(chǎn)生的海量數(shù)據(jù)，并利用這些數(shù)據(jù)處理事

務(wù)和做出決策，某公司通過大數(shù)據(jù)收集到該公司銷售的某電子產(chǎn)品1月至5月的銷售量如下表.

月份X12345

銷售量y（萬件）4.95.86.88.310.2

該公司為了預(yù)測(cè)未來幾個(gè)月的銷售量，建立了y關(guān)于X的回歸模型：y=ux2+v.

⑴根據(jù)所給數(shù)據(jù)與回歸模型，求了關(guān)于x的回歸方程（力的值精確到0.1）;

（2）已知該公司的月利潤z（單位：萬元）與x,y的關(guān)系為z=246--，廠，根據(jù)（1）的結(jié)果，問該公司

yjx

哪一個(gè)月的月利潤預(yù)報(bào)值最大？

參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（項(xiàng),%）,（乙,%），???，（乙,以），其回歸直線？=米+&的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公

式分別為石=上―-----------，a^y-bx.

S（x,-x）2

i=l

35.（2024高三?全國?專題練習(xí)）為落實(shí)立德樹人根本任務(wù)，堅(jiān)持五育并舉全面推進(jìn)素質(zhì)教育，某學(xué)校舉行

了乒乓球比賽，其中參加男子乒乓球決賽的12名隊(duì)員來自3個(gè)不同校區(qū)，三個(gè)校區(qū)的隊(duì)員人數(shù)分別是3,4,

5.本次決賽的比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每名隊(duì)員進(jìn)行11場(chǎng)比賽（每場(chǎng)比賽都采取5局3勝制），最后根

據(jù)積分選出最后的冠軍.積分規(guī)則如下：比賽中以3:0或3:1取勝的隊(duì)員積3分，失敗的隊(duì)員積0分；而在比

賽中以3:2取勝的隊(duì)員積2分，失敗的隊(duì)員的隊(duì)員積1分.已知第10輪張三對(duì)抗李四，設(shè)每局比賽張三取勝

的概率均為P（O<P<1）.

（1）比賽結(jié)束后冠亞軍（沒有并列）恰好來自不同校區(qū)的概率是多少？

⑵第10輪比賽中，記張三3:1取勝的概率為求出/（M的最大值點(diǎn)Po.

36.（2024?河北?模擬預(yù)測(cè)）5G技術(shù)對(duì)社會(huì)和國家十分重要.從戰(zhàn)略地位來看，業(yè)界一般將其定義為繼蒸汽

機(jī)革命、電氣革命和計(jì)算機(jī)革命后的第四次工業(yè)革命.某科技集團(tuán)生產(chǎn)力,3兩種5G通信基站核心部件，

下表統(tǒng)計(jì)了該科技集團(tuán)近幾年來在/部件上的研發(fā)投入x（億元）與收益y（億元）的數(shù)據(jù)，結(jié)果如下：

研發(fā)投入X（億元）12345

收益y（億元）3791011

（1）利用樣本相關(guān)系數(shù)r說明是否可以用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系（當(dāng)M40.75,1］時(shí)，可以認(rèn)為兩個(gè)

變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性）；

⑵求出了關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并利用該方程回答下列問題：

①若要使生產(chǎn)/部件的收益不低于15億元，估計(jì)至少需要投入多少研發(fā)資金？（精確到0Q01億元）

②該科技集團(tuán)計(jì)劃用10億元對(duì)/,8兩種部件進(jìn)行投資，對(duì)8部件投資無（IV尤V6）元所獲得的收益夕近似

4

滿足尸0.9x-二+3.7,則該科技集團(tuán)針對(duì)45兩種部件各應(yīng)投入多少研發(fā)資金，能使所獲得的總收益尸

x

最大.

2(七-%乂乂-司

附：樣本相關(guān)系數(shù)尸=1〃閆I"，

￡(苞-亍)(乂-滅)__

回歸直線方程的斜率i=J-----------,截距2=工-應(yīng).

￡(x,-月2

i=l

37.(2024高三?全國?專題練習(xí))甲、乙兩人參加一個(gè)游戲，該游戲設(shè)有獎(jiǎng)金256元，誰先贏滿5局，誰便贏

得全部的獎(jiǎng)金，已知每局游戲乙贏的概率為P(0<P<D，甲贏的概率為1-。，每局游戲相互獨(dú)立，在乙贏

了3局甲贏了1局的情況下，游戲設(shè)備出現(xiàn)了故障，游戲被迫終止，則獎(jiǎng)金應(yīng)該如何分配才為合理？有專

家提出如下的獎(jiǎng)金分配方案：如果出現(xiàn)無人先贏5局且游戲意外終止的情況，則甲、乙按照游戲再繼續(xù)進(jìn)行

下去各自贏得全部獎(jiǎng)金的概率之比舄：與分配獎(jiǎng)金.記事件/為"游戲繼續(xù)進(jìn)行下去甲獲得全部獎(jiǎng)金”，試求

當(dāng)游戲繼續(xù)進(jìn)行下去，甲獲得全部獎(jiǎng)金的概率/(⑷，并判斷當(dāng)p2：時(shí)，事件N是否為小概率事件，并說

明理由.(注：若隨機(jī)事件發(fā)生的概率小于0.05,則稱隨機(jī)事件為小概率事件)

38.(2024高三上?云南保山?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=2/+3(1+加)/+6加尤(xeR).

⑴討論函數(shù)/(無)的單調(diào)性；

(2)若/'(7)=1,函數(shù)g(x)=a(lnx+l)-號(hào)V0在(1,+⑹上恒成立，求整數(shù)。的最大值.

39.(2024?甘肅臨夏?一模)已知函數(shù)/(x)=21nx+x2-Ax.

⑴討論了(X)的單調(diào)性；

⑵若對(duì)于任意正實(shí)數(shù)X,不等式〃尤)W尤2(inx-l)恒成立，求實(shí)數(shù)后的取值范圍.

40.(2024?河北唐山?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=x3_2f,g(x)=32e1

⑴討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若/'(，)=g(s),求"s的最小值.

41.(2024高三上?河南?階段練習(xí))設(shè)a>0且awl,函數(shù)=4、-2，,g(x)=,且g(x)為奇函數(shù).

(1)求a；

⑵求/(x)+[g(x)]2的最小值.

42.(2024高三上?陜西漢中?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=e*-l-asinx(aeR).

(1)若曲線了=〃x)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程為〉=-X,求。的值；

⑵當(dāng)。=2時(shí)，求/㈤在［0,兀］上的最大值.

43.(2024高三上?北京東城?開學(xué)考試)設(shè)函數(shù)/(x)=e'-“x

(1)當(dāng)。=1時(shí)，求函數(shù)“X)在x=0處的切線方程；

(2)當(dāng)。=2時(shí)，求證:/(x)>0

(3)當(dāng)。>1時(shí),求函數(shù)在［0」］上的最小值

44.(2024?北京)已知函數(shù)/(x)=12-

(I)求曲線7=“X)的斜率等于-2的切線方程；

(II)設(shè)曲線y=“X)在點(diǎn)億/⑺)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為義。，求S⑺的最小值.

45.(2024高三上?廣東惠州?階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=V-alnx-1.

⑴若/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為［2,+s),求。的值.

(2)求/⑺在［1,+8)上的最小值.

46.(2024高三上?四川瀘州?階段練習(xí))設(shè)函數(shù)/四=/-6-方，xeR,其中。，beR.

(1)求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)設(shè)。>0,函數(shù)gQ)=|/(x)|,求證：g(x)在區(qū)間［-1,1］上的最大值不小于!.

47.(2024高三?全國?課后作業(yè))用鐵皮做一個(gè)體積為686cm3的正三棱柱形有蓋箱子，間底面邊長為多少時(shí),

用料最??？并求出這時(shí)所有鐵皮的面積(焊縫、拼縫處所耗材料忽略不計(jì)).

48.(2024高三上?山東煙臺(tái)?期末)某工廠擬建造如圖所示的容器(不計(jì)厚度，長度單位：米)，其中容器的

上端為半球形，下部為圓柱形，該容器的體積為一立方米，且/26r.假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面

積有關(guān).已知圓柱形部分側(cè)面的建造費(fèi)用為每平方米2.25千元，半球形部分以及圓柱底面每平方米建造費(fèi)用

為小("7>2.25)千元.設(shè)該容器的建造費(fèi)用為V千元.

(1)寫出y關(guān)于『的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域;

(2)求該容器的建造費(fèi)用最小時(shí)的心

49.(2024高三上?全國?開學(xué)考試)已知函數(shù)/(x)=--mxlnx+1,加eR且加wO.

⑴當(dāng)機(jī)=1時(shí)，求曲線V=/(x)在點(diǎn)(1J。))處的切線方程；

(2)若關(guān)于x的不等式/■(x)Z：x恒成立，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

50.(2024?湖南長沙?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃x)=l+《lnx-巨黑卜*0).

⑴若/(x)存在最大值證明：M+k>l；

⑵在(1)的條件下，設(shè)函數(shù)g(x)=xe"丁.無，求g(x)的最小值(用含“，發(fā)的代數(shù)式表示).

專題14導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用■函數(shù)的最值問題5題型分類

彩題總

題型1：求函數(shù)的最值（不含參）

題型5：不等式恒成立與存在性問題

題型2：求函數(shù)的最值（含參）

專題14導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一函數(shù)

的最值問題5題型分類

題型4：函數(shù)單調(diào)性、極值、最值得綜合應(yīng)用

V題型3：根據(jù)最值求參數(shù)

彩和源宏庫

1.函數(shù)的最值

函數(shù)，=/（x）最大值為極大值與靠近極小值的端點(diǎn)之間的最大者；函數(shù)“X）最小值為極小值與靠近極大值的

端點(diǎn)之間的最小者.

2

導(dǎo)函數(shù)為f(x)=ax+bx+c=a(x-x)(x-x^^m<x1<x2<n)

（1）當(dāng)a>0時(shí)，最大值是/區(qū)）與/（”）中的最大者；最小值是/（Z）與/（”，）中的最小者.

（2）當(dāng)a<0時(shí)，最大值是/（3）與/（⑼中的最大者；最小值是/（國）與，（■）中的最小者.

一般地，設(shè)了=/（x）是定義在［加，〃］上的函數(shù)，了=/（尤）在（"7,"）內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)V=/（x）在［加，上的最

大值與最小值可分為兩步進(jìn)行：

（1）求V=/（X）在（"7，3內(nèi)的極值（極大值或極小值）；

（2）將v=y（x）的各極值與/（⑼和/（”）比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值.

注：①函數(shù)的極值反映函數(shù)在一點(diǎn)附近情況，是局部函數(shù)值的比較，故極值不一定是最值；函數(shù)的最值是

對(duì)函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上函數(shù)值比較而言的，故函數(shù)的最值可能是極值，也可能是區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值；

②函數(shù)的極值點(diǎn)必是開區(qū)間的點(diǎn)，不能是區(qū)間的端點(diǎn)；

③函數(shù)的最值必在極值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處取得.

2.不等式的恒成立與能成立問題

（1）若函數(shù)“X）在區(qū)間。上存在最小值〃x"n和最大值/（x）1mx,貝（I

不等式/(尤)>a在區(qū)間。上恒成立o/(X)疝n>a；

不等式/(x)2。在區(qū)間。上恒成立o1(力?1n>a；

不等式〃x)<b在區(qū)間。上恒成立o/(x).<b；

不等式/(x)46在區(qū)間。上恒成立o/(尤)1mxW6；

(2)若函數(shù)〃x)在區(qū)間。上不存在最大(小)值，且值域?yàn)?加，?),則

不等式/(x)>“或/'(x)2a)在區(qū)間。上恒成立o機(jī)Na.

不等式〃x)<”或/'(x)W6)在區(qū)間。上恒成立om&b.

(3)若函數(shù)〃x)在區(qū)間〃上存在最小值〃x)1nM和最大值〃x)111ax,即則對(duì)不等式有解問題

有以下結(jié)論：

不等式a</(x)在區(qū)間。上有解oa</(》\&；

不等式a4/(x)在區(qū)間。上有解oaW/aZ”；

不等式a>/(x)在區(qū)間。上有解oa>〃x)1111n；

不等式在區(qū)間D上有解oaN/(x；^；

(4)若函數(shù)/(x)在區(qū)間。上不存在最大(小)值，如值域?yàn)?加，”)，則對(duì)不等式有解問題有以下結(jié)論：

不等式a</(》)(或24/(X))在區(qū)間D上有解

不等式b>f(x)(或b>f(x))在區(qū)間D上有解ob>m

(5)對(duì)于任意的再目。,可，總存在zejm,n],使得/(xjWg(x2)O/(占)厘Wg(x2)1n；

(6)對(duì)于任意的王4出6],總存在％26血,〃],使得/(占)*(工2)0/(占)向112g仁解；

(7)若存在占4氏b\,對(duì)于任意的々e[m,n],使得〃西)四(々)0/(再)1ntoM8(的1nto；

(8)若存在玉e[a,目，對(duì)于任意的zdm,n\,使得/(xj2g^)=〃占)1mx28仁)鵬；

(9)對(duì)于任意的不目生b],x2e[m,可使得/(xj4g(%)=/(xj111ax4gG*；

(10)對(duì)于任意的再目見b],x2e[m,可使得「巨)*(％)=/(西僵Ng(%)1m*；

(11)若存在再e?句，總存在馬?口n\,使得/(%)Vg(%2)o/(xJ1141Vg(%)厘

(12)若存在西武凡國，總存在”2?皿使得/(再)*(尤2)0/(%)1MsNg(xJn1ta

1-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1

\彩儺題秘籍i

I求函數(shù)的最值I

!1.求函數(shù)“X)在閉區(qū)間切上的最值時(shí)，在得到極值的基礎(chǔ)上，結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值/(。)，/⑻與/(X)!

i的各極值進(jìn)行比較得到函數(shù)的最值.

i2.導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}.注|

I意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處i

I理.

題型1：求函數(shù)的最值(不含參)

1-1.(2024?全國)函數(shù)/(%)=|2x-l|-21nx的最小值為.

【答案】1

【分析】由解析式知/(X)定義域?yàn)?0,+與，討論0<xV！、!<x<l,x>l,并結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性,

即可求了(X)最小值.

【詳解】由題設(shè)知：/(》)=|2工-1|-2111》定義域?yàn)?0,+向，

?,?當(dāng)時(shí)，f(x)=l-2x-21nx,此時(shí)/(%)單調(diào)遞減；

17

當(dāng)一時(shí)，f(x)=2x—1—2Inx,有/<x)=2—<0,此時(shí)/(%)單調(diào)遞減；

2x

2

當(dāng)x〉l時(shí)，/(x)=2x-l-21nx,有八%)=2——>0,此時(shí)/(%)單調(diào)遞增；

x

又/(%)在各分段的界點(diǎn)處連續(xù)，

???綜上有：0<x4l時(shí)，/(%)單調(diào)遞減，x〉l時(shí)，/(%)單調(diào)遞增；

故答案為：1.

1-2.(2024高三?全國?專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=e"sinx-2x.

1------

(1)求曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,7(0))處的切線方程；

(2)求在區(qū)間上的最大值；

【答案】(l)〉=-x；

⑵〃x)m「2一歲；

【分析】(1)首先求解切點(diǎn)和此點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，然后表示出切線方程.

(2)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)/'(x)=e*(sinx+cosx)-2,然后通過再求導(dǎo)研究導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，從而分析出導(dǎo)數(shù)/'(x)在

［T1］與。的大小關(guān)系，從而求解出函數(shù)［(x)=eXsinx-2x在［-1,1］的單調(diào)性，最后比較/⑴,〃-1)的大

小，從而求解出函數(shù)的最大值；

【詳解】(1)因?yàn)?'(x)=eXsin尤-2尤，

所以/'(x)=e"(sinx+cosx)—2,

則八0)=7,又/(。)=0,

所以曲線在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程為V=.

(2)令g(x)=/'(x)=eX(sinx+cosx)-2,

則g'(x)=2e“cosx,

當(dāng)時(shí)，g,(x)>0,g(x)在上單調(diào)遞增.

因?yàn)間(0)=-1<0,g(l)=e(sinl+cos1)-2>0,

所以我e(0,1),使得g(x°)=0.

所以當(dāng)xe(T/)時(shí)，/'(無)<0,〃無)單調(diào)遞減；

當(dāng)xe(x0,l)時(shí)，/*)>0,單調(diào)遞增，

所以函數(shù)可能在x=l或x=T處求得最大值，

X/(l)=esinl-2<e-2<l,/(-1)=2-->1,

所以/(力2=/(-1)=2-歲?

1------

1-3.(2024?江蘇)若函數(shù)/(x)=2尤3-辦2+i(ae用在僅,+⑹內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則/⑺在上的最

大值與最小值的和為.

【答案】-3

【分析】方法一：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)“X)在(0,+?0上的單調(diào)性,確定零點(diǎn)位置，求出參數(shù)再根據(jù)函數(shù)“X)

在［一口］上的單調(diào)性確定函數(shù)最值，即可解出.

【詳解】［方法一］:【通性通法】單調(diào)性法

求導(dǎo)得f'(x)=6x2-2ax,

當(dāng)a40時(shí)，函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,+功內(nèi)單調(diào)遞增，且/(x)>,0)=1,所以函數(shù)"X)在(0,+s)內(nèi)無零點(diǎn)；

當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)/(x)在區(qū)間［o,］］內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.

當(dāng)X=0時(shí)，f(0)—1；當(dāng)％f+8時(shí)，/(X)—>+00.

要使函數(shù)/(X)在區(qū)間(0,+8)內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，只需/［三］=0,解