中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：平行線的判定與性質(zhì) 重難點題型專訓(xùn)（原卷版+解析）

專題01平行線的判定與性質(zhì)重難點題型專訓(xùn)

國【題型目錄】

題型一平行公理的應(yīng)用

題型二“三線八角”判定直線平行

題型三平行線判定的綜合

題型四平行線性質(zhì)的綜合

題型五根據(jù)平行線的性質(zhì)求角度

題型六平行線的性質(zhì)在生活中的實際應(yīng)用

題型七平行線的判定與性質(zhì)綜合（折疊問題）

題型八平行線的判定與性質(zhì)綜合（旋轉(zhuǎn)問題）

5【經(jīng)典例題一平行公理的應(yīng)用】

【例1】（2021春?山東泰安.七年級?？计谥校┙o出下列說法：①過兩點有且只有一條直線；②連接兩點的

線段叫作兩點間的距離；③兩點之間，線段最短；④若AB=BC,則點8是線段AC的中點；⑤同一平面內(nèi)

過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；⑥平行于同一直線的兩條直線互相平行.其中正確的個數(shù)是（）

A.2B.3C.4D.5

【變式訓(xùn)練】

【變式1】（2022?全國?七年級專題練習(xí)）下列說法中是真命題正確的個數(shù)有（）個

（1）若?！?,b//d,則?！╠；（2）過一點有且只有一條直線與已知直線平行；（3）兩條直線不相交就平

行；（4）過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【變式2】（2020春?黑龍江牡丹江?七年級?？计谥校┙o出下列說法：

（1）兩條直線被第三條直線所截，同位角相等；

（2）平面內(nèi)的一條直線和兩條平行線中的一條相交，則它與另一條也相交；

（3）相等的兩個角是對頂角；

（4）三條直線兩兩相交，有三個交點；

（5）若a_Lb,b_Lc,則

其中正確的有個

【變式3］（2023春?七年級單元測試）如圖，在6x6的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長是1,點、M、N、

P、。均為格點（格點是指每個小正方形的頂點），線段經(jīng)過點尸.

(1)過點尸畫線段AB,使得線段AB滿足以下兩個條件：@ABLMN-,②AB=MN；

(2)過點。畫MN的平行線CD,CD與AB相交于點E；

(3)若格點F使得△PFM的面積等于4,則這樣的點尸共有個.

41經(jīng)典例題二“三線八角”判定直線平行】

知識點：同位角'內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角

兩條直線被第三條線所截，可得八個角，即“三線八角”，如圖6所示。

(1)同位角：可以發(fā)現(xiàn)N1與N5都處于直線/的同一側(cè)，直線〃的同一方，這樣位置的一對角就是同

位角。圖中的同位角還有N2與N6,N3與N7,N4與N8。

(2)內(nèi)錯角：可以發(fā)現(xiàn)N3與N5都處于直線/的兩旁，直線〃的兩方，這樣位置的一對角就是內(nèi)錯角。

圖中的內(nèi)錯角還有N4與N6。

(3)同旁內(nèi)角：可以發(fā)現(xiàn)N4與N5都處于直線/的同一側(cè)，直線a、〃的兩方，這樣位置的一對角就是同

旁內(nèi)角。圖中的同旁內(nèi)角還有N3與N6。

知識點：平行線判定

判定方法(1)：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行

簡單說成：同位角相等，兩直線平行。

幾何語言：

VZ1=Z2

AB/7CD（同位角相等，兩直線平行）

判定方法（2）：兩條直線被第三條直線所截,如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行.

簡單說成：內(nèi)錯角相等，兩直線平行。

N2=N3

，AB〃CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）

判定方法（3）：兩條直線被第三條直線所截,如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行

簡單說成：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。

,.■Z4+Z2=180°

AB/7CD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）

【例2】（2022秋?八年級課時練習(xí)）如圖，直線a,b,c被直線/所截，下列條件中：①N1=N3,Z4=Z5；

②N2+N3=180。，Z3=Z7；③N1=N2,N5=N6；④N2=N3,Z4=Z5,能確定a〃c的條件的是（）

A.①②③④B.①②③C.①②D.①②④

【變式訓(xùn)練】

【變式1】（2022秋?全國?八年級專題練習(xí)）在鋪設(shè)鐵軌時，兩條直軌必須是互相平行的，如圖，已經(jīng)知道N2

是直角，那么再度量圖中已標(biāo)出的哪個角，不熊判斷兩條直軌是否平行（）

A.Z1B.Z3C.Z4D.Z5

【變式2］（2022秋?八年級課時練習(xí)）將一塊三角板ABC（ZBAC=90°,ZABC=30°）按如圖方式放置，

使A,8兩點分別落在直線楊，”上，對于給出的五個條件：①Nl=25.5。，Z2=55°30,；②Nl+N2=90。；

③/2=2/1；@ZACB=Z1+Z3；?ZABC=Z2-Z1.能判斷直線機(jī)〃w的有（填序號）

【變式3］（2022秋?八年級課時練習(xí)）臺球運動中，如果母球P擊中桌邊點A,經(jīng)桌邊反彈擊中相鄰的另

一條桌邊，再次反彈，那么母球P經(jīng)過的路線3c與以平行嗎？證明你的判斷.

5【經(jīng)典例題三平行線判定的結(jié)合】

【例3】（2022春?河北張家口?七年級統(tǒng)考期中）如圖（1）,在AABC中，N4=42。，3c邊繞點C按逆時針

方向旋轉(zhuǎn)一周回到原來的位置.在旋轉(zhuǎn)的過程中（圖（2））,當(dāng)NAC?=（）時，CB'//AB.

(1)(2)

A.42°B.138°C.42°或138°D.42°或128°

【變式訓(xùn)練】

【變式1］（2021春?山東青島?七年級青島經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)第四中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，

點E在上，連接。E,下列說法正確的是（）.

A.因為=所以AD//5CB.因為=所以AB/ADE

C.因為N3+NDEB=180。，所以TW/ADED.因為=所以

【變式2］（2022秋.全國?八年級專題練習(xí)）如圖，a、b、c三根木棒釘在一起，ZI=70。，/2=100。，現(xiàn)將

木棒a、b同時順時針旋轉(zhuǎn)一周，速度分別為18度/秒和3度/秒，兩根木棒都停止時運動結(jié)束，則

秒后木棒a,6平行.

【變式3］（2022秋?全國?八年級專題練習(xí)）動手操作：如圖①：將一副三角板中的兩個直角頂點疊放在一

起，其中/A=30。，ZB=60°,ZD=ZE=45°.

（1）若/BCO=150。，求乙4CE的度數(shù)；

（2）試猜想N2C。與NACE的數(shù)量關(guān)系，請說明理由；

（3）若按住三角板A8C不動，繞頂點C轉(zhuǎn)動三角板。CE,試探究當(dāng)CD〃AB時，N8CO等于多少度，并簡

要說明理由.

【經(jīng)典例題四平行線性質(zhì)的綜合】

【例4】（2022秋.全國?八年級專題練習(xí)）某市為了方便市民綠色出行，推出了共享單車服務(wù).圖①是某品

牌共享單車放在水平地面的實物圖，圖②是其示意圖，其中CD都與地面/平行，ZBCD=60°，

NA4c=54。.當(dāng)4c為（）度時，AM與CB平行.

A.16B.60C.66D.114

【變式訓(xùn)練】

【變式1］（2022春?廣西河池?七年級統(tǒng)考期末）如圖，AB//ED,點C在AB的上方，連接3C,CD,尸是

即延長線上的一點，連接CF,已知/戶=50。，ZABC=130°,則/BCF的度數(shù)為（）

A.130°B.80°C.70°D.50°

【變式2］（2022春?江西九江?七年級統(tǒng)考期末）為了提醒司機(jī)不要疲勞駕駛，高速公路上安裝了如圖1所

示的激光燈，圖2是激光位于初始位置時的平面示意圖，其中P,。是直線上的兩個發(fā)射點，

ZAPQ=ZBQP=60°,現(xiàn)激光上4繞點P以每秒3度的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，同時激光繞點。以每秒2度的

速度順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為1秒（0</<40）,當(dāng)PA〃沙時，r的值為.

【變式3］（2022秋?吉林長春?七年級?？计谀咎岢鰡栴}】若兩個角的兩邊分別平行，則這兩個角有怎

樣的數(shù)量關(guān)系？

【解決問題】分兩種情況進(jìn)行探究，請結(jié)合下圖探究這兩個角的數(shù)量關(guān)系.

（1）如圖1,AB//EF,BC//DE,試證：Z1=Z2；

（2）如圖2,AB//EF,BC//DE,試證：Zl+Z2=180°；

【得出結(jié)論】由（1）（2）我們可以得到結(jié)論：若兩個角的兩邊分別平行，則這兩個角的數(shù)量關(guān)系為

【拓展應(yīng)用】

（3）若兩個角的兩邊分別平行，其中一個角比另一個角的2倍少60。，求這兩個角的度數(shù).

（4）同一平面內(nèi)，若兩個角的兩邊分別垂直，則這兩個角的數(shù)量關(guān)系為.

AA

FF

XIX3ZiX3

5八“——CM記—C

X2________r_______2z/

EDDE

圖1圖2

【經(jīng)典例題五根據(jù)平行線的性質(zhì)求角度】

【例5】（2023春?七年級單元測試）如圖，直線E尸分別與直線AB、CD相交于點G、H,已知/1=/2=50。,

GM平分/"GB交直線CD于點則/GMD的度數(shù)為（）

A.115°B.120°C.125°D.130°

【變式訓(xùn)練】

【變式1】（2022春?河北唐山?七年級統(tǒng)考期中）如圖，已知A8〃C￡>,于點E,

ZAEH=ZFGH=20°,NH=50°,則NEFG的度數(shù)是（）

A.120°B.130°C.140°D.150°

【變式2］（2022春?安徽安慶?七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，AB〃CD,點二廠分別是A5,CZ）上的點,

點M位于A8與CD之間且在所的右側(cè).

AEB

(1)若/M=90。，則NA￡M+NCfM=°；

(2)若/M=〃。，N3EM與m加f的角平分線交于點N,則/N的度數(shù)為.(用含w的式子表示)

【變式3](2022秋?吉林長春?七年級?？计谀?已知A3〃CD,點E在AB上，點尸在。C上，點G為射

線E尸上一點.

(1)【基礎(chǔ)問題】如圖1,試說明：NAGO=NA+/D.(完成圖中的填空部分)證明：過點G作直線

又：AB//CD,

@//CD

'：MN//AB,

Z(2)=ZMGA.

'：MN//CD,

AZD=③(④)

ZAGD=ZAGM+ZDGM=ZA+ZD.

圖1圖2圖3

⑵【類比探究】如圖2,當(dāng)點G在線段石廠延長線上時，請寫出NAGD、NA、三者之間的數(shù)量關(guān)系，并

說明理由.

(3)【應(yīng)用拓展】如圖3,AH平分NGAE,DH交AH于點H,且/GDH=2NHDF,ZHDF=22°,NX=32。，

直接寫出ZDGA的度數(shù)為°.

【經(jīng)典例題六平行線的性質(zhì)在生活中的實際應(yīng)用】

【例6】（2021春?全國?七年級期末）如圖。是長方形紙帶，ZDEF=26°,將紙帶沿所折疊成圖b,再沿BF

折疊成圖c,則圖c中的NCFE的度數(shù)是（）

D.128°

【變式訓(xùn)練】

【變式1］（2022春.江蘇連云港?七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，修建一條公路，從王村沿北偏東75。方向到李

村，從李村沿北偏西25。方向到張村，從張村到杜村的公路平行從王村到李村的公路，則張杜兩村公路與李

張兩村公路方向夾角的度數(shù)為（）.

A.100°B.80°C.75°D.50°

【變式2］（2022春?云南昆明?七年級統(tǒng)考期末）《七彩云南》少數(shù)民族傳統(tǒng)藝術(shù)表演，是七彩云南歡樂世

界的王牌演藝節(jié)目，它薈萃云南人文之美，深受觀眾喜愛.在展演中，舞臺上的燈光由燈帶上位于點A和

點C的兩盞激光燈控制.如圖，光線A3與燈帶AC的夾角NA=40。，當(dāng)光線C?與燈帶AC的夾角

ZACB'=時，CB'//AB.

B

B

【變式3］（2022秋.全國.八年級專題練習(xí)）光線照射到鏡面會產(chǎn)生反射現(xiàn)象，由光學(xué)知識，入射光線與鏡

面的夾角與反射光線與鏡面的夾角相等，例如：在圖1中，有N1=N2.

圖3圖4

⑴如圖2,已知鏡子與鏡子ON的夾角NMON=90。，請判斷入射光線AB與反射光線CD的位置關(guān)系,

并說明理由;

（2）如圖3,有一口井，已知入射光線49與水平線OC的夾角為50。，當(dāng)平面鏡跖V與水平線OC的夾角

為。，能使反射光線OB正好垂直照射到井底；

（3）如圖4,直線￡尸上有兩點A、C,分別引兩條射線A3、CD.ZBAF=120°,ZDCF=40°,射線A3、CD

分別繞A點、C點以3度/秒和1度/秒的速度同時逆時針轉(zhuǎn)動，設(shè)時間為/秒，在射線A8轉(zhuǎn)動一周的時間內(nèi)，

是否存在某時刻，使得與平行？若存在，求出所有滿足條件的時間人

【經(jīng)典例題七平行線的判定與性質(zhì)綜合（折疊問題）】

【例7】（2022春.浙江杭州?七年級?？计谥校┮粭l兩邊沿互相平行的圍巾按圖所示折疊，已知

ZDAB-ZABC=8°,J.DF//CG,貝!()度.

A.130B.131C.132D.133

【變式訓(xùn)練】

【變式1］（2022春?黑龍江牡丹江?七年級?？计谀┮粡堥L方形紙條按如圖所示折疊，EF是折痕，若

ZEFB=35°,則：①/GEF=35°；②/EGB=70°；③NAEG=110。；?ZCFC'=70°.以上結(jié)論正確的有（）

【變式2］（2022春?福建福州?七年級?？计谥校┤鐖D（1）紙片A8CD（AD//BC）,將C。按如圖（2）所

示沿著QE折疊至。C,與線段BC交于凡ZBFD=m,點E在線段BC上，若將按如圖（3）所示

沿著。。折疊至且4在線段DC的延長線上，點。在線段BC上，則.（用含機(jī)的

式子表示）

（圖1）（圖2）

【變式3］（2022秋.貴州銅仁?九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，將一張上、下兩邊平行（即AB〃CD）的紙帶

沿直線折疊，跖為折痕.

（1）試說明/1=/2；

（2）已知/2=54。，求的度數(shù).

【經(jīng)典例題八平行線的判定與性質(zhì)綜合（旋轉(zhuǎn)問題）】

【例81（2022秋.八年級課時練習(xí)）如圖，△0"為等腰直角三角形（NA=/B=45。，ZAOB=90°）,AOCD

為等邊三角形（/C=/O=/COZ）=60。），滿足OC>OA,△OCO繞點。從射線OC與射線OA重合的位

置開始，逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的角度為a（0。<（1<360。），下列說法正確的是（

A.當(dāng)a=15。時，DC//AB

B.當(dāng)OC_LAB時，a=45。

C.當(dāng)邊與邊OD在同一直線上時，直線QC與直線AB相交形成的銳角為15。

D.整個旋轉(zhuǎn)過程，共有10個位置使得△。48與4OCO有一條邊平行

【變式訓(xùn)練】

【變式1］（2022春.江蘇宿遷?七年級?？茧A段練習(xí)）為了亮化某景點，石家莊市在兩條筆直且互相平行的

景觀道MN、QP上分別放置A、B兩盞激光燈，如圖所示.A燈發(fā)出的光束自AM逆時針旋轉(zhuǎn)至AN便立即

回轉(zhuǎn)，8燈發(fā)出的光束自逆時針旋轉(zhuǎn)至8。便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不間斷照射，A燈每秒轉(zhuǎn)動30。，8燈每秒

轉(zhuǎn)動10。，8燈先轉(zhuǎn)動2秒，A燈才開始轉(zhuǎn)動，當(dāng)B燈光束第一次到達(dá)8。之前，兩燈的光束互相平行時A

燈旋轉(zhuǎn)的時間是（）

A.1或6秒B.8.5秒C.1或8.5秒D.2或6秒

【變式2］（2022春.江西南昌?七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，直線EF上有兩點4C,分別引兩條射線A8、

CD.NDCF=60°,/瓦18=70。，射線A3、8分別繞A點，C點以1度/秒和3度/秒的速度同時順時針轉(zhuǎn)動,

在射線CD轉(zhuǎn)動一周的時間內(nèi)，使得CD與AB平行所有滿足條件的時間t=.

【變式3］（2022春?北京?七年級?？计谥校耙粠б宦贰弊屩袊褪澜缏?lián)系更緊密，“中歐鐵路”為了安全起

見在某段鐵路兩旁安置了兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈.如圖所示，燈A射線從AM開始順時針旋轉(zhuǎn)至AV便立即回轉(zhuǎn),

燈B射線從3P開始順時針旋轉(zhuǎn)至8。便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視若燈A轉(zhuǎn)動的速度是每秒2。，燈8

轉(zhuǎn)動的速度是每秒1。.假定主道路是平行的，即〃初N,且/BW:/&W=2:1.

（2）若燈8射線先轉(zhuǎn)動30秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動，在燈8射線到達(dá)之前，A燈轉(zhuǎn)動幾秒，兩燈的光束互

相平行？

（3）若兩燈同時開始轉(zhuǎn)動，兩燈射出的光束交于點C,且NACB=120。，則在燈8射線到達(dá)BQ之前，轉(zhuǎn)動的

時間為秒.

【培優(yōu)檢測】

1.（2022春.內(nèi)蒙古包頭.七年級統(tǒng)考期中）在下列說法中，正確的有（）個.

①過一點有且只有一條直線與已知直線平行；②已知/a、"的兩邊分別平行，那么Nc=N￡；

③垂直于同一條直線的兩條直線平行；④從直線外一點到這條直線的垂線段，叫做這點到直線的距

離.

A.3B.2C.1D.0

2.（2021春.福建寧德?七年級統(tǒng)考期末）如圖，由兩個完全相同的三角板拼成一個四邊形，則下列條件能直

接判斷AW/3C的是（）

A.ZADB=ZCBDB.ZABD=NCDB

C.ZBAD=ZDCBD.ZBAD+ZCZM=180°

3.（2022春?貴州安順?七年級統(tǒng)考期末）如圖，某沿湖公路有三次拐彎，若第一次的拐角NA=110。，第二次

的拐角48=140。，第三次的拐角為/C,第三次拐彎后的道路恰好和第一次拐彎之前的道路平行，則NC的

度數(shù)是（）

A.130°B.140°C.145°D.150°

4.（2022春.廣東江門?七年級江門市福泉奧林匹克學(xué)校?？茧A段練習(xí)）①如圖1,AB//CD,則NA+NE

+ZC=180°；②如圖2,AB//CD,則NE=NA+NC;③如圖3,AB//CD,則NA+NE—/1=180。；④如

圖4,AB//CD,則/A=NC+NP.以上結(jié)論正確的個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

5.（2022秋?浙江.八年級開學(xué)考試）如圖，在科學(xué)《光的反射》活動課中，小麥同學(xué)將支架平面鏡放置在水

平桌面上，鏡面A8的調(diào)節(jié)角（NABM）的調(diào)節(jié)范圍為12。~69。，激光筆發(fā)出的光束。G射到平面鏡上，

若激光筆與水平天花板（直線匹）的夾角NEPG=30。，則反射光束GW與天花板所形成的角（/PHG）不可

熊取到的度數(shù)為（）

A.129°B.72°C.51°D.18°

6.（2022春?江蘇?七年級專題練習(xí)）如圖，AB〃CD,點、E,尸在直線上（尸在E的右側(cè)），點G在直線

CD上，EFLFG,垂足為EM為線段EF上的一動點，連接GP,GM,/尸GP與/APG的角平分線交與

點。，且點。在直線ASCD之間的區(qū)域，下列結(jié)論：①/AEF+/CGF=90。；②/AE/+2/PQG=270。；

③若NMGF=2NCGF,則3ZAEF+ZMGC=210°；@若/MGF=n/CGF,貝!J/AEP+—!—ZMGC=90°.正

H+1

確的個數(shù)是（）

A.4B.3C.2D.1

7.（2021秋?八年級單元測試）如圖，添加一個你認(rèn)為合適的條件使AD//BC.

8.（2022春?山東濰坊?七年級統(tǒng)考期中）在同一平面內(nèi)有2022條直線q,%技?2022,如果%,出，出〃/，

%，。4，?4//生……那么為與?2022的位置關(guān)系是

9.（2022春?河北邯鄲?七年級校考期中）如圖，PQ//MN,HMN,垂足為A,/交尸。于點8,點C在射

線A"上.

（1）若BC平分ZPBA,則.

（2）若ZACB<60。，在直線P。上取一點。，連接8,過點。作DELCD,交直線/于點E,若/8DE=30。,

則ZACD=.

10.（2022秋?八年級課時練習(xí)）如圖，AB//CD,/DCE的角平分線CG的反向延長線和4BE的角平分

線班■交于點尸，ZE-ZF=33°,則/E的度數(shù)為。.

11.（2022春.浙江寧波?七年級統(tǒng)考期末）兩塊不同的三角板按如圖1所示擺放，AC邊重合，ABAC=45°,

ZZMC=30°.接著如圖2保持三角板ABC不動，將三角板AC。繞著點C按順時針以每秒15。的速度旋轉(zhuǎn)90。

后停止.在此旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)時間/=秒時，三角板A'CD有一條邊與三角板ABC的一

條邊恰好平行.

12.（2023春?七年級單元測試）如圖，直線AB〃CD,點E、/分別為直線和。上的點，點尸為兩條

平行線間的一點，連接PE和尸尸，過點P作NEP尸的平分線交直線C￡>于點G,過點/作切JLPG,垂足

為H,若ZDGP—NPFH=120°,則NAEP=°.

13.（2022春?浙江紹興.七年級校聯(lián)考期末）如圖，已知直線AB〃CD,點M,N分別在直線A3,CO上,

點、E為AB,CO之間一點，且點E在MN的右側(cè)，ZMEN=128°.若/RWE與NONE的平分線相交于點招,

NBMEI與NDNE］的平分線相交于點E2,ZBME2與ZDNE2的平分線相交于點E3……以此類推，若

NME,,N=8。,則"的值是.

14.（2022春?福建龍巖?七年級龍巖初級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）將一副三角板如圖1所示擺放，直線

現(xiàn)將三角板ABC繞點A以每秒1。的速度順時針旋轉(zhuǎn)，同時三角板DEF繞煎D以每秒2。的速度順時針旋轉(zhuǎn),

如圖2,設(shè)時間為f秒，當(dāng)0WfW150時，若邊BC與三角板的一條直角邊（邊DE,DF）平行，則所有滿足

條件的r的值為

圖1

三、解答題

15.（2021春.遼寧沈陽.七年級?？计谥校┯袃蓚€/A03與/EDC,/EDC保持不動，且ZEDC的一邊

CD//AO,另一邊DE與直線02相交于點￡若NAO8=40。，ZEDC=55°,解答下列問題：

（1）如圖，當(dāng)點￡、0、。在同一條直線上，即點。與點尸重合，求/BOE的度數(shù).

（2）當(dāng)點E、0、。不在同一條直線上，直接寫出的E的度數(shù).

16.(2022春?廣東江門?七年級校聯(lián)考期中)如圖，直線AB〃CD,直線腦V與AB,8分別交于點M,N,

分別是乙麗與NOVM的平分線，NE交AB于點F,過點N作NGJ_硒交AB于點G.

(1)若ZAMN=10°,貝I]ZMNG=；

(2)求證：EM//NG；

(3)連接EG,在GN上取一點H,使NHEG=NHGE,作/FEH的平分線砂交A3于點P,求ZPEG的度

數(shù).

17.(2022秋?八年級單元測試)如圖1,已知直線MN||PQ,點A為直線MN上一點，點8為直線PQ上一

點，且一何=80。，點C是直線PQ上一動點，且點C在點B右側(cè)，過點C作CDIIA3交直線MN于點D,

(備用圖)

(1)若AC平分NB4D,請直接寫出—ACD的度數(shù);

(2)作/G場=，C4D,交直線尸。于點￡,4戶平分(說明：解答過程用數(shù)字表示角)

①如圖2,若點E,尸都在點2的右側(cè)，求—C4尸的度數(shù).

②在點C的運動過程中，是否存在這樣的情形，使/A7中=3/E4F成立？若存在，求出/ACD的度數(shù):

若不存在，請說明理由.

18.（2022秋.全國.八年級專題練習(xí)）綜合與探究，問題情境：綜合實踐課上，王老師組織同學(xué)們開展了探

究三角之間數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)活動.

圖2備用圖

（1）如圖1,EF〃MN,點A,B分別為直線所，上的一點，點尸為平行線間一點且/叢尸=130。，

ZPBN=120°,求度數(shù)；

問題遷移

（2）如圖2,射線OA/與射線ON交于點O,直線〃2〃“，直線機(jī)分別交OM,ON于點A,D,直線w分別交

OM,ON于點、B,C,點尸在射線上運動.

①當(dāng)點P在A,8（不與A,B重合）兩點之間運動時，設(shè)=NBCP=2/3.則NCPDNe,Z/7

之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由；

②若點P不在線段AB上運動時（點尸與點A,B,。三點都不重合），請你直接寫出NCPR乙a,N尸間的

數(shù)量關(guān)系.

19.（2022秋?吉林長春?七年級長春市第二實驗中學(xué)?？计谀┬∶魍瑢W(xué)遇到這樣一個問題:

如圖①，已知：AB//CD,E為AB、CD之間一點,連接BE,ED,得到/BED.

求證：ZBED=ZB+ZD.

小亮幫助小明給出了該問的證明.

證明：過點E作則有=

?/ABHCD

：.EF\\CD

：.ZFED=ZD

ZBED=ZBEF+/FED=ZB+ZD

請你參考小亮的思考問題的方法，解決問題:

⑴直線直線政和直線乙、4分別交于C、。兩點，點AB分別在直線乙、4上，猜想：如圖②，若

點尸在線段。上，/上4c=15。，NPBD=60°,求/APB的度數(shù).

（2）拓展：如圖③，若點尸在直線斯上，連接出、PB（BD<AC）,直接寫出NPAC、ZAPB、NPBD之間的

數(shù)量關(guān)系.

20.(2023春?全國?七年級專題練習(xí))如圖1,已知/EFH=90°,點A,C分別在射線FE1和上，在NEFH

內(nèi)部作射線AB,CD,使AB平行于。.

EE

圖3圖4

(1)如圖1,若以8=150。，求N"CD的度數(shù);

(2)小穎發(fā)現(xiàn)，在NEFH內(nèi)部，無論E4B如何變化，NE4B-NHCD的值始終為定值，請你結(jié)合圖2求出這

一定值；

(3)①如圖3,把圖1中的/￡m=90。改為團(tuán)0=120。，其他條件不變，請直接寫出NE4B與/"CD之間的

數(shù)量關(guān)系；

②如圖4,已知乙療6+//^=戊，點八，C分別在射線FE,GH上,在/EFG與NFGH內(nèi)部作射線AB,

CD,使A3平行于C￡>,請直接寫出44B與"CD之間的數(shù)量關(guān)系.

專題01平行線的判定與性質(zhì)重難點題型專訓(xùn)

旨【題型目錄】

題型一平行公理的應(yīng)用

題型二“三線八角”判定直線平行

題型三平行線判定的綜合

題型四平行線性質(zhì)的綜合

題型五根據(jù)平行線的性質(zhì)求角度

題型六平行線的性質(zhì)在生活中的實際應(yīng)用

題型七平行線的判定與性質(zhì)綜合（折疊問題）

題型八平行線的判定與性質(zhì)綜合（旋轉(zhuǎn)問題）

幺【經(jīng)典例題一平行公理的應(yīng)用】

【例1】（2021春?山東泰安?七年級?？计谥校┙o出下列說法：①過兩點有且只有一條直線；

②連接兩點的線段叫作兩點間的距離；③兩點之間，線段最短；④若AB=BC,則點B是

線段AC的中點；⑤同一平面內(nèi)過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；⑥平行于同一直

線的兩條直線互相平行.其中正確的個數(shù)是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】根據(jù)直線公理、平行線公理以及垂線公理得①過兩點有且只有一條直線；③兩點之

間，線段最短；⑤同一平面內(nèi)過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；⑥平行于同一直線

的兩條直線互相平行正確；②連接兩點的線段叫做兩點間的距離；④若四=3C,則點B是

線段AC的中點錯誤.

【詳解】解：,??①過兩點有且只有一條直線；③兩點之間，線段最短；⑤在同一平面內(nèi)過一

點有且只有一條直線與已知直線垂直.⑥平行于同一直線的兩條直線互相平行.

??.①③⑤⑥正確；

???②連接兩點的線段的長度叫做兩點間的距離；

④若=且三點共線，則點B是線段AC的中點；

②④錯誤.

故選：C.

【點睛】本題考查了平行公理、直線的性質(zhì)、兩點間的距離以及垂線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是

基礎(chǔ)知識要熟練掌握.

【變式訓(xùn)練】

【變式1】（2022?全國?七年級專題練習(xí)）下列說法中是真命題正確的個數(shù)有（）個

（1）若a〃b,b//d,則?！╠；（2）過一點有且只有一條直線與已知直線平行；（3）兩條

直線不相交就平行；（4）過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】A

【分析】根據(jù)平行線的定義與判定、垂線的性質(zhì)、平行公理對各小題分析判斷后即可得解.

【詳解】（1）若。〃b,bHd,則?！╠,故原說法正確；

（2）過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，故原說法錯誤；

（3）在同一平面內(nèi)，兩條直線不相交就平行，故原說法錯誤；

（4）同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，故原說法錯誤.

故選：A.

【點睛】此題主要考查了平行公理，平行線的性質(zhì)定義，垂線的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟練掌握課本

內(nèi)容.

【變式2］（2020春?黑龍江牡丹江?七年級?？计谥校┙o出下列說法：

（1）兩條直線被第三條直線所截，同位角相等；

（2）平面內(nèi)的一條直線和兩條平行線中的一條相交，則它與另一條也相交；

（3）相等的兩個角是對頂角；

（4）三條直線兩兩相交，有三個交點；

（5）若4_L6,b_Lc,貝！Ia_Lc.

其中正確的有個

【答案】1

【分析】根據(jù)各小題的描述情況，判斷各小題的正誤，即可得到答案.

【詳解】解：（1）.??兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等，故（1）不正確；

（2）?.?平面內(nèi)的一條直線和兩條平行線中的一條相交，則它與另一條也相交，故（2）正確;

（3）:?對頂角相等，但相等的角不一定是對頂角，故（3）不正確；

（4）???三條直線兩兩相交，也可能是交于同一個點，故（4）不正確；

（5）,若alb,b±c,則a〃c,故（5）不正確,

正確的只有（2）一個選項，

故答案為：1.

【點睛】本題主要考察了平面內(nèi)直線的位置關(guān)系，平行公理的應(yīng)用、直線相交交點個數(shù)問題,

解題的關(guān)鍵在于畫出題意所示的直線位置圖，以此判斷說法的正誤.

【變式3］（2023春?七年級單元測試）如圖，在6x6的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊

長是1,點M、N、P、。均為格點（格點是指每個小正方形的頂點），線段經(jīng)過點P.

(1)過點尸畫線段AB,使得線段AB滿足以下兩個條件：?AB±MN；②AB=MN；

(2)過點。畫的平行線CD,CD與AB相交于點E；

(3)若格點尸使得△尸尸M的面積等于4,則這樣的點F共有個.

【答案】(1)見解析

⑵見解析

(3)6

【分析】(1)根據(jù)網(wǎng)格作圖即可;

(2)根據(jù)網(wǎng)格作圖即可；

(3)根據(jù)網(wǎng)格作圖即可.

【詳解】(1)解：作圖如下：

(2)解：作圖見(1)

(3)如圖：

故符合題意的點尸有6個.

故答案為：6

【點睛】本題考查了直線、射線、線段及平行公理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出圖形.

人【經(jīng)典例題二“三線八角”判定直線平行】

知識點：同位角'內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角

兩條直線被第三條線所截，可得八個角，即“三線八角”，如圖6所示。

（1）同位角：可以發(fā)現(xiàn)N1與N5都處于直線’的同一側(cè)，直線0、〃的同一方，這樣位置

的一對角就是同位角。圖中的同位角還有N2與N6,N3與N7,N4與N8。

（2）內(nèi)錯角：可以發(fā)現(xiàn)N3與N5都處于直線/的兩旁，直線。、〃的兩方，這樣位置的一

對角就是內(nèi)錯角。圖中的內(nèi)錯角還有N4與N6。

（3）同旁內(nèi)角：可以發(fā)現(xiàn)N4與N5都處于直線/的同一側(cè)，直線4、〃的兩方，這樣位置

的一對角就是同旁內(nèi)角。圖中的同旁內(nèi)角還有N3與N6。

知識點：平行線判定

判定至法（1）：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行

簡單說成：同位角相等，兩直線平行。

幾何語言：

：N1=N2

AB〃CD（同位角相等，兩直線平行）

判定方法（2）：兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行.

簡單說成：內(nèi)錯角相等，兩直線平行。

N2=N3

,AB〃CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）

判定方法（3）：兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)

角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行

簡單說成：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。

,.-Z4+Z2=180°

AB〃CD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）

【例2】（2022秋?八年級課時練習(xí)）如圖，直線a,b,

c被直線/所截，下歹!J條件中：@Z1=Z3,N4=N5；?Z2+Z3=180°,N3=/7；@Z1=Z2,

Z5=Z6；④N2=N3,Z4=Z5,能確定a〃c的條件的是（）

A.①②③④B.①②③C.①②D.①②④

【答案】B

【分析】根據(jù)平行線的判定定理逐項分析判斷即可.

【詳解】解：①=

??a//b,

VZ4=Z5,

C.b//c,

??a//c,符合題意；

@VZ2+Z3=180°,

??ci//b,

VZ3=Z4,N3=N7,

AZ4=Z7,

.9.b//c,

??a//c,符合題意；

@VZ1=Z2,Zl+Z2=180°,

AZl=Z2=90°,

??ci_LIf

VZ5=Z6,N5+N6=180。，

AZ5=Z6=90°,

：.c±l,

.'.a//c,符合題意；

④由N4=N5可得Z?〃c,但是由N2=N3,無法推出?！ㄘ?/p>

故無法得出“〃c,不符合題意，

故選：B.

【點睛】本題考查的是平行線的判定，用到的知識點為：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯角

相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩條直

線互相平行.

【變式訓(xùn)練】

【變式1］（2022秋.全國.八年級專題練習(xí)）在鋪設(shè)鐵軌時，兩條直軌必須是互相平行的，如

圖，已經(jīng)知道N2是直角，那么再度量圖中已標(biāo)出的哪個角，不熊判斷兩條直軌是否平行（）

A.Z1B.Z3C.Z4D.Z5

【答案】A

【分析】因為是直角，只要找出與互為同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的其他角，根

據(jù)平行線的判定定理判定即可得到正確答案.

【詳解】因為是直角，N4和N2是同位角，如果度量出N4=90°,

根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”，就可以判斷兩條直軌平行，

N5■和是內(nèi)錯角，如果度量出N5=90°,

根據(jù)“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”，就可以判斷兩條直軌平行，

和是同旁內(nèi)角，如果度量出N3=90°,

根據(jù)“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”，就可以判斷兩條直軌平行，

所以答案為：A.

【點睛】本題考查兩直線平行的判定定理，解決本題的關(guān)鍵是熟練的掌握平行線的判定定理.

【變式2】（2022秋?八年級課時練習(xí)）將一塊三角板ABC（ZBAC=90°,ZABC=30°）按

如圖方式放置，使A,B兩點分別落在直線機(jī)，?±,對于給出的五個條件：①/1=25.5。，

Z2=55°30,；②Nl+N2=90°；③N2=2N1；@ZACB=Z1+Z3；⑤NABC=N2-N1.能判

斷直線相〃”的有_.（填序號）

【答案】①④⑤

【分析】根據(jù)平行線的判定方法和題目中各個小題中的條件，逐一判斷是否可以得到m//n,

從而可以解答本題.

【詳解】解：VZ1=25.5°,Z2=55°30,,ZABC-300,

ZABC+Z1=55.5°=55°30'=/2,

'.m//n,故①符合題意；

；N1+N2=90。，ZABC=30°,

N1+NA8C不一定等于22,

.../力和”不一定平行，故②不符合題意；

2=2/1,ZABC=30°,

???N1+NABC不一定等于N2,

丁?根和九不一定平行，故③不符合題意;

過點。作CE〃如

.'.Z3=Z4,

VZACB=Z1+Z3,ZACB=Z4+Z5,

AZ1=Z5,

：.EC//n,

.\m//n,故④符合題意；

???ZABC=Z2-Z1,

AZ2=ZABC+Z1,

*.m//n,故⑤符合題意；

故答案為：①④⑤.

【點睛】本題考查平行線的判定，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

【變式3］（2022秋?八年級課時練習(xí)）臺球運動中，如果母球尸擊中桌邊點A,經(jīng)桌邊反

彈擊中相鄰的另一條桌邊，再次反彈，那么母球尸經(jīng)過的路線5C與出平行嗎？證明你的

【答案】BC//PA,理由見解析

【分析】通過計算同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可證明結(jié)論.

【詳解】解：BC//PA,理由如下：

ZPAD=ZBAE,ZPAB=180°-ZPAD-ZBAE,

???ZPAB=180?！?ZBAE.

同理：ZABC=180°-2ZABE.

?:/BAE+ZABE=9伊,

NPAB+ZABC=360°—2(/BAE+ZABE)=180°.

BC//PA.

【點睛】本題主要考查了平行線的判定定理，將實際問題轉(zhuǎn)化成幾何問題是解答本題的關(guān)鍵.

4【經(jīng)典例題三平行線判定的結(jié)合】

【例3】(2022春?河北張家口?七年級統(tǒng)考期中)如圖(1),在AABC中，NA=42。，BC邊

繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周回到原來的位置.在旋轉(zhuǎn)的過程中(圖(2)),當(dāng)NAW()

時，CB'HAB.

(1)(2)

A.42°B.138°C.42°或138°D.42°或128°

【答案】C

【分析】結(jié)合旋轉(zhuǎn)的過程可知，因為C?位置的改變，/AC?與NA可能構(gòu)成內(nèi)錯角，也

有可能構(gòu)成同旁內(nèi)角，所以需分兩種情況加以計算即可.

【詳解】解：如圖(2)①，

圖⑵①

當(dāng)NAC*=42。時,

ZA=42°,

：.ZACB'^ZA.

：.CB'//AB.

如圖(2)②，

當(dāng)NACB'=138°時，

?；ZA=42°,

ZACB,+ZA=138°+42°=180°.

：.CB'//AB.

綜上可得，當(dāng)NACB'=42°或ZACB'=138°時，CBV/AB.

故選：C

【點睛】本題考查了平行線的判定、分類討論的數(shù)學(xué)思想等知識點，根據(jù)CB在旋轉(zhuǎn)過程中

的不同位置，進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

【變式1］（2021春?山東青島?七年級青島經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)第四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在

四邊形A5CD中，點E在2C上，連接。E,下列說法正確的是（）.

A.因為NA=N3,所以AD//BC

B.因為=所以

C.因為N3+NDE3=180。，所以AB//0E

D.因為ZB=NDEC,所以

【答案】C

【分析】根據(jù)同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線

平行.觀察各個選項中角的數(shù)量關(guān)系（相等或互補(bǔ)）、位置關(guān)系是否符合上述三個定理，即可

判斷所給選項是否正確.

【詳解】A.因為NA和N3是同旁內(nèi)角，所以根據(jù)=不能得到AD/ABC,故A選項

錯誤；

B.因為和/EDC不是同位角也不是內(nèi)錯角，所以根據(jù)4=/EDC不能得到

故B選項錯誤；

C.因為和/DEB是同旁內(nèi)角，所以根據(jù)4+/。￡3=180。可以得到45//?！?故本選

項正確；

D.和/DEC雖然是同位角，但根據(jù)NB=/DEC只可以得出AB//DE,故本選項錯誤.

故本題選C.

【點睛】本題考查平行線的判定定理，在這里①判斷兩條直線是否平行，是根據(jù)角的數(shù)量關(guān)

系（相等或互補(bǔ)）和位置關(guān)系去判定的，只有同時滿足兩種關(guān)系，才可根據(jù)定理判斷平行；

②完整的定理前面有一句兩直線被第三條直線所截，找準(zhǔn)截線和被截線很關(guān)鍵（例如D選

項—3和NDEC是同位角，它們的被截線是AB和DE）.

【變式2］（2022秋?全國.八年級專題練習(xí)）如圖，a、b、c三根木棒釘在一起，

Z1=70°,Z2=100°,現(xiàn)將木棒a、b同時順時針旋轉(zhuǎn)一周，速度分別為18度/秒和3度/秒，

兩根木棒都停止時運動結(jié)束，則秒