廣東省河源市紫金縣2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)試題

2024-2025學(xué)年廣東省河源市紫金縣九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（3分）菱形具有而矩形不具有的性質(zhì)是（）A．四邊相等 B．對(duì)角線相等 C．對(duì)角相等 D．鄰角互補(bǔ)2．（3分）下列方程中，屬于一元二次方程的是（）A．x﹣2y＝1 B． C．x2﹣2y+4＝0 D．x2﹣2x+1＝03．（3分）如圖，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，2），菱形ABCD的對(duì)角線交于坐標(biāo)原點(diǎn)O（）A．（﹣3，﹣2） B．（3，﹣2） C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣2）4．（3分）如圖，在由大小相同的小正方形組成的網(wǎng)格中有一條“心形線”．?dāng)?shù)學(xué)小組為了探究隨機(jī)投放一個(gè)點(diǎn)恰好落在“心形線”內(nèi)部的概率，進(jìn)行了計(jì)算機(jī)模擬試驗(yàn)試驗(yàn)總次數(shù)100200300500150020003000落在“心形線”內(nèi)部的次數(shù)61931652467599961503落在“心形線”內(nèi)部的頻率0.6100.4650.5500.4920.5060.4980.501根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，估計(jì)隨機(jī)投放一點(diǎn)落在“心形線”內(nèi)部的概率為（）A．0.46 B．0.50 C．0.55 D．0.615．（3分）若x＝m是方程x2+x﹣4＝0的根，則m2+m+2025的值為（）A．2021 B．2025 C．2029 D．20306．（3分）通常情況下無(wú)色酚酞試液遇酸性溶液（或中性溶液）不變色，遇堿性溶液變?yōu)榧t色．實(shí)驗(yàn)室現(xiàn)有四瓶因標(biāo)簽污損無(wú)法分辨的無(wú)色溶液，已知這四種溶液分別是a．鹽酸（呈酸性），b．白醋（呈酸性）（呈堿性），d．氫氧化鈣溶液（呈堿性）中的一種．學(xué)生小剛同時(shí)任選兩瓶溶液用無(wú)色酚酞試液進(jìn)行檢測(cè)（）A． B． C． D．7．（3分）已知，則代數(shù)式的值為（）A． B． C． D．8．（3分）“村BA”賽區(qū)預(yù)選賽規(guī)定每?jī)蓚€(gè)球隊(duì)之間都要進(jìn)行一場(chǎng)比賽，共要比賽15場(chǎng)．設(shè)參加比賽的球隊(duì)有x支，根據(jù)題意下面列出的方程正確的是（）A． B． C．x（x﹣1）＝15 D．x（x+1）＝159．（3分）將n個(gè)邊長(zhǎng)都為1cm的正方形按如圖所示的方法擺放，點(diǎn)A1，A2，…，An分別是正方形對(duì)角線的交點(diǎn)，則n個(gè)正方形重疊形成的重疊部分的面積和為（）A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．（）ncm210．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣4x+1＝0有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＜2 B．a(chǎn)＜5且a≠2 C．a(chǎn)＜6且a≠2 D．a(chǎn)＜6二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分。11．（3分）已知a，b，c，d是成比例線段，且a＝1，c＝3，那么d＝．12．（3分）若菱形的兩條對(duì)角線分別為10cm，12cm，則它的面積是cm2．13．（3分）如圖是某路口的部分通行路線示意圖，一輛車從入口A駛?cè)?，行至每個(gè)岔路口選擇前方兩條線路的可能性相同．14．（3分）如圖所示，有兩個(gè)互相垂直的滑槽（滑槽寬度忽略不計(jì)），一根沒(méi)有彈性的木棒的兩端A，將筆插入位于木棒中點(diǎn)P處的小孔中，隨著木棒的滑動(dòng)就可以畫出一個(gè)圓來(lái)．若AB＝26cmcm．15．（3分）如圖，是一個(gè)長(zhǎng)為30m，寬為20m的矩形花園，剩余的地方種植花草．如圖所示，要使種植花草的面積為532m2，那么小道進(jìn)出口的寬度應(yīng)為米．三、解答題（一）：本大題共3小題，每小題7分，共21分。16．（7分）解方程：3x（x﹣1）＝4（1﹣x）．17．（7分）光華小區(qū)為了避免電動(dòng)車進(jìn)入小區(qū)，準(zhǔn)備修建一個(gè)電動(dòng)車棚，一邊利用長(zhǎng)為10m的墻，在垂直墻的一邊留下一個(gè)寬1m的門，當(dāng)所圍成的矩形電動(dòng)車棚的長(zhǎng)、寬分別是多少時(shí)2？18．（7分）如圖，在菱形ABCD中，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E，求證：DE＝DF．四、解答題（二）：本大題共3小題，每小題9分，共27分。19．（9分）如圖，一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤被分成4個(gè)相同的扇形，這些扇形內(nèi)分別標(biāo)有數(shù)字2，5，5，3，當(dāng)轉(zhuǎn)盤自動(dòng)停止后，指針指向一個(gè)扇形的內(nèi)部，計(jì)為轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤一次（若指針指向兩個(gè)扇形的分割線，則不計(jì)轉(zhuǎn)動(dòng)的次數(shù)，重新轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，直到指針指向一個(gè)扇形的內(nèi)部為止）．（1）轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤一次，轉(zhuǎn)出的數(shù)字為2的概率是；（2）轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤兩次，請(qǐng)利用畫樹狀圖或列表的方法，求這兩次轉(zhuǎn)出的數(shù)字之和是5的倍數(shù)的概率．20．（9分）如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，P，N，Q分別在OA，OB，OD上，連接而成的四邊形MPNQ是矩形21．（9分）在一個(gè)不透明的箱子中裝有形狀、大小均一樣的小球，其中紅色小球有3個(gè)，藍(lán)色小球有1個(gè)．（1）從箱子中任意摸出兩個(gè)小球，利用樹狀圖或表格求兩個(gè)小球顏色恰好不同的概率；（2）將摸出的小球全部放回后，又放入n個(gè)藍(lán)色小球，搖晃均勻后任意摸出一個(gè)，經(jīng)過(guò)大量反復(fù)的實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)摸到藍(lán)色小球的概率約為五、解答題（三）：本大題共2小題，第22題13分，第23題14分，共27分。22．（13分）已知某平臺(tái)在售的故宮文創(chuàng)產(chǎn)品書燈有A，B兩個(gè)系列，A系列產(chǎn)品比B系列產(chǎn)品的售價(jià)低50元，每天可以賣500件，若B系列產(chǎn)品每降1元（1）A系列產(chǎn)品和B系列產(chǎn)品的售價(jià)各是多少？（2）為了使B系列產(chǎn)品每天的銷售額為96000元，而且盡可能讓顧客得到實(shí)惠，求B系列產(chǎn)品的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為多少元/件？23．（14分）【材料背景】在習(xí)題課上，老師讓同學(xué)們以課本第22頁(yè)的一道習(xí)題“如圖1（習(xí)題圖簡(jiǎn)化后），A，B，C，D四家工廠分別坐落在正方形城鎮(zhèn)的四個(gè)角上．倉(cāng)庫(kù)P和Q分別位于AD和DC上（1）【獨(dú)立思考】將課本習(xí)題條件中的PD＝QC去掉，將結(jié)論中的BP⊥AQ變?yōu)闂l件，其他條件不變（2）【合作交流】“祖沖之”小組的同學(xué)受此問(wèn)題的啟發(fā)提出：如圖2，在正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作EF⊥GH，F(xiàn)分別在正方形的對(duì)邊AD，BC上，H分別在正方形的對(duì)邊AB，CD上（3）【拓展應(yīng)用】“楊輝”小組的同學(xué)受“祖沖之”小組的啟發(fā)，進(jìn)一步拓展探究：如圖3，將邊長(zhǎng)為10cm的正方形紙片ABCD折疊，折痕為MN，點(diǎn)N在BC邊上，并求折痕MN與線段DM的長(zhǎng)．

2024-2025學(xué)年廣東省河源市紫金縣九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（3分）菱形具有而矩形不具有的性質(zhì)是（）A．四邊相等 B．對(duì)角線相等 C．對(duì)角相等 D．鄰角互補(bǔ)【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；菱形的性質(zhì)．【答案】A【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)及矩形的性質(zhì)，結(jié)合各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可得出答案．【解答】解：A、四邊相等，故本選項(xiàng)符合題意；B、對(duì)角線相等，故本選項(xiàng)不符合題意；C、對(duì)角相等，矩形具有；D、鄰角互補(bǔ)，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：A．2．（3分）下列方程中，屬于一元二次方程的是（）A．x﹣2y＝1 B． C．x2﹣2y+4＝0 D．x2﹣2x+1＝0【考點(diǎn)】一元二次方程的定義．【答案】D【分析】利用一元二次方程的定義，逐一分析四個(gè)選項(xiàng)中的方程，即可得出結(jié)論．【解答】解：A．方程x﹣2y＝1是二元一次方程；B．方程x5+3＝是分式方程；C．方程x5﹣2y+4＝2是二元二次方程，選項(xiàng)C不符合題意；D．方程x2﹣2x+2＝0是一元二次方程，選項(xiàng)D符合題意．故選：D．3．（3分）如圖，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，2），菱形ABCD的對(duì)角線交于坐標(biāo)原點(diǎn)O（）A．（﹣3，﹣2） B．（3，﹣2） C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣2）【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．【答案】B【分析】由菱形的性質(zhì)可知點(diǎn)A和點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，結(jié)合條件可求得點(diǎn)C點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：∵四邊形ABCD為菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，∴點(diǎn)A和點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)B和點(diǎn)D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∵A的坐標(biāo)為（﹣3，2），∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（3，﹣2），故選：B．4．（3分）如圖，在由大小相同的小正方形組成的網(wǎng)格中有一條“心形線”．?dāng)?shù)學(xué)小組為了探究隨機(jī)投放一個(gè)點(diǎn)恰好落在“心形線”內(nèi)部的概率，進(jìn)行了計(jì)算機(jī)模擬試驗(yàn)試驗(yàn)總次數(shù)100200300500150020003000落在“心形線”內(nèi)部的次數(shù)61931652467599961503落在“心形線”內(nèi)部的頻率0.6100.4650.5500.4920.5060.4980.501根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，估計(jì)隨機(jī)投放一點(diǎn)落在“心形線”內(nèi)部的概率為（）A．0.46 B．0.50 C．0.55 D．0.61【考點(diǎn)】利用頻率估計(jì)概率．【答案】B【分析】利用大量重復(fù)試驗(yàn)下事件發(fā)生的頻率可以估計(jì)該事件發(fā)生的概率直接回答即可．【解答】解：當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)逐漸增大時(shí)，落在“心形線”內(nèi)部的頻率穩(wěn)定在0.50附近，則估計(jì)隨機(jī)投放一點(diǎn)落在“心形線”內(nèi)部的概率為0.50．故選：B．5．（3分）若x＝m是方程x2+x﹣4＝0的根，則m2+m+2025的值為（）A．2021 B．2025 C．2029 D．2030【考點(diǎn)】一元二次方程的解．【答案】C【分析】由x＝m是方程x2+x﹣4＝0的根，可得m2+m﹣4＝0，進(jìn)而可得m2+m＝4，然后整體代入所求的式子當(dāng)中求值即可．【解答】解：∵x＝m是方程x2+x﹣4＝5的根，∴m2+m﹣4＝3，∴m2+m＝4，∴m3+m+2025＝（m2+m）+2025＝4+2025＝2029．故選：C．6．（3分）通常情況下無(wú)色酚酞試液遇酸性溶液（或中性溶液）不變色，遇堿性溶液變?yōu)榧t色．實(shí)驗(yàn)室現(xiàn)有四瓶因標(biāo)簽污損無(wú)法分辨的無(wú)色溶液，已知這四種溶液分別是a．鹽酸（呈酸性），b．白醋（呈酸性）（呈堿性），d．氫氧化鈣溶液（呈堿性）中的一種．學(xué)生小剛同時(shí)任選兩瓶溶液用無(wú)色酚酞試液進(jìn)行檢測(cè)（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法；概率公式．【答案】C【分析】根據(jù)題意，先畫出相應(yīng)的樹狀圖，然后即可求得兩瓶溶液恰好都變紅色的概率．【解答】解：樹狀圖如下所示，由上可得，一共有12種等可能性，∴兩瓶溶液恰好都變紅色的概率為＝，故選：C．7．（3分）已知，則代數(shù)式的值為（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】比例的性質(zhì)．【答案】C【分析】將變形為，再把已知整體代入計(jì)算即可．【解答】解：∵，∴＝+1＝．故選：C．8．（3分）“村BA”賽區(qū)預(yù)選賽規(guī)定每?jī)蓚€(gè)球隊(duì)之間都要進(jìn)行一場(chǎng)比賽，共要比賽15場(chǎng)．設(shè)參加比賽的球隊(duì)有x支，根據(jù)題意下面列出的方程正確的是（）A． B． C．x（x﹣1）＝15 D．x（x+1）＝15【考點(diǎn)】由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程．【答案】A【分析】利用比賽的總場(chǎng)數(shù)＝參加比賽的班級(jí)球隊(duì)數(shù)×（參加比賽的班級(jí)球隊(duì)數(shù)﹣1）÷2，即可列出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：根據(jù)題意得：．故選：A．9．（3分）將n個(gè)邊長(zhǎng)都為1cm的正方形按如圖所示的方法擺放，點(diǎn)A1，A2，…，An分別是正方形對(duì)角線的交點(diǎn)，則n個(gè)正方形重疊形成的重疊部分的面積和為（）A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．（）ncm2【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)．【答案】B【分析】根據(jù)題意可得，陰影部分的面積是正方形的面積的，已知兩個(gè)正方形可得到一個(gè)陰影部分，則n個(gè)這樣的正方形重疊部分即為n﹣1陰影部分的和．【解答】解：由題意可得陰影部分面積等于正方形面積的，即是，5個(gè)這樣的正方形重疊部分（陰影部分）的面積和為×4，n個(gè)這樣的正方形重疊部分（陰影部分）的面積和為×（n﹣1）＝．故選：B．10．（3分）若關(guān)于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣4x+1＝0有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＜2 B．a(chǎn)＜5且a≠2 C．a(chǎn)＜6且a≠2 D．a(chǎn)＜6【考點(diǎn)】根的判別式；一元二次方程的定義．【答案】C【分析】根據(jù)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根得到Δ＝（﹣4）2﹣4（a﹣2）＞0，即可求出答案．【解答】解：由題意得，Δ＝（﹣4）2﹣7（a﹣2）＞0，解得，a＜7，∵a≠2，∴a＜6且a≠2．故選：C．二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分。11．（3分）已知a，b，c，d是成比例線段，且a＝1，c＝3，那么d＝6．【考點(diǎn)】比例線段．【答案】6．【分析】根據(jù)成比例線段的定義得到或，代入數(shù)值求解即可．【解答】解：∵a，b，c，d是成比例線段，∴或，∵a＝1，b＝2，∴或，解得：d＝2，故答案為：6．12．（3分）若菱形的兩條對(duì)角線分別為10cm，12cm，則它的面積是60cm2．【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)．【答案】60．【分析】根據(jù)菱形的面積的關(guān)于對(duì)角線乘積的一半，進(jìn)行求解即可．【解答】解：由題意，得：菱形的面積為4）；故答案為：60．13．（3分）如圖是某路口的部分通行路線示意圖，一輛車從入口A駛?cè)?，行至每個(gè)岔路口選擇前方兩條線路的可能性相同．【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法．【答案】．【分析】畫樹狀圖可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及該車從F口駛出的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：畫樹狀圖如下：共有4種等可能的結(jié)果，其中該車從F口駛出的結(jié)果有1種，∴該車從F口駛出的概率為．故答案為：．14．（3分）如圖所示，有兩個(gè)互相垂直的滑槽（滑槽寬度忽略不計(jì)），一根沒(méi)有彈性的木棒的兩端A，將筆插入位于木棒中點(diǎn)P處的小孔中，隨著木棒的滑動(dòng)就可以畫出一個(gè)圓來(lái)．若AB＝26cm13cm．【考點(diǎn)】確定圓的條件．【答案】13．【分析】連接OP，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OP的長(zhǎng)，畫出的圓的半徑就是OP長(zhǎng)．【解答】解：連接OP，∵△AOB是直角三角形，P為斜邊AB的中點(diǎn)，∴OP＝AB，∵AB＝26cm，∴OP＝13cm，故答案為：13．15．（3分）如圖，是一個(gè)長(zhǎng)為30m，寬為20m的矩形花園，剩余的地方種植花草．如圖所示，要使種植花草的面積為532m2，那么小道進(jìn)出口的寬度應(yīng)為1米．【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】設(shè)小道進(jìn)出口的寬度為x米，然后利用其種植花草的面積為532平方米列出方程求解即可．【解答】解：設(shè)小道進(jìn)出口的寬度為x米，依題意得（30﹣2x）（20﹣x）＝532，整理，得x2﹣35x+34＝7．解得，x1＝1，x6＝34．∵34＞30（不合題意，舍去），∴x＝1．答：小道進(jìn)出口的寬度應(yīng)為1米．故答案為：5．三、解答題（一）：本大題共3小題，每小題7分，共21分。16．（7分）解方程：3x（x﹣1）＝4（1﹣x）．【考點(diǎn)】解一元二次方程﹣因式分解法．【答案】x1＝1，x2＝﹣．【分析】根據(jù)因式分解法解一元二次方程進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：3x（x﹣1）＝2（1﹣x），3x（x﹣7）+4（x﹣1）＝7，（x﹣1）（3x+3）＝0，x﹣1＝2或3x+4＝8，解得：x1＝1，x2＝﹣．17．（7分）光華小區(qū)為了避免電動(dòng)車進(jìn)入小區(qū)，準(zhǔn)備修建一個(gè)電動(dòng)車棚，一邊利用長(zhǎng)為10m的墻，在垂直墻的一邊留下一個(gè)寬1m的門，當(dāng)所圍成的矩形電動(dòng)車棚的長(zhǎng)、寬分別是多少時(shí)2？【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用．【答案】當(dāng)所圍成的矩形電動(dòng)車棚的長(zhǎng)是8m、寬是6m時(shí)，其面積為48m2．【分析】設(shè)BC的長(zhǎng)為xm，則AB的長(zhǎng)為m，根據(jù)所圍成的矩形電動(dòng)車棚的面積為48m2，列出關(guān)于x的一元二次方程，解之取符合題意的值，即可解決問(wèn)題．【解答】解：設(shè)BC的長(zhǎng)為xm，則AB的長(zhǎng)為m，根據(jù)題意得：x?＝48，整理得：x2﹣20x+96＝6，解得：x1＝8，x7＝12（不符合題意，舍去），∴＝＝4，答：當(dāng)所圍成的矩形電動(dòng)車棚的長(zhǎng)是8m、寬是6m時(shí)6．18．（7分）如圖，在菱形ABCD中，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E，求證：DE＝DF．【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．【答案】見(jiàn)解析．【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可．【解答】證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴BA＝BC，∠A＝∠C，∵BE⊥AD，BF⊥CD，∴∠BEA＝∠BFC＝90°，在△ABE與△CBF中，∴△ABE≌△CBF（AAS），∴AE＝CF，∴AD﹣AE＝CD﹣CF，即DE＝DF．四、解答題（二）：本大題共3小題，每小題9分，共27分。19．（9分）如圖，一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤被分成4個(gè)相同的扇形，這些扇形內(nèi)分別標(biāo)有數(shù)字2，5，5，3，當(dāng)轉(zhuǎn)盤自動(dòng)停止后，指針指向一個(gè)扇形的內(nèi)部，計(jì)為轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤一次（若指針指向兩個(gè)扇形的分割線，則不計(jì)轉(zhuǎn)動(dòng)的次數(shù)，重新轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，直到指針指向一個(gè)扇形的內(nèi)部為止）．（1）轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤一次，轉(zhuǎn)出的數(shù)字為2的概率是；（2）轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤兩次，請(qǐng)利用畫樹狀圖或列表的方法，求這兩次轉(zhuǎn)出的數(shù)字之和是5的倍數(shù)的概率．【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法；概率公式．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】（1）直接根據(jù)概率公式計(jì)算；（2）先畫樹狀圖展示所有16種等可能的結(jié)果，再找出兩次轉(zhuǎn)出的數(shù)字之和是5的倍數(shù)的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式計(jì)算．【解答】解：（1）轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤一次，轉(zhuǎn)出的數(shù)字為2的概率＝；故答案為：；（2）畫樹狀圖為：共有16種等可能的結(jié)果，其中兩次轉(zhuǎn)出的數(shù)字之和是4的倍數(shù)的結(jié)果數(shù)為6種，所以這兩次轉(zhuǎn)出的數(shù)字之和是5的倍數(shù)的概率＝＝．20．（9分）如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，P，N，Q分別在OA，OB，OD上，連接而成的四邊形MPNQ是矩形【考點(diǎn)】矩形的判定與性質(zhì)．【答案】證明見(jiàn)解答過(guò)程．【分析】由四邊形MPNQ是矩形推導(dǎo)出∠MPN＝90°；OM＝OP＝ON＝OQ，進(jìn)一步得到OA＝OB＝OC＝OD，即可解決問(wèn)題．【解答】證明：∵四邊形MPNQ是矩形，∴∠MPN＝90°，OM＝OP＝ON＝OQ，∵在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，∴OA＝OB＝OC＝OD，∴四邊形MPNQ是矩形．21．（9分）在一個(gè)不透明的箱子中裝有形狀、大小均一樣的小球，其中紅色小球有3個(gè)，藍(lán)色小球有1個(gè)．（1）從箱子中任意摸出兩個(gè)小球，利用樹狀圖或表格求兩個(gè)小球顏色恰好不同的概率；（2）將摸出的小球全部放回后，又放入n個(gè)藍(lán)色小球，搖晃均勻后任意摸出一個(gè)，經(jīng)過(guò)大量反復(fù)的實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)摸到藍(lán)色小球的概率約為【考點(diǎn)】利用頻率估計(jì)概率；列表法與樹狀圖法．【答案】（1）．（2）5．【分析】（1）列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式求解即可；（2）根據(jù)概率公式列出關(guān)于n的方程，解之即可．【解答】解：（1）列表如下：紅紅紅藍(lán)紅（紅，紅）（紅，紅）（藍(lán)，紅）紅（紅，紅）（紅，紅）（藍(lán)，紅）紅（紅，紅）（紅，紅）（藍(lán)，紅）藍(lán)（紅，藍(lán)）（紅，藍(lán)）（紅，藍(lán)）由表知，共有12種等可能結(jié)果，所以兩個(gè)小球顏色恰好不同的概率為＝，（2）根據(jù)題意，得：＝，解得n＝7，經(jīng)檢驗(yàn)n＝5是分式方程的解，∴n＝5，答：n的值為5．五、解答題（三）：本大題共2小題，第22題13分，第23題14分，共27分。22．（13分）已知某平臺(tái)在售的故宮文創(chuàng)產(chǎn)品書燈有A，B兩個(gè)系列，A系列產(chǎn)品比B系列產(chǎn)品的售價(jià)低50元，每天可以賣500件，若B系列產(chǎn)品每降1元（1）A系列產(chǎn)品和B系列產(chǎn)品的售價(jià)各是多少？（2）為了使B系列產(chǎn)品每天的銷售額為96000元，而且盡可能讓顧客得到實(shí)惠，求B系列產(chǎn)品的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為多少元/件？【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用；分式方程的應(yīng)用．【答案】（1）A系列產(chǎn)品的售價(jià)是100元/件，B系列產(chǎn)品的售價(jià)是150元/件；（2）B系列產(chǎn)品的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為80元/件．【分析】（1）設(shè)A系列產(chǎn)品的售價(jià)是x元/件，則B系列產(chǎn)品的售價(jià)是（x+50）元/件，根據(jù)1000元購(gòu)買A系列產(chǎn)品的數(shù)量與1500元購(gòu)買B系列產(chǎn)品的數(shù)量相等，列出分式方程，解方程即可；（2）設(shè)B系列產(chǎn)品的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為y元/件，則每天可以賣（2000﹣10y）件，根據(jù)B系列產(chǎn)品每天的銷售額為96000元，列出一元二次方程，解之取符合題意的值即可．【解答】解：（1）設(shè)A系列產(chǎn)品的售價(jià)是x元/件，則B系列產(chǎn)品的售價(jià)是（x+50）元/件，根據(jù)題意得：＝，解得：x＝100，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝100是所列方程的解，∴x+50＝100+50＝150，答：A系列產(chǎn)品的售價(jià)是100元/件，B系列產(chǎn)品的售價(jià)是150元/件；（2）設(shè)B系列產(chǎn)品的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為y元/件，則每天可以賣500+10（150﹣y）＝（2000﹣10y）（件），根據(jù)題意得：y（2000﹣10y）＝96000，整理得：y2﹣200y+9600＝0，解得：y5＝80，y2＝120（不符合題意，舍去），答：B系列產(chǎn)品的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為80元/件．23．（14分）【材料背景】在習(xí)題課上，老師讓同學(xué)們以課本第22頁(yè)的一道習(xí)題“如圖1（習(xí)題圖簡(jiǎn)化后），A，B，C，D四家工廠分別坐落在正方形城鎮(zhèn)的四個(gè)角上．倉(cāng)庫(kù)P和Q分別位于AD和DC上（1）【獨(dú)立思