數(shù)學(xué)課堂導(dǎo)學(xué)：分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理一

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析一、分類加法計(jì)數(shù)原理的簡(jiǎn)單應(yīng)用【例1】某學(xué)生去書店，發(fā)現(xiàn)三本好書，決定至少買其中一本，則該生的購書方案有______種.解析:“至少”問題往往需要發(fā)類，在三本好書中至少買一本，可分為在類：恰買一本，有3種方種；恰買2本，有3種種方法，恰買3本，有1種方案，從而共有3+3+1=7種方法。溫馨提示分類加法計(jì)數(shù)原理的實(shí)質(zhì)是“整體”等于“部分”之和，就是“整體”(即完成一件事的方法）分成若干個(gè)互不相交的類，使得每一類中的元素的個(gè)數(shù)易于計(jì)算.在分類過程中要按照統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行.本題中是按照購買的本數(shù)分成了三類。二、合理地選擇分類標(biāo)準(zhǔn)是用好分類加法計(jì)數(shù)原理的關(guān)鍵【例2】將一個(gè)正三角形的各邊都n等分，過各分點(diǎn)作其它兩邊的平行線，一共可產(chǎn)生多少個(gè)三角形(包括原來的三角形在內(nèi)）?解析:如圖，不妨設(shè)正△ABC的邊長(zhǎng)為n，首先考慮“頭朝上”的三角形,即平行于水平線的那條邊在其對(duì)角頂點(diǎn)下方的三角形.邊長(zhǎng)為1的“頭朝上"的三角形有1+2+…+n=個(gè).邊長(zhǎng)為2的“頭朝上"的三角形有1+2+…+(n-1)=個(gè).…邊長(zhǎng)為n的“頭朝上”的三角形只有1個(gè).從而,“頭朝上”的三角形共有個(gè)。然后考慮“頭朝下"的三角形，即平行于水平線的那條邊在其對(duì)角頂點(diǎn)上方的三角形.邊長(zhǎng)為1的“頭朝下”的三角形有1+2+…+（n-1)=個(gè).邊長(zhǎng)為2的“頭朝下”的三角形有1+2+…+（n—3）=個(gè).邊長(zhǎng)為m的“頭朝下”的三角形有=1k個(gè)(n+1＞2m）。故當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，“頭朝下”的三角形有。=個(gè)；各個(gè)擊破【類題演練1】在正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中，能構(gòu)成一個(gè)直角三角形的3個(gè)頂點(diǎn)的三點(diǎn)組的個(gè)數(shù)是()A.24B。36C。48解析：注意到每個(gè)正方形或矩形各有4個(gè)“直角三角形三點(diǎn)組”，現(xiàn)正方體共有6個(gè)正方形側(cè)面及6個(gè)矩形對(duì)角面，故可視為有12類方案，即12個(gè)矩形或正方形，由分類加法計(jì)數(shù)原理得4×12=48個(gè)“直角三角形三點(diǎn)組”。故選C。答案：C【變式提升1】在十進(jìn)制數(shù)中，若一個(gè)至少有兩位數(shù)字的正整數(shù)除了最左邊的數(shù)字外,其余各個(gè)數(shù)字都小于其左邊的數(shù)字時(shí)，則稱它為遞降正整數(shù).所有這樣的遞降正整數(shù)的個(gè)數(shù)為(）A.1001B。1010C。1011解析：設(shè)最左邊的數(shù)字為n，則比n小的數(shù)字n-1，n—2,…，2，1,0每個(gè)只能在n的右邊至多出現(xiàn)一次?？墒?，以n為最左邊數(shù)字的遞降正整數(shù)的個(gè)數(shù)等于集合｛n，n-1,…,2，1,0｝的非空子集合個(gè)數(shù)2n-1.但n=1，2，…，9,故遞降正整數(shù)共有=（210—2)-9=1013(個(gè))。【類題演練2】設(shè)M是集合S={1，2，3，…,1999｝的子集，且M中每一個(gè)正整數(shù)(元素)僅含一個(gè)0，則集合M所含元素最多有（)A。243個(gè)B。324個(gè)C.414個(gè)D。495個(gè)解析：為了清楚起見，可將集合S中的正整數(shù)（元素)按其位數(shù)劃分為如下四個(gè)子集:S1={1，2,3,…,9},S2={10，11，12,…，99},S3={100，101,102,…,999｝,S4={1000,1001，1002，…，1999}。顯然，S1中每個(gè)元素都不含0；在S2中，僅個(gè)位數(shù)為0的元素有9個(gè)，則共有9個(gè)；在S3中，僅個(gè)位或十?dāng)?shù)為0的元素各有92個(gè)，則共有162個(gè)；在S4中，僅個(gè)位或十位或百位數(shù)為0的元素各有92個(gè),則共有3×92=243個(gè).根據(jù)分類原理，集合M中所含元素最多有414個(gè).答案：C【變式提升2】已知橢圓=1的焦點(diǎn)在y軸上，若a∈｛1，2,3,4，5}，b∈｛1，2，3，4,5，6,7｝,則這樣的橢圓共有多少個(gè)？解析:依題意知b＞a，當(dāng)b=6或7時(shí)，a各有5個(gè)可能取值；當(dāng)b=5時(shí),a只有4個(gè)可取值;當(dāng)b=4時(shí),a只有3個(gè)可取值；當(dāng)b=3時(shí)，a只有2個(gè)可取值;當(dāng)b=2時(shí)，a只有1個(gè)可取值.由分類加法計(jì)數(shù)原理知:共有5+5+4+3+2+1=20個(gè)。當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),“頭朝下”的三角形有=個(gè).綜上所述,一共產(chǎn)生的三角形的個(gè)數(shù)為N=三、先將問題轉(zhuǎn)化后再進(jìn)行分類【例3】把20個(gè)不加區(qū)別的小球放入編號(hào)為1，2，3的三個(gè)盒子中,要求每個(gè)盒子內(nèi)的球數(shù)不小于它的編號(hào)數(shù)，則不同的放法共有____________種。解析:不妨設(shè)編號(hào)為1,2，3的三個(gè)盒子中分別放入了x1，x2,x3個(gè)小球，依題意有問題轉(zhuǎn)化為在條件（2）下求不定方程(1）的解的個(gè)數(shù),可考慮用分類計(jì)數(shù)的方法。當(dāng)x1=1時(shí)，x2=2，3,…,16，這時(shí)x3隨之而定，從而共有15種放法。當(dāng)x1=2時(shí)，x2=2,3，…,15,這時(shí)x3隨之而定，從而共有14種放法.當(dāng)x1=15時(shí),只有x2=2，x3=3，僅有一種放法。根據(jù)分類原理，符合要求的放法共有N=15+14+…+2+1=120（種）.溫馨提示本題應(yīng)用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想,把“投球"問題轉(zhuǎn)化為求不定方程解的個(gè)數(shù)問題，應(yīng)用分類計(jì)數(shù)原理,使問題很快得到解決.【類題演練3】某生為自己的電腦購置價(jià)值不超過500元，單價(jià)分別為60元，70元的單片軟件和盒裝磁盤。根據(jù)需要，軟件至少買3片，磁盤至少買2盒，則不同的選購方式有多少種？解析：設(shè)購買單片軟件x片，盒裝磁盤y盒，則依題意有60x+70y≤500(x,y∈N*,且x≥3，y≥2)按購買x片分類：x=3，則y=2，3,4共3種方法;x=4，則y=2，3共2種方法；x=5,則y=2共1種方法；x=6,則y=2共1種方法.由分類加法計(jì)數(shù)原理知,不同的選購方式有N=3+2+1+1=7（種)【變式提升3】設(shè)正2n+1（n∈N*)邊形內(nèi)接于一個(gè)圓,考慮所有以這2n+1邊形的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形,其中有多少個(gè)三角形的內(nèi)部含該圓的圓心?解析：如圖，先取定一個(gè)頂點(diǎn)A，將其它2n個(gè)頂點(diǎn)順次標(biāo)為1，2，…,2n.設(shè)以A,i（1≤i≤n）為一個(gè)端點(diǎn)的兩條直徑的另一個(gè)端點(diǎn)分別為B，C（注意:B，C不可能是正2