數(shù)學(xué)課堂導(dǎo)學(xué)：任意角

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導(dǎo)學(xué)三點剖析1。任意角的概念和象限角的概念【例1】若α是第四象限角，那么是第幾象限角?思路分析：運用直角坐標系內(nèi)角的表示及不等式性質(zhì)，先用不等式把第四象限的角表示出來,然后再確定的范圍.解：∵α是第四象限角.∴270°+k·360°＜α＜360°+k·360°（k∈Z）,則有，135°+k·180°＜＜180°+k·180°（k∈Z）.當k=2n(n∈Z）時，135°+n·360°＜＜180°+n·360°,∴是第二象限角.當k=2n+1（n∈Z)時315°+n·360°＜＜360°+n·360°,∴是第四象限角。綜上所述,是第二或第四象限角。溫馨提示準確表示第四象限角，再分k為偶數(shù)、奇數(shù)兩種情況討論.不要認為α為第四象限角,則是第二象限角。2．把終邊相同的角用集合和符號語言正確的表示出來【例2】用集合的形式表示與下圖中的角的終邊相同的角的集合。思路分析:運用兩角關(guān)系及終邊相同角解決.解:（1）從圖①中看出，圖中兩個角的終邊在一條直線上。在0°—360°范圍內(nèi)，且另一個角為225°,故所求集合為S=｛β｜β=45°+k·360°，k∈Z}∪｛β｜β=225°+k·360°，k∈Z}=｛β｜β=45°+2k·180°,k∈Z｝∪｛β｜β=45°+180°+2k·180°，k∈Z｝=｛β|β=45°+2k·180°，k∈Z｝∪{β｜β=45°+(2k+1）·180°，k∈Z｝={β|β=45°+n·180°，n∈Z｝.（2)從圖②中看出，圖中兩個角的終邊關(guān)于x軸對稱，故所求集合為S={β|β=30°+k·360°，k∈Z｝∪{β｜β=330°+k·360°,k∈Z｝=｛β|β=30°+k·360°，k∈Z}∪{β｜β=-30°+360°+k·360°,k∈Z｝=｛β|β=30°+k·360°，k∈Z｝∪｛β｜β=—30°+（k+1）·360°，k∈Z}={β|β=±30°+n·360°，n∈Z}。（3）從圖③中看出，圖中兩個角的終邊關(guān)于y軸對稱,故所求集合為S={β|β=30°+k·360°,k∈Z｝∪{β|β=150°+k·360°，k∈Z}={β|β=30°+k·360°，k∈Z}∪{β｜β=—30°+180°+2k·180°，k∈Z｝=｛β|β=30°+2k·180°，k∈Z｝∪｛β｜β=—30°+（2k+1）·180°,k∈Z｝={β|β=（-1）n·30°+n·180°，n∈Z}。溫馨提示本題求解過程中,利用了數(shù)形結(jié)合的思想.兩個集合并為一個集合，應(yīng)先把兩個集合變成一個統(tǒng)一的形式。否則，就不能并為一個集合.3．任意角的概念【例3】設(shè)集合M={小于90°的角}，N={第一象限的角｝，則M∩N等于(）A。{銳角｝B。{小于90°的角｝C.{第一象限角｝D。以上均不對思路分析：抓住幾個有關(guān)概念的區(qū)別。解：小于90°的角由銳角、零角、負角組成。而第一象限角包括銳角及終邊在第一象限的角。M∩N由銳角及其終邊在第一象限的負角組成。故選D。答案：D溫馨提示上述幾個概念用起來容易混淆，要加以辨別,搞清它們之間的關(guān)系。各個擊破類題演練1若α是第二象限角，是第幾象限角?解：因為α是第二象限角,則有：k·360°+90°＜α＜k·360°+180°，k∈Z，所以k·120°+30°＜＜k·120°+60°,k∈Z。當k=3m（m∈Z）時，m·360°+30°＜＜m·360°+60°,m∈Z,所以是第一象限角。當k=3m+1(m∈Z)時，m·360°+150°＜＜m·360°+180°，m∈Z,所以是第二象限角。當k=3m+2(m∈Z)時,m·360°+270°＜＜m·360°+300°，m∈Z，所以是第四象限角。因此是第一、二、四象限角。變式提升1已知角α是第二象限角,求角2α是第幾象限角。解:因為α是第二象限角，則k·360°+90°＜α＜k·360°+180°，k∈Z,∴2k·360°+180°＜2α＜2k·360°+360°,k∈Z,∴2α是第三或第四象限角,以及終邊落在y軸的非正半軸上的角。類題演練2已知α=1690°，（1）把α改寫成β+k·360°（k∈Z，0°≤β＜360°)的形式;(2）求θ,使θ的終邊與α相同,且-360°＜θ＜360°,并判斷θ屬于第幾象限.解：（1)α=250°+4·360°（k=4，β=250°).(2）∵θ與α終邊相同,∴θ角可寫成250°+k·360°。又∵-360°＜θ＜360°,∴—360°＜250°+k·360°＜360°，k∈Z.解得k=—1或0，∴θ=-110°或250°,∴θ是第三象限角.變式提升2（1）與-457°角終邊相同的角的集合是（)A。{α｜α=k·360°+457°,k∈Z｝B。｛α|α=k·360°+97°,k∈Z｝C.｛α｜α=k·360°+263°，k∈Z}D.{α|α=k·360°—263°,k∈Z}解法1：∵—457°=—2×360°+263°，∴應(yīng)選C.解法2：∵—457°角與-97°角終邊相同,又-97°角與263°角終邊相同，又263°角與k·360°+263°角終邊相同，∴應(yīng)選C.答案：C（2）已知角α、β的終邊相同，那么α-β的終邊在（)A.x軸的非負半軸上B.y軸的非負半軸上C。x軸的非正半軸上D.y軸的非正半軸上解析：∵角α、β終邊相同。∴α=k·360°+β，k∈Z,作差α-β=k·360°+β—β=k·360°，k∈Z.∴α—β的終邊在x軸的非負半軸上。答案:A類題演練3用集合表示下列各角：“0°到90°的角"“第一象限角”“銳角"“小于90°的角”“0°—90°的角”。解:0°-90°的角的集合為{α｜0°≤α＜90°｝；第一象限角的集合為{α｜k·360°＜α＜k·360°+90°,k∈Z}；銳角的集合為{α｜0°＜α＜90°}；小于90°的角的集合為｛α｜α＜90°｝；0°—90°的角的集合為｛α|0°≤α≤90°}.變式提升3下列命題中,正確的是(）A.終邊相同的角一定相等B。銳角都是第一象限角C.第一象限的角都是銳角D。小