數(shù)學(xué)課堂導(dǎo)學(xué)：向量的加法

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析一、向量加法的定義及向量加法的三角形法則學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)要注意：①向量加法的定義及向量加法的三角形法則是從位移求和引出的.②兩個(gè)向量的和仍是向量.特別注意的是:在向量加法的表達(dá)式中零向量一定要寫成0,而不應(yīng)寫成0.③向量的加法運(yùn)算應(yīng)注意方向,忽視方向往往成為致錯(cuò)的根源之一.④用三角形法則作出兩個(gè)向量的和,關(guān)鍵是掌握兩個(gè)加數(shù)向量是首尾相連的，和向量是從一個(gè)向量的起點(diǎn)指向另一個(gè)向量的終點(diǎn)。具體做法是：把用小寫字母表示的向量，用兩個(gè)大寫字母表示(其中后面向量的起點(diǎn)與前一個(gè)向量的終點(diǎn)重合,即用同一個(gè)字母來表示)，則由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)的有向線段就表示這些向量的和,如設(shè)a=，b=,則a+b=+=.⑤當(dāng)兩個(gè)向量共線（平行）時(shí),三角形法則同樣適用.如下圖表示求兩個(gè)平行向量和的特殊情況.【例1】設(shè)a表示“向西走2km”，b表示“向北走2km”，則a+b表示向哪個(gè)方向行走了多少？思路分析：畫圖求解。解：如圖，作=a，=b,則=+=a+b.∵△ABO為直角三角形，且||=｜｜=2，∴||=且∠AOB=45°.∴a+b表示向西北方向走了km。各個(gè)擊破類題演練1已知向量a和非零向量b，求作向量a+b。思路分析:已知中明確了b是非零向量，沒有明確a是否是非零向量，所以，應(yīng)就a=0和a≠0兩種情況分類討論。解:（1)若a=0，則a+b=b,見圖(1）.（2)若a≠0，則①當(dāng)a與b不共線時(shí),a+b，見圖(2).②當(dāng)a與b共線時(shí),有(?。゛與b同向共線，a+b,見圖（3）。（ⅱ）a與b反向共線，|a|<｜b|，a+b,見圖(4）;｜a｜=｜b|，a+b,見圖（5）;｜a|〉|b｜，a+b，見圖（6）。變式提升1如圖所示,向量++++=________.解析:幾個(gè)向量相加首尾相連和向量是由起點(diǎn)指向終點(diǎn),即。答案:溫馨提示更一般地，.特別地當(dāng)A1和An重合時(shí),=0.二、向量加法的平行四邊形法則三角形法則中的兩個(gè)向量是首尾相接的,而平行四邊形法則中的兩個(gè)向量有公共的起點(diǎn)；三角形法則適用于所有的兩個(gè)非零向量的求和,而平行四邊形法則僅適用于不共線的兩個(gè)向量的求和。三角形法則和平行四邊形法則雖然都是求向量和的基本方法.但在應(yīng)用上也有講究，求兩個(gè)向量和，當(dāng)一個(gè)向量的終點(diǎn)為另一個(gè)向量的始點(diǎn)時(shí)，可用向量加法的三角形法則;而當(dāng)它們的始點(diǎn)相同時(shí)，可用向量加法的平行四邊形法則.【例2】兩個(gè)力F1和F2同時(shí)作用在一個(gè)物體上,其中F1=40N，方向向東,F2=30N，方向向北,求它們的合力。解：如圖,表示F1,表示F2。以O(shè)A，OB為鄰邊作ABCD,則表示合力F。在Rt△OAC中,||=|F1｜=40,｜|=｜|=｜F2|=30.由勾股定理,得|F｜=｜｜==50。設(shè)合力F與F1的夾角為θ，則tanθ==0.75.所以θ≈37°。所以合力大小為50N,方向?yàn)楸逼珫|53°.類題演練2已知向量a、b（如圖）,求作a+b。思路分析：在平面內(nèi)作向量的和向量,若用平行四邊形法則,則先選取一固定點(diǎn)，然后把兩個(gè)向量平移，使兩個(gè)向量都以這個(gè)固定點(diǎn)為起點(diǎn)；若用三角形法則,則只需平移一個(gè)向量,使這個(gè)向量的起點(diǎn)與另一個(gè)向量的終點(diǎn)重合.解：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,如圖,作=a,=b，則=a+b.變式提升2已知|a|=6,｜b|=8，且｜a+b｜=|a—b|，求|a-b｜。思路分析：從題目條件中挖掘平行四邊形所滿足的幾何特征.解:如圖，設(shè)｜|=a,|｜=b,以AB,AD為鄰邊作ABCD,則=a+b，=a-b?！撸黙+b｜=|a—b|,即||=｜|,∴ABCD為矩形，故AD⊥AB.在Rt△DAB中,｜｜=6，||=8,由勾股定理，得|=10。∴｜a+b|=|a-b｜=10。三、向量加法的運(yùn)算性質(zhì)（1)對(duì)于零向量與任一向量a的和有a+0=0+a=a.（2)向量加法的交換律：a+b=b+a。(3)向量加法的結(jié)合律：（a+b)+c=a+(b+c）.(4)三角形不等式:對(duì)于任意兩個(gè)向量a，b，都有｜｜a|-|b｜|≤|a+b|≤|a｜+|b|.注意：（1)向量加法的交換律,在常識(shí)上是很顯然的.你從點(diǎn)A出發(fā)先位移向量a，接著再位移向量b與先位移向量b再位移向量a一定會(huì)達(dá)到同一終邊C.這也就說明了向量加法交換律成立.(2）由于向量的加法滿足交換律與結(jié)合律，因此多個(gè)向量的加法運(yùn)算就可按照任意的次序與任意的組合來進(jìn)行了.【例3】化簡:(1）;（2);（3).解：(1)。(2）=0。或=0.（3）=0。類題演練3如圖所示,已知△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是BC，CA,AB的中點(diǎn)，且AD與BE交于O點(diǎn)。求證：=0。思路分析：解這類題要善于運(yùn)用向量的加法的運(yùn)算法則及其性質(zhì)，把題目變形后求得。證明:，又，∴，同理,可證，,∴=0。變式提升3下列命題:①如果非零向量a與b的方向相同或相反，那么a+b的方向必與a,b之一的方向相同;②△ABC中,必有=0；③若=0,則A,B,C為一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn);④若a,b均為非零向量,則|a+b|與｜a｜+|b｜一定相等。其中真命題的個(gè)數(shù)為(）A.0B.1C解析：①假命題。當(dāng)a+b=0時(shí)，命題不成立。②真命題.③假命題。當(dāng)A,B，C三點(diǎn)共線時(shí)也可以有=0.④假命題。只有當(dāng)a與b同向時(shí)相等，其他情況均為｜a｜+｜b｜〉|a+b｜。答案:B【例4】已知A，B,C是不共線的三點(diǎn)，G是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，若=0,求證：G是△ABC的重心。證明:如圖所示,因?yàn)?0,所以.以,為鄰邊作平行四邊形BGCD,則有=+，所以=.又因?yàn)樵贐GCD中，BC交GD于點(diǎn)E,所以.所以AE是△ABC的邊BC的中線，且｜｜=2||.所以G是△ABC的重心.溫馨提示(1）解此題時(shí)要聯(lián)系重心的性質(zhì)和向量加法的意義；（2）把平面幾何知識(shí)和向量知識(shí)結(jié)合起來解決問題是解此類問題的常用方法。通過本例題知,若G為△ABC的重心,則有++=0。類題演練4在重300N的物體上系兩根繩子,這兩根繩子在鉛垂線的兩側(cè),與鉛垂線的夾角分別為30°,60°（如圖），求重物平衡時(shí),兩根繩子的拉力大小.解：作OACB，如圖所示，使∠AOC=30°，∠BOC=60°，在△AOC中,∠ACO=∠BOC=60°,∠OAC=90°。｜｜=｜|cos30°=（N)，||=｜｜sin30°=150（N）.|｜=||=150(N)，∴與鉛垂線成30°角的繩子拉力是N,與鉛垂線成60°角的繩子