高等數(shù)學(xué)（經(jīng)濟(jì)類-上冊(cè)第2版）課件：泰勒公式

1微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用函數(shù)最大值和最小值及其在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用一、泰勒公式二、應(yīng)用三、小結(jié)2

3函數(shù)在點(diǎn)可微，則一次多項(xiàng)式多項(xiàng)式函數(shù)是各類函數(shù)中最簡單的一種，復(fù)雜函數(shù)能否用多項(xiàng)式函數(shù)近似？多項(xiàng)式函數(shù)的系數(shù)和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)有何關(guān)系？設(shè)是以為冪次的次多項(xiàng)式逐次求導(dǎo)得系數(shù)與導(dǎo)數(shù)有關(guān)一、泰勒公式4這表明，……代入的值，得或于是取值所唯一確定.多項(xiàng)式的各項(xiàng)系數(shù)可以由其各階導(dǎo)數(shù)在處的5若不是多項(xiàng)式函數(shù)，則上述等式就不成立了，此時(shí)，函數(shù)和右側(cè)多項(xiàng)式有何關(guān)系呢？n次多項(xiàng)式泰勒中值定理1且存在，則若在的某鄰域內(nèi)具有階導(dǎo)數(shù)，其中6連續(xù)運(yùn)用洛必達(dá)法則次，證明：記當(dāng)時(shí)，7即，當(dāng)時(shí)，證畢.泰勒公式n次泰勒多項(xiàng)式佩亞諾型余項(xiàng)給出了泰勒多項(xiàng)式近似表示函數(shù)時(shí)產(chǎn)生的誤差，如何更精確的估計(jì)誤差的大??？與之間，使得8泰勒中值定理2則對(duì)任意若在含有的某開區(qū)間內(nèi)具有直到階的導(dǎo)數(shù)，至少存在一點(diǎn)介于（證明略）拉格朗日型余項(xiàng)泰勒公式在時(shí)稱為麥克勞林公式當(dāng)時(shí)，泰勒中值定理2就是拉格朗日中值定理9帶拉格朗日型余項(xiàng)的麥克勞林公式帶佩亞諾型余項(xiàng)的麥克勞林公式10例1求指數(shù)函數(shù)的麥克勞林公式．即得指數(shù)函數(shù)的麥克勞林公式解：設(shè)則代入公式，其中或11例2求和的帶佩亞諾型余項(xiàng)的麥克勞林公式．．解：設(shè)則所以，的帶佩亞諾型余項(xiàng)的麥克勞林公式是12泰勒多項(xiàng)式的冪次越高，以及它的一階、三階、五階泰勒多項(xiàng)式的曲線如圖，易見，它在附近就與正弦類似可求出“貼近”的程度越高.13例3求的帶佩亞諾型余項(xiàng)的麥克勞林公式．所以，的帶佩亞諾型余項(xiàng)的麥克勞林公式是解：設(shè)則14二、應(yīng)用利用常見初等函數(shù)的麥克勞林公式，可以解決某些求極限或作近似計(jì)算的問題．15例4本題可用洛必達(dá)法則，求解：也可以利用麥克勞林公式.

原式16例5求解：原式17例6解：誤差不超過.計(jì)算數(shù)使其誤差不超過.的帶拉格朗日型余項(xiàng)的麥克勞林公式為當(dāng)時(shí)，有由那么，從而當(dāng)時(shí)，可以得到的近似值18三、小結(jié)1、泰勒中值定理1泰勒中值定理2——佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公