高等數(shù)學課件：多元函數(shù)的基本概念

多元函數(shù)的基本概念

8.1.1平面點集8.1.2多元函數(shù)的概念8.1.3多元函數(shù)的極限8.1.4多元函數(shù)的連續(xù)性8.1.1平面點集1

定義:點集稱為在平面上,(圓鄰域)在空間中,(球鄰域)注:點P0的去心鄰域記為平面上具有某種性質的點的集合.點P0的

鄰域.若不需要強調(diào)鄰域半徑

,也可寫成(1)內(nèi)點、外點、邊界點設有點集

E

及一點

P:若存在點P的某鄰域U(P)

E,若存在點P的某鄰域U(P)∩E=,若對點P的任一鄰域U(P)既含

E內(nèi)的點也含E則稱P為E的內(nèi)點；則稱P為E的外點;則稱P為E

的邊界點.外的點,顯然,E的內(nèi)點必屬于E,

E的外點必不屬于E,E的邊界點可能屬于E,也可能不屬于E.2

點與點集的關系(2)

聚點若對任意給定的正數(shù)

,內(nèi)總有E中的點,則稱P是E的聚點.聚點可以屬于E,也可以不屬于E(因為聚點可以為E的邊界點)(3)開區(qū)域及閉區(qū)域★若點集E的點都是內(nèi)點,★E的邊界點的全體稱為E的邊界,則稱E為開集;記作

E;★若點集E

E

,則稱E為閉集;E★若點集E中任意兩點都可用一完全屬于E

的折線相連,★開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域.則稱E

是連通集;★連通的開集稱為開區(qū)域,.

.★對點集E,則稱E為有界集,

否則稱為無界集.簡稱區(qū)域;若存在正數(shù)r,使得E

U(O,r)例如，在平面上開區(qū)域

閉區(qū)域

整個平面

點集是開集，是最大的區(qū)域,也是最大的閉域;但非區(qū)域.8.1.2多元函數(shù)的概念引例:

圓柱體的體積

一定量理想氣體的壓強

三角形面積的海倫公式定義1

點集D

稱為該函數(shù)的定義域;數(shù)集稱為函數(shù)f的值域

.類似地,映射稱為定義在D上的二元函數(shù),稱為自變量，因變量或的函數(shù).稱為或當時,可定義n元函數(shù)設非空點集可定義三元函數(shù)記作例如,

二元函數(shù)定義域為圓域注:

二元函數(shù)

z=f(x,y),(x,y)

D圖形為中心在原點的上半球面.的圖形為空間曲面.例1的定義域.解:∴定義域為求函數(shù)8.1.2多元函數(shù)的極限定義2

則稱A為函數(shù)(2)二元函數(shù)的極限也稱為二

重極限.注:的極限可寫作：若存在常數(shù)A,對任意記作都有對任意正數(shù)

,的定義域是D,在正數(shù)

,設二元函數(shù)當

是D的聚點.時的極限,或(1)若記二元函數(shù)總存例2求解:故設(3)于不同的極限,則可以斷定函數(shù)極限以不同方式趨于不存在.函數(shù)趨注:(1)以任何方式趨于都無限接近于(2)若以某一特殊方式趨于時,即使無限接近于某一確定值,也不能斷定函數(shù)的極限存在.時,若當點二重極限存在是指:或有的極限不存在,設P(x,y)沿直線y=kx趨于點(0,0),在點(0,0)的極限.則有k值不同極限不同!在(0,0)點極限不存在.顯然例3討論函數(shù)那么？解:僅知其中一個存在,不能推出其他二者存在.注:二重極限不同.如果它們都存在,如顯然與二次極限但由例3知它在(0,0)點二重極限不存在.則三者相等.8.1.2多元函數(shù)的連續(xù)性定義3的定義域為D,如果函數(shù)在D上各點處都連續(xù),如果否則稱為不連續(xù),此時稱為間斷點.則稱二元函數(shù)函數(shù)在

D

上連續(xù).連續(xù)；聚點即在點不連續(xù)的意義？設二

元函數(shù)則稱此如函數(shù)在點(0,0)極限不存在,函數(shù)上間斷.故(0,0)為其間斷點.在圓周結論:一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).多元初等函數(shù)：由常數(shù)及不同自變量的一元基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和復合運算,式子表示的多元函數(shù).并且可以用一個例4證明:在全平面連續(xù).證明:顯然連續(xù).又故函數(shù)在全平面連續(xù).由夾逼準則得定理：若f(P)在有界閉域D上連續(xù),則在D上可取得最大值M及最小值m;(3)對任意(有界性定理)

(最值定理)

(介值定理)

有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)的性質使解:例5

求原式內(nèi)容小結1區(qū)域

鄰域:

區(qū)域連通的開集2多元函數(shù)概念二元函數(shù)圖形為空間曲面三元函數(shù)有3多元函數(shù)的極限4多元函數(shù)的連續(xù)性(1)函數(shù)(2)有界