高等數(shù)學(xué)課件：二重積分的計(jì)算

二重積分的計(jì)算法9.2.1直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分9.2.2極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分下面討論二重積分的計(jì)算設(shè)積分區(qū)域D:在上連續(xù)其特點(diǎn)：這些直線與D

的邊界相交不多于兩點(diǎn)間作垂直于x

軸的直線，在根據(jù)二重積分的幾何意義，二重積分的值等于以D

為底，為頂?shù)那斨w體積以曲面D

是X－型區(qū)域1.二重積分的計(jì)算任取平面故曲頂柱體體積為截面積為截柱體的記作利用平行截面面積是已知的立體的體積求截面面積累次積分若D為Y

-型區(qū)域則D

是Y－型區(qū)域記作說明:(1)若積分區(qū)域既是X-型區(qū)域又是Y

-型區(qū)域,為計(jì)算方便,可選擇積分序,必要時(shí)還可以交換積分序.則有(2)若積分域較復(fù)雜,可將它分成若干X-

型域或Y-

型域,則化為二次積分，其中D是由直線

所圍成的平面區(qū)域。解：例9.2.1將將D看作X-型區(qū)域,則及則化為二次積分，其中D是由直線

所圍成的平面區(qū)域。解：例9.2.1將將D看作Y-型區(qū)域,則及則所圍成的閉區(qū)域.解法1例9.2.2計(jì)算將D看作X-型區(qū)域,則其中D是由直線及所圍成的閉區(qū)域.解法2例9.2.2計(jì)算將D看作Y-型區(qū)域,則其中D是由直線及例9.2.3計(jì)算其中D是拋物線所圍成的閉區(qū)域.解法1及直線則為計(jì)算簡(jiǎn)便,可看作Y－型區(qū)域例9.2.3計(jì)算其中D是拋物線所圍成的閉區(qū)域.解法2及直線則看作X－型區(qū)域則D

需分成和兩部分，軸所圍成的閉區(qū)域.例9.2.4計(jì)算其中D是由直線及解法1將D看作Y-型區(qū)域,則例9.2.5計(jì)算其中

解則根據(jù)區(qū)域的特點(diǎn)去掉被積函數(shù)的絕對(duì)值號(hào)則D

需分成和兩部分，2.交換積分次序計(jì)算二次積分例9.2.6交換二次積分的積分次序.解由題知，對(duì)應(yīng)的X型積分區(qū)域是畫出積分區(qū)域D如圖9.16所示，將D換寫成Y型區(qū)域如圖9.17所示所以例9.2.7計(jì)算二次積分的值.解積分區(qū)域D如圖由于故改變積分次序所以的原函數(shù)不是初等函數(shù)，設(shè)函數(shù)D位于x軸上方的部分為D1,區(qū)域關(guān)于y軸對(duì)稱,函數(shù)關(guān)于x有奇偶性時(shí),有類似結(jié)果在D上在閉區(qū)域上連續(xù),域D關(guān)于x軸對(duì)稱,則曲面關(guān)于xoz

面對(duì)稱則3.對(duì)稱性的應(yīng)用例9.2.8計(jì)算其中D由所圍成.解:

令由于D關(guān)于y軸對(duì)稱，并且與直線內(nèi)容小結(jié)(1)二重積分化為二次積分的方法直角坐標(biāo)系情形:

若積分區(qū)域?yàn)閯t

若積分區(qū)域?yàn)閯t(2)計(jì)算步驟及注意事項(xiàng)?