2024春新教材高中數(shù)學(xué)第六章平面向量及其應(yīng)用6.4平面向量的應(yīng)用6.4.1平面幾何中的向量方法分層演練含解析新人教A版必修第二冊

6.4平面對量的應(yīng)用A級基礎(chǔ)鞏固1.在△ABC中,設(shè)AB=c,BC=a,CA=b,若c·(c+a-b)<0,則△ABC是()A.直角三角形 B.銳角三角形C.鈍角三角形 D.無法確定其形態(tài)解析:由已知,得AB·(AB+BC-CA)=AB·2AC<0,所以A為鈍角.所以△ABC為鈍角三角形.答案:C2.在四邊形ABCD中,AB=(12,2),BC=(x,y),CD=(-4,-6).若BC∥DA,且AC⊥BD,則四邊形ABCD的面積為 ()A.16 B.64 C.32 D.128解析:AD=AB+BC+CD=(x+8,y-4),AC=AB+BC=(x+12,y+2),BD=BC+CD=(x-4,y-6).因為BC∥DA,且AC⊥BD,DA=-AD,所以y解得x=4,所以|AC|=16,|BD|=8或|AC|=8,|BD|=16,所以S四邊形ABCD=12|AC|·|BD|=64故選B.答案:B3.已知△ABC的重心是點G,CA的中點為點M,且A,M,G三點的坐標分別是(6,6),(7,4),（163,83）,則|BC|為 (A.410 B.10 C.102 D.2解析:設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2),由條件可知6+x22=7,6+因為6+8+x13=16所以|BC|=|BC|=(8-2)2答案:D4.在△ABC中,若13(OA+OB+OC)=OG,則點G是△ABC的(A.內(nèi)心 B.外心 C.垂心 D.重心解析:因為13(OA+OB+OC)=OG,所以GA-GO+GB-GO+GC-GO=3OG,化簡得GA+GB+GC=0,故點G為△ABC的重心答案:D5.如圖所示,在平行四邊形ABCD中,AD=1,AB=2,對角線BD=2,求對角線AC的長.解:設(shè)AD=a,AB=b,則BD=a-b,AC=a+b.因為|BD|=|a-b|=a21+4-2a·所以5-2a·b=4,所以a·b=12因為|AC|2=|a+b|2=a2+2a·b+b2=1+4+2a·b=6,所以|AC|=6,即AC=6.B級實力提升6.在△ABC所在的平面內(nèi)有一點P,滿意PA+PB+PC=AB,則△PBC與△ABC的面積之比是 ()A.13 B.12 C.2解析:由PA+PB+PC=AB,得PA+PB+BA+PC=0,即PC=2AP,所以點P是CA邊上的三等分點(靠近點A),如圖所示.故S△PBCS△ABC答案:C7.在Rt△ABC中,點D是斜邊AB的中點,點P為線段CD的中點,則|PA|2+A.2 B.4 C.5 D.10解析:將△ABC各邊及PA,PB,PC均用向量表示,則|=PA=(=2=AB2PC2-6=4答案:D8.△ABC是等腰直角三角形,∠B=90°,D是BC邊的中點,BE⊥AD,延長BE交AC于點F,連接DF,求證:∠ADB=∠FDC.證明:如圖所示,建立直角坐標系,設(shè)A(2,0),C(0,2),則D(0,1),所以AD=(-2,1),AC=(-2,2).設(shè)F(x,y),由BF⊥AD,得BF·AD=0,即-2x+y=0, ①因為點F在AC上,則FC∥AC.因為FC=(-x,2-y),所以2×(-x)-(-2)×(2-y)=0,即x+y=2. ②由①②聯(lián)立得x=23,y=4所以F（23,43）,DF=（23,因為DC=(0,1),所以DF·DC=13因為DF·DC=|DF||DC|cos∠FDC=53cosθ所以cos∠FDC=55因為cos∠ADB=|BD||AD|所以cos∠ADB=cos∠FDC,故∠ADB=∠FDC.C級挑戰(zhàn)創(chuàng)新9.多空題已知A,B是圓心為C、半徑為5的圓上的兩點,且|AB|=5,則∠ACB=60°,AC·CB=-52解析:由弦長|AB|=5可知∠ACB=60°,所以AC·CB=-CA·CB=-|CA||CB|cos∠ACB=-5210.多空題在四邊形ABCD中,AC=(1,2),BD=(-4,2),則AC與BD的夾角θ為π2;四邊形ABCD的面積為5解析:由題意知AC,BD