吉林省四平市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（A卷）

2024-2025學(xué)年吉林省四平市高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（A卷）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5分）拋物線y＝x2的準(zhǔn)線方程是（）A．y＝﹣1 B．y＝1 C．x＝﹣ D．x＝2．（5分）已知曲線表示雙曲線，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A． B．（5，+∞） C． D．3．（5分）與直線2x+y＝0垂直，且在x軸上的截距為﹣2的直線方程為（）A．x﹣2y+2＝0 B．x﹣2y﹣2＝0 C．2x﹣y+2＝0 D．2x﹣y﹣2＝04．（5分）已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的短軸長(zhǎng)為2，則其離心率為（）A． B． C． D．5．（5分）若圓O1：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25和圓O2：（x+2）2+（y+8）2＝r2（5＜r＜10）相切，則r等于（）A．6 B．7 C．8 D．96．（5分）已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)F與橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)重合，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A．y2＝2x B．y2＝4x C．y2＝8x D．y2＝16x7．（5分）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P是雙曲線C右支上的一點(diǎn)上的一點(diǎn)，則|PF|+|PM|的最小值為（）A．5 B． C．7 D．88．（5分）已知直線l：x﹣my+4m﹣3＝0（m∈R），點(diǎn)P在圓x2+y2＝1上，則點(diǎn)P到直線l的距離的最大值為（）A．3 B．4 C．5 D．6二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。（多選）9．（6分）已知直線y＝2x與x+y+a＝0交于點(diǎn)P（1，b），則（）A．a(chǎn)＝﹣3 B．b＝2 C．點(diǎn)P到直線ax+by+3＝0的距離為 D．點(diǎn)P到直線ax+by+3＝0的距離為（多選）10．（6分）直線y＝2x+m與曲線恰有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的值可能是（）A．4 B．5 C．3 D．（多選）11．（6分）已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過點(diǎn)F的直線與拋物線交于P（x1，y1），Q（x2，y2）兩點(diǎn)，點(diǎn)P在l上的射影為P1，則下列說(shuō)法正確的是（）A．若x1+x2＝5，則|PQ|＝7 B．以PQ為直徑的圓與準(zhǔn)線l相交 C．設(shè)M（0，1），則 D．過點(diǎn)M（0，1）與拋物線C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有3條三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．（5分）已知雙曲線（b＞0）的焦點(diǎn)到漸近線的距離為4，則該雙曲線的漸近線方程為．13．（5分）過點(diǎn)（2，4）作圓x2+y2＝4的切線，則切線方程為．14．（5分）橢圓C：的四個(gè)頂點(diǎn)組成的四邊形的面積為，且C的離心率為，則C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為；直線l：y＝kx+2（k≠0）與C交于M，N兩點(diǎn)，若以MN為直徑的圓過點(diǎn)E（﹣1，0），則k的值為．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過程及演算步驟。15．（13分）已知點(diǎn)P（﹣1，2），求滿足下列條件的直線l的一般方程．（1）經(jīng)過點(diǎn)P，且在y軸上的截距是x軸上截距的4倍；（2）經(jīng)過點(diǎn)P，且與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為．16．（15分）已知圓C的方程為x2+y2﹣4x+6y﹣m＝0．（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）若圓C與直線l：x+y+3＝0交于M，N兩點(diǎn)，且|MN|＝2，求m的值17．（15分）已知橢圓C：（）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P是橢圓C上的一點(diǎn)．（1）若a＝3，求的取值范圍；（2）若∠F1PF2＝120°，求△F1PF2的面積．18．（17分）如圖，已知拋物線M：y2＝2px（p＞0）與圓N：（x﹣3）2+y2＝4交于A，B，C，D四點(diǎn)，直線AC與直線BD相交于點(diǎn)E．（1）求p的取值范圍；（2）求點(diǎn)E的坐標(biāo)．19．（17分）已知等軸雙曲線C：的左，右頂點(diǎn)分別為A，B，且．（1）求雙曲線C的方程；（2）過點(diǎn)（2，0）的直線l交雙曲線C于D，E兩點(diǎn)（不與A，B重合），證明：點(diǎn)P在定直線上，并求出該定直線的方程．

2024-2025學(xué)年吉林省四平市高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（A卷）參考答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5分）拋物線y＝x2的準(zhǔn)線方程是（）A．y＝﹣1 B．y＝1 C．x＝﹣ D．x＝【答案】A【分析】先根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程得到焦點(diǎn)在y軸上以及2p，再直接代入即可求出其準(zhǔn)線方程．【解答】解：因?yàn)閽佄锞€的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2＝4y，焦點(diǎn)在y軸上；所以：6p＝4，即p＝2，所以：＝1，所以準(zhǔn)線方程y＝﹣1．故選：A．2．（5分）已知曲線表示雙曲線，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A． B．（5，+∞） C． D．【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程列不等式求解．【解答】解：由題意知，（2m﹣3）（m﹣8）＜0，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是．故選：D．3．（5分）與直線2x+y＝0垂直，且在x軸上的截距為﹣2的直線方程為（）A．x﹣2y+2＝0 B．x﹣2y﹣2＝0 C．2x﹣y+2＝0 D．2x﹣y﹣2＝0【答案】A【分析】根據(jù)題意，求出要求直線的斜率，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程可得直線的方程，變形可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，要求直線與2x+y＝0垂直，又由要求直線在x軸上的截距為﹣2，則有y﹣5＝，變形可得x﹣4y+2＝0，故選：A．4．（5分）已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的短軸長(zhǎng)為2，則其離心率為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)橢圓的定義和性質(zhì)即可求解．【解答】解：由橢圓的短軸長(zhǎng)為2，a2＝4，即b＝1，因此，又橢圓的離心率．故選：A．5．（5分）若圓O1：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25和圓O2：（x+2）2+（y+8）2＝r2（5＜r＜10）相切，則r等于（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再根據(jù)兩圓相內(nèi)切、相外切的條件，分別求得r的值．【解答】解：圓（x﹣3）2+（y﹣2）2＝25的圓心M（3，3）；圓（x+2）2+（y+5）2＝r2的圓心N（﹣5，﹣8）．若它們相內(nèi)切，則圓心距等于半徑之差，即，求得r＝18或﹣8．若它們相外切，則圓心距等于半徑之和，即，求得r＝2或﹣18（舍去）．故選：C．6．（5分）已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)F與橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)重合（）A．y2＝2x B．y2＝4x C．y2＝8x D．y2＝16x【答案】B【分析】求出橢圓E的焦點(diǎn)，寫出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，列出等量關(guān)系，求出p，即可得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【解答】解：橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣6，0），拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（，2），因?yàn)閽佄锞€C：y2＝2px（p＞7）的焦點(diǎn)F與橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)重合，所以＝1，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝8x．故選：B．7．（5分）已知雙曲線的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P是雙曲線C右支上的一點(diǎn)上的一點(diǎn)，則|PF|+|PM|的最小值為（）A．5 B． C．7 D．8【答案】C【分析】由雙曲線定義|PF|等于P到右焦點(diǎn)F1的距離|PF1|+4，而|PF1|+|PM|的最小值是|EF1|﹣r（r是圓半徑），由此可得結(jié)論．【解答】解：記雙曲線C的右焦點(diǎn)為，所以|PF|+|PM|＝|PF1|+|PM|+7≥|PF1|+|PE|+4﹣6≥|EF1|+3＝7+3＝7，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P為線段EF4與雙曲線C的交點(diǎn)時(shí)，取到最小值．故選：C．8．（5分）已知直線l：x﹣my+4m﹣3＝0（m∈R），點(diǎn)P在圓x2+y2＝1上，則點(diǎn)P到直線l的距離的最大值為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】利用直線系方程可得直線所過定點(diǎn)，求出圓心到直線的最短距離，加上半徑得答案．【解答】解：直線l：x﹣my+4m﹣3＝5（m∈R）過定點(diǎn)（3，4），圓x2+y2＝1的圓心（5，0）到直線l距離的最大值為，圓x2+y2＝1的半徑為7，則圓上的點(diǎn)P到直線l的距離的最大值為5+1＝8．故選：D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。（多選）9．（6分）已知直線y＝2x與x+y+a＝0交于點(diǎn)P（1，b），則（）A．a(chǎn)＝﹣3 B．b＝2 C．點(diǎn)P到直線ax+by+3＝0的距離為 D．點(diǎn)P到直線ax+by+3＝0的距離為【答案】ABD【分析】由直線y＝2x與x+y+a＝0交于點(diǎn)P（1，b）知，從而解出a，b；再求點(diǎn)到直線的距離即可．【解答】解：∵直線y＝2x與x+y+a＝0交于點(diǎn)P（8，b），∴，解得b＝2，a＝﹣6；故點(diǎn)P（1，2），故點(diǎn)P到直線ax+by+4＝0的距離為＝，故選：ABD．（多選）10．（6分）直線y＝2x+m與曲線恰有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的值可能是（）A．4 B．5 C．3 D．【答案】AD【分析】由曲線表示圓x2+y2＝4在x軸的上半部分，利用直線與圓相切求出m的值，結(jié)合圖形即可得答案．【解答】解：如圖：曲線表示圓x4+y2＝4在x軸的上半部分，當(dāng)直線y＝6x+m與圓x2+y2＝2相切時(shí)，，解得，當(dāng)點(diǎn)（﹣2，2）在直線y＝2x+m上時(shí)，所以由圖可知實(shí)數(shù)m的取值范圍為．故選：AD．（多選）11．（6分）已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過點(diǎn)F的直線與拋物線交于P（x1，y1），Q（x2，y2）兩點(diǎn)，點(diǎn)P在l上的射影為P1，則下列說(shuō)法正確的是（）A．若x1+x2＝5，則|PQ|＝7 B．以PQ為直徑的圓與準(zhǔn)線l相交 C．設(shè)M（0，1），則 D．過點(diǎn)M（0，1）與拋物線C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有3條【答案】ACD【分析】根據(jù)焦點(diǎn)弦公式即可判斷A；求出線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)及圓的半徑，從而可判斷B；根據(jù)拋物線的定義可得|PM|+|PP1|＝|PM|+|PF|≥|MF|，即可判斷C；分直線斜率存在和不存在兩種情況討論，結(jié)合根的判別式即可判斷D．【解答】解：拋物線C：y2＝4x焦點(diǎn)F（6，0），由題意|PQ|＝x1+x2+p＝7，故A正確；因?yàn)閨PQ|＝x1+x7+2，則以PQ為直徑的圓的半徑，線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則線段PQ的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，所以以PQ為直徑的圓與準(zhǔn)線l相切，故B錯(cuò)誤；拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F（5，0），又，當(dāng)且僅當(dāng)M，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，所以，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y＝kx+5，聯(lián)立，得ky2﹣4y+5＝0，當(dāng)k＝0時(shí)，方程的解為y＝7，當(dāng)k≠0時(shí)，則Δ＝16﹣16k＝0，綜上所述，過點(diǎn)M（8，故D正確．故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．（5分）已知雙曲線（b＞0）的焦點(diǎn)到漸近線的距離為4，則該雙曲線的漸近線方程為．【答案】．【分析】由雙曲線方程確定一個(gè)焦點(diǎn)、一條漸近線，利用點(diǎn)線距離公式列方程求參數(shù)b，即可寫出漸近線方程．【解答】解：由題設(shè)，雙曲線其中一個(gè)焦點(diǎn)為，所以，故該雙曲線的漸近線方程為．故答案為：．13．（5分）過點(diǎn)（2，4）作圓x2+y2＝4的切線，則切線方程為3x﹣4y+10＝0或x＝2．【答案】3x﹣4y+10＝0或x＝2．【分析】由圓的方程找出圓心坐標(biāo)與半徑r，分兩種情況考慮：當(dāng)過P的切線斜率不存在時(shí)，直線x＝2滿足題意；當(dāng)過P的切線斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，由圓心到切線的距離等于圓的半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于k的方程，求出方程的解得到k的值，確定出此時(shí)切線方程，可求．【解答】解：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為x＝2符合題意；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，可設(shè)直線方程為y﹣4＝k（x﹣3），由直線與圓相切的性質(zhì)可得，＝2，解得k＝，此時(shí)直線方程為3x﹣4y+10＝0．故答案為：3x﹣8y+10＝0或x＝2．14．（5分）橢圓C：的四個(gè)頂點(diǎn)組成的四邊形的面積為，且C的離心率為2；直線l：y＝kx+2（k≠0）與C交于M，N兩點(diǎn)（﹣1，0），則k的值為．【答案】2，．【分析】由題意可得：×2a×2b＝2，＝，a2＝b2+c2，聯(lián)立解得：a，b，c，可得C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)．直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為：（1+3k2）x2+12kx+9＝0，Δ＞0，以MN為直徑的圓過點(diǎn)E（﹣1，0），可得?＝0，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系代入即可得出結(jié)論．【解答】解：由題意可得：×5a×2b＝2，＝，a6＝b2+c2，聯(lián)立解得：a＝，b＝1，∴C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4．∴橢圓C的方程為+y2＝1．設(shè)M（x5，y1），N（x2，y3），聯(lián)立，化為：（7+3k2）x4+12kx+9＝0，Δ＝（12k）3﹣4×9×（5+3k2）＞5，化為k2＞1．∴x5+x2＝﹣，x1x3＝，∵以MN為直徑的圓過點(diǎn)E（﹣1，7），∴?＝（x1+1，y5）?（x2+1，y8）＝（x1+1）（x2+1）+y1y8＝0，化為（2k+4）（x1+x2）+（（k6+1）x1x7+5＝0，∴（7k+1）（﹣）+5+1）+5＝3，化為：k＝，滿足Δ＞3．故答案為：2，．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過程及演算步驟。15．（13分）已知點(diǎn)P（﹣1，2），求滿足下列條件的直線l的一般方程．（1）經(jīng)過點(diǎn)P，且在y軸上的截距是x軸上截距的4倍；（2）經(jīng)過點(diǎn)P，且與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）若直線l經(jīng)過原點(diǎn)，利用點(diǎn)斜式即可得出方程．若直線l不經(jīng)過原點(diǎn)，可設(shè)方程為：+＝1，把點(diǎn)P（﹣1，2）代入解得a即可得出方程．（2）設(shè)直線l的方程為：+＝1，把點(diǎn)P（﹣1，2）代入可得：+＝1，|ab|＝，聯(lián)立解出即可得出．【解答】解：（1）若直線l經(jīng)過原點(diǎn)，則方程為：y＝，即6x+y＝0．若直線l不經(jīng)過原點(diǎn)，可設(shè)方程為：+，把點(diǎn)P（﹣8，2）代入可得：+，解得a＝﹣＝1．綜上可得直線l的一般方程為：5x+y＝0，或4x+y+2＝0．（2）設(shè)直線l的方程為：+＝1，8）代入可得：+，又|ab|＝，聯(lián)立，解得，∴直線l的一般方程為：x+y﹣1＝0，8x+y+2＝0．16．（15分）已知圓C的方程為x2+y2﹣4x+6y﹣m＝0．（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）若圓C與直線l：x+y+3＝0交于M，N兩點(diǎn)，且|MN|＝2【答案】（1）（﹣13，+∞）；（2）﹣8．【分析】（1）將圓C的一般方程用配方法化為標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而得到13+m＞0，解之即可；（2）利用弦長(zhǎng)公式求得r，進(jìn)而得到，易得m的值．【解答】解：（1）方程x2+y2﹣2x+6y﹣m＝0可化為（x﹣2）2+（y+3）6＝13+m，∵此方程表示圓，∴13+m＞0，即m＞﹣13，+∞）．（2）由（1）可得圓心C（2，﹣5），則圓心C（2，﹣3）到直線l：x+y+4＝0的距離為，由弦長(zhǎng)公式及，得，解得，∴，得m＝﹣8．17．（15分）已知橢圓C：（）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P是橢圓C上的一點(diǎn)．（1）若a＝3，求的取值范圍；（2）若∠F1PF2＝120°，求△F1PF2的面積．【答案】（1）[1，5]；（2）．【分析】（1）由題設(shè)F1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0），設(shè)P（x，y），應(yīng)用數(shù)量積的坐標(biāo)表示及橢圓的有界性求范圍；（2）由橢圓定義及余弦定理求得|PF1||PF2|＝20，利用三角形面積公式求面積即可．【解答】解：（1）若a＝3，則橢圓方程為1（﹣2，4），F(xiàn)2（2，8），設(shè)P（x，y），故，所以，又，且4≤y2≤5，則．（2）由題設(shè)，，由|PF1|+|PF8|＝2a，且，所以＝，綜上，．18．（17分）如圖，已知拋物線M：y2＝2px（p＞0）與圓N：（x﹣3）2+y2＝4交于A，B，C，D四點(diǎn)，直線AC與直線BD相交于點(diǎn)E．（1）求p的取值范圍；（2）求點(diǎn)E的坐標(biāo)．【答案】（1）．（2）．【分析】（1）利用拋物線與圓由4個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合判別式列出不等式組，求解即可．（2）設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），求解D、C坐標(biāo)，利用對(duì)稱性，轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：（1）圓N：（x﹣3）2+y8＝4，化為x2+y4﹣6x+5＝8，將拋物線M的方程代入圓N的方程有x2+2px﹣5x+5＝0，p＞3，由拋物線M與圓N相交有四個(gè)交點(diǎn)，必有解得，故p的取值范圍為；（2）設(shè)點(diǎn)A，