2024-2025學(xué)年上海川沙中學(xué)高三上學(xué)期數(shù)學(xué)期中試卷及答案（2024.10）（含答案）

參考答案一、填空題1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.；11.12.11．已知，，是平面向量，與是單位向量，且，若，則的最小值為__________．【答案】【解析】建立平面直角坐標(biāo)系，由已知可設(shè)，

因?yàn)?所以,整理得，，所以點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心,以1為半徑的圓上,又由圓的性質(zhì)，得的最小值為故答案為:.12．已知定義在上的函數(shù)存在導(dǎo)數(shù)，對(duì)任意的實(shí)數(shù)，都有，且當(dāng)時(shí)，恒成立是，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】由,得,記,則有,即為偶函數(shù),又當(dāng)時(shí),恒成立,所以在上單調(diào)遞增,所以由,得,即,所以,所以,即,解得:,故答案為二、選擇題13.A14.A15.C16.D15．設(shè)這等差數(shù)列，下列命題中正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【解析】依題意,是等差數(shù)列不妨設(shè)：前三項(xiàng)為,則故錯(cuò)誤,則故錯(cuò)誤

設(shè)公差為則:故錯(cuò)誤，排除

綜上所述,答案選擇:16．在正方體中，點(diǎn)，分別是線段，上的點(diǎn)（不為端點(diǎn)），給出如下兩個(gè)命題：①對(duì)任意點(diǎn)，均存在點(diǎn)，使得；②存在點(diǎn)，對(duì)任意的，均有，則（）A．①②均正確 B．①②均不正確C．①正確，②不正確 D．①不正確，②正確【答案】D【解析】對(duì)于①,如圖,連接在正方體中,有正方形,所以,又,所以四邊形為平行四邊形,故確定唯一的平面,又平面平面,所以

又平面,所以平面因?yàn)槠矫?所以對(duì)任意點(diǎn),都有,只有與重合才符合題意,與不為端點(diǎn)矛盾,故對(duì)任意點(diǎn),不存在點(diǎn),使得,故①不正確;對(duì)于②,如圖,連接交于,連接由①得平面,又,,所以四邊形為平行四邊形,所以,則平面,因?yàn)槠矫?所以又因?yàn)檎叫?所以,又平面平面,所以,

因?yàn)槠矫?所以平面,又平面,所以,因?yàn)槠矫?所以平面,又平面,所以于是當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí),存在點(diǎn),對(duì)任意的,均有,故②正確.故選：D.三．解答題17.（1）證明略（2）18.（1）（2）19.（1）（2）（i）（ii）20．設(shè)常數(shù)，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，直線，曲線（，），與軸交于點(diǎn)、與交于點(diǎn)，、分別是曲線與線段上的動(dòng)點(diǎn)．（1）用表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離；（2）設(shè)，，線段的中點(diǎn)在直線上，求的面積；（3）設(shè)，是否存在以、為鄰邊的矩形，使得點(diǎn)在上？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．【答案】（1）（2）（3）存在，【解析】(1)方法一:由題意可知：設(shè),則,

方法二：由題意可知：設(shè),由拋物線的性質(zhì)可知:,

(2),則,,設(shè)的中點(diǎn),,,則直線方程:,聯(lián)立,整理得:解得:(舍去),的面積;

(3)存在,設(shè),則

直線方程為,,根據(jù),則,解得:存在以為鄰邊的矩形,使得點(diǎn)在上,且.21．已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，求的嚴(yán)格增區(qū)間；（2）若恒成立，求的值；（3）對(duì)于任意正整數(shù)，是否存在整數(shù)，使得不等式成立？若存在，請求出的最小值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）（3）存在，最小值為3【解析】(1)當(dāng)時(shí),,定義域?yàn)?得,所以的嚴(yán)格增區(qū)間為.(2),①當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞增,又,所以當(dāng)時(shí),,不符合題意;②當(dāng)時(shí),令,得,令,得,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以又所以當(dāng)時(shí),,不符合