《自動(dòng)控制原理》課件第三章

第三章線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法

3.1線性系統(tǒng)的時(shí)域性能指標(biāo)3.2線性系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能分析3.3線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析3.4線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算3.5Matlab應(yīng)用實(shí)例

3.1線性系統(tǒng)的時(shí)域性能指標(biāo)

在確定系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型后，便可以分析控制系統(tǒng)的性能。在經(jīng)典控制理論中，常用時(shí)域分析法、根軌跡分析法或頻域分析法來分析線性系統(tǒng)的性能。本章主要研究用于線性系統(tǒng)性能分析的時(shí)域分析法。

設(shè)描述線性定常系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為Φ(s)，系統(tǒng)給定輸入信號的拉普拉斯變換式為R(s)，系統(tǒng)輸出信號的拉普拉斯變換式為C(s)。在零初始條件下，可得到系統(tǒng)輸出的時(shí)域解為

(3-1)

1.典型輸入信號

控制系統(tǒng)中常用的典型輸入信號有脈沖函數(shù)、階躍函數(shù)、斜坡函數(shù)、加速度函數(shù)和正弦函數(shù)等，現(xiàn)將幾種典型輸入信號列于表3-1中。

2.動(dòng)態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)性能

穩(wěn)定是控制系統(tǒng)能夠運(yùn)行的首要條件，因此只有當(dāng)動(dòng)態(tài)過程收斂時(shí)，研究系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能才有意義。

1)動(dòng)態(tài)性能

通常在階躍函數(shù)作用下，測定或計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。一般認(rèn)為，階躍輸入對系統(tǒng)來說是最嚴(yán)峻的工作狀態(tài)。如果系統(tǒng)在階躍函數(shù)作用下的動(dòng)態(tài)性能滿足要求，那么系統(tǒng)在其他形式函數(shù)的作用下，其動(dòng)態(tài)性能也是令人滿意的。

描述穩(wěn)定的系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下，動(dòng)態(tài)過程隨時(shí)間t的變化狀況的指標(biāo)稱為動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。為了便于分析和比較，假定系統(tǒng)在單位階躍輸入信號作用前處于靜止?fàn)顟B(tài)，而且輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)均為零。對于大多數(shù)控制系統(tǒng)來說，這種假設(shè)是符合實(shí)際情況的。對于圖3-1所示單位階躍響應(yīng)h(t)，其動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)通常如下：

(1)延遲時(shí)間td：指響應(yīng)曲線第一次達(dá)到其終值h(∞)的一半所需的時(shí)間。

(2)上升時(shí)間tr：指響應(yīng)曲線從終值的10%上升到終值的90%所需的時(shí)間。對于有振蕩的系統(tǒng)，亦可定義為響應(yīng)第一次上升到終值所需的時(shí)間。上升時(shí)間是系統(tǒng)響應(yīng)速度的一種度量，上升時(shí)間越短，響應(yīng)速度越快。

(3)峰值時(shí)間tp：指響應(yīng)曲線超過其終值到達(dá)第一個(gè)峰值所需的時(shí)間。

(4)調(diào)節(jié)時(shí)間ts：指響應(yīng)曲線到達(dá)并保持在終值±5%范圍內(nèi)所需的時(shí)間。

(5)超調(diào)量σ%：指響應(yīng)曲線的最大偏離量h(tp)與終值h(∞)的差與終值h(∞)比的百分?jǐn)?shù)，即(3-2)若h(tp)＜h(∞)，則響應(yīng)無超調(diào)量。超調(diào)量也稱為最大超調(diào)量或百分比超調(diào)量。上述五個(gè)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)基本上可以體現(xiàn)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過程的特征。在實(shí)際應(yīng)用中，常用的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)多為上升時(shí)間、調(diào)節(jié)時(shí)間和超調(diào)量。通常，用tr或tp評價(jià)系統(tǒng)的響應(yīng)速度，用σ%評價(jià)系統(tǒng)的阻尼程度，而ts是同時(shí)反映響應(yīng)速度和阻尼程度的綜合性指標(biāo)。圖3-1單位階躍響應(yīng)

2)穩(wěn)態(tài)性能

穩(wěn)態(tài)誤差是描述系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的一種性能指標(biāo)，通常在階躍函數(shù)、斜坡函數(shù)或加速度函數(shù)作用下進(jìn)行測定或計(jì)算。若時(shí)間趨于無窮時(shí)，系統(tǒng)的輸出量不等于輸入量或輸入量的確定函數(shù)，則系統(tǒng)就存在穩(wěn)態(tài)誤差。穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)控制精度或抗擾動(dòng)能力的一種度量。

3.2線性系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能分析

3.2.1一階系統(tǒng)分析

凡是以一階微分方程作為運(yùn)動(dòng)方程的控制系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)。在工程實(shí)踐中，一階系統(tǒng)不乏其例。有些高階系統(tǒng)的特性，?？捎靡浑A系統(tǒng)的特性來近似表征。

1.一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

研究圖3-2(a)所示RC電路，其運(yùn)動(dòng)微分方程為(3-3)式中，T=RC為時(shí)間常數(shù)。當(dāng)電路的初始條件為零時(shí)，其傳遞函數(shù)為

對應(yīng)的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖3-2(b)所示。可以證明，室溫調(diào)節(jié)系統(tǒng)、恒溫箱以及水位調(diào)節(jié)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)形式與式(3-4)完全相同，僅僅是時(shí)間常數(shù)的含義有所區(qū)別。因此，式(3-3)或式(3-4)稱為一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。在以下的分析和計(jì)算中，均假設(shè)系統(tǒng)的初始條件為零。

應(yīng)當(dāng)指出，具有同一運(yùn)動(dòng)方程或傳遞函數(shù)的所有線性系統(tǒng)，對同一輸入信號的響應(yīng)是相同的。當(dāng)然，對于不同形式或不同功能的一階系統(tǒng)，其響應(yīng)特性的數(shù)學(xué)表達(dá)式具有不同的物理意義。(3-4)圖3-2一階控制系統(tǒng)

2.一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

設(shè)一階系統(tǒng)的輸入信號為單位階躍函數(shù)r(t)=1(t)，則由式(3-4)可得一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為

h(t)=1－e－t/T，t≥0(3-5)

由式(3-5)可見，一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是一條初值為零、以指數(shù)規(guī)律上升到終值hss=1的曲線，如圖3-3所示。圖3-3一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線3.2.2二階系統(tǒng)分析

1.二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

在上一章中，例2-1、例2-2和例2-3都是由二階微分方程來描述的，它們的傳遞函數(shù)都可轉(zhuǎn)化為典型二階系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)形式，其相應(yīng)的結(jié)構(gòu)圖如圖3-4所示。圖3-4標(biāo)準(zhǔn)形式的二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖由圖3-4可知:

(3-6)或(3-7)二階系統(tǒng)的特征方程為s2+2ζωns+ω2n=0

(3-8)其兩個(gè)根(閉環(huán)極點(diǎn))為(3-9)

2.二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

當(dāng)二階系統(tǒng)的輸入為單位階躍函數(shù)時(shí)，其輸出響應(yīng)將根據(jù)ζ取值范圍的不同而有不同的響應(yīng)形式，現(xiàn)以三種情況給出相應(yīng)的響應(yīng)形式，如式(3-10)、式(3-11)和式(3-12)所示。

1)欠阻尼(0＜ζ＜1)二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

系統(tǒng)有兩個(gè)實(shí)部為負(fù)的共軛復(fù)極點(diǎn)

由式(3-10)可知:(3-13)

2)無阻尼(ζ=0)二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

系統(tǒng)有兩個(gè)共軛純虛根s1=jωn，s2=－jωn

由式(3-10)可知系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為

h(t)=1－cosωnt

(3-14)

這是一條平均值為1的正弦或余弦形式的等幅振蕩，其振蕩頻率為ωn，它僅取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)，故稱ωn為無阻尼振蕩頻率。這種情況稱為無阻尼狀態(tài)。

3)臨界阻尼(ζ=1)二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

由式(3-13)可知此時(shí)的系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)為

h(t)=1－e－ωnt(1+ωnt)

上式表明，當(dāng)ζ=1時(shí)，二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是穩(wěn)態(tài)值為1的無超調(diào)、單調(diào)上升過程，其變化率為當(dāng)t=0時(shí)，響應(yīng)過程的變化率為零；當(dāng)t＞0時(shí)，響應(yīng)過程的變化率為正，響應(yīng)過程單調(diào)上升；當(dāng)t→∞時(shí)，響應(yīng)過程的變化率趨于零，響應(yīng)過程趨于常值1。這種情況稱為臨界阻尼狀態(tài)。

4)過阻尼(ζ＞1)二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

特征根為兩個(gè)負(fù)實(shí)根令由式(3-12)可得此時(shí)二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為(3-15)以上四種情況的單位階躍響應(yīng)曲線如圖3-5所示，其橫坐標(biāo)為無因次時(shí)間ωnt。由圖3-5可見，在過阻尼和臨界阻尼響應(yīng)曲線中，臨界阻尼響應(yīng)具有最短的上升時(shí)間，響應(yīng)速度最快；在欠阻尼響應(yīng)曲線中，阻尼比越小，超調(diào)量越大，上升時(shí)間越短，通常取ζ=0.4～0.8為宜，此時(shí)超調(diào)量適度，調(diào)節(jié)時(shí)間較短；若二階系統(tǒng)具有相同的ζ和不同的ωn，則其振蕩特性相同，但響應(yīng)速度不同，ωn越大，響應(yīng)速度越快。

由于欠阻尼二階系統(tǒng)與過阻尼(含臨界阻尼)二階系統(tǒng)具有不同形式的響應(yīng)曲線，因此它們的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)的估算方法也不盡相同。下面將分別加以討論。圖3-5二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線

3.欠阻尼二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過程分析

在控制工程中，除了那些不允許產(chǎn)生振蕩響應(yīng)的系統(tǒng)外，通常都希望控制系統(tǒng)具有適度的阻尼、較快的響應(yīng)速度和較短的調(diào)節(jié)時(shí)間。在欠阻尼二階系統(tǒng)的各項(xiàng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)中，除峰值時(shí)間、超調(diào)量和上升時(shí)間可用ζ和ωn準(zhǔn)確表示外，延遲時(shí)間和調(diào)節(jié)時(shí)間都很難用ζ和ωn準(zhǔn)確描述，而不得不采用工程上的近似計(jì)算方法。

為了便于說明改善系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的方法，圖3-6給出了欠阻尼二階系統(tǒng)各特征參量之間的關(guān)系。由圖可見：衰減系數(shù)σ是閉環(huán)極點(diǎn)到虛軸的距離；阻尼振蕩頻率ωd是閉環(huán)極點(diǎn)到實(shí)軸的距離；自然頻率ωn是閉環(huán)極點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離；ωn所代表的矢量與負(fù)實(shí)軸夾角的余弦正好是阻尼比，即ζ=cosβ，因此將β稱為阻尼角。下面將推導(dǎo)式(3-6)所描述的無零點(diǎn)欠阻尼二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)計(jì)算公式。圖3-6欠阻尼二階系統(tǒng)的特征參量

1)延遲時(shí)間td的計(jì)算

在式(3-13)中，令h(td)=0.5，可得td的隱函數(shù)表達(dá)式為則ωntd和ζ的關(guān)系曲線圖如圖3-7所示。利用曲線擬合法，在較大的ζ范圍內(nèi)，近似有(3-16)當(dāng)0＜ζ＜1時(shí)，亦可用下式近似描述：(3-17)上述兩式表明，增大自然頻率或減小阻尼比，都可以減小延遲時(shí)間。或者說，當(dāng)阻尼比不變時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)距離復(fù)平面的坐標(biāo)原點(diǎn)越遠(yuǎn)，系統(tǒng)的延遲時(shí)間越短；而當(dāng)自然頻率不變時(shí)，閉環(huán)極點(diǎn)距離復(fù)平面上的虛軸越近，系統(tǒng)的延遲時(shí)間越短。圖3-7二階系統(tǒng)ωntd與ζ的關(guān)系曲線

2)上升時(shí)間tr的計(jì)算

在式(3-13)中，令h(tr)=1，求得因?yàn)閑－ζωntr≠0，所以有根據(jù)上升時(shí)間的定義，這里應(yīng)取n=1，所以上升時(shí)間為(3-18)

3)峰值時(shí)間tp的計(jì)算

將式(3-13)對t求導(dǎo)，并令其為零，可求得

ζωne－ζωntpsin(ωdtp+β)－ωde－ζωntpcos(ωdtp+β)=0

整理得根據(jù)峰值時(shí)間的定義，應(yīng)取ωdtp=π，所以峰值時(shí)間為(3-19)

4)超調(diào)量σ%的計(jì)算

因?yàn)槌{(diào)量發(fā)生在峰值時(shí)間上，所以將式(3-19)代入式(3-13)中，得輸出量的最大值為按超調(diào)量的定義，并考慮到h(∞)=1，可求得(3-20)

5)調(diào)節(jié)時(shí)間ts的計(jì)算

對于如式(3-13)所示的欠阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)，指數(shù)曲線是對稱于h(∞)=1的一對包絡(luò)線，整個(gè)響應(yīng)曲線總是包含在這一對包絡(luò)線之內(nèi)，如圖3-9所示。圖中采用無因次時(shí)間ω

nt(弧度)作為橫坐標(biāo)，因此時(shí)間響應(yīng)特性僅是阻尼比的函數(shù)。由圖可見，實(shí)際輸出響應(yīng)的收斂程度小于包絡(luò)線的收斂程度。圖中選用ζ=0.707，但對于其他阻尼比的取值，亦存在類似情況。為方便起見，往往采用包絡(luò)線代替實(shí)際響應(yīng)來估算調(diào)節(jié)時(shí)間，所得結(jié)果略為保守。此外，圖中還標(biāo)明了阻尼正弦函數(shù)的滯后角，這是因?yàn)?/p>

時(shí)，必有

。整個(gè)響應(yīng)在ωnt＜0時(shí)的延續(xù)部分，如圖3-9中虛線所示。圖3-9欠阻尼二階系統(tǒng)h(t)的一對包絡(luò)線根據(jù)上述分析，如果令Δ代表實(shí)際響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)輸出之間的誤差，則有

假定ζ≤0.8，并在上述不等式右端分母中代入ζ≤0.8，選取誤差帶Δ=0.05，可以解得ts≤(3.5/ζωn)。在分析問題時(shí)，常取若選取誤差帶Δ=0.02，則有(3-21)(3-22)例3-1

設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖3-10所示，若要求系統(tǒng)具有性能指標(biāo)σ%=20%，tp=1s，試確定系統(tǒng)參數(shù)K和τ，并計(jì)算單位階躍響應(yīng)的特征量td、tr和ts。圖3-10控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖解由圖可知，系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為

與傳遞函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式(3-6)相比，可得由ζ和σ%的關(guān)系式(3-20)解得再由峰值時(shí)間計(jì)算公式(3-19)可算出從而解得若取誤差帶Δ=0.02，則調(diào)節(jié)時(shí)間為

4.過阻尼二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過程分析

由于過阻尼系統(tǒng)響應(yīng)緩慢，故通常不希望采用過阻尼系統(tǒng)，但是，這并不排除在某些情況下，例如在低增益、大慣性的溫度控制系統(tǒng)中需要采用過阻尼系統(tǒng)。此外，在有些不允許時(shí)間響應(yīng)出現(xiàn)超調(diào)，而又希望響應(yīng)速度較快的情況下，例如在指示儀表系統(tǒng)和記錄儀表系統(tǒng)中，需要采用臨界阻尼系統(tǒng)。特別是，有些高階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)往往可用過阻尼二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)來近似，因此，研究過阻尼二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過程分析有較大的工程意義。當(dāng)阻尼比大于1且初始條件為零時(shí)，二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)如式(3-15)所示。顯然，在動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)中，只有延遲時(shí)間、上升時(shí)間和調(diào)節(jié)時(shí)間才有意義。然而，式(3-15)是一個(gè)超越方程，無法根據(jù)各項(xiàng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)的定義求出其準(zhǔn)確的計(jì)算公式。目前，工程上采用的方法仍然是利用數(shù)值解法求出不同ζ值下的無因次時(shí)間，然后制成曲線以供查用，或者是利用曲線擬合法給出近似計(jì)算公式。

1)延遲時(shí)間td的計(jì)算

由于式(3-16)在阻尼比大于等于1時(shí)仍然近似成立，故(3-23)

2)上升時(shí)間tr的計(jì)算根據(jù)上升時(shí)間的第一種定義方法，參照式(3-13)和式(3-15)，可得無因次上升時(shí)間ωntr與阻尼比的關(guān)系曲線，如圖3-11所示。圖中曲線可用下式近似描述：(3-24)圖3-11過阻尼二階系統(tǒng)ωntr與ζ的關(guān)系曲線

3)調(diào)節(jié)時(shí)間ts的計(jì)算

根據(jù)式(3-15)，令T1/T2為不同值，可以解出相應(yīng)的無因次調(diào)節(jié)時(shí)間ts/T1，如圖3-12所示。圖中的阻尼比為參變量。由于因此，ζ與自變量T1/T2的關(guān)系為(3-25)當(dāng)ζ＞1時(shí)，由已知的T1及T2值在圖3-12上可以查出相應(yīng)的ts，若T1≥4T2，即過阻尼二階系統(tǒng)第二個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)的數(shù)值比第一個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)的數(shù)值大四倍以上時(shí)，系統(tǒng)可等效為具有－1/T1閉環(huán)極點(diǎn)的一階系統(tǒng)，此時(shí)取ts=3T1，相對誤差不超過10%。當(dāng)ζ=1時(shí)，由于T1/T2=1，由圖3-12可見，臨界阻尼二階系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間為

ts=4.75T1，ζ=1

(3-26)圖3-12過阻尼二階系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間特性例3-2

設(shè)角度隨動(dòng)系統(tǒng)如圖3-13所示。圖中，K為開環(huán)增益，T=0.1s為伺服電動(dòng)機(jī)時(shí)間常數(shù)。若要求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)無超調(diào)，且調(diào)節(jié)時(shí)間ts≤1s，問K應(yīng)取多大？此時(shí)系統(tǒng)的延遲時(shí)間及上升時(shí)間各等于多少？圖3-13角度隨動(dòng)系統(tǒng)解根據(jù)題意并考慮有盡量快的響應(yīng)速度，應(yīng)取阻尼比為1。由圖3-13可得閉環(huán)特征方程為根據(jù)ζ=1和ωn=5rad/s，利用式(3-23)和式(3-24)可算出3.2.3高階系統(tǒng)分析

1.高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

設(shè)有一高階系統(tǒng)，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為(3-27)為了便于求出高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)，將上式的分子和分母多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，得：(3-28)由于式(3-28)的分子、分母均為實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，故系統(tǒng)的零、極點(diǎn)只可能是實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)。在實(shí)際的控制系統(tǒng)中，所有的閉環(huán)零、極點(diǎn)通常都不相同，因此，在輸入為單位階躍函數(shù)時(shí)，輸出量的拉普拉斯變換式可表示為

(3-29)式中，q為實(shí)極點(diǎn)個(gè)數(shù)；r為共軛復(fù)極點(diǎn)對數(shù)，即q+2r=n。將上式展開成部分分式，可得(3-30)將式(3-30)進(jìn)行拉普拉斯反變換，并設(shè)初始條件為零，可得高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為(3-31)例3-3

設(shè)三階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

,試確定該系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。

解首先將三階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的分子、分母進(jìn)行因式分解，并考慮到R(s)=1/s，可得其部分分式為其中A2與A2共軛。由以上留數(shù)的概念可得－于是有將上式與式(3-30)對照，可得最后，由式(3-31)可解出該系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為

2.閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn)對輸出的影響

1)閉環(huán)極點(diǎn)對輸出的影響

由于閉環(huán)極點(diǎn)就是描述系統(tǒng)微分方程的特征根，因此它們決定了所描述系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的模態(tài)，而且在強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng)中也會(huì)包含這些自由運(yùn)動(dòng)的模態(tài)。下面舉例說明。

設(shè)某系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為

顯然，其閉環(huán)極點(diǎn)為p1=－1，p2=－2；閉環(huán)零點(diǎn)為z1=－3,由此可看出，系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的模態(tài)分別是e－t和e－2t。當(dāng)輸入為r(t)=r1+r2e－5t，即R(s)=(r1/s)+(r2/s+5)時(shí)，可求得該系統(tǒng)的輸出響應(yīng)(設(shè)系統(tǒng)初始條件為零)為

2)閉環(huán)零點(diǎn)對輸出的影響

傳遞函數(shù)的零點(diǎn)并不會(huì)形成自由運(yùn)動(dòng)模態(tài)，但它們卻影響各個(gè)模態(tài)在響應(yīng)中所占的比重，因而也會(huì)影響響應(yīng)曲線的形狀。下面舉例說明。

設(shè)具有相同閉環(huán)極點(diǎn)、但零點(diǎn)不同的兩個(gè)系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)分別為

它們的閉環(huán)極點(diǎn)都是-1和-2，但具有不同的零點(diǎn)。在零初始條件下，它們的單位階躍響應(yīng)分別為上述結(jié)果表明，因?yàn)檫@兩個(gè)系統(tǒng)具有相同的閉環(huán)極點(diǎn)，所以在其單位階躍響應(yīng)中都有模態(tài)e－t和e－2t，但在響應(yīng)中所占的比重卻是不同的，它取決于極點(diǎn)之間的距離和極點(diǎn)與零點(diǎn)之間的距離，以及零點(diǎn)與原點(diǎn)之間的距離。在極點(diǎn)相同的情況下，Φ1(s)的零點(diǎn)更接近原點(diǎn)，且距離兩個(gè)極點(diǎn)相對較遠(yuǎn)，因此，兩個(gè)模態(tài)所占的比重較大，說明該零點(diǎn)的作用較為明顯；而Φ2(s)的零點(diǎn)距離原點(diǎn)較遠(yuǎn)，且與兩個(gè)極點(diǎn)的距離相對較近，因此，兩個(gè)模態(tài)所占的比重較小，說明該零點(diǎn)的作用不明顯。這樣，盡管兩個(gè)系統(tǒng)的模態(tài)相同，但由于零點(diǎn)的位置不同，其單位階躍響應(yīng)曲線就具有不同的形狀，如圖3-14所示。圖3-14閉環(huán)零點(diǎn)對輸出的影響

3.高階系統(tǒng)的近似簡化

1)左半平面一對非?？拷牧恪O點(diǎn)可以相消這里，非常靠近的含義是指：這對零、極點(diǎn)之間的距離比之它們與其他零、極點(diǎn)的距離起碼要減小1/10以下。

若某系統(tǒng)的一個(gè)零點(diǎn)z

r和一個(gè)極點(diǎn)p

k相距很近，即|pk－zr|很小，且比之與其他零、極點(diǎn)的距離要減小1/10倍以下，根據(jù)利用留數(shù)求Ai的概念可得由于上式分子中包含因子pk－zr，而|pk－zr|又很小，因此A

k也必然很小，因而p

k所對應(yīng)的運(yùn)動(dòng)模態(tài)的成分也必然很小，則該項(xiàng)可以忽略不計(jì)。在進(jìn)行簡化時(shí)，可將非?？拷倪@一對零、極點(diǎn)同時(shí)取消，并保持系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)增益不變。具體地說，也就是將該系統(tǒng)原來的傳遞函數(shù)簡化為

2)左半平面中距離虛軸非常遠(yuǎn)的極點(diǎn)可以忽略

這里，非常遠(yuǎn)的含義是指：這個(gè)極點(diǎn)距離虛軸的距離比之其他零、極點(diǎn)距離虛軸的距離起碼要遠(yuǎn)10倍以上。

若某系統(tǒng)的一個(gè)極點(diǎn)pk距離虛軸非常遠(yuǎn)，即|Re(pk)|≥10|Re(pi)|(其中i≠k)，|Re(pk)|≥10|Re(zj)|，根據(jù)利用留數(shù)求Ai的概念可得因?yàn)閨Re(pk)|很大，所以分子、分母中的每一個(gè)因子的模都比較大，而一般分母的階次高于分子的階次，最終使Ak也必然很小，加之極點(diǎn)pk具有很大的負(fù)實(shí)部，它所對應(yīng)的運(yùn)動(dòng)模態(tài)迅速衰減，因此該極點(diǎn)可以忽略。忽略該極點(diǎn)時(shí)，可直接消去相應(yīng)的因子，并保持系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)增益不變。也就是說，將該系統(tǒng)原來的傳遞函數(shù)簡化為定義：如果在所有閉環(huán)極點(diǎn)中，距離虛軸最近的極點(diǎn),且其周圍沒有閉環(huán)零點(diǎn)，而其他閉環(huán)極點(diǎn)又遠(yuǎn)離虛軸，那么距離虛軸最近的閉環(huán)極點(diǎn)所對應(yīng)的響應(yīng)分量隨著時(shí)間的推移衰減緩慢，無論是從指數(shù)還是從系數(shù)來看，在系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)過程中起主導(dǎo)作用，這樣的閉環(huán)極點(diǎn)就稱為閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)。

閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)可以是實(shí)數(shù)極點(diǎn)，也可以是共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，或者是它們的組合。主導(dǎo)極點(diǎn)對系統(tǒng)的性能起著決定性的作用。在控制工程實(shí)踐中，通常要求控制系統(tǒng)既具有較高的響應(yīng)速度，又具有一定的阻尼程度，因此高階系統(tǒng)的增益常常調(diào)整到使系統(tǒng)具有一對閉環(huán)共軛主導(dǎo)極點(diǎn)，則原來的高階系統(tǒng)可以用一個(gè)二階欠阻尼的系統(tǒng)來近似地進(jìn)行分析。

例3-4

已知閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

,分析該系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)性能。

解分析該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可以看到，它有一個(gè)零點(diǎn)z1=－3.2；有四個(gè)極點(diǎn)，分別為p1=－3，p2=－10，p3，4=－1±j?？梢姡?s)有一對非?？拷牧恪O點(diǎn)(－3.2和－3)，它們之間的距離遠(yuǎn)小于它們與其他極點(diǎn)間的距離，則這一對零、極點(diǎn)可以相消。消去這對零極點(diǎn)后的傳遞函數(shù)變?yōu)樵俜治靓?(s)，其中極點(diǎn)p2=－10與虛軸的距離比之其他兩個(gè)極點(diǎn)p3，4=－1±j是非常遠(yuǎn)的，因此可以忽略。忽略該極點(diǎn)后的傳遞函數(shù)變?yōu)?/p>

此時(shí)，就將原來的四階系統(tǒng)簡化成了以p3，4=－1±j為主導(dǎo)極點(diǎn)的二階系統(tǒng)，并可求得該二階系統(tǒng)的ωn=、=

,它的主要?jiǎng)討B(tài)性能指標(biāo)為σ%=4.3%，ts=2.3s。對原來的四階系統(tǒng)進(jìn)行仿真，得到實(shí)際的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)為σ%=4.2%，ts=2.2s。

3.3線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

3.3.1線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的概念

1.穩(wěn)定性的基本概念

任何系統(tǒng)在擾動(dòng)作用下都會(huì)偏離原來的平衡狀態(tài)而產(chǎn)生偏差。所謂穩(wěn)定性，是指控制系統(tǒng)在擾動(dòng)消失后，由初始偏差狀態(tài)恢復(fù)到原來的平衡狀態(tài)的性能，即恢復(fù)原平衡狀態(tài)的能力。若線性控制系統(tǒng)在外界擾動(dòng)的作用下，其動(dòng)態(tài)過程隨時(shí)間的推移逐漸衰減并趨于零(原平衡工作點(diǎn))，則稱系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，簡稱穩(wěn)定；反之，若在初始擾動(dòng)影響下，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過程隨時(shí)間的推移而發(fā)散，則稱系統(tǒng)不穩(wěn)定。為了說明穩(wěn)定性的基本概念，先來看一個(gè)直觀示例。圖3-15所示是一個(gè)單擺的示意圖，其中o為支點(diǎn)。設(shè)在外界擾動(dòng)力的作用下，單擺由原平衡點(diǎn)a偏移到新的位置b，偏擺角為φ1。當(dāng)外界擾動(dòng)力消除后，單擺在重力作用下由b點(diǎn)回到原平衡點(diǎn)a，但由于慣性作用，單擺經(jīng)過a點(diǎn)繼續(xù)運(yùn)動(dòng)到c點(diǎn)。此后，單擺經(jīng)來回幾次減幅擺動(dòng)，最終回到原平衡點(diǎn)a，故a點(diǎn)稱為穩(wěn)定平衡點(diǎn)。反之，若圖3-15所示單擺處于另一平衡點(diǎn)d，則一旦受到外界擾動(dòng)力的作用偏離了原平衡位置后，即使外界擾動(dòng)力消失，無論經(jīng)過多長時(shí)間，單擺也不可能回到原平衡點(diǎn)d。這樣的平衡點(diǎn)稱為不穩(wěn)定平衡點(diǎn)。圖3-15單擺單擺的這種穩(wěn)定概念可以推廣于控制系統(tǒng)。假如系統(tǒng)具有一個(gè)平衡工作狀態(tài)，如果系統(tǒng)受到外界擾動(dòng)作用偏離了原平衡狀態(tài)，不論擾動(dòng)引起的初始偏差有多大，當(dāng)擾動(dòng)取消后，系統(tǒng)都能以足夠的準(zhǔn)確度恢復(fù)到初始平衡狀態(tài)，則這種系統(tǒng)稱為大范圍穩(wěn)定的系統(tǒng)；如果系統(tǒng)受到外界擾動(dòng)作用后，只有當(dāng)擾動(dòng)引起的初始偏差小于某一范圍時(shí)，系統(tǒng)才能在取消擾動(dòng)后恢復(fù)到初始的平衡狀態(tài)，否則就不能恢復(fù)到初始平衡狀態(tài)，則這樣的系統(tǒng)稱為小范圍穩(wěn)定的系統(tǒng)。對于穩(wěn)定的線性系統(tǒng)，必然在大范圍內(nèi)和小范圍內(nèi)都能穩(wěn)定，只有非線性系統(tǒng)才可能有小范圍穩(wěn)定而大范圍不穩(wěn)定的情況。有關(guān)非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，將在第八章討論。

2.線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件

對于線性定?？刂葡到y(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)可以用線性常微分方程來描述。由第二章的討論可知，線性常微分方程的解由兩部分組成：y(t)=yt(t)+ys(t)，其中yt(t)是暫態(tài)分量，ys(t)是穩(wěn)態(tài)分量。若當(dāng)暫態(tài)分量隨時(shí)間的推移趨于零，即lim

yt(t)=0時(shí)，便稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

分析微分方程解的結(jié)構(gòu)可知，暫態(tài)分量完全由特征方程的根所決定。由表2-1特征方程根的類型及對應(yīng)基本解組可以看出，當(dāng)特征方程所有的根均具有負(fù)實(shí)部時(shí)，隨時(shí)間的推移，所有暫態(tài)分量都將趨于零，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。t→03.3.2Routh穩(wěn)定判據(jù)及應(yīng)用

1.Routh穩(wěn)定判據(jù)

從以上分析可知，為了判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，就需要知道系統(tǒng)特征方程的根在復(fù)平面的分布情況。對于高階系統(tǒng)來說，特征方程的求解是一件很困難的事情，但是就判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性而言，并不需要知道特征根在復(fù)平面的確切位置，而只要知道它們是否位于復(fù)平面的左半平面，這就無需直接求解特征方程的根了。常用的方法就是勞斯(Routh)判據(jù)。

勞斯穩(wěn)定判據(jù)是根據(jù)系統(tǒng)特征方程的系數(shù)來判斷其根是否均位于左半復(fù)平面，而無需準(zhǔn)確求解。

設(shè)線性定常系統(tǒng)的特征方程為

D(s)=a0sn+a1sn－1+…an－1s+an=0勞斯穩(wěn)定判據(jù)為表格形式，參見表3-2，該表稱為勞斯表。勞斯表的前兩行由系統(tǒng)特征方程的系數(shù)直接構(gòu)成，其中第一行由特征方程的第一、三、五、……項(xiàng)的系數(shù)組成，第二行由特征方程的第二、四、六……項(xiàng)的系數(shù)組成；其余各行的數(shù)值需按表3-2所示逐行計(jì)算，凡在運(yùn)算過程中出現(xiàn)的空位均置為零，這種過程一直進(jìn)行到第n行為止，第n+1行僅第一列有值，且正好等于特征方程最后一項(xiàng)系數(shù)a

n。整個(gè)勞斯表格共n+1行，最下面的兩行各有一列，其上面的兩行各有兩列，再上面的兩行各有三列，依此類推。而最上面的一行應(yīng)為(n+1)/2列(n為奇數(shù))或(n+2)/2列(n為偶數(shù))。勞斯穩(wěn)定判據(jù)：線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是勞斯表的第一列所有數(shù)值的符號均相同，即特征方程所有的根均位于復(fù)平面的左半平面。第一列數(shù)值若不同符號，則符號發(fā)生變化的次數(shù)就等于特征方程的根落在復(fù)平面右半平面?zhèn)€數(shù)。

例3-5

設(shè)系統(tǒng)特征方程為

s4+2s3+3s2+4s+5=0

試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判別該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解由特征方程可得該系統(tǒng)的勞斯表為由于勞斯表的第一列數(shù)值有兩次變號，故系統(tǒng)不穩(wěn)定，且有兩個(gè)正實(shí)部根。事實(shí)證明該系統(tǒng)特征方程的根分別為0.2878±1.4161j、-1.2878±0.8579j。

在應(yīng)用勞斯穩(wěn)定判據(jù)分析線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性時(shí)，有時(shí)會(huì)遇到兩種特殊情況，使得勞斯表的計(jì)算無法進(jìn)行到底，因此需要進(jìn)行相應(yīng)的數(shù)學(xué)處理，處理的原則是不影響勞斯穩(wěn)定判據(jù)的判別結(jié)果。

(1)如果勞斯表第一列數(shù)值中出現(xiàn)0，按照表3-2的計(jì)算方法，則其下一行的數(shù)值中就會(huì)出現(xiàn)無窮大，從而使勞斯表無法正常計(jì)算下去。此時(shí)可用一個(gè)小的正數(shù)ε來代替這個(gè)0，再繼續(xù)計(jì)算勞斯表的其余數(shù)值。例3-6

設(shè)系統(tǒng)特征方程為

s4+5s3+10s2+20s+24=0

試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判別該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解由特征方程可得該系統(tǒng)的勞斯表為這種情況下的勞斯表，如果ε上一行和下一行的數(shù)值符號不同，則認(rèn)為有一次變號。該例中ε上面一行和下面一行數(shù)值符號相同，此時(shí)表明該系統(tǒng)有一對純虛根存在，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定。實(shí)際求得特征方程的根分別為±2j、-2、-3。

(2)如果勞斯表中的某一行所有數(shù)值都為0，此時(shí)表明特征方程的根中有大小相等且關(guān)于原點(diǎn)對稱的根，按照表3-2所示方法同樣無法正常計(jì)算下去。在這種情況下，可利用全零行的上一行各數(shù)值構(gòu)造一個(gè)輔助多項(xiàng)式，并以這個(gè)輔助多項(xiàng)式導(dǎo)函數(shù)的各項(xiàng)系數(shù)代替這個(gè)全零行，然后繼續(xù)計(jì)算。例3-7

設(shè)系統(tǒng)特征方程為

s5+2s4+24s3+48s2－25s－50=0

試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判別該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解由特征方程可得該系統(tǒng)的勞斯表為觀察勞斯表可知，第一列的數(shù)值有一次變號，表明特征方程有一個(gè)實(shí)部為正的根，則該系統(tǒng)不穩(wěn)定。實(shí)際求得的特征根為±1、±5j、-2。

可以證明，上述特征方程的所有根均位于復(fù)平面左半平面的必要條件是所有的系數(shù)符號相同且沒有缺項(xiàng)。對于一、二階系統(tǒng)，它同時(shí)也是充分條件，但對于二階以上的系統(tǒng)，這只是必要條件。

2.Routh穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用

由前面的分析可知，當(dāng)特征根距離虛軸很近時(shí)，系統(tǒng)的衰減系數(shù)就會(huì)很小，從而導(dǎo)致系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過程產(chǎn)生強(qiáng)烈的振蕩特性。為了使穩(wěn)定系統(tǒng)具有良好的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，我們常常希望在復(fù)平面左半平面上系統(tǒng)特征根的位置與虛軸之間有一定的距離。為此，可在復(fù)平面左半平面上作一條s=-a的垂線，而a是系統(tǒng)特征根與虛軸之間的最小給定距離，通常稱為給定穩(wěn)定度；然后用新變量s1=s+a代入原系統(tǒng)特征方程，得到一個(gè)以s1為變量的新的特征方程，對這個(gè)新的特征方程應(yīng)用勞斯穩(wěn)定判據(jù)，可以判別系統(tǒng)的特征根是否全部位于s=-a垂線之左。此外，應(yīng)用勞斯穩(wěn)定判據(jù)還可以確定系統(tǒng)一個(gè)或兩個(gè)可調(diào)參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，即確定一個(gè)或兩個(gè)使系統(tǒng)穩(wěn)定，或使系統(tǒng)特征根全部位于s=-a垂線之左的參數(shù)取值范圍。例3-8

設(shè)比例-積分(PI)控制系統(tǒng)如圖3-16所示，其中K1為與積分器時(shí)間常數(shù)有關(guān)的待定參數(shù)。已知參數(shù)ζ=0.2及ωn=86.6rad/s，試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)確定使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的K1取值范圍。如果要求閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)全部位于s=－1垂線之左，問K1取值范圍又應(yīng)為多大？圖3-16比例-積分控制系統(tǒng)解根據(jù)圖3-16可寫出系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為因而，系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為D(s)=s3+2ζωns2+ω2ns+K1ω2n=0代入題中的已知條件，得D(s)=s3+34.6s2+7500s+7500K1=0列出相應(yīng)的勞斯表為

根據(jù)勞斯穩(wěn)定判據(jù)，令勞斯表中第一列各數(shù)值均為正，求得K1的取值范圍是

0＜K1＜34.6當(dāng)要求閉環(huán)極點(diǎn)全部位于s=－1垂線之左時(shí)，可令s=s1－1,代入原特征方程后得到如下新的特征方程：(s1－1)3+34.6(s1－1)2+7500(s1－1)+7500K1=0列出相應(yīng)的勞斯表為令勞斯表中第一列各數(shù)值均為正，求得使全部閉環(huán)極點(diǎn)位于s=－1垂線之左的K1的取值范圍是

1＜K1＜32.3如果需要確定系統(tǒng)其他參數(shù)，例如時(shí)間常數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，所用的方法是類似的。一般來說，這種待定的參數(shù)不能超過兩個(gè)。

3.4線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算

3.4.1線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差

設(shè)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖如圖3-17所示。當(dāng)輸入信號R(s)與主反饋信號B(s)不相等時(shí)，比較裝置的輸出為

E(s)=R(s)－H(s)C(s)

(3-32)

此時(shí)，系統(tǒng)在E(s)信號的作用下產(chǎn)生動(dòng)作，使輸出量趨

于希望值。通常稱E(s)為誤差信號，簡稱誤差(或偏差)。圖3-17控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖誤差有兩種不同的定義方法：一種是式(3-32)所描述的在系統(tǒng)輸入端定義誤差的方法；另一種是從系統(tǒng)輸出端來定義，它定義誤差為系統(tǒng)輸出量的希望值與實(shí)際值之差。前者定義的誤差在實(shí)際系統(tǒng)中是可以量測的，具有一定的物理意義；而后者定義的誤差在系統(tǒng)性能指標(biāo)的提法中經(jīng)常使用，但在實(shí)際系統(tǒng)中有時(shí)無法量測，因而一般只有數(shù)學(xué)意義。

上述兩種定義誤差的方法存在著內(nèi)在聯(lián)系。將圖3-17變換為圖3-18所示的等效形式，則因R′(s)代表輸出量的希望值，因而E′(s)是從系統(tǒng)輸出端定義的非單位反饋系統(tǒng)的誤差。不難證明，E(s)與E′(s)之間存在如下簡單關(guān)系：

(3-33)圖3-18等效單位反饋系統(tǒng)在以后的敘述中，均采用從系統(tǒng)輸入端定義的誤差E(s)來進(jìn)行計(jì)算和分析。特別指出，對于單位反饋控制系統(tǒng)，輸出量的希望值就是輸入信號，因而對誤差的兩種定義方法是一致的。誤差本身是時(shí)間的函數(shù)，其時(shí)域表達(dá)式為(3-34)式中，Φe(s)為系統(tǒng)誤差傳遞函數(shù)，可由下式?jīng)Q定:(3-35)在誤差信號e(t)中，包含瞬態(tài)分量ets(t)和穩(wěn)態(tài)分量ess(t)兩部分。由于系統(tǒng)必須穩(wěn)定，故當(dāng)時(shí)間趨于無窮時(shí)，瞬態(tài)分量必為零。因而，控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差定義為誤差信號的穩(wěn)態(tài)分量ess(∞)，常以ess簡單標(biāo)志。如果有理函數(shù)sE(s)除在原點(diǎn)處有唯一的極點(diǎn)外，在右半s平面及虛軸上解析，即其極點(diǎn)均位于s左半平面(含坐標(biāo)原點(diǎn))，則根據(jù)拉普拉斯變換的終值定理，由式(3-35)求出系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差(3-36)由于上式算出的穩(wěn)態(tài)誤差是誤差信號穩(wěn)態(tài)分量在時(shí)間趨于無窮時(shí)的數(shù)值，故有時(shí)稱之為終值誤差。它不能反映誤差隨時(shí)間的變化規(guī)律，具有一定的局限性。例3-9

設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=1/Ts，輸入信號分別為r1(t)=t2/2和r2(t)=sinωt，試求該控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

解當(dāng)r1(t)=t2/2時(shí)，R1(s)=1/s3。由式(3-35)求得顯然，sE(s)在s=0處，有一個(gè)極點(diǎn)。對上式取拉普拉斯反變換，得誤差響應(yīng)為

e(t)=T2e－t/T+T(t－T)式中，ets(t)=T2e－t/T，隨時(shí)間的推移逐漸衰減為零；ess(t)=T(t－T)，表明ess(∞)=∞。當(dāng)r2(t)=sinωt時(shí)，R2(s)=(ω/s2+ω2)。因?yàn)?/p>

所以得顯然，ess(∞)≠0。由于正弦函數(shù)的拉普拉斯變換式在虛軸上不解析，因此不能應(yīng)用終值定理來計(jì)算系統(tǒng)在正弦函數(shù)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差，否則會(huì)得到的錯(cuò)誤結(jié)論。3.4.2給定輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差

1.系統(tǒng)類型

由穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算通式(3-36)可見，控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差數(shù)值與開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)的結(jié)構(gòu)和輸入信號R(s)的形式密切相關(guān)。對于一個(gè)給定的穩(wěn)定系統(tǒng)，當(dāng)輸入信號形式一定時(shí)，系統(tǒng)是否存在穩(wěn)態(tài)誤差就取決于開環(huán)傳遞函數(shù)描述的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。因此，按照控制系統(tǒng)跟蹤不同輸入信號的能力來進(jìn)行系統(tǒng)分類是必要的。

在一般情況下，開環(huán)傳遞函數(shù)可表示為

(3-37)這種以開環(huán)系統(tǒng)在s平面坐標(biāo)原點(diǎn)上的極點(diǎn)數(shù)來分類的方法，其優(yōu)點(diǎn)在于：可以根據(jù)已知的輸入信號形式，迅速判斷系統(tǒng)是否存在原理性穩(wěn)態(tài)誤差及穩(wěn)態(tài)誤差的大小。它與按系統(tǒng)的階次進(jìn)行分類的方法不同，階次m和n的大小與系統(tǒng)的型別無關(guān)，且不影響穩(wěn)態(tài)誤差的數(shù)值。

為了便于討論，令必有s→0時(shí)，G0(s)H0(s)→1。因此，式(3-37)可改寫為(3-38)則系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算通式可表示為(3-39)

2.階躍輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與靜態(tài)位置誤差系數(shù)

在圖3-17所示的控制系統(tǒng)中，若r(t)=R·1(t)，其中R為輸入階躍函數(shù)的幅值，則R(s)=R/s。由式(3-39)可以算出各型系統(tǒng)在階躍函數(shù)輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為對于0型單位反饋系統(tǒng)，在單位階躍輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差可參見圖3-1。顯然，其穩(wěn)態(tài)誤差是希望輸出1與實(shí)際輸出K/(1+K)之間的位置誤差。習(xí)慣上常采用靜態(tài)位置誤差系數(shù)K

p表示各型系統(tǒng)在階躍輸入作用下的位置誤差。根據(jù)式(3-36)，當(dāng)R(s)=R/s時(shí)，有(3-40)式中(3-41)稱為靜態(tài)位置誤差系數(shù)。由式(3-41)和式(3-38)可知，各型系統(tǒng)的靜態(tài)位置系數(shù)為如果要求系統(tǒng)對于階躍輸入作用不存在穩(wěn)態(tài)誤差，則必須選用Ⅰ型及Ⅰ型以上的系統(tǒng)。習(xí)慣上常把系統(tǒng)在階躍輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差稱為靜差。因而，0型系統(tǒng)可稱為有(靜)差系統(tǒng)或零階無差度系統(tǒng);Ⅰ型系統(tǒng)可稱為一階無差度系統(tǒng);Ⅱ型系統(tǒng)可稱為二階無差度系統(tǒng)，以此類推。

3.斜坡輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與靜態(tài)速度誤差系數(shù)

在圖3-17所示的控制系統(tǒng)中，若r(t)=Rt，其中R表示速度輸入函數(shù)的斜率，則R(s)=R/s2。將R(s)代入式(3-39)，可得各型系統(tǒng)在斜坡輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為

Ⅰ型單位反饋系統(tǒng)在斜坡輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差可參見圖3-19。圖3-19Ⅰ型單位反饋系統(tǒng)的速度誤差如果用靜態(tài)速度誤差系數(shù)表示系統(tǒng)在斜坡函數(shù)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差，可將R(s)=R/s2代入式(3-36)，得(3-42)式中(3-43)稱為靜態(tài)速度誤差系數(shù)，其單位與開環(huán)增益K的單位相同，為s－1。顯然，0型系統(tǒng)的Kv=0；Ⅰ型系統(tǒng)的Kv=K；Ⅱ型及Ⅱ型以上系統(tǒng)的Kv=∞。通常，式(3-42)表達(dá)的穩(wěn)態(tài)誤差稱為速度誤差。必須注意，速度誤差的含意并不是指系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出與輸入之間存在速度上的誤差，而是指系統(tǒng)在速度函數(shù)輸入作用下系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出與輸入之間存在位置上的誤差。此外，式(3-42)還表明：0型系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)時(shí)不能跟蹤斜坡輸入；對于Ⅰ型單位反饋系統(tǒng)，穩(wěn)態(tài)輸出速度恰好與輸入速度相同，但存在一個(gè)穩(wěn)態(tài)位置誤差，其數(shù)值與輸入速度信號的斜率R成正比，而與開環(huán)增益K成反比；對于Ⅱ型及Ⅱ型以上系統(tǒng)，穩(wěn)態(tài)時(shí)能準(zhǔn)確跟蹤斜坡輸入信號，不存在位置誤差。如果系統(tǒng)為非單位反饋系統(tǒng)，其H(s)=Kh為常數(shù)，那么系統(tǒng)輸出量的希望值為R′(s)=R(s)/Kh，系統(tǒng)輸出端的穩(wěn)態(tài)位置誤差為(3-44)上式所表示的關(guān)系，對于下面即將討論的系統(tǒng)在加速度函數(shù)輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算問題同樣成立。例3-10

設(shè)有一非單位反饋控制系統(tǒng)，其G(s)=10/(s+1),H(s)=Kh，輸入信號r(t)=1(t)。試分別確定當(dāng)Kh為1和0.1時(shí)，系統(tǒng)輸出端的穩(wěn)態(tài)位置誤差ess′

(∞)。

解由于題中系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)故該系統(tǒng)為0型系統(tǒng)，其靜態(tài)位置誤差系數(shù)Kp=K=10Kh。由式(3-40)可算出系統(tǒng)輸入端的穩(wěn)態(tài)誤差為系統(tǒng)輸出端的穩(wěn)態(tài)位置誤差可由式(3-44)算出：當(dāng)Kh=1時(shí)，有當(dāng)Kh=0.1時(shí)，有此時(shí)，系統(tǒng)輸出量的希望值為r(t)/Kh=10。

4.加速度輸入作用下穩(wěn)態(tài)誤差與靜態(tài)加速度誤差系數(shù)

在圖3-17所示的控制系統(tǒng)中，若r(t)=(Rt2/2)，其中R表示加速度輸入函數(shù)的速度變化率，則R(s)=R/s3。將R(s)代入式(3-39)，可得各型系統(tǒng)在加速度輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為Ⅱ型單位反饋系統(tǒng)在斜坡輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差可參見圖3-20。圖3-20Ⅱ型單位反饋系統(tǒng)的加速度誤差如果用靜態(tài)加速度誤差系數(shù)表示系統(tǒng)在加速度輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差，可將R(s)=R/s3代入式(3-36)，得(3-45)(3-46)式中稱為靜態(tài)加速度誤差系數(shù)，其單位為s－2。顯然，0型及Ⅰ型系統(tǒng)的Ka=0；Ⅱ型系統(tǒng)的Ka=K；Ⅲ型及Ⅲ型以上系統(tǒng)的Ka=∞。

通常，將式(3-45)表示的穩(wěn)態(tài)誤差稱為加速度誤差。與前面情況類似，加速度誤差是指系統(tǒng)在加速度函數(shù)輸入作用下系統(tǒng)輸出與輸入之間的位置誤差。式(3-45)表明：0型及Ⅰ型單位反饋系統(tǒng)，在穩(wěn)態(tài)時(shí)都不能跟蹤加速度輸入；對于Ⅱ型單位反饋系統(tǒng)，穩(wěn)態(tài)輸出的加速度與輸入加速度函數(shù)相同，但存在一定的穩(wěn)態(tài)位置誤差，其值與輸入加速度信號的變化率R成正比，而與開環(huán)增益K成反比；對于Ⅲ型及Ⅲ型以上的系統(tǒng)，只要系統(tǒng)穩(wěn)定，其穩(wěn)態(tài)輸出就能準(zhǔn)確跟蹤加速度輸入信號，不存在位置誤差。靜態(tài)誤差系數(shù)K

p、K

v和K

a定量描述了系統(tǒng)跟蹤不同形式輸入信號的能力。在系統(tǒng)輸入信號的形式、輸出量的希望值及容許的穩(wěn)態(tài)位置誤差確定后，可以方便地根據(jù)靜態(tài)誤差系數(shù)去選擇系統(tǒng)的型別和開環(huán)增益。但是，對于非單位反饋系統(tǒng)而言，靜態(tài)誤差系數(shù)沒有明顯的物理意義，也不便于圖形表示。

如果系統(tǒng)承受的輸入信號是多種典型函數(shù)的組合，例如

則根據(jù)線性疊加原理，可將每一輸入分量單獨(dú)作用于系統(tǒng)，再將各穩(wěn)態(tài)誤差分量疊加起來，得到顯然，這時(shí)至少應(yīng)選用Ⅱ型系統(tǒng)，否則穩(wěn)態(tài)誤差將為無窮大。無窮大的穩(wěn)態(tài)誤差表示系統(tǒng)輸出量與輸入量之間在位置上的誤差將隨時(shí)間t而增長，最終趨于無窮大。由此可見，采用高型別系統(tǒng)對提高系統(tǒng)的控制準(zhǔn)確度有利，但應(yīng)以確保系統(tǒng)的穩(wěn)定性為前提，同時(shí)還要兼顧對系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的要求。

反饋控制系統(tǒng)的型別、靜態(tài)誤差系數(shù)和輸入信號形式之間的關(guān)系統(tǒng)一歸納在表3-3中。該表表明，同一個(gè)控制系統(tǒng)在不同形式的輸入信號作用下具有不同的穩(wěn)態(tài)誤差。這一現(xiàn)象的物理解釋可用下例說明。例3-11

設(shè)具有測速發(fā)電機(jī)內(nèi)反饋的位置隨動(dòng)系統(tǒng)如圖3-21所示。要求計(jì)算該系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，并對系統(tǒng)在不同輸入形式下具有不同穩(wěn)態(tài)誤差的現(xiàn)象進(jìn)行物理說明。

解由圖3-21得系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為可見，該系統(tǒng)是K=1的Ⅰ型系統(tǒng)，其靜態(tài)誤差系數(shù)分別為Kp=∞、Kv=1、Ka=0。當(dāng)r(t)分別為1(t)、t和t2/2時(shí)，相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差分別為0、1和∞。圖3-21位置隨動(dòng)系統(tǒng)系統(tǒng)對于階躍輸入信號不存在穩(wěn)態(tài)誤差的物理解釋是清楚的。由于系統(tǒng)在受到單位階躍位置信號作用后，其穩(wěn)態(tài)輸出必定是一個(gè)恒定的位置(角位移)，這時(shí)伺服電動(dòng)機(jī)必須停止轉(zhuǎn)動(dòng)。顯然，要使該電動(dòng)機(jī)不轉(zhuǎn)，加在電動(dòng)機(jī)控制繞組上的電壓必須為零。這就意味著系統(tǒng)輸入端的誤差信號的穩(wěn)態(tài)值應(yīng)等于零。因此，系統(tǒng)在單位階躍輸入信號作用下不存在位置誤差。

當(dāng)單位斜坡輸入信號作用于系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出速度必定與輸入信號速度相同。這樣，就要求伺服電動(dòng)機(jī)作恒速運(yùn)轉(zhuǎn)，因此在該電動(dòng)機(jī)控制繞組上需要作用一個(gè)恒定的電壓，由此推得誤差信號的終值應(yīng)等于一個(gè)常值，所以系統(tǒng)存在常值速度誤差。當(dāng)加速度輸入信號作用于系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出也應(yīng)該等加速變化，為此要求伺服電動(dòng)機(jī)控制繞組有等速變化的電壓輸入，最后歸結(jié)為要求誤差信號隨時(shí)間線性增長。顯然，當(dāng)t→∞時(shí)，系統(tǒng)的加速度誤差必為無窮大。3.4.3動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)

利用動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)法可以研究輸入信號幾乎為任意時(shí)間函數(shù)時(shí)的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差變化，因此動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)又稱為廣義誤差系數(shù)。為了求取動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)，寫出誤差信號的拉氏變換式

E(s)=Φe(s)R(s)

將誤差傳遞函數(shù)Φe(s)在s=0的鄰域內(nèi)展成泰勒級數(shù)，得于是，誤差信號可以表示為如下級數(shù)：(3-47)上述無窮級數(shù)收斂于s=0的鄰域，稱為誤差級數(shù)，相當(dāng)于在時(shí)間域內(nèi)t→∞時(shí)成立。因此，當(dāng)所有初始條件均為零時(shí)，對式(3-47)進(jìn)行拉普拉斯變換，就得到作為時(shí)間函數(shù)的穩(wěn)態(tài)誤差表達(dá)式(3-48)式中(3-49)稱為動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)。習(xí)慣上，稱C0為動(dòng)態(tài)位置誤差系數(shù)；稱C1為動(dòng)態(tài)速度誤差系數(shù)；稱C2為動(dòng)態(tài)加速度誤差系數(shù)。應(yīng)當(dāng)指出，動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)的“動(dòng)態(tài)”兩字的含義是指這種方法可以完整描述系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差ess(t)隨時(shí)間變化的規(guī)律，而不是指誤差信號中的瞬態(tài)分量ets(t)隨時(shí)間變化的情況。此外，由于式(3-48)描述的誤差級數(shù)在t→∞時(shí)才能成立，因此如果輸入信號r(t)中包含有隨時(shí)間增長而趨近于零的分量，則這一輸入分量不應(yīng)包含在式(3-48)中的輸入信號及其各階導(dǎo)數(shù)之內(nèi)。式(3-48)表明，穩(wěn)態(tài)誤差ess(t)與動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)Ci、輸入信號r(t)及其各階導(dǎo)數(shù)的穩(wěn)態(tài)分量有關(guān)。由于輸入信號的穩(wěn)態(tài)分量是已知的，因此確定穩(wěn)態(tài)誤差的關(guān)鍵是根據(jù)給定的系統(tǒng)求出各動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)。在系統(tǒng)階次較高的情況下，利用式(3-49)來確定動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)是不方便的，下面介紹一種簡單的求法。

將已知的系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)按s的升冪順序排列，寫成如下形式：

(3-50)令則誤差傳遞函數(shù)可表示為(3-51)用上式的分母多項(xiàng)式去除其分子多項(xiàng)式，得到一個(gè)s的升冪級數(shù)(3-52)將上式代入誤差信號表達(dá)式，得(3-53)比較式(3-47)和式(3-53)可知，它們是等階的無窮級數(shù)，其收斂域均是s=0的鄰域。因此，式(3-52)中的系數(shù)Ci正是我們要求的動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)。在一個(gè)特定的系統(tǒng)中，可以建立某些動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)與靜態(tài)誤差系數(shù)之間的關(guān)系。利用式(3-50)和式(3-51)進(jìn)行長除，可得如下簡單關(guān)系：因此，在控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，也可以把C0、C1和C2作為一種性能指標(biāo)。對于某些系統(tǒng)，例如導(dǎo)彈控制系統(tǒng)，常以對動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)的要求來表達(dá)對系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差過程的要求。例3-12

設(shè)單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為若輸入信號r(t)=sin5t，試求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差ess(t)。

解方法一：由于輸入信號為正弦函數(shù)，因此無法用靜態(tài)誤差系數(shù)法確定ess(t)，現(xiàn)采用動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)法求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。由于系統(tǒng)誤差傳遞函數(shù)為故動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)為C0=0，C1=10－2，C2=9×10－4，C3=－1.9×10－5，…可求得穩(wěn)態(tài)誤差式中ω0=5。對上述級數(shù)求和，得

ess(t)=－0.055cos(5t－24.9°)因此，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為余弦函數(shù)，其最大幅值為0.055。方法二：利用反變換法求解。誤差信號為式中,系數(shù)a、b、c、d待定。上式通分后得如下代數(shù)方程組：利用行列式求解方法，可以算出：

c=－0.0498，d=－0.115

由于閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，故穩(wěn)態(tài)下對上式取拉普拉斯反變換，可求得與方法一同樣的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差。3.4.4擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差

由于輸入信號和擾動(dòng)信號作用于系統(tǒng)的不同位置，因此，即使系統(tǒng)對于某種形式輸入信號作用的穩(wěn)態(tài)誤差為零，但對于同一形式的擾動(dòng)作用，其穩(wěn)態(tài)誤差也未必為零。設(shè)控制系統(tǒng)如圖3-22所示，其中N(s)代表擾動(dòng)信號的拉普拉斯變換式。由于在擾動(dòng)信號N(s)作用下系統(tǒng)的理想輸出應(yīng)為零，故該非單位反饋系統(tǒng)響應(yīng)擾動(dòng)n(t)的輸出端誤差信號為(3-54)圖3-22控制系統(tǒng)式中，G(s)=G1(s)G2(s)H(s)為該系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)；G2(s)為以n(t)為輸入、Cn(s)為輸出時(shí)該系統(tǒng)前向通道的傳遞函數(shù)。記

(3-55)為系統(tǒng)對擾動(dòng)作用的誤差傳遞函數(shù)，并將其在s=0的鄰域展成泰勒級數(shù)，則式(3-55)可表示為(3-56)設(shè)系統(tǒng)擾動(dòng)信號可表示為(3-57)則將式(3-56)代入式(3-54)，并取拉普拉斯反變換，可得穩(wěn)定系統(tǒng)對擾動(dòng)作用的穩(wěn)態(tài)誤差表達(dá)式(3-58)式中(3-59)稱為系統(tǒng)對擾動(dòng)的動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)。將Φen(s)的分子多項(xiàng)式與分母多項(xiàng)式按s的升冪順序排列，然后利用長除法可以方便地求得Cin。當(dāng)sEn(s)在s右半平面及虛軸上解析時(shí)，同樣可以采用終值定理法計(jì)算系統(tǒng)在擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。

例3-13

設(shè)比例控制系統(tǒng)如圖3-23所示。圖中，R(s)=R0/s為階躍輸入信號；M為比例控制器輸出轉(zhuǎn)矩，用以改變被控對象的位置；N(s)=n0/s為階躍擾動(dòng)轉(zhuǎn)矩。試求該系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

解由圖可見，該系統(tǒng)為Ⅰ型系統(tǒng)。令擾動(dòng)N(s)=0，則系統(tǒng)對階躍輸入信號的穩(wěn)態(tài)誤差為零。但是，如果令輸入為零，則系統(tǒng)在擾動(dòng)作用下輸出量的實(shí)際值為而輸出量的希望值為零，因此誤差信號圖3-23比例控制系統(tǒng)系統(tǒng)在階躍擾動(dòng)轉(zhuǎn)矩作用下的穩(wěn)態(tài)誤差(3-60)系統(tǒng)在階躍擾動(dòng)轉(zhuǎn)矩作用下存在穩(wěn)態(tài)誤差的物理意義是明顯的。在穩(wěn)態(tài)時(shí)，比例控制器產(chǎn)生一個(gè)與擾動(dòng)轉(zhuǎn)矩n0大小相等而方向相反的轉(zhuǎn)矩－n0以進(jìn)行平衡，該轉(zhuǎn)矩折算到比較裝置輸出端的數(shù)值為－n0/K1，所以系統(tǒng)必定存在常值穩(wěn)態(tài)誤差－n0/K1。例3-14

設(shè)電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)如圖3-24所示。其中，輸入信號r(t)=0，負(fù)載擾動(dòng)n(t)=－t。試計(jì)算該系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。圖3-24電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)解由圖可知，給定系統(tǒng)對于擾動(dòng)信號n(t)的誤差傳遞函數(shù)為

因?yàn)閚(t)具有式(3-57)所示的形式,其中n0=0,n1=－1，k=1,所以可應(yīng)用式(3-58)計(jì)算系統(tǒng)對擾動(dòng)作用的穩(wěn)態(tài)誤差。根據(jù)n′(t)=－1由式(3-58)算得系統(tǒng)對斜坡擾動(dòng)的穩(wěn)態(tài)誤差為3.4.5改善系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)精度的措施

1.增大系統(tǒng)開環(huán)增益或擾動(dòng)作用點(diǎn)之前系統(tǒng)的前向通道增益

由表3-3可見，增大系統(tǒng)開環(huán)增益K以后，對于0型系統(tǒng)，可以減小系統(tǒng)在階躍輸入時(shí)的位置誤差；對于Ⅰ型系統(tǒng)，可以減小系統(tǒng)在斜坡輸入時(shí)的速度誤差；對于Ⅱ型系統(tǒng)，可以減小系統(tǒng)在加速度輸入時(shí)的加速度誤差。

由例3-13可見，增大擾動(dòng)作用點(diǎn)之前的比例控制器增益K1，可以減小系統(tǒng)對階躍擾動(dòng)轉(zhuǎn)矩的穩(wěn)態(tài)誤差。式(3-60)表明，系統(tǒng)在階躍擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與K2無關(guān)。因此，增大擾動(dòng)點(diǎn)之后系統(tǒng)的前向通道增益不能改變系統(tǒng)對擾動(dòng)的穩(wěn)態(tài)誤差數(shù)值。

2.在系統(tǒng)的前向通道或主反饋通道設(shè)置串聯(lián)積分環(huán)節(jié)

在圖3-22所示非單位反饋控制系統(tǒng)中，設(shè)式中，N1(s)、M1(s)、N2(s)、M2(s)、H1(s)及H2(s)均不含s=0的因子；v1、v2為系統(tǒng)前向通道的積分環(huán)節(jié)數(shù)。系統(tǒng)對輸入信號的誤差傳遞函數(shù)為(3-61)如果系統(tǒng)主反饋通道傳遞函數(shù)含有v3個(gè)積分環(huán)節(jié)，即H(s)=H1(s)/sv3H2(s)，而其余的假定同上，則系統(tǒng)對擾動(dòng)作用的誤差傳遞函數(shù)為(3-62)

3.采用串級控制抑制內(nèi)回路擾動(dòng)

當(dāng)控制系統(tǒng)中存在多個(gè)擾動(dòng)信號且控制精度要求較高時(shí)，宜采用串級控制方式，可以顯著地抑制內(nèi)回路的擾動(dòng)影響。

圖3-25所示為串級直流電動(dòng)機(jī)速度控制系統(tǒng)，具有兩個(gè)閉合回路：內(nèi)回路為電流環(huán)，稱為副回路；外回路為速度環(huán)，稱為主回路。主、副回路各有其相應(yīng)的調(diào)節(jié)器和測量變送器。其中主回路中的速度調(diào)節(jié)器稱為主調(diào)節(jié)器，主回路的測量變送器為速度反饋裝置；副回路的電流調(diào)節(jié)器稱為副調(diào)節(jié)器，副回路的測量變送器為電流反饋裝置。主調(diào)節(jié)器與副調(diào)節(jié)器以串聯(lián)的方式進(jìn)行共同控制，故稱為串級控制。由于主調(diào)節(jié)器的輸出作為副調(diào)節(jié)器的給定值，因而串級控制系統(tǒng)的主回路是一個(gè)恒值控制系統(tǒng)，而可以將副回路看做是一個(gè)隨動(dòng)系統(tǒng)。根據(jù)外部擾動(dòng)作用位置的不同，擾動(dòng)亦有一次擾動(dòng)和二次擾動(dòng)之分：被副回路包圍的擾動(dòng)稱為二次擾動(dòng)，如圖3-25所示系統(tǒng)中由電網(wǎng)電壓波動(dòng)形成的擾動(dòng)ΔUd；處于副回路之外的擾動(dòng)稱為一次擾動(dòng)，如圖3-25所示系統(tǒng)中由負(fù)載變化形成的擾動(dòng)Iz。圖3-25串級直流電動(dòng)機(jī)速度控制系統(tǒng)串級控制系統(tǒng)在結(jié)構(gòu)上比單回路控制系統(tǒng)多了一個(gè)副回路，因而對進(jìn)入副回路的二次擾動(dòng)有很強(qiáng)的抑制能力。為了便于定性分析，設(shè)一般的串級控制系統(tǒng)如圖3-26所示。圖中Gc1(s)和Gc2(s)分別為主、副調(diào)節(jié)器的傳遞函數(shù)，H1(s)和H2(s)分別為主、副測量變送器的傳遞函數(shù)，N2(s)為加在副回路上的二次擾動(dòng)。圖3-26串級控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖若將副回路視為一個(gè)等效環(huán)節(jié)G2′

(s)，則有在副回路中，輸出C2(s)對二次擾動(dòng)N2(s)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為比較G2′

(s)和Gn2(s)可見，必有于是，圖3-26所示串級系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖可等效為圖3-27所示結(jié)構(gòu)圖。顯然，在主回路中，系統(tǒng)對輸入信號的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

系統(tǒng)對二次擾動(dòng)信號N2(s)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為對于一個(gè)理想的控制系統(tǒng)，總是希望多項(xiàng)式比值C1(s)/N2(s)趨于零，而C1(s)/R1(s)趨于1，因而串級控制系統(tǒng)抑制二次擾動(dòng)的能力可用下式表示：圖3-27串級控制系統(tǒng)的等效結(jié)構(gòu)圖若主、副調(diào)節(jié)器均采用比例調(diào)節(jié)器，其增益分別為Kc1和Kc2，則上式可寫為由于在串級控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)，副回路的階數(shù)一般都取得較低，因而副調(diào)節(jié)器的增益可以取得較大，通常滿足Kc1Kc2＞Kc1可見，與單回路控制系統(tǒng)相比，串級控制系統(tǒng)對二次擾動(dòng)的抑制能力有很大的提高，一般可達(dá)到10～100倍。

4.采用復(fù)合控制方法

如果控制系統(tǒng)中存在強(qiáng)擾動(dòng)，特別是低頻強(qiáng)擾動(dòng)，則一般的反饋控制方式就難以滿足高穩(wěn)態(tài)精度的要求，此時(shí)可以采用復(fù)合控制方法。

復(fù)合控制系統(tǒng)是在系統(tǒng)的反饋控制回路中加入前饋通路，以組成一個(gè)前饋控制與反饋控制相結(jié)合的系統(tǒng)。只要該系統(tǒng)參數(shù)選擇合適，不但可以保持系統(tǒng)穩(wěn)定，極大地減小乃至消除穩(wěn)態(tài)誤差，而且可以抑制幾乎所有的可測量擾動(dòng)，其中包括低頻強(qiáng)擾動(dòng)。

例3-15

如果在例3-13所示系統(tǒng)中采用比例-積分控制器，如圖3-28所示，試分別計(jì)算該系統(tǒng)在階躍轉(zhuǎn)矩?cái)_動(dòng)和斜坡轉(zhuǎn)矩?cái)_動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。圖3-28比例-積分控制系統(tǒng)

解由圖3-28可知，在擾動(dòng)作用點(diǎn)之前的積分環(huán)節(jié)數(shù)v1=1，而v3=0，故該比例-積分控制系統(tǒng)對擾動(dòng)作用為Ⅰ型系統(tǒng)，在階躍擾動(dòng)作用下不存在穩(wěn)態(tài)誤差，而在斜坡擾動(dòng)作用下存在常值穩(wěn)態(tài)誤差。

由圖3-28不難寫出擾動(dòng)作用下的系統(tǒng)誤差表達(dá)式為設(shè)sEn(s)的極點(diǎn)位于s左半平面，則可用終值定理法求得穩(wěn)態(tài)誤差。當(dāng)N(s)=n0/s時(shí)，有當(dāng)N(s)=n1/s2時(shí)，有顯然，提高比例增益K1可以減小斜坡轉(zhuǎn)矩作用下的穩(wěn)態(tài)誤差，但K1的增大要受到穩(wěn)定性要求和動(dòng)態(tài)過程振蕩性要求的制約。系統(tǒng)采用比例-積分控制器后，可以消除階躍擾動(dòng)轉(zhuǎn)矩作用下的穩(wěn)態(tài)誤差，其物理意義是清楚的：由于控制器中包括積分控制作用，只要穩(wěn)態(tài)誤差不為零，控制器就會(huì)產(chǎn)生一個(gè)繼續(xù)增長的輸出轉(zhuǎn)矩來抵消階躍擾動(dòng)轉(zhuǎn)矩的作用，力圖減小所產(chǎn)生誤差，直到穩(wěn)態(tài)誤差為零為止，系統(tǒng)取得平衡而進(jìn)入穩(wěn)態(tài)。在斜坡轉(zhuǎn)矩?cái)_動(dòng)作用下，系統(tǒng)存在常值穩(wěn)態(tài)誤差的物理意義可以這樣解釋：由于轉(zhuǎn)