2024北京首都師大附中密云中學(xué)九年級（上）期中數(shù)學(xué)（教師版）

第1頁/共1頁2024北京首都師大附中密云中學(xué)初三（上）期中數(shù)學(xué)本試卷共6頁，100分．考試時長120分鐘．考生務(wù)必將答案寫在答題卡上，在試卷上作答無效．考試結(jié)束后，將只將答題卡交回．Ⅰ卷選擇題（共16分）一、選擇題（共8小題，每小題2分，共16分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項）1.若關(guān)于的一元二次方程有一個根為，則的值為()A.2 B.1 C.0 D.2.下列圖形中是中心對稱圖形的是（）A.正方形 B.等邊三角形 C.直角三角形 D.正五邊形3.將拋物線向左平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度，所得到的拋物線的表達式為（）A. B. C. D.4.若關(guān)于x的方程有兩個相等的實數(shù)根，則c的值是（）A.36 B. C.9 D.5.某廠家2020年1～5月份的口罩產(chǎn)量統(tǒng)計如圖所示．設(shè)從2月份到4月份，該廠家口罩產(chǎn)量的平均月增長率為x，根據(jù)題意可得方程（）A.180（1﹣x）2=461 B.180（1+x）2=461C.368（1﹣x）2=442 D.368（1+x）2=4426.不解方程，判斷關(guān)于x的方程的根的情況為（）A.只有一個實數(shù)根 B.有兩個相等的實數(shù)根C.有兩個不相等的實數(shù)根 D.沒有實數(shù)根7.已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則下列選項中不正確的是（）A. B. C. D.8.已知拋物線上部分點的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如下表：…0……10…有以下幾個結(jié)論：①拋物線的開口向上；②拋物線的對稱軸為直線；③關(guān)于x的方程的根為和；④當(dāng)y＜0時，x的取值范圍是＜x＜．其中正確的是（）A.①④ B.②④ C.②③ D.③④Ⅱ卷非選擇題（共84分）二、填空題（共8小題，每小題2分，共16分）9.方程的解是_________________．10.拋物線與軸交于點，則點的坐標(biāo)為_____．11.關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，則_____．12.把二次函數(shù)的表達式化為的形式_____．13.寫出一個二次函數(shù)，其圖像滿足：①開口向上：②當(dāng)時，隨的增大而減?。@個二次函數(shù)的解析式可以是_______________．14.、是函數(shù)圖像上的兩個點，，的大小關(guān)系是_____．15.二次函數(shù)的圖像如圖所示，則_____0，_____0．16.如圖，某中學(xué)綜合與實踐小組要圍成一個矩形菜園，其中一邊靠墻，其余的三邊，，用總長為40米的柵欄圍成．設(shè)矩形的邊米，面積為S平方米．（1）活動區(qū)面積S與之間的關(guān)系式為____________；（2）菜園最大面積是____________平方米．三、解答題（本題共68分，第17題題8分，18-23題，每小題5分，第24題題10分，第25-26題7分，第27題題6分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.解下列方程（1）；（2）．18.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，頂點坐標(biāo)為，求該函數(shù)的表達式．19.已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，求：（1）點A、B、C的坐標(biāo)；（2）的面積．20.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象上部分點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的對應(yīng)值…01234……-3-4-305…（1）求該二次函數(shù)的表達式；（2）直接寫出該二次函數(shù)圖象與軸的交點坐標(biāo).21.如圖，在中，，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)30°得到交于點．若，求的長．22.已知關(guān)于的一元二次方程．（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根；（2）若方程有一個根小于，求的取值范圍．23.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個頂點坐標(biāo)分別為，，，把繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到．（每個方格的邊長均為1個單位）（1）畫出并直接寫出：的坐標(biāo)為______，的坐標(biāo)為______；（2）判斷直線與直線的位置關(guān)系為______．24.已知拋物線．（1）用配方法將化成的形式；（2）寫出該拋物線的對稱軸、頂點坐標(biāo)；（3）拋物線與軸交點，（點在左側(cè)），與軸交點，在給定的坐標(biāo)系中畫出這個拋物線，求的面積；（4）直接寫出當(dāng)自變量滿足什么條件時，函數(shù)；（5）直接寫出當(dāng)自變量滿足什么條件時，隨的增大而增大．25.擲實心球是中考體育考試項目之一，實心球投擲后的運動軌跡可以看作是拋物線的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，從投擲到著陸的過程中，實心球的豎直高度(單位：m)與水平距離(單位：m)近似滿足函數(shù)關(guān)系．某位同學(xué)進行了兩次投擲．（1）第一次投擲時，實心球的水平距離與豎直高度的幾組數(shù)據(jù)如下：水平距離x/m0246810豎直距離y/m根據(jù)上述數(shù)據(jù)，直接寫出實心球豎直高度的最大值，并求出滿足的函數(shù)關(guān)系；（2）第二次投擲時，實心球的豎直高度y與水平距離近似滿足函數(shù)關(guān)系．記實心球第一次著地點到原點的距離為，第二次著地點到原點的距離為，則_____(填“＞”“＝”或“＜”)．26.在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)圖象頂點為A，與x軸正半軸交于點B．（1）求點B的坐標(biāo)，并畫出這個二次函數(shù)的圖象；（2）一次函數(shù)的圖象過A，B兩點，結(jié)合圖象，直接寫出關(guān)于x的不等式的解集．27.在平面直角坐標(biāo)系中，圖形上任意兩點間的距離若有最大值，將這個最大值記為．對于點和圖形給出如下定義：點是圖形上任意一點，若，兩點間的距離有最小值，且最小值恰好為，則稱點為圖形的“關(guān)聯(lián)點”．（1）如圖，圖形是矩形，其中點的坐標(biāo)為0,3，點的坐標(biāo)為，則_____．在點，，，中，矩形的“關(guān)聯(lián)點”是_____；（2）如圖，圖形是中心在原點的正方形，其中點的坐標(biāo)為．若直線上存在點，使點為正方形的“關(guān)聯(lián)點”，求的取值范圍．

參考答案Ⅰ卷選擇題（共16分）一、選擇題（共8小題，每小題2分，共16分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項）1.【答案】C【分析】將代入方程，即可求解．【詳解】解：∵關(guān)于的一元二次方程有一個根為，∴，故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程的解的定義，將代入方程是解題的關(guān)鍵．2.【答案】A【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念求解即可．【詳解】解：A、是中心對稱圖形，本選項正確；B、不是中心對稱圖形，本選項錯誤；C、不是中心對稱圖形，本選項錯誤；D、不是中心對稱圖形，本選項錯誤．故選A．【點睛】本題考查了中心對稱圖形的概念．中心對稱圖形是要尋找對稱中心，繞對稱中心旋轉(zhuǎn)180度后與原圖形重合．3.【答案】D【分析】本題考查了二次函數(shù)的平移．根據(jù)“左加右減、上加下減”的平移原則進行解答即可．【詳解】解：拋物線向左平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度，得到的拋物線的解析式為．故選：D．4.【答案】C【分析】根據(jù)判別式的意義得到，然后解關(guān)于c的一次方程即可．【詳解】解：∵方程有兩個相等的實數(shù)根∴解得故選：C．【點睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程的跟與的關(guān)系，關(guān)鍵是分清楚以下三種情況：當(dāng)時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程無實數(shù)根．5.【答案】B【分析】本題為增長率問題，一般用增長后的量=增長前的量×（1+增長率），如果設(shè)這個增長率為x，根據(jù)“2月份的180萬只，4月份的產(chǎn)量將達到461萬只”，即可得出方程．【詳解】解：從2月份到4月份，該廠家口罩產(chǎn)量的平均月增長率為x，根據(jù)題意可得方程：180（1+x）2=461，故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程的實際應(yīng)用，理解題意是解題關(guān)鍵．6.【答案】C【分析】本題考查了一元二次方程的根的判別式，根據(jù)題意求出，最后根據(jù)計算結(jié)果判斷方程根的情況．【詳解】由題意得：∴方程有兩個不相等的實數(shù)根故選：C．7.【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)圖像可知，，，將代入即可解答．【詳解】解：根據(jù)函數(shù)圖像可知，，，將代入得，由圖象知，此時．故選：D．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．8.【答案】C【分析】根據(jù)表格信息，可得拋物線經(jīng)過兩點，結(jié)合拋物線的對稱性，解得拋物線的對稱軸，再由表格信息知拋物線與x軸的其中一個交點為，結(jié)合對稱性解得拋物線與x軸的另一個交點，即可判斷拋物線的開口方向及關(guān)于x的方程的兩個根，結(jié)合圖象可得當(dāng)y＜0時，x的取值范圍．【詳解】由表格信息得，拋物線經(jīng)過，結(jié)合拋物線的對稱性可得拋物線對稱軸為，故②正確；因為拋物線經(jīng)過點，即拋物線與x軸的一個交點為，根據(jù)拋物線的對稱性可得，拋物線與x軸的另一個交點為，拋物線開口向下，故①錯誤；故關(guān)于x的方程的根為和，故③正確；當(dāng)y＜0時，拋物線在x軸的下方的圖象有兩部分，即或，故④錯誤，因此正確的有：②③，故選：C．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．Ⅱ卷非選擇題（共84分）二、填空題（共8小題，每小題2分，共16分）9.【答案】【分析】本題主要考查了解一元二次方程，先把常數(shù)項移到方程右邊，再利用直接開平方的方法解方程即可得到答案．【詳解】解：移項得：，方程兩邊同時開方得：，解得，故答案為：．10.【答案】【分析】本題考查了拋物線與坐標(biāo)的交點，理解拋物線與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)特征是解題關(guān)鍵．根據(jù)拋物線與與軸交于點，得到點的橫坐標(biāo)為0，代入拋物線解析中進行計算求解．【詳解】解：拋物線與軸交于點，，．故答案為：．11.【答案】【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式．根據(jù)方程有兩個不相等的實數(shù)根，可以得到關(guān)于的不等式，解不等式求出的取值范圍．【詳解】解：方程有兩個不相等的實數(shù)根，整理不等式得到解得：．故答案為：．12.【答案】【分析】本題考查將二次函數(shù)的一般式化為頂點式，解題的關(guān)鍵是掌握：由于二次項系數(shù)是1，只需加上一次項系數(shù)的一半的平方來湊成完全平方式，根據(jù)恒等，同時需要減去一次項系數(shù)的一半的平方．據(jù)此解答即可．【詳解】解：∵，∴．故答案為：．13.【答案】（答案不唯一）【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．首先由①得到；由②得到對稱軸，只要舉出滿足以上兩個條件的的值即可得出所填答案．【詳解】解：根據(jù)題意，這個二次函數(shù)的解析式可以是．故答案為：（答案不唯一）．14.【答案】##【分析】本題主要考查了比較函數(shù)值大小，熟練掌握二次函數(shù)圖像的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．將點、代入函數(shù)，分別求得的值，比較即可獲得答案．【詳解】解：將點、代入函數(shù)，可得，，∵，∴．故答案為：．15.【答案】①.②.【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．根據(jù)二次函數(shù)圖像的開口方向可知，結(jié)合函數(shù)圖像的對稱軸，可得；根據(jù)該二次函數(shù)的圖像與軸有兩個交點，易得．【詳解】解：根據(jù)函數(shù)圖像可知，該函數(shù)圖像開口向下，∴，又∵函數(shù)圖像的對稱軸，∴，∵該二次函數(shù)的圖像與軸有兩個交點，∴當(dāng)時，可得，此時．故答案為：，．16.【答案】①.②.200【分析】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，（1）表示出，由矩形面積公式可得函數(shù)關(guān)系式；（2）把面積S配成頂點式，由二次函數(shù)性質(zhì)可得答案．【詳解】解：（1）由題意得：，∴，∵，解得，∴活動區(qū)面積S與之間的關(guān)系式為；解：（2）由（1）得：活動區(qū)面積S與之間的關(guān)系式為，∵，∴當(dāng)時，S取最大值200，∴菜園最大面積是200平方米；三、解答題（本題共68分，第17題題8分，18-23題，每小題5分，第24題題10分，第25-26題7分，第27題題6分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.【答案】（1），（2），【分析】本題考查了解一元二次方程，掌握直接開平方法、因式分解法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．（1）移項并把方程兩邊同時除以2后，利用直接開平方法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．【小問1詳解】解：，∴，∴，∴或，∴，；【小問2詳解】解：，∴，∴或，∴，．18.【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)設(shè)二次函數(shù)的解析式為，再把點代入求解即可．【詳解】解：∵二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)為，∴設(shè)該函數(shù)的表達式為，∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，把點代入得，，解得，∴該函數(shù)的表達式為．【點睛】本題考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，根據(jù)題目的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．19.【答案】（1）；；（2）6【分析】（1）根據(jù)題意得出求出圖象與x軸以及y軸交點坐標(biāo)；（2）根據(jù)A，B，C的坐標(biāo)求出，長，即可求出的值．【小問1詳解】解：令，則，∴；令，則，解得：，，∴；．【小問2詳解】解：∵，，∴，，∴．【點睛】本題主要考查了求二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)，三角形面積的計算，解題的關(guān)鍵熟練進行計算．20.【答案】（1）；（2）（3，0）和（-1，0）.【分析】（1）由已知的三點坐標(biāo)得到二次函數(shù)的對稱軸，然后設(shè)頂點式即可求出二次函數(shù)的解析式；

（2）由二次函數(shù)表達式即可得．【詳解】（1）由拋物線經(jīng)過三點（0，-3）、（2，-3）和（1，-4）可知，拋物線對稱軸為直線x=1,頂點坐標(biāo)為(1，-4).設(shè)拋物線表達式為將(0,-3)點代入，解得∴二次函數(shù)的表達式為（2）二次函數(shù)圖象與軸的交點坐標(biāo)為（3，0）和（-1，0）.【點睛】本題考查的知識點是求二次函數(shù)的解析式，解題關(guān)鍵是熟記二次函數(shù)的性質(zhì).21.【答案】23【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，可得，，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)，可得，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：由題意得：，∴，∵，∴，∵將繞點順時針旋轉(zhuǎn)30°得到，∴，∴，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的運用，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22.【答案】（1）見解析（2）【分析】（1）計算方程根的判別式，判斷其符號即可；（2）求方程兩根，結(jié)合條件則可求得m的取值范圍．【小問1詳解】解：∴方程總有兩個實數(shù)根；【小問2詳解】解：原方程可化為：或解得：，由題意可得：解得：【點睛】本題主要考查一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的個數(shù)與根的判別式的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．23.【答案】（1）圖見解析，；（2）垂直【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)作圖，點的坐標(biāo)，掌握旋轉(zhuǎn)的作圖方法是解題關(guān)鍵．（1）按照旋轉(zhuǎn)的定義進行旋轉(zhuǎn)即可；由圖即可得坐標(biāo)．（2）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)：對應(yīng)線段所在的直線所交的角等于旋轉(zhuǎn)角度可得結(jié)論.【小問1詳解】解：如圖，將點繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)后得到，將點繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)后得到，連接，，即為所求．解：由（1）圖可知點坐標(biāo)為，點坐標(biāo)為，故答案為：，．【小問2詳解】由圖可知：直線與直線的位置關(guān)系為垂直．24.【答案】（1）（2）對稱軸為直線、頂點坐標(biāo)為（3）作圖見解析，的面積為（4）或（5）【分析】（1）由于二次項系數(shù)是，只需加上一次項系數(shù)的一半的平方來湊成完全平方式，根據(jù)恒等，同時需要減去一次項系數(shù)的一半的平方即可；（2）根據(jù)（1）結(jié)論即可得出結(jié)論；（3）令得到關(guān)于的方程，求解后可得點和點的坐標(biāo)，令可得到的值，可得點的坐標(biāo)，然后畫出該函數(shù)的圖像，再根據(jù)三角形的面積公式即可求出的面積；（4）觀察圖像，圖像在軸上方的部分，即可得出的取值范圍；（5）觀察圖像，在對稱軸的右側(cè)的圖像，隨的增大而增大，即可得出的取值范圍．【小問1詳解】解：，∴；【小問2詳解】由（1）知：，∴該拋物線的對稱軸為直線、頂點坐標(biāo)為；【小問3詳解】∵拋物線，當(dāng)時，得：，解得：或，∴，，當(dāng)時，得：，∴C0,-3如圖：∵，，C0,-3，∴，，∴，∴的面積為；【小問4詳解】由圖像知：當(dāng)或時，；【小問5詳解】由圖像知：當(dāng)時，隨的增大而增大．【點睛】本題考查將拋物線表達式的一般式化為頂點式，拋物線與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)，畫函數(shù)圖像，結(jié)合圖像求不等式的解集，結(jié)合圖像理解函數(shù)的增減性，根據(jù)網(wǎng)格求三角形的面積等知識點．利用數(shù)形結(jié)合的思想求解是解題的關(guān)鍵．25.【答案】（1），（2）＞【分析】（1）先根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)找到頂點坐標(biāo)，即可得出實心球豎直高度的最大值，并利用待定系數(shù)法得到拋物線解析式；（2）設(shè)著陸點的縱坐標(biāo)為0，分別代入第一次和第二次的函數(shù)關(guān)系式，求出著陸點的橫坐標(biāo)即為和，然后進行比較即可．【小問1詳解】解：由表格數(shù)據(jù)可知，拋物線的頂點坐標(biāo)為，所以實心球豎直高度的最大值為，設(shè)拋物線的解