2024北京鐵二中高三（上）期中數(shù)學(xué)（教師版）

第1頁/共1頁2024北京鐵二中高三（上）期中數(shù)學(xué)2024.11（試卷滿分150分；考試時長120分鐘）一?選擇題（共10個題，每題4分，計40分）1.設(shè)全集，集合，，則集合（）A. B.C. D.2.函數(shù)f(x)＝x是（）A.奇函數(shù)，且值域為（0，+∞）B.奇函數(shù)，且值域RC.偶函數(shù)，且值域為（0，+∞）D.偶函數(shù)，且值域為R3.已知三條不同的直線和兩個不同的平面，下列四個命題中正確的為（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則4.已知函數(shù)，則下列四個結(jié)論中正確的是（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于中心對稱B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有個零點D.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增5.已知，那么在下列不等式中，不成立的是A. B. C. D.6.設(shè)向量滿足，，則的最小值為（）A. B. C.1 D.7.已知過點P(2,2)的直線與圓相切,且與直線垂直,則（）A. B.1 C.2 D.8.設(shè)為等比數(shù)列，則“對于任意的”是“為遞增數(shù)列”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件9.中國茶文化博大精深．茶水口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān)．經(jīng)驗表明，某種綠茶用的水泡制，再等到茶水溫度降至?xí)r飲用，可以產(chǎn)生最佳口感．已知室內(nèi)的溫度為，設(shè)茶水溫度從開始，經(jīng)過x分鐘后的溫度為．y與x的函數(shù)關(guān)系式近似表示為，那么在室溫下，由此估計，剛泡好的茶水大約需要放置多少分鐘才能達到最佳口感（參考數(shù)據(jù)：）（）A.8 B.7 C.6 D.510.如圖，在棱長為1的正方體中，點是對角線上的動點（點與不重合）．則下面結(jié)論中錯誤的是A.存在點，使得平面∥平面B.存在點，使得平面C.分別是△在平面，平面上的正投影圖形的面積，對任意點，D.對任意點，△的面積都不等于二?填空題（共6個題，每題4分，計24分）11.若直線:與直線:平行,則__________.12.在的展開式中，常數(shù)項為__________.（用數(shù)字作答）13.在等差數(shù)列{an}中，若a1+a2＝16，a5＝1，則a1＝_____；使得數(shù)列{an}前n項的和Sn取到最大值的n＝_____.14.在矩形中，若，，且，則的值為______，的值為______.15.顆粒物過濾效率是衡量口罩防護效果的一個重要指標(biāo)，計算公式為，其中表示單位體積環(huán)境大氣中含有的顆粒物數(shù)量（單位：），表示經(jīng)口罩過濾后，單位體積氣體中含有的顆粒物數(shù)量（單位：）．某研究小組在相同的條件下，對兩種不同類型口罩的顆粒物過濾效率分別進行了4次測試，測試結(jié)果如圖所示．圖中點的橫坐標(biāo)表示第i種口罩第j次測試時的值，縱坐標(biāo)表示第i種口罩第j次測試時的值．該研究小組得到以下結(jié)論：①在第1種口罩的4次測試中，第4次測試時的顆粒物過濾效率最高;②在第2種口罩的4次測試中，第3次測試時的顆粒物過濾效率最高;③在每次測試中，第1種口罩的顆粒物過濾效率都比第2種口罩的顆粒物過濾效率高;④在第3次和第4次測試中，第1種口罩的顆粒物過濾效率都比第2種口罩的顆粒物過濾效率低．其中，所有正確結(jié)論的序號是__________．16.設(shè)函數(shù)給出下列四個結(jié)論：①對，，使得無解；②對，，使得有兩解；③當(dāng)時，，使得有解；④當(dāng)時，，使得有三解.其中，所有正確結(jié)論的序號是______.三?解答題（共6個大題，共計86分）17.在中，，，在從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使其能夠確定唯一的三角形，求：（1）的值；（2）的面積.條件①：；條件②：；條件③：.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.18.如圖，在三棱錐中，平面平面，△和△均是等腰直角三角形，，，，分別為，的中點.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求證：；（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值.19.近年來，隨著5G網(wǎng)絡(luò)、人工智能等技術(shù)發(fā)展，無人駕駛技術(shù)也日趨成熟．為了盡快在實際生活中應(yīng)用無人駕駛技術(shù)，國內(nèi)各大汽車研發(fā)企業(yè)都在積極進行無人駕駛汽車的道路安全行駛測試．某機構(gòu)調(diào)查了部分企業(yè)參與測試的若干輛無人駕駛汽車，按照每輛車的行駛里程（單位：萬公里）將這些汽車分為4組：，，，并整理得到如下的頻率分布直方圖：（I）求a的值；（Ⅱ）該機構(gòu)用分層抽樣的方法，從上述4組無人駕駛汽車中隨機抽取了10輛作為樣本．從樣本中行駛里程不小于7萬公里的無人駕駛汽車中隨機抽取2輛，其中有X輛汽車行駛里程不小于8萬公里，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）設(shè)該機構(gòu)調(diào)查的所有無人駕駛汽車的行駛里程的平均數(shù)為．若用分層抽樣的方法從上述4組無人駕駛汽車中隨機抽取10輛作為樣本，其行駛里程的平均數(shù)為;若用簡單隨機抽樣的方法從上述無人駕駛汽車中隨機抽取10輛作為樣本，其行駛里程的平均數(shù)為．有同學(xué)認(rèn)為，你認(rèn)為正確嗎？說明理由．20.已知函數(shù).（）（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若，的圖象與軸交于點，求在點處的切線方程；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，證明：當(dāng)時，恒成立．21.已知函數(shù).（1）若曲線在點處的切線的斜率為1.（?。┣骯的值；（ⅱ）證明：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有唯一極值點；（2）當(dāng)時，證明：對任意，.22.已知數(shù)列是由正整數(shù)組成的無窮數(shù)列.若存在常數(shù)，使得對任意的成立，則稱數(shù)列具有性質(zhì).（1）分別判斷下列數(shù)列是否具有性質(zhì)；（直接寫出結(jié)論）①；②.（2）若數(shù)列滿足，求證：“數(shù)列具有性質(zhì)”是“數(shù)列為常數(shù)列”的充分必要條件；（3）已知數(shù)列中，且.若數(shù)列具有性質(zhì)，求數(shù)列的通項公式.

參考答案一?選擇題（共10個題，每題4分，計40分）1.【答案】D【分析】根據(jù)集合的補集、并集運算求解即可.【詳解】因為全集，集合，，所以，.故選：D2.【答案】B【分析】由奇偶性定義，求出函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，再求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分析其單調(diào)性可得在區(qū)間（﹣∞，0）和（0，+∞）上都是增函數(shù)，且f（1）＝f（﹣1）＝0；作出函數(shù)的草圖，分析其值域，即可得答案.【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)f(x)＝x，其定義域為{x|x≠0}，有f（﹣x）＝（﹣x）﹣（）＝﹣（x）＝﹣f(x)，即函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)f′(x)＝1，在區(qū)間（﹣∞，0）和（0，+∞）上都是增函數(shù)，且f（1）＝f（﹣1）＝0；其圖象大致如圖：其值域為R；故選：B.【點睛】本題考查函數(shù)奇偶性的判斷，值域的求解，屬于基礎(chǔ)題3.【答案】D【分析】求得位置關(guān)系判斷選項A；求得位置關(guān)系判斷選項B；求得位置關(guān)系判斷選項C，D.【詳解】選項A：若，則或異面或相交.判斷錯誤；選項B：若，則或.判斷錯誤；選項C：若，則或相交.判斷錯誤；選項D：若，則必有，又，則，則.判斷正確.故選：D4.【答案】C【分析】利用正弦型函數(shù)的對稱性可判斷A，C選項的正誤；在區(qū)間上解方程，可判斷B選項的正誤；利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可判斷D選項的正誤.【詳解】A選項，，A錯誤；B選項，，B錯誤；C選項，當(dāng)時，，當(dāng)時，，解得或或或，故函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有個零點，C正確；D選項，由，，解得，所以單調(diào)遞增區(qū)間為，，令，得，，得，所以在區(qū)間上不是單調(diào)遞增的，D錯誤．故選：C．5.【答案】D【分析】利用作差法可判斷A、B選項的正誤，利用正弦、余弦值的有界性可判斷C、D選項的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】，則，，又、，，.可得：ABC成立，D不成立.故選：D.【點睛】本題考查不等式正誤的判斷，一般利用作差法來進行判斷，同時也要注意正弦、余弦有界性的應(yīng)用，考查推理能力，屬于中等題.6.【答案】B【分析】兩邊平方，得出關(guān)于的二次函數(shù)，從而得出最小值.【詳解】解：∴當(dāng)時，取得最小值.故選：B【點睛】本題考查向量的模的求解方法，利用二次函數(shù)求最值，考查運算能力，是中檔題.7.【答案】C【詳解】試題分析：設(shè)過點的直線的斜率為，則直線方程，即，由于和圓相切，故，得，由于直線與直線，因此，解得，故答案為C.考點：1、直線與圓的位置關(guān)系；2、兩條直線垂直的應(yīng)用.8.【答案】C【分析】根據(jù)充分、必要條件、等比數(shù)列的單調(diào)性等知識進行分析，從而確定正確答案.【詳解】充分性：設(shè)等比數(shù)列的公比為，若，情形一：當(dāng)時，由得，解得或，若，則，此時與已知矛盾；若，則，此時為遞增數(shù)列；情形二：當(dāng)，由得，解得或，若，則，此時與已知矛盾；若，則，此時為遞增數(shù)列；必要性：反之，若為遞增數(shù)列，則，所以“對于任意的”是“為遞增數(shù)列”的充分必要條件.故選：C.9.【答案】B【分析】根據(jù)題意代入數(shù)據(jù)，列出等量關(guān)系式，利用對數(shù)的運算性質(zhì)化簡即可求得.【詳解】由題意降至?xí)r口感最佳，即，帶入函數(shù)關(guān)系式即得，即，兩邊同時取對數(shù)，得，所以.故選：B10.【答案】C【分析】根據(jù)空間中點、線、面位置關(guān)系，逐項判斷即可得出結(jié)果.【詳解】對于A，因為平面平面，所以，當(dāng)直線交平面于點時，有平面，所以，A正確．對于B，可證明平面，所以，當(dāng)直線交平面于點時，有平面，B正確；對于C，因為設(shè)，（其中），則△在平面的正投影面積為；又△在平面上的正投影圖形的面積與在平面的正投影圖形面積相等，所以，若，則，解得或，因為，所以，故存在點，使得；C錯誤；對于D，由于固定不變，只要找上的點到的距離最短即可，取中點，連結(jié)，在正方體中，易證平面，平面，因此，，，所以可得平面，因此，；又平面，所以，所以為直線與的公垂線，此時△的面積最小；因為在正方體中，易知，又，所以，因此，；所以對任意點，△的面積都不等于,D正確.故選C【點睛】本題主要考查空間中點線面位置關(guān)系，熟記位置關(guān)系，以及線面垂直、面面平行的判定等即可，屬于?？碱}型.二?填空題（共6個題，每題4分，計24分）11.【答案】1【分析】根據(jù)兩直線平行的性質(zhì)，即可求解，同時要排除重合的情況.【詳解】因為直線:與直線:平行，所以，解得或，當(dāng)時，與重合，故答案為：1.【點睛】本題考查了兩條直線平行的位置關(guān)系的判定，屬于中檔題.解題時注意平行關(guān)系,要防止兩條直線重合.12.【答案】【分析】根據(jù)二項式定理的通項公式，利用項的指數(shù)為即為常數(shù)項.【詳解】由的展開式的通項為，令，，則，即在的展開式中，常數(shù)項為，故答案為：.13.【答案】①.9②.5.【分析】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由a1+a2＝16，a5＝1，可得2a1+d＝16，a1+4d＝1，解得：a1，d，可得an，令an≥0，解得n即可得出.【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵a1+a2＝16，a5＝1，∴2a1+d＝16，a1+4d＝1，解得：a1＝9，d＝﹣2.∴an＝9﹣2（n﹣1）＝11﹣2n.令an＝11﹣2n≥0，解得n5.∴使得數(shù)列{an}前n項的和Sn取到最大值的n＝5.故答案為：9；5.【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式，考查等差數(shù)列前n項的和的最值，考查學(xué)生的計算能力，是中檔題.14.【答案】①.②.【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用坐標(biāo)法求出、，即可求出的值，最后利用坐標(biāo)法求出平面向量數(shù)量積.【詳解】如圖建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，因為，所以，所以，，，所以，，因為，所以，解得或（舍去），所以，，所以.故答案為：；15.【答案】②④【分析】先根據(jù)題意分析得直線的斜率越大，顆粒物過濾效率越小，再看圖逐一分析結(jié)論即可.【詳解】依題意，，知直線的斜率越大，顆粒物過濾效率越小.看圖分析如下：在第1種口罩的4次測試中，四條直線中，直線斜率最大，故最小，第4次測試時的顆粒物過濾效率最低，則①錯誤；在第2種口罩的4次測試中，四條直線中，直線斜率最小，故最大，第3次測試時的顆粒物過濾效率最高，則②正確；在第1次和第2次測試中，直線斜率大于斜率，，即第1種口罩的顆粒物過濾效率高，在第3次和第4次測試中，斜率大于直線，斜率，即第2種口罩的顆粒物過濾效率高，故③錯誤，④正確.故答案為：②④.16.【答案】③④【分析】取，由一次函數(shù)的單調(diào)性和基本不等式，可得函數(shù)f(x)的值域，可判斷①的正誤；當(dāng)時，可以否定②；考慮時，求得函數(shù)f(x)的值域，即可判斷③；當(dāng)時，結(jié)合一次函數(shù)的單調(diào)性和基本不等式，以及函數(shù)f(x)的圖象，即可判斷④.綜合可得出結(jié)論.【詳解】對于①，可取，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得等號，故時，f(x)的值域為R，∴，都有解，故①錯誤；對于②，當(dāng)時，由于對于任意,無解；時，，對任意的,至多有一個實數(shù)根，故②錯誤；對于③，當(dāng)時，時，單調(diào)遞減，可得；又時，，即有.可得，則f(x)的值域為，∴，都有解，故③正確；對于④，當(dāng)時，時，遞增，可得；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得等號，由圖象可得，當(dāng)時，有三解，故④正確.故答案為：③④.【點睛】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，主要考查方程根的個數(shù)問題，注意運用反例法判斷命題不正確，考查推理能力，屬于中等題.三?解答題（共6個大題，共計86分）17.【答案】（1）選擇條件①；選擇條件②；選擇條件③不合題意.（2）選擇條件①；選擇條件②.【分析】（1）選條件①時，直接利用余弦定理的應(yīng)用求出a的值；選條件②時，利用正弦定理的應(yīng)用求出a的值；選條件③時，由于出現(xiàn)與已知條件中三角形有一解相矛盾，故舍去.（2）選條件①時，利用勾股定理證明為直角三角形，可求出三角形的面積；選條件②時，利用三角函數(shù)的關(guān)系式求出，應(yīng)用三角形面積公式的求出結(jié)果．【小問1詳解】（1）選擇條件①，，由于，，所以，解得；選擇條件②，，由于，，由正弦定理，.選擇條件③，，由正弦定理，得，此時或，三角形不唯一，不合題意．【小問2詳解】選擇條件①，，由，則，滿足，故為直角三角形，所以；選擇條件②，，在中，，所以.18.【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）.【分析】（Ⅰ）由線面平行的判斷定理，即可證明；（Ⅱ）首先由面面垂直的性質(zhì)定理，轉(zhuǎn)化為線面垂直，即平面，即可證明線線垂直；（Ⅲ）根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)果，即是所求線面角，內(nèi)計算正弦值.【詳解】證明：（Ⅰ）在△中，M，N分別為VA，VB的中點，所以為中位線.所以.又因為平面，平面，所以平面（Ⅱ）在等腰直角三角形△中，，所以.因為平面平面，平面平面，平面，所以平面.又因為平面，所以.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，平面，直線與平面所成角為，因為是等腰直角三角形，，所以,所以所以19.【答案】（I）；（Ⅱ）分布列見解析，；（Ⅲ）不正確，理由見解析.【分析】（I）根據(jù)頻率分布直方圖概率之和等于1，即可求得a的值（Ⅱ）按照分層抽樣比分別求出行駛里程在和的無人駕駛汽車數(shù)量，的所有可能取值為，求出相應(yīng)的概率即可列出分布列，求出數(shù)學(xué)期望.（Ⅲ）由于樣本具有隨機性，故，是隨機變量，受抽樣結(jié)果的影響，這種說法不正確.【詳解】（I）由題意可知:，所以；（Ⅱ）4組無人駕駛汽車的數(shù)量比為，若使用分層抽樣抽取10輛汽車，則行駛里程在這一組的無人駕駛汽車有輛，則行駛里程在這一組的無人駕駛汽車有輛，有題意可知：的所有可能取值為，，，所以的分布列為所以的數(shù)學(xué)期望為.（Ⅲ）這種說法不正確，理由如下：由于樣本具有隨機性，故，是隨機變量，受抽樣結(jié)果的影響.因此有可能更接近，也有可能更接近，所以不恒成立，所以這種說法不正確.【點睛】本題主要考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查離散型隨機變量的分布列和期望，屬于中檔題.20.【答案】（Ⅰ）時，單調(diào)增區(qū)間為，無單調(diào)減區(qū)間，時，單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.（Ⅱ）（Ⅲ）證明見解析【分析】（Ⅰ）對求導(dǎo)，得到，對按照和進行分類討論，研究的正負，從而得到的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）將代入，得到切線斜率，點斜式寫出切線方程；（Ⅲ）令，得到，令，得到，從而得到，得到在上單調(diào)遞增，即，從而使得原命題得證.【詳解】解：（Ⅰ），當(dāng)時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，令，解得.當(dāng)變化時，，的變化情況如下表：–0+減極小值增所以時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上所述，時，單調(diào)增區(qū)間為，無單調(diào)減區(qū)間，時，單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.（Ⅱ）時，令，得，則，因為，所以，所以在點處的切線方程為，即.（Ⅲ）證明：令，則.令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；所以，即恒成立.所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，即當(dāng)時，恒成立．【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求函數(shù)圖像在一點的切線，利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題，屬于中檔題.21.【答案】（1）（?。?；（ⅱ）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）（?。┫葘瘮?shù)求導(dǎo)，然后把代入導(dǎo)函數(shù)中使其值等于零，可求出a的值；（ⅱ）令，則，可得在上的單調(diào)性，也是在上的單調(diào)性，而，，，所以存在唯一的是的變號零點，故函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有唯一極值點；（2）由（1）可知，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，，所以分兩類討論：（i）若，易證在內(nèi)單調(diào)遞增，，符合題意，（ii）若，可得在區(qū)間內(nèi)有且只有一個零點，記為，而函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，可得，符合題意.【詳解】（1）（?。┮驗椋?因為曲線在點處的切線的斜率為1，所以，即，故.經(jīng)檢驗