數(shù)學(xué)課堂導(dǎo)學(xué)離散型隨機(jī)變量的方差

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析一、離散型隨機(jī)變量的方差【例1】袋中有1個(gè)白球和4個(gè)黑球，每次從中任取一個(gè)球，但不放回原袋中，直到取到白球?yàn)橹?求取球次數(shù)的期望及方差。解析:當(dāng)每次取出的黑球不再放回時(shí)，設(shè)隨機(jī)變量ξ是取球次數(shù)，因?yàn)槊看稳〕龅暮谇虿辉俜呕厝?所以ξ的可能值為1，2,3，4，5，易知：P（ξ=1）==0。2,P(ξ=2)=·=0。2，P(ξ=3）=··=0。2,P(ξ=4）=···=0.2,P(ξ=5）=····1=0.2,∴所求ξ的概率分布為ξ12345P0.20.20.20.20。2∴Eξ=1×0。2+2×0.2+3×0.2+4×0.2+5×0.2=3,Dξ=(1—3)2×0。2+（2—3）2×0.2+(3—3)2×0。2+(4-3）2+(5—3）2×0.2=2.溫馨提示求期望和方差的問題關(guān)鍵是求隨機(jī)變量的分布列，即求每種情況的概率。因此求事件的概率是基礎(chǔ)，另外方差可用定義求,也可以用公式：Dη=Eη2-(Eη)2求。二、離散型隨機(jī)變量的方差的作用【例2】A、B兩臺(tái)測(cè)量?jī)x器測(cè)量一長(zhǎng)度為120mm的工件時(shí)分布列如下：A：1181191201211220.060。140。600。150.05B：1181191201211220。090.150.520。160。08試比較兩種儀器的優(yōu)劣。解析：設(shè)隨機(jī)變量ξ1表示用A儀器測(cè)量此產(chǎn)品長(zhǎng)度的數(shù)值，隨機(jī)變量ξ2表示用B儀器測(cè)量此產(chǎn)品長(zhǎng)度的數(shù)值，從而有Eξ1=118×0。06+119×0。14+120×0.60+121×0.15+122×0。05=119。99，Dξ1=(118—119。99)2×0.06+(119—119.99）2×0.14+（120-119.99)2×0.60+(121-119。99）2×0。15+(122-119。99)2×0。05=0。7299,Eξ2=118×0.09+119×0.15+120×0。52+121×0.16+122×0.08=119.99,Dξ2=(118-119。99）2×0.09+（119—119。99）2×0。15+(120-119.99）2×0。52+(121—119。99）2×0。16+（122-119。99)2×0。08=0。9899，由此可知，Eξ1=Eξ2，Dξ1〈Dξ2,∴A儀器測(cè)量結(jié)果波動(dòng)較小，表明A儀器質(zhì)量較好。溫馨提示本題若僅由Eξ1=Eξ2，易產(chǎn)生兩臺(tái)儀器性能一樣好的錯(cuò)覺.這表明在實(shí)際問題中僅靠期望值不能完全反映隨機(jī)變量的分布特征，還要研究其偏離平均值的離散程度(即方差)。三、離散型隨機(jī)變量的方差的最值【例3】若隨機(jī)事件A在1次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為p（0<p〈1)，用隨機(jī)變量ξ表示A在1次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)。（1）求方差Dξ的最大值?（2）求的最大值.解析：隨機(jī)變量ξ的所有可能取值為0,1，并且有P(ξ=1）=p，P（ξ=0）=1-p，從而Eξ=0×(1—p)+1×p=p,Dξ=（0—p)2×（1—p）+(1—p)2×p=p-p2。(1)Dξ=p—p2=—(p2—p+)+=—(p)2+,∵0<p〈1,∴當(dāng)p=時(shí)，Dξ取得最大值，最大值為.（2)==2-（2p+),∵0<p〈1,∴2p+≥2，當(dāng)2p=,p=時(shí),取“=”,因此,當(dāng)p=時(shí),取得最大值2-2.各個(gè)擊破類題演練1已知某離散型隨機(jī)變量X服從的分布列為X10Ppq且0〈p〈1。q=1-p，求D(X)。解析:由題目知X服從二點(diǎn)分布,所以E（X）=p,D（X）=（1-p）2·p+(0—p）2·q=q2p+p2q=pq。這表明在二點(diǎn)分布試驗(yàn)中，離散型隨機(jī)變量X圍繞期望的平均波動(dòng)大小為pq。變式提升1已知某離散型隨機(jī)變量X服從下面的二項(xiàng)分布：P（X=k）=0。1k0。94—k（k=0,1，2,3,4）,求E（X）和D（X）.解析：根據(jù)題目知道離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)n=4和p=0。1的二項(xiàng)分布，所以E（X)=np=4×0。1=0。4,D(X）=npq=4×0.1×0.9=0。36。類題演練2一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)由25道選擇題構(gòu)成，每個(gè)選擇題有4個(gè)選項(xiàng),其中有且僅有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，每個(gè)選擇正確答案得4分，不作出選擇或選錯(cuò)不得分,滿分100分.某學(xué)生選對(duì)任一題的概率為0.6，求此學(xué)生在這一次測(cè)驗(yàn)中的成績(jī)的期望與方差.解：設(shè)該學(xué)生在這次數(shù)學(xué)測(cè)試中選擇正確答案的個(gè)數(shù)為X，所得的分?jǐn)?shù)（成績(jī)）為Y，則Y=4X。由題知X~B（25，0.6），∴EX=25×0。6=15,DX=25×0。6×0。4=6，EY=E（4X)=4EX=60，DY=D(4X）=42×DX=16×6=96.答：該學(xué)生在這次測(cè)驗(yàn)中的期望與方差分別是60與96。點(diǎn)評(píng)：審清題意得出X~B（25,0.6)是解本題的重要一步.變式提升2若X是離散型隨機(jī)變量,P（X=x1）=,P(X=x2）=，且x1<x2,又已知EX=，DX=，則x1+x2的值為（）A。B.C.3D。解析：由EX=x1+x2=得2x1+x2=4①又DX=（x1-）2·+（x2-）2·=得18x12+9x22-48x1—24x2+29=0②由①②，且x1<x2得x1+x2=3.答案：C類題演練3設(shè)一隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果只有A和,且P（A）=p，令隨機(jī)變量X=1,則X的方差DX等于()A.pB。2p(1—p）C?！猵(1-p）D。p（1-p）解析：EX=0·(1-p）+1·p=p，DX=(0-p）2·（1—p)+（1—p）2·p=p—p2=p（1—p).答案：D變式提升2甲、乙兩種水稻在相同條件下各種植100畝，它們收獲情況如下：甲：畝產(chǎn)量(單位：公斤）300320330340畝數(shù)20254015乙：畝產(chǎn)量（單位：公斤)310320330340畝數(shù)30204010試評(píng)價(jià)哪種水稻的質(zhì)量較好.解：設(shè)甲、乙兩種水稻的畝產(chǎn)量分別為ξ1,ξ2，則P（ξ1=300）==，P(ξ1=320)==,P(ξ1=330)==,P(ξ1=340)==；P（ξ2=310)==,P(ξ2=320)==，P（ξ2=330)==，P(ξ2=340)==。從而有Eξ1=300×+320×+330×+340×=323。Eξ2=310×+320×+330×+340×=323。這表明兩種水稻的平均畝產(chǎn)量相等，進(jìn)一步求各自的方差，得Dξ1=