2024年高考數(shù)學(xué)終極押題密卷2（全國(guó)乙卷文科）含答案

2024年高考數(shù)學(xué)終極押題密卷2(全國(guó)乙卷文科)

一.選擇題(共12小題)

1.已知i為虛數(shù)單位，則&"=()

1+i

A.-1+iB.liiC.旦D.旦

2222

2.已知集合人二(中2-2A<0},8={x|lVxV3},則4U8=()

A.{A|1<X<2}B.{疝)?3}C.{MP}D.{4rV3}

3.已知向量Z=(1,3),b=(m,-2>且(a+E)la，則〃?=()

A.-4B.-3C.-2D.-1

4.已知a,0是兩個(gè)不重合的平面，且直線(xiàn)/_La,則“a_LB”是“/〃0”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

5.在等差數(shù)列｛“〃｝中，06,018是方程f-中77=0的兩個(gè)根,則｛〃〃｝的前23項(xiàng)的和為()

A.-184B.-92C.92D.184

02

6.若雙曲線(xiàn)y2_2右二］(m>0)的漸近線(xiàn)與圓7+)2-6.v+1=0相切，則/〃=()

m2

A.亞B.V2C.D.2V2

42

7.如圖，網(wǎng)格紙上的小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線(xiàn)畫(huà)出的是某多面體的三視圖，則該多面體的體積為()

A.西B.另C.2D.A

333

8.在四棱錐P?48C。中，底面ABC。是矩形，給出以下三個(gè)結(jié)論：

①若尸。的中點(diǎn)為￡,則PB〃平面ACE；

②若布_1_平面4BCQ,則平面PCQ_L平面以。；

③若氏J_平面ABCD,則線(xiàn)段PC是四棱錐P-ABCD外接球的直徑.

則關(guān)于這三個(gè)結(jié)論敘述正確的是()

A.①對(duì)，②③錯(cuò)B.①②對(duì)，③錯(cuò)C.①錯(cuò)，②③對(duì)D.①②③都對(duì)

9.函數(shù)/(x)=3sin((DX+(P)(to>0,0<(p<K)的部分圖象如圖所示，則()

B./(x)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸方程是x=-2土

8

C./(x)圖象的對(duì)稱(chēng)中心是4兀工，0),kEZ

8

D.函數(shù)片f(x/^)是奇函數(shù)

8

22

10.已知橢圓c：的左、右焦點(diǎn)分別是臼，/2,M(1,.W)為橢圓C上一點(diǎn)，則下列結(jié)論不

433

正確的是()

A.△MFiB的周長(zhǎng)為6

B.△〃網(wǎng)"2的面積為Y運(yùn)

3

C.產(chǎn)2的內(nèi)切圓的半徑為Y運(yùn)

9

D.△MFiB的外接圓的直徑為絲

11

II.在△ABC中，BC=瓜AB=\,(anZABC=-2,將△ABC繞A8旋轉(zhuǎn)至AAB尸處，使平面48尸_1_平

面A4C,則在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為()

P(C)

c

AA?TCBn.'兀一'C'?o2TCnD.'3?！?/p>

22

12.中國(guó)傳統(tǒng)文化中很多內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的“對(duì)稱(chēng)美”.如圖所示的太極圖是由黑白兩個(gè)魚(yú)形紋組成的圓

形圖案，充分體現(xiàn)了相互轉(zhuǎn)化、對(duì)稱(chēng)統(tǒng)一的形式美、和諧美.在平面直角坐標(biāo)系中，如果一個(gè)函數(shù)的圖

象能夠?qū)⒛硞€(gè)圓的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分，那么稱(chēng)這個(gè)函數(shù)為這個(gè)圓的“優(yōu)美函數(shù)”.則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤

A.函數(shù)f(乂)=止上可以是某個(gè)圓的“優(yōu)美函數(shù)”

ex+l

B.函數(shù)/(x)=/+?+工+1可以是無(wú)數(shù)個(gè)圓的“優(yōu)美函數(shù)”

C.函數(shù)y=2sin號(hào)兀-2x)可以同時(shí)是無(wú)數(shù)個(gè)圓的“優(yōu)美函數(shù)”

D.若函數(shù)y=/(x)是“優(yōu)美函數(shù)”，則函數(shù)y=/(x)的圖象一定是中心對(duì)稱(chēng)圖形

二.填空題(共4小題)

13.已知向量彳=(-4,-3),b=(-2,m-l)?若(a+2b)ia，則帆=-

14.已知角a的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2a+l,。-2),且cosa=--，則sin(202311-2a)=.

5

15.已知雙曲線(xiàn)c：^1-^y=l(a>0,b>o)的右焦點(diǎn)為凡。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)尸為直徑的圓與雙

bz

曲線(xiàn)C的一條漸近線(xiàn)交于點(diǎn)。及點(diǎn)A/華)，則雙曲線(xiàn)C的方程為.

16.如圖，已知在扇形。48中，半徑OA=O8=3,NA0B=二，圓。1內(nèi)切于扇形(圓。1和QA，

08,弧A3均相切)，作圓02與圓Ol,0A,相切，再作圓。3與圓Q,04,03相切，以此類(lèi)推.設(shè)

圓圓。2,…的面積依次為Si,S2…,那么Sl+S2+-”+S〃=

數(shù)相同，若規(guī)定評(píng)價(jià)指標(biāo)不低于80為優(yōu)秀，低于80為良好，經(jīng)統(tǒng)計(jì)訓(xùn)練時(shí)間不少于I年的有40個(gè)學(xué)

員評(píng)價(jià)指標(biāo)為優(yōu)秀，請(qǐng)列出2X2列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為“評(píng)價(jià)指標(biāo)是否優(yōu)秀與訓(xùn)練時(shí)

間有關(guān)”.

附：2_「(要及)：__其中,i=a+b+c+d.

K(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(片2口)0.100.050.010

ko2.7063.8416.635

20.已知拋物線(xiàn)E：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為「，直線(xiàn)y=2x-2與E交于人，3兩點(diǎn)，回的垂直平分線(xiàn)

與x軸交于N(“，0),且HF|+|Bf]=2〃?2.

(1)求〃的值；

(2)若4B的中點(diǎn)為M,直線(xiàn)/：x=m(w>0)被以MN為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)為〃?i,被拋物線(xiàn)截得

的弦長(zhǎng)為〃⑵求叱的最小值.

ml+m2

21.已知函數(shù)/(x)=2bvc+mex(z??GR).

(1)若/(「在(1,/(I))處的切線(xiàn)與(e-2)x+y=0平行，試分析/(x)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

(2)若/(%)有零點(diǎn)，證明：m>/.

e

22.在直角坐標(biāo)系屹V中，直線(xiàn)，的參數(shù)方程為卜=tcos0(年R,，為參數(shù)，ae(0,—)).以坐標(biāo)

y=-2+tsinCL2

原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，半圓C的極坐標(biāo)方程為

P=2sine,8C(；,斗).

44

(1)求半圓C的參數(shù)方程和直線(xiàn)/的直角坐標(biāo)方程；

(2)直線(xiàn)/與工軸交于點(diǎn)A,與)，軸交于點(diǎn)8,點(diǎn)。在半圓。上，旦直線(xiàn)C。的傾斜角是宜線(xiàn)/的傾斜

角的2倍，△A3。的面積為1+禽，求a的值.

23.已知函數(shù)/(x)=僅■且|+|x+A+d(〃，b,c均為正實(shí)數(shù)).

2

(1)當(dāng)a=b=c=l時(shí)，求/(x)得最小值；

(2)當(dāng)/(x)的最小值為3時(shí)，求M+扇+C?的最小值.

2024年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)終極押題密卷2（全國(guó)乙卷文科）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共12小題）

1.己知i為虛數(shù)單位，則更紅=（)

1+i

A?爸B.些D.5-i

2~2

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算.

【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算,

【答案】D

【分析】由復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則計(jì)算可得.

2

［解答］解：3+2i(3+2i)(l-i)3-3i+2i-2i-5-i

1+i(1+i)(1-i)1-i22

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.已知集合4={衣-2、￡0},8={A11<X<3},則AU8=()

A.{A|1<X<2}B.3()?3}C.{小W2}D.{小〈3}

【考點(diǎn)】并集及其運(yùn)算.

【以題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；集合；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】B

【分析】先解出一元二次不等式，再與集合B的元素合并起來(lái)即可.

【解答］解：A={x|?-2A<0I={X|0<A<2},B={A|1<X<3},

則AU8={M0<rV3}.

故選；B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考杳集合的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

3.已知向量Z=(i,3),b=(m,-2>且(a+b)la，則〃?=()

A.-4B.-3C.-2D.-1

【考點(diǎn)】數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.

【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】A

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合向量垂直的性質(zhì)，即可求解.

【解答】解：a=(l,3),b=(m,-2)，

a+b=(m+1,1)?

又(a+b)J_a,知m+1+3=0,即機(jī)=-4.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

4.已知a,0是兩個(gè)不重合的平面，且直線(xiàn)/_La,則是"/〃(T的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【考點(diǎn)】充分條件與必要條件；直線(xiàn)與平面平行；平面與平面平行；平面與平面垂直.

【專(zhuān)題】整體思想；綜合法；簡(jiǎn)易邏輯；立體幾何；邏輯推理.

【答案】B

【分析】由線(xiàn)面、面面關(guān)系，結(jié)合平面的基本性質(zhì)判斷線(xiàn)面關(guān)系，根據(jù)面面垂直的判定判斷線(xiàn)面是否平

行，再由充分、必要性定義判斷條件間的充分、必要關(guān)系.

【解答】解：由/J_a,若a_LB，則/，B可能平行或仁樂(lè)充分性不成立；

由/_La,/〃0,由面面垂直的判定知a_L0,必要性成立.

所以“a_L|3”是“/〃0”的必要不充分條件.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查線(xiàn)面，面面的位置關(guān)系以及充要條件的判斷，考查邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.在等差數(shù)列｛?！ǎ?，由，ms是方程/-8入-17=0的兩個(gè)根，則｛g｝的前23項(xiàng)的和為()

A.-184B.-92C.92D.184

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和.

【專(zhuān)題】整體思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】C

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合求和公式即可求解.

【解答】解：。6,418是方程f-8x-17=0的兩個(gè)根，

所以6/6+6/18=8,

所以3｝的前23項(xiàng)的和523二空士戶(hù)2=空空"=92

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

_2

6.若雙曲線(xiàn)y2_%=](,〃>0)的漸近線(xiàn)與圓$+)2?6)，+1=。相切，則〃尸()

m2

A.亞B.V2C.D.2V2

42

【考點(diǎn)】雙曲線(xiàn)的性質(zhì).

【專(zhuān)題】方程思想；綜合法；直線(xiàn)與圓；圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】D

【分析】根據(jù)雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，方程思想，即可求解.

c2

【解答】解：???雙曲線(xiàn)y2_5=l(m>0)的漸近線(xiàn)方程為y二土三，

m2m

BPx±m(xù)y=O,不妨取x+tny=0,

又已知圓的方程可化為()-3)2=8,

???圓心為(0,3),半徑彳入巧，

1n

.??根據(jù)題意可得：圓心(0，3)到漸近級(jí)x+〃?y=0的距離d-J3L-26=+(w>0),

Vl+m2

解得

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，方程思想，屬基礎(chǔ)題.

7.如圖，網(wǎng)格紙上的小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線(xiàn)畫(huà)出的是某多面體的三視圖，則該多面體的體積為()

:俯視圖

r-1—r

【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積.

【專(zhuān)題】數(shù)形結(jié)合：綜合法；立體幾何；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】A

【分析】根據(jù)三視圖在正方體中作出四面體，根據(jù)正方體的性質(zhì)及三棱錐的體積公式求四面體的體積即

可.

【解答】解：由三視圖知，該幾何體的直觀圖為圖中的四面體A3CD,如圖，

由已知得，圖中正方體的棱長(zhǎng)為4,AB=CD=2遙，4。=2,

BD=4&，BC=6,耽=2巫:

所以V四面體AB64SAABDXx]x2X4X4吟.

故選:A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查由三視圖求四面體的體積，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.在四棱錐P-48CQ中，底面A8CO是矩形，給出以下三個(gè)結(jié)論：

①若。。的中點(diǎn)為￡,則08〃平面ACE

②若%J_平面ABCD,則平面PCQJL平面PAD；

③若以_L平面ABCD,則線(xiàn)段PC是四棱錐P-ABCD外接球的直徑.

則關(guān)于這三個(gè)結(jié)論敘述正確的是()

A.①對(duì)，②③錯(cuò)B.①②對(duì)，③錯(cuò)C.①錯(cuò)，②③對(duì)D.①②③都對(duì)

【考點(diǎn)】球的體積和表面積；直線(xiàn)與平面平行；平面與平面垂直；命題的真假判斷與應(yīng)用.

【專(zhuān)?題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，依次分析3個(gè)結(jié)論，由線(xiàn)面平行的判定定理即可判斷①，由面面垂直的判定定理即

可判斷②，將四棱錐補(bǔ)形為長(zhǎng)方體即可判斷③，綜合可■得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，依次分析3個(gè)結(jié)論：

對(duì)于①，連接4。交AC于G,連接EG,則在△P8O中，EG〃。從而EGu平面ACE,夕8a平面ACE,

則PB〃平面ACE,則①正確；

對(duì)于②，因?yàn)橐訽!■平面ABCZ),得以J_AB,又由于所以ABJ_平面以D,又A8//CD,所以

。。_1平面布。，而CQu平面PCQ,故平面PCO_L平面以。，則②正確；

對(duì)于③，由于以_L平面A8CD,將四棱錐還原成長(zhǎng)方體，知PC為該長(zhǎng)方體的體對(duì)角線(xiàn)，故PC為四棱

錐P-43co外接球的直徑，則③正確.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查棱錐和球的位置關(guān)系，涉及直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系，屬于中檔題.

9.函數(shù)/(x)=3sin(3x+(p)(to>0,0<(p<n)的部分圖象如圖所示，則()

R./(r)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸方程是丫=-2二

C.f(x)圖象的對(duì)稱(chēng)中心是(A兀工，0),kez

8

D.函數(shù)y=f(x/L)是奇函數(shù)

8

【考點(diǎn)】由y=Asin(cox+(p)的部分圖象確定其解析式.

【專(zhuān)題】函數(shù)思想；數(shù)形結(jié)合法：三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)：邏輯推理；直觀想象.

【答案】B

【分析】由函數(shù)/(X)=3sin(sr+cp)的圖象求出八3和甲，寫(xiě)出/(%)的解析式，再判斷選項(xiàng)中的

命題是否正確.

【解答】解：由函數(shù)/(幻=3sin(3戶(hù)(p)的圖象知，Ar=12L-(-2L)=2L,解得

2882

所以3=2兀,=2,f(x)=3sin(2A+(P),

T

又因?yàn)?(?工)=3sin((p-2L)=3,所以年一匹=匹+2阮，Q,即(p=22L+2E,依Z：

84424

因?yàn)镺VqjVir,所以(p=22L,/(x)=3sin(2%+&L)；

44

對(duì)于A,f(x)=3sin(2%+且L),所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

8

對(duì)于B,/亞)=3sin(-衛(wèi)+4)=3sin(--：=-3,選項(xiàng)B正確；

8442

對(duì)于C,令2X+22L=KT,kEL,解得kcz、所以/(x)的對(duì)稱(chēng)中心是(工

42828

0),依Z,所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤:

對(duì)于D,設(shè)ga)=/(x+22L)=3sin(ZV+Z2L+12L)=3sin(2A,+且L)=3COS2AS則g(x)的定

8442

義域?yàn)镽,g(x)為偶函數(shù)，選項(xiàng)。錯(cuò)誤.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.

22

10.已知橢圓a二的芹、右焦點(diǎn)分別是乃.F?.而為橢圓。卜一點(diǎn),則下列結(jié)論不

433

正確的是()

A.△MF1F2的周長(zhǎng)為6

B.△MF1R的面積為工運(yùn)

3

C.ZXMFi月的內(nèi)切圓的半徑為

9

D.△MF1F2的外接圓的直徑為絲

11

【考點(diǎn)】橢圓的性質(zhì).

【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】D

【分析】由橢圓的方程，可得h,c的值，將何的坐標(biāo)代入橢圓的方程，可得M的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值,

進(jìn)而求出|MQ|,|A/@|的值，分別對(duì)所給的命題進(jìn)而求解，判斷出它們的真假.

【解答】解：由橢圓的方程可得。=2,b=M，。=療斗=反§=1，

A中：尸2的周長(zhǎng)為2a+2c=4+2=6,所以A正確;

B中,將M的坐標(biāo)代入橢圓的方程可得性+漢=1,可得|刈=返_,

933

所以SAMCn=—|FIF2|*|VO|=—X2X2/H-=2/I1.,所以B正確；

△MF#:2233

C中，設(shè)△MFi尸2的內(nèi)切圓的半徑為，?，則工(2a+2c)?『工|Fi尸2|?|yo|,即工x6X'=2＞：2義乂運(yùn),

22223

可得r=2/運(yùn)，所以。正確；

9

D中,SASU=—1^11?bWF2|sinZF\MFi=-l|FiF2I?\y^=^L,

□△MF42__________23

吟《亭1)2得［(■1-1)2苧吊/尸即2=寫(xiě)，

解得|sin/QMF2=,

16

設(shè)三角形外接圓的半徑為R,則2R=—時(shí)21_=.,=3紂豆所以。不正確.

sin/FMz3任45

16

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的性質(zhì)的應(yīng)用及三角形外接圓，內(nèi)切圓半徑的求法，屬于中檔題.

II.在△ABC中，BC=a,AB=\,tanZ/\?C=-2,將△ABC繞月4旋轉(zhuǎn)至△48夕處，使平面4區(qū)。_1_平

面ABC,則在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為()

P(C)

B4C.2nD浸

【考點(diǎn)】平面與平面垂直；軌跡方程.

【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想：綜合法；解三角形；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】A

【分析】延長(zhǎng)4B,過(guò)。作交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于。，求得PO=2,乂在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，點(diǎn)C的

運(yùn)動(dòng)軌跡是以D為圓心，半徑為的圓的』，即可求解.

4

【解答】解：延KA6,過(guò)C作交/W的延K線(xiàn)了⑺，

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的知識(shí)可知PD1AB.

由于平面482_1_平面48。，且交線(xiàn)為AB,PQu平面ABP,

???尸。_1_平面A8C,又CDu平面ABC,：.PDYCD,

又BC=?A8=1,tan/4BC=-2所以tan/C8O=2,NCB。為銳角，

???也=?PD1+Bb2=BC2=5,:,PD=2,

DB

在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)軌跡是以。為圓心，半徑為2的圓的』，其長(zhǎng)度為▲x兀x22=死

44

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查立體幾何知識(shí)的綜合運(yùn)用，考杳邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

12.中國(guó)傳統(tǒng)文化中很多內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的“對(duì)稱(chēng)美”.如圖所示的太極圖是由黑白兩個(gè)魚(yú)形紋組成的圓

形圖案，充分體現(xiàn)了相互轉(zhuǎn)化、對(duì)稱(chēng)統(tǒng)一的形式美、和諧美.在平面直角坐標(biāo)系中，如果一個(gè)函數(shù)的圖

象能夠?qū)⒛硞€(gè)圓的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分，那么稱(chēng)這個(gè)函數(shù)為這個(gè)圓的“優(yōu)美函數(shù)”.則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤

A.函數(shù)f(乂)d3可以是某個(gè)圓的“優(yōu)美函數(shù)”

ex+l

B.困數(shù)/(x)=/+『+工+1可以是無(wú)數(shù)個(gè)圓的“優(yōu)美函數(shù)”

C.函數(shù)y=2sin(qn-2x)可以同時(shí)是無(wú)數(shù)個(gè)圓的“優(yōu)美函數(shù)”

D.若函數(shù)y=/(x)是“優(yōu)美函數(shù)”，則函數(shù))，=/(X)的圖象一定是中心對(duì)稱(chēng)圖形

【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象與圖象的變換；命題的真假判斷與應(yīng)用.

【專(zhuān)題】函數(shù)思想：綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】D

【分析】對(duì)通過(guò)判斷函數(shù)的奇偶性結(jié)合“優(yōu)美函數(shù)”的定義判斷，對(duì)了5,通過(guò)二次求尋求出三

次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心，再結(jié)合“優(yōu)美函數(shù)”的定義判斷，對(duì)于C,利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求出其對(duì)稱(chēng)中心，

再結(jié)合“優(yōu)美函數(shù)”的定義判斷，對(duì)于。，舉例判斷.

一玄xX

【解答】解：對(duì)于4,定義域?yàn)镽,因?yàn)閒(_乂)1_^1=上二二上二上二六乂)，所以/(x)為奇

e-x+ll+exex+l

函數(shù)，所以函數(shù)f(x)可以是單位圓的“優(yōu)美函數(shù)”，所以A正確,

ex+l

對(duì)于3,由/(x)=/+f+x+l，得/(x)=3?+2X+1,令g(x)=/(x)=3x1+2x+\,則g'(x)=6x+2,

令g，(工)=0,得=—,

Xx3

則f(二)=(—)3+(—)2+(-—)+1用，

1k333327

所以/(x)=/+/+x+l的圖象關(guān)于點(diǎn)(總，需)對(duì)稱(chēng)，

所以/(x)=/+f+.計(jì)1可以是圓(工號(hào))2+(丫嗡)2:R2(R>O)的“優(yōu)美函數(shù)”，這樣的圓有無(wú)數(shù)

個(gè)，所以8正確,

對(duì)于。，y=2singjT-2x)，則由乎-2x=k兀，kCZ，得x耳，kEZ，所以

44o2W

片2sinC|n-2x)的對(duì)稱(chēng)中心為(干號(hào)，0),k€Z，所以以(等號(hào)，0),k€Z為圓

心，R(0VRW2)為半徑的圓都能被函數(shù)y=2sinC|n-2x)的圖象平分，所以C正確，

對(duì)于。，若.y=f(x)的圖象是中心對(duì)稱(chēng)圖形，則此函數(shù)一定是“優(yōu)美函數(shù)”，但“優(yōu)美函數(shù)”不一定是

中心對(duì)稱(chēng)圖形，如圖所示，

所以。錯(cuò)誤，

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題以新定義為載體，考查函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

二,填空題(共4小題)

13.已知卜U量-3),b-(-2,mT>若(a+2b)_La，貝U加=一■^工_-

6

【考點(diǎn)】數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.

【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】里.

6

【分析1根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算及垂直關(guān)系的向量表示求解即可.

【解答】解：因?yàn)閍=(-4,-3),b=(-2,m-l)?

所以a+2b=(-4,-3)+(-4,2nr2)=(-8,2m-5),

因?yàn)?Z+2E)1

所以(Z+2E)?Z=32-6m+15=0,解得加=3二

6

故答案為：里.

6

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向最垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

14.已知角。的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2?+1,a-2),且c°sa=-且Wsin(2023n-2a)

525

【考點(diǎn)】任意角的三角函數(shù)的定義；運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值.

【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；一:角函數(shù)的求值；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】21

25

【分析】根據(jù)二角函數(shù)的定義列出求解出〃=-2,得到sina一邑，結(jié)合誘導(dǎo)公式和正弦一倍角公式

5

即可計(jì)算得到答案.

222

【解答】解：由題意知，r=^J(2a+l)+(a-2)=75(a+l)?cosCI-

V5(a2+1)5

所以9(/+])=5(2a+l)2,

化簡(jiǎn)得II?2+20?-4=0,

解得。=-2或a--，

11

又因?yàn)?a+\<(),即a<-,

所以角a的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-3,-4),

所以sina=~~~,

b

所以Sin(2023兀-2a)=sin2a=2sinacosa=2x(--1-)x(與罩

5'25

故答案為：24.

25

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的定義，誘導(dǎo)公式和正弦二倍角公式，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

15.已知雙曲線(xiàn)C：^1-^y=l(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為尸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以。尸為直徑的圓與雙

26

曲線(xiàn)C的一條漸近線(xiàn)交于點(diǎn)0及點(diǎn)A),則雙曲線(xiàn)C的方程為--y2

，-3y

【考?點(diǎn)】雙曲線(xiàn)的性質(zhì)；雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【專(zhuān)題】計(jì)算題；整體思想；綜合法；圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

26

【答案】1-2

【分析】根據(jù)雙曲線(xiàn)方程求出漸近線(xiàn)方程：丫工,再將點(diǎn)亞_)代入可得6巫@，連接以，

a223

根據(jù)圓的性質(zhì)口」y-,從向nJ求出C,再由c1=a1+b2即可求解.

【解答】解：雙曲線(xiàn)C：Ar-Zy=l(a>0,b>0)，

則漸近線(xiàn)方程：y二土巨％，

???代入點(diǎn)A可得：b#~a，

連接"，則,-A'白3衛(wèi)=叵解得°=2,

AOv3a3

所以C2=J+A2=4,解得J=3,lr=\,

26

故雙曲線(xiàn)方程為工——y2二

3y

2

故答案為：乙_y2

3y

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，需掌握雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)求法，屬于中檔題.

16.如圖，已知在扇形OA3中，半徑OA=O8=3,NA0B=3，圓。1內(nèi)切于扇形。48（恨。1和。4,

0B,弧AB均相切），作圓3與圓Oi,0A,08相切，再作圓03與圓。2,0A,。8相切，以此類(lèi)推.設(shè)

圓。1,圓。2,…的面積依次為Si,S2…，那么S1+S2+…+S〃=_9兀，（1-j-）.

n

―89—

【考點(diǎn)】扇形面積公式.

【專(zhuān)題】對(duì)應(yīng)思想；數(shù)形結(jié)合法；三角函數(shù)的求值；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】等（T）.

【分析】如圖，設(shè)圓。，圓02,圓。3,…,圓O〃的半徑分別為門(mén),⑵⑶…，而根據(jù)圓切線(xiàn)的性

質(zhì)，結(jié)合等比數(shù)列的定義可得;「“是以〃=1為首項(xiàng)，以▲為公比的等比數(shù)列，由圓的面積公式可知{5〃}

3

是以冗r?=7T為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列前〃項(xiàng)求和公式計(jì)算即可求解?

19

【解答】解：如圖，設(shè)圓01與弧4B相切于點(diǎn)。，

圓。，圓Q與0A分別切于點(diǎn)C,E,則。C_L0A,O\C1OA,O2EIOA.

設(shè)圓0i,圓3,圓。3,…，圓?！钡陌霃椒謩e為門(mén)，⑵⑶…，，力.

因?yàn)镹AOB二工，所以NAOD二二.在RtZ^OOi。中，OO\=3-n,

36

則OiO^OOr即勺二與工解得n=1?

乙乙

在RtZ\OQE中，0。2=3-r2-2門(mén)，

13-r—2r11

則CUEdoOc，即ro=----------------?,?

U2D2UU222r233r1

同理可得，?=1=!L，

r393r2

所以｛%｝是以門(mén)=1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列.

3

又圓的面積為5=nr,

所以面積S,52,S3,…，S〃構(gòu)成一個(gè)以兀二兀為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列,

9

兀［1-由］9打1

則S］+S2+S3“.+Sn=-----------Jk（1不）.

1方

故答案為：竺（1，）.

89n

【點(diǎn)評(píng)】本題考查扇形面積公式，屬于中檔題.

三,解答題（共7小題）

17.在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為〃，b,c,己知sinA二sinCcosB*^~sinBsinC?

（1）求角C的大??；

（2）若。的角平分線(xiàn)交A8于點(diǎn)。，且CD=2,求a+28的最小值.

【考點(diǎn)】三角形中的幾何計(jì)算；正弦定理.

【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想：綜合法：解三角形；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】(1)空；(2)6+472.

3

【分析】(1)由三角恒等變換知識(shí)化簡(jiǎn)條件式即可；

(2)由。。為角平分線(xiàn)得到S?c=S“co+SMm從而得到上二=1,再由基本不等式求最值即可.

ab2

【解答】解：(1)，?，sinCcosB-^_sinBsinC=sin[-^C+B)]=sinCcosB+cosCsinZ,

,,-^^?sinBsinC=cosCsinf,

VBG(0,n),???sinBW0,

--^-sinC=cosC,LilJtanC=-V3?

VCG(0,n),

2兀

?C

3

(2)〈CD為角C的角平分線(xiàn)，且CO=2,

,SAABC=S^ACD+SABCD,ZBCD=ZACD]/ACB二2，

乙o

根據(jù)三角形面積公式可得：

yACXCBXsinZACE=yACXCDXsinZACEXCDXsinZBCD

nri12兀^1TT1n

即萬(wàn)ab?sin?CD?si.rny+r-a*CD*sin-f

4o

等式兩邊同時(shí)除以上ab,CD，

2

.2兀.打.兀

sinsin-^-sinr^-111

可得：-----o^―=————二，即工「

CDabab2

則a+2b=2(a+2b)(―V)=2(3e4)>6+4點(diǎn)，

abab

當(dāng)且僅當(dāng)空三即&=2+2&，〃=2"歷時(shí)等式成立，

ab

.??“+2〃的最小值為6+4點(diǎn).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用三角恒等變換知識(shí)解三角形和角平分線(xiàn)、基本不等式在解三角形中的應(yīng)用，屬于

中檔題.

I8,如圖，四棱錐P-4BCO的底面ABC。是邊長(zhǎng)為2的菱形，NABC=600,AP=AB,PB=2j1，平面

以8_L平面A8CD,E,b分別為CO,P8的中點(diǎn).

(1)證明：C0J_平面B4E：

（2）求點(diǎn)A到平面PE/的距離.

【考點(diǎn)】點(diǎn)、線(xiàn)、面間的距離計(jì)算：直線(xiàn)與平面垂直.

【專(zhuān)題】數(shù)形結(jié)合；等體積法；綜合法：空間位置關(guān)系與距離：空間角；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）返_.

5

【分析】（1）先利用勾股定理得AP_LA&再利用面面垂直的性質(zhì)得AP_L平面A8CQ,從而利用線(xiàn)面垂

直的性質(zhì)定理得APJ_CQ,最后結(jié)合菱形性質(zhì)及線(xiàn)面垂直的判定定理證明即可；

（2）先通過(guò)線(xiàn)面關(guān)系及錐體體積求出VE-PAF,再利用等體積法求得點(diǎn)到平面的距離.

【解答】（1）證明：由題知AP=48=2,PB=2V2，：.AP1-^AB2=PB2,得

又.??平面小8_L平面/WCD,且交線(xiàn)為人B,APu平面RIB,??.APJ_平面人8C。，

乂COu平面4BC。，：.APLCD,連接AC,

???四邊形A8C。是邊長(zhǎng)為2的菱形，NA5C=60",???△ACO為等邊三角形.

???￡為CO的中點(diǎn)，：.CD-LAE,

又人APu平面小E,AEu平面粗石，，。力，平面以￡

（2）設(shè)點(diǎn)A到平面PE尸的距離為九連接AF,則

?:AB"CD,：.AE±AB,又由（1）知AE_LAP,

而APn48=A,"u平面%B,A8u平面以8,?,.AE_L平面力B,

〈PFu平面以8,Abu平面辦8,：.AE±PF,AELAF,

又AF』PB=V5，AE=2Xsin60o=>/3?

2

又由尸/_LAE,PFLAF,AEC\AF=A,AFu平面AE凡AEu平面AER

得PF_L平面AEF,且PF=&，F(xiàn)E=VAE2+AF2=VB，

?]X.XFEX忌X,XPFXAFXAE，即h#海出曾巧罷,

32o2PtV5b

即點(diǎn)A到平面PEF的距離為2回.

5

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線(xiàn)與平面垂直的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了利用等體積法求點(diǎn)到

平面的距離，是中檔題.

19.某乒乓球教練決定檢驗(yàn)學(xué)員某項(xiàng)技能的水平，隨機(jī)抽取100位學(xué)員進(jìn)行測(cè)試，并根據(jù)該項(xiàng)技能的評(píng)價(jià)

指標(biāo)，按[60,65）,[65,70）,[70,75）,[75,80）,[80,85）,[85,90）,[90,95）,[95,100]分成8

組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）求〃的值，并估計(jì)該項(xiàng)技術(shù)的評(píng)價(jià)指標(biāo)的中位數(shù)（精確到U.I）;

（2）根據(jù)頻率分布直方圖求樣本評(píng)價(jià)指標(biāo)的平均數(shù)（同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表），若平

均數(shù)與中位數(shù)之差的絕對(duì)值小于1，則認(rèn)為該項(xiàng)技能的水平有顯著穩(wěn)定性；否則不認(rèn)為有顯著穩(wěn)定性,

請(qǐng)依數(shù)據(jù)給出答案;

（3）在選取的100位學(xué)員中，其中訓(xùn)練時(shí)間不少于1年的（記為A隊(duì)）與少于1年的（記為8隊(duì)）人

數(shù)相同，若規(guī)定評(píng)價(jià)指標(biāo)不低于80為優(yōu)秀，低于80為良好，經(jīng)統(tǒng)計(jì)訓(xùn)練時(shí)間不少于I年的有40個(gè)學(xué)

員評(píng)價(jià)指標(biāo)為優(yōu)秀，請(qǐng)列出2X2列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為“評(píng)價(jià)指標(biāo)是否優(yōu)秀與訓(xùn)練時(shí)

間有關(guān)”.

附.v2_________n(ad-bc)2_________

其中n=a+b+c+cl.

.長(zhǎng)"(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(產(chǎn)2依)0.100.050.010

ko2.7063.8416.635

【考點(diǎn)】獨(dú)立性檢驗(yàn)；頻率分布直方圖.

【專(zhuān)題】對(duì)應(yīng)思想：定義法；概率與統(tǒng)計(jì)：數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】(1)。=0.036,82.3；

(2)顯著穩(wěn)定性；

(3)表見(jiàn)解析；有.

【分析】(1)首先根據(jù)頻率和為1求〃的值，再代入中位數(shù)公式，即可求解；

(2)根據(jù)頻率分布直方圖求平均數(shù)，再代入平均數(shù)與中位數(shù)之差的絕對(duì)值公式，即可判斷；

(3)首先計(jì)算評(píng)價(jià)指標(biāo)不低于8()的樣本數(shù)，再結(jié)合題意列2X2列聯(lián)表，再根據(jù)公式計(jì)算片，并和臨

界值比較數(shù)值大小，作出判斷.

【解答】解：(1)由直方圖可知(0.008+0.016+0.02+。+0.044+0.04+0.028+0.008)X5=l,

解得4=0.036.

因?yàn)?0.008+0.016+0.02+0.036)X5=0.4V0.5,

(0.008+0.016+0.02+0.036+0.044)X5=0.62>0.5.

所以學(xué)員該項(xiàng)技術(shù)的評(píng)價(jià)指標(biāo)的中位數(shù)在［80,85)內(nèi).

設(shè)學(xué)員該項(xiàng)技術(shù)的評(píng)價(jià)指標(biāo)的中位數(shù)為〃?，則(加-80)X0.044+0.4=0.5,

解得〃個(gè)82.3.

(2)評(píng)價(jià)指標(biāo)的平均數(shù)為

(62.5X0.008+67.5X0.016+72.5X0.02+77.5X0.036+82.5X0.044+87.5X0.04+92.5X0.028+97.5X0.008)

X5=8I.6,

所以平均數(shù)與中位數(shù)之差的絕對(duì)值為181.6-82.3|=0.7<1,所以有顯著穩(wěn)定性.

(3)由(1)可知評(píng)價(jià)指標(biāo)不低于80的頻率為(0.044+0.04+0.028+0.008)X5=0.6,

所以評(píng)價(jià)指標(biāo)不低于80的樣不數(shù)為100X0.6=60.

由已知可得2X2列聯(lián)表如下：

隊(duì)伍優(yōu)秀良好總計(jì)

A隊(duì)401050

B隊(duì)203050

總計(jì)6040100

2二100義(40義30-20義1)2二50>

*-50X50X60X40~3

所以有99%的把握認(rèn)為“評(píng)價(jià)指標(biāo)是否優(yōu)秀與訓(xùn)練時(shí)間有關(guān)”.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查獨(dú),工性檢驗(yàn)相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題.

20.已知拋物線(xiàn)E：>2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為凡直線(xiàn)y=2x-2與E交于A,B兩點(diǎn),AB的垂直平分線(xiàn)

與x軸交于N(。，0),且|A/q+|8Fl=2a-2.

(1)求〃的值；

(2)若A8的中點(diǎn)為M,直線(xiàn)/：x=ni(加>0)被以MN為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)為,小，被拋物線(xiàn)截得

2

的弦長(zhǎng)為m2,求的最小值.