2024-2025學(xué)年重慶市萬州三中等50多校高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年重慶市萬州三中等50多校高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.圓C1：x2+(y?1)2=1與CA.相交 B.相離 C.外切 D.內(nèi)切2.若直線l1：ax+3y+6=0與直線l2：x+(a+2)y?2=0平行，則a=(

)A.?3 B.1 C.?32 3.甲、乙兩人獨(dú)立地破譯一份密碼，已知兩人能破譯密碼的概率分別是23，35，則密碼被成功破譯的概率為(

)A.215 B.35 C.7154.已知向量a=(5,1,3)，b=(9,8,5)，則向量b在向量a上的投影向量為(

)A.6835a B.179a C.5.若{a,b,A.a?c，a?b，b?c B.a+c，b，a+c?b

C.6.空間內(nèi)有三點(diǎn)P(?1,2,3)，E(2,1,1)，F(xiàn)(1,2,2)，則點(diǎn)P到直線EF的距離為(

)A.2 B.3 C.27.某手機(jī)信號檢測設(shè)備的監(jiān)測范圍是半徑為200m的圓形區(qū)域，一名人員持手機(jī)以每分鐘50m的速度從設(shè)備正東2003m的A處沿西偏北30°方向走向位于設(shè)備正北方向的B處，則這名人員被持續(xù)監(jiān)測的時長約為A.2分鐘 B.3分鐘 C.4分鐘 D.5分鐘8.如圖，在四面體ABCD中，平面ACD⊥平面ABC，△ABC是邊長為6的正三角形，△ACD是等腰直角三角形，∠ADC=90°，E是AC的中點(diǎn)，CF=13CB，DG=λDB，若AG//平面DEFA.12 B.13 C.14二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.有四個盲盒，每個盲盒內(nèi)都有3個水晶崽崽，其中三個盲盒里面分別僅裝有紅色水晶崽崽、藍(lán)色水晶崽崽、粉色水晶崽崽，剩下的那個盲盒里面三種顏色的水晶崽崽都有.現(xiàn)從中任選一個盲盒，設(shè)事件A為“所選盲盒中有紅色水晶崽崽”，B為“所選盲盒中有藍(lán)色水晶崽崽”，C為“所選盲盒中有粉色水晶崽崽”，則(

)A.A與B不互斥 B.P(A)+P(B)+P(C)=1

C.P(B∩C)=14 D.A與10.在空間直角坐標(biāo)系中，已知A(0,2,32)，B(0,1,32)，C(2,1,32)，A.4B1C?AC1為質(zhì)數(shù) B.△ABC為直角三角形

C.B1C與11.已知圓C：x2+y2?4x+2y+1=0與直線l：4x?3y+m=0，點(diǎn)P在圓C上，點(diǎn)Q在直線A.若m=9，則直線l與圓C相切

B.若圓C上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線l對稱，則m=?11

C.若m=14，則|PQ|min=3

D.若m=14，從Q點(diǎn)向圓三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知P(A)=0.2，P(B)=0.7，若A，B互斥，則P(A∪B)=______，P(AB)=______．13.若點(diǎn)(1,3)在圓x2+y2?ax?2ay+5a=014.若過圓C：x2+(y?2)2=r2(r>0)外一點(diǎn)P(2,?2)作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知直線l：mx+(m+1)y?2m+1=0，圓C：x2+y2?4x+4y=1=0．

(1)證明：直線l與圓C相交．

(2)記直線l與圓C的交點(diǎn)為A，B16.(本小題15分)

某社團(tuán)為統(tǒng)計(jì)居民運(yùn)動時長，調(diào)查了某小區(qū)100名居民平均每天的運(yùn)動時長(單位：?)，并根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分為[1,1.5)，[1.5,2)，[2,2.5)，[2.5,3)，[3,3.5)，[3.5,4]六個小組(所調(diào)查的居民平均每天的運(yùn)動時長均在[1,4]內(nèi))，得到的頻率分布直方圖如圖所示．

(1)求出圖中m的值，并估計(jì)這100名居民平均每天的運(yùn)動時長的中位數(shù)；

(2)按分組用分層隨機(jī)抽樣的方法從平均每天的運(yùn)動時長在[2.5,3)，[3.5,4]這兩個時間段內(nèi)的居民中抽出6人分享運(yùn)動心得，若再從這6人中選出2人發(fā)言，求這2人來自不同分組的概率．17.(本小題15分)

如圖，在四棱錐A?BCED中，底面BCED為直角梯形，DE//BC，DE⊥CE，AD=BD=CD=BC，AC=2AE=2CE．

(1)判斷直線AB與CD是否垂直，并說明理由；

(2)18.(本小題17分)

如圖，在三棱臺ABC?A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠BAC=120°，AB=AC=3A1B1=3A1C1=3，AA1=2，D是棱AC的中點(diǎn)，E為棱BC上一動點(diǎn)．

(1)19.(本小題17分)

古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)k(k>0且k≠1)的點(diǎn)的軌跡是圓.后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.在平面直角坐標(biāo)系中，N(1,0)，M(4,0)，動點(diǎn)Q滿足|QM||QN|=2，設(shè)動點(diǎn)Q的軌跡為曲線C．

(1)求曲線C的軌跡方程；

(2)若直線x?y+1=0與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|；

(3)若曲線C與x軸的交點(diǎn)為E，F(xiàn)，直線l：x=my?1與曲線C交于G，H兩點(diǎn)，直線EG與直線FH交于點(diǎn)D，證明：點(diǎn)D在定直線上．

參考答案1.D

2.B

3.D

4.A

5.D

6.A

7.C

8.A

9.ACD

10.BCD

11.BC

12.0.9

0

13.(4,5)

14.2或4

15.(1)證明：由直線l：mx+(m+1)y?2m+1=0得m(x+y?2)+y+1=0，

即x+y?2=0y+1=0，解得x=3y=?1，

∴直線l過定點(diǎn)P(3,?1)，

圓C：(x?2)2+(y+2)2=9的圓心C(2,?2)，半徑r=3，

又|PC|=2<3，

∴點(diǎn)P(3,?1)在圓C的內(nèi)部，

故直線l與圓C相交；

(2)解：由|PC|=16.解：(1)根據(jù)題意可得(0.2+0.4+2m+0.3+0.1)×0.5=1，所以m=0.5．

因?yàn)榍皫捉M的頻率依次為0.1，0.2，0.25，

所以中位數(shù)在[2,2.5)內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為x，則0.3+(x?2)×0.5=0.5，得x=2.4(?)；

(2)由題知，平均每天運(yùn)動時長在[2.5,3)，[3.5,4]內(nèi)的頻率分別為0.5，0.1，

則應(yīng)從平均每天運(yùn)動時長在[2.5,3)，[3.5,4]內(nèi)的居民中分別抽出5人，1人．

記[2.5,3)時間段內(nèi)的5人分別為a，b，c，d，e，

記[3.5,4]時間段內(nèi)的1人為M，

則從這6人中選出2人的基本事件有：

(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,e)，(a,M)，(b,c)，(b,d)，(b,e)，

(b,M)，(c,d)，(c,e)，(c,M)，(d,e)，(d,M)，(e,M)，共15個，

2人來自不同分組的基本事件為：(a,M)，(b,M)，(c,M)，(d,M)，(e,M)，共5個，

所以這2人來自不同分組的概率為515=17.解：(1)AB和CD不垂直，理由如下：

設(shè)AE=CE=a(a>0)，則AC=2a，

在△BCD中，BD=CD=BC，所以△BCD為等邊三角形，所以∠BCD=60°，

因?yàn)镈E⊥CE，DE/?/BC，所以BC⊥CE，從而∠DCE=30°，

所以在直角△DEC中，CD=CEcos30°=233a，DE=CE×tan30°=33a，

又因?yàn)锳D=CD，所以AD=233a，所以在△DEA中，滿足DE2+AE2=AD2，

故△DEA為直角三角形，則DE⊥AE，

又因?yàn)镈E⊥CE，CE∩AE=E，所以DE⊥平面ACE；

因?yàn)锳C=2AE=2CE，所以AC2=AE2+CE2，所以CE⊥AE，

故以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EC，EA，ED所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)DE=1，則AD=BD=CD=BC=2，AE=CE=3，AC=6，

所以E(0,0,0)，A(0,3,0)，B(3,0,2)，C(3,0,0)，D(0,0,1)，

所以AB=(3,?3,2)，CD=(?3,0,1)，

所以AB?CD=?3+0+2≠0，

所以AB⊥CD不成立，故AB和CD不垂直．

(2)18.解：(1)當(dāng)點(diǎn)E是BC的靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)時，AB1//平面C1DE，理由如下：

在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=3，所以∠ACB=30°，BC=33，CE=3，BE=23，

在△ACE中，由余弦定理知，AE2=AC2+CE2?2AC?CEcos∠ACB=9+3?2×3×3×32=3，

所以BE2=AE2+AB2，即AB⊥AE，

因?yàn)锳A1⊥平面ABC，AB，AE?平面ABE，

所以AA1⊥AB，AA1⊥AE，

以A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A(0,0,0)，B1(0,1,2)，C(332,?32,0)，D(334,?34,0)，C1(32,?12,2)，E(3,0,0)，

所以AB1=(0,1,2)，ED=(?34,?34,0)，EC1=(?32,?12,2)，

設(shè)平面C1DE的法向量為n=(x,y,z)，則n?ED=?34x?34y=0n?E19.解：(1)在平面直角坐標(biāo)系中，N(1,0)，M(4,0)，動點(diǎn)Q滿足|QM||QN|=2，設(shè)動點(diǎn)Q的軌跡為曲線C，

設(shè)Q(x,y)，因?yàn)閨QM||QN|=2，所以|QM|2=4|QN|2，

即(x?