第五章 二次函數（單元重點綜合測試）

第五章二次函數（單元重點綜合測試）一、單選題（每題3分，共24分）1．若方程是關于x的二次函數，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．已知拋物線的頂點坐標為，則拋物線對應的函數解析式為（）A． B． C． D．3．是的二次函數，其對應值如下表：|…01234……40149…下列敘述不正確的是（

）A．該二次函數的圖象的對稱軸是直線B．C．當時，隨的增大而增大D．圖象與軸有兩個公共點4．函數和（為常數，且），在同一平面直角坐標系中的大致圖象可能是（

）A． B．C． D．5．如圖，正方形邊長為4，E、F、G、H分別是上的點，且．設A、E兩點間的距離為x，四邊形的面積為y，則y與x的函數圖象可能是（）

A．

B．C．

D．

6．在二次函數中，與的部分對應值如下表：x…023…y…8003…則下列說法：①該二次函數的圖像經過原點；②該二次函數的圖像開口向下；③當時，隨著的增大而增大；④該二次函數的圖像經過點；⑤方程有兩個不相等的實數根．其中正確的是（

）A．①②③ B．①③④ C．①③⑤ D．①④⑤7．拋物線（是常數且）經過點A（3，0）．下列四個結論：①該拋物線一定經過；②；③點，在拋物線上，且，則；④若是方程的兩個根，其中，則．其中正確的個數有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個8．如圖，中，，，．點從點出發(fā)沿折線運動到點停止，過點作，垂足為．設點運動的路徑長為，的面積為，若與的對應關系如圖所示，則的值為（

）

A．54 B．52 C．50 D．48二、填空題(共10小題，每題4分，共40分）9．如果函數是二次函數，那么的值一定是．10．根據物理學規(guī)律，如果不考慮空氣阻力，小球的飛行高度h（單位：）與飛行時間t（單位：）之間的函數關系是，當飛行時間t為時，小球達到最高點．11．若拋物線與坐標軸有且只有兩個交點，則的值為．12．如圖所示四個二次函數的圖象中，分別對應的是①；②；③；④．則a、b、c、d的大小關系為．

13．二次函數的圖象經過點，則代數式的值為．14．已知二次函數圖象上三點，，，則、、的大小關系為．（用“”號連接）15．如圖，在平面直角坐標xOy中，拋物線c1的頂點為A（﹣1，﹣4），且過點B（﹣3，0）將拋物線c1向右平移2個單位得拋物線c2，則陰影部分的面積＝．16．已知關于的一元二次方程＝、，均為常數且的解是＝，＝，則方程的解是．17．二次函數（是常數）的圖象如圖所示，則不等式的解集是．

18．在平面直角坐標系中，拋物線經過點．若關于x的一元二次方程（t為實數）在的范圍內有實數根，則t的取值范圍為．三、解答題(共9小題，共76分）19．（本題8分）如圖，拋物線與直線相交于點和，拋物線還經過，

(1)求：拋物線和直線的解析式；(2)若，則x的取值范圍是______．20．（本題8分）已知二次函數的圖像經過點．(1)求該二次函數的表達式；(2)當時，y的取值范圍為________；(3)已知點，點在該二次函數的圖像上．若，直接寫出m的取值范圍．21．（本題10分）已知二次函數（m是常數）．(1)求證：不論m為何值，該函數的圖象與x軸有兩個公共點；(2)若該拋物線與x軸的兩個交點分別為，，且，求m的值．22．（本題8分）小於為響應國家創(chuàng)業(yè)號召，回鄉(xiāng)經營一家龍蝦餐飲店，經核算龍蝦收購成本為40元/kg．設銷售時間為x天，通過一個月（30天）的試營業(yè)發(fā)現，龍蝦售價y（元/kg）與銷售天數滿足如圖函數關系（其中，且x為整數），已知龍蝦銷售第一天的銷量為44kg，以后每一天比前一天多銷售4kg．

(1)直接寫出售價y與銷售時間x的函數關系式；(2)求試營業(yè)第幾天時，當天利潤最大，最大利潤是多少？23、（本題8分）某商店銷售一種進價100元/件的商品，且規(guī)定售價不得超過進價的1.4倍，經市場調查發(fā)現：該商品的每天銷售量（件）是售價（元/件）的一次函數，其售價、銷售量的二組對應值如下表：售價（元/件）130140銷售量（件/天）8060(1)直接寫出關于售價的函數關系式；(2)設商店銷售該商品每天獲得的利潤為（元），求與之間的函數關系式，并求出當銷售單價定為多少時，該商店銷售這種商品每天獲得的利潤最大？(3)若某天的利潤不低于2000元，請直接寫出的取值范圍．24、（本題8分）已知二次函數（m為常數，）.點在該二次函數的圖象上．(1)求m的值；(2)當時，該二次函數值y取得的最大值為9，求a的值．25、（本題8分）二次函數的圖象是拋物線，定義一種變換，先作這條拋物線關于原點對稱的拋物線，再將得到的對稱拋物線向上平移m（）個單位，得到新的拋物線，我們稱叫做二次函數的m階變換．(1)二次函數的頂點關于原點的對稱點為___________，這個拋物線的2階變換的解析式為___________；(2)若二次函數M的5階變換的關系式為．①二次函數M的解析式為___________；②若二次函數M的頂點為點A，與x軸相交的兩個交點中右側交點為點B，動點P在拋物線y5上，過點P作于點H，請求出最小時，點P的坐標．26．（本題8分）如圖，西游樂園景區(qū)內有一塊矩形油菜花田地（單位：），現在其中修建一條觀花道（陰影所示），供游人賞花，設改造后觀花道的面積為．(1)求與的函數關系式；(2)若改造后觀花道的面積為，求的值；(3)若要求，求改造后油菜花地所占面積的最大值．27．（本題8分）如圖，已知二次函數的圖像交軸于點、，交軸于點．(1)求二次函數的表達式；(2)若點在軸上，過點作軸的垂線，分別交直線和拋物線于點、．①若點在線段上，求的最大值；②以為斜邊作等腰直角，當點落在拋物線上時，求此時點的坐標．

第五章二次函數（單元重點綜合測試）一、單選題（每題3分，共24分）1．若方程是關于x的二次函數，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據二次函數的定義進行求解即可．【詳解】解：∵是關于x的二次函數，∴，故選B．2．已知拋物線的頂點坐標為，則拋物線對應的函數解析式為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先寫出拋物線的頂點式，再化為一般式即可求解．【詳解】解：∵拋物線的頂點坐標為，∴拋物線解析式為，即．故選：A．3．是的二次函數，其對應值如下表：|…01234……40149…下列敘述不正確的是（

）A．該二次函數的圖象的對稱軸是直線B．C．當時，隨的增大而增大D．圖象與軸有兩個公共點【答案】D【分析】由待定系數法求出二次函數的解析式，求出對稱軸，可以判斷A，當時，求出的值，可以判斷B，根據的值和對稱軸確定隨的變化情況，可以判斷C，根據根的判別式確定與軸的交點個數，可以判斷D，從而得到答案．【詳解】解：設二次函數為，則，解得：，二次函數的解析式為：，對稱軸為：，故選項A正確，當時，，，故選項B正確，，圖象開口向上，當時，隨的增大而增大，當時，隨的增大而增大，故選項C正確，，圖象與軸有一個公共點，故選項D錯誤，故選：D．4．函數和（為常數，且），在同一平面直角坐標系中的大致圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由二次函數的解析式可得二次函數的圖象的頂點為即可排除A、B，由一次函數的解析式可得一次函數的圖象經過點即可排除C，從而得到答案．【詳解】解：，二次函數的圖象的頂點為，故A、B不符合題意；在中，當時，，解得，一次函數的圖象經過點，故C不符合題意；故選：D．5．如圖，正方形邊長為4，E、F、G、H分別是上的點，且．設A、E兩點間的距離為x，四邊形的面積為y，則y與x的函數圖象可能是（）

A．

B．C．

D．

【答案】A【分析】本題考查了動點的函數圖象，先判定圖中的四個小直角三角形全等，再用大正方形的面積減去四個直角三角形的面積，得函數的表達式，結合選項的圖象可得答案．【詳解】解：正方形邊長為4，，是的二次函數，函數的頂點坐標為，開口向上從4個選項來看，開口向上的只有A和B，C和D圖象開口向下，不符合題意但是的頂點在軸上，故B不符合題意，只有A符合題意故選：A．6．在二次函數中，與的部分對應值如下表：x…023…y…8003…則下列說法：①該二次函數的圖像經過原點；②該二次函數的圖像開口向下；③當時，隨著的增大而增大；④該二次函數的圖像經過點；⑤方程有兩個不相等的實數根．其中正確的是（

）A．①②③ B．①③④ C．①③⑤ D．①④⑤【答案】D【分析】結合圖表可以得出當或時，，當時，，根據此三點可求出二次函數解析式，然后根據二次函數的性質逐一判斷即可．【詳解】解：由圖表可以得出當或時，；當時，；即，解得：，∴二次函數的解析式為：；∵圖表可以得出圖象經過點，故二次函數的圖像經過原點；即①正確；∵，∴二次函數的圖像開口向上，故②錯誤；∵二次函數的對稱軸為直線，且，∴時，隨著的增大而增大，時，隨著的增大而減小，故③錯誤；將代入，得，∴二次函數的圖像經過點，故④正確；∵二次函數與軸有兩個交點，，∴有兩個不相等的實數根，故正確；綜上，①④⑤說法正確，故選：D．7．拋物線（是常數且）經過點A（3，0）．下列四個結論：①該拋物線一定經過；②；③點，在拋物線上，且，則；④若是方程的兩個根，其中，則．其中正確的個數有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】由函數解析式可得函數的對稱軸為直線，再根據二次函數的圖像和性質，逐一分析，判斷對錯即可解答．【詳解】解：①∵拋物線經過點，，，當時，，，∴該拋物線一定經過，故此項正確；②由①得：，，，，，，，故此項正確；③拋物線的對稱軸為直線，當時，，，，也符合題意與矛盾，故此項錯誤．④∵拋物線，對稱軸為直線，拋物線對稱軸為直線，∴拋物線圖象向左平移2個單位得到拋物線的圖象，∵拋物線經過點，∴拋物線經過點，是方程的兩個根，是拋物線與直線交點的橫坐標，，，故此項正確，故選：C．8．如圖，中，，，．點從點出發(fā)沿折線運動到點停止，過點作，垂足為．設點運動的路徑長為，的面積為，若與的對應關系如圖所示，則的值為（

）

A．54 B．52 C．50 D．48【答案】B【分析】根據點運動的路徑長為，在圖中表示出來，設，在直角三角形中，找到等量關系，求出未知數的值，得到的值．【詳解】解：當時，由題意可知，，在中，由勾股定理得，設，，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，即，解得，，，當時，由題意可知，，設，，在中，由勾股定理得，在中由勾股定理得，中，由勾股定理得，即，

解得，，，．

故選：B．二、填空題(共10小題，每題4分，共40分）9．如果函數是二次函數，那么的值一定是．【答案】0【分析】根據二次函數的定義判斷即可．【詳解】∵函數是二次函數，∴，，解得．故答案為：0．10．根據物理學規(guī)律，如果不考慮空氣阻力，小球的飛行高度h（單位：）與飛行時間t（單位：）之間的函數關系是，當飛行時間t為時，小球達到最高點．【答案】2【分析】只需要求出拋物線的頂點坐標即可得到答案．【詳解】解：∵小球的飛行高度h（單位：）與飛行時間t（單位：）之間的函數關系是，∴拋物線的頂點坐標為，∴當飛行時間t為時，小球達到最高點，故答案為：2．11．若拋物線與坐標軸有且只有兩個交點，則的值為．【答案】或【分析】根據拋物線與兩坐標軸有且只有兩個交點知：拋物線與軸有且只有一個非原點的交點或拋物線與軸有兩個交點，其中一個交點為原點，據此可得答案．【詳解】解：∵拋物線與兩坐標軸有且只有兩個交點，①拋物線與軸有且只有一個非原點的交點，∴，解得：；②拋物線與軸有兩個交點，其中一個交點為原點，∴，解得：，∴的值為或．故答案為：或．12．如圖所示四個二次函數的圖象中，分別對應的是①；②；③；④．則a、b、c、d的大小關系為．

【答案】【分析】設，函數值分別等于二次項系數，根據圖象，比較各對應點縱坐標的大?。驹斀狻拷猓阂驗橹本€與四條拋物線的交點從上到下依次為，，，，所以，．故答案為：．13．二次函數的圖象經過點，則代數式的值為．【答案】【分析】把代入函數解析式，即可求解．【詳解】解：把代入函數解析式，得，，故答案為：．14．已知二次函數圖象上三點，，，則、、的大小關系為．（用“”號連接）【答案】【分析】根據二次函數的性質，進行求解即可．【詳解】解：∵，對稱軸為直線，∴拋物線上的點離對稱軸越遠，函數值越小，∵，∴；故答案為：．15．如圖，在平面直角坐標xOy中，拋物線c1的頂點為A（﹣1，﹣4），且過點B（﹣3，0）將拋物線c1向右平移2個單位得拋物線c2，則陰影部分的面積＝．【答案】8【分析】陰影部分可以轉換成求平行四邊形的面積，即函數圖象平移的距離乘以點縱坐標的絕對值．【詳解】解：陰影部分可以轉換成求平行四邊形的面積，，故答案為：8．16．已知關于的一元二次方程＝、，均為常數且的解是＝，＝，則方程的解是．【答案】，【分析】根據題意和二次函數與一元二次方程的關系，可以得到拋物線與軸交點的橫坐標為，，根據二次函數的平移即可得到與軸交點的橫坐標，故可求得解。【詳解】解：關于的一元二次方程的解為，，與軸交點的橫坐標為，，是由向左平移個單位長度得到的，與軸交點的橫坐標分別為：，，的解為，．故答案為：，．17．二次函數（是常數）的圖象如圖所示，則不等式的解集是．

【答案】或【分析】利用圖象法解不等式即可．【詳解】解：∵，∴，將不等式轉化為兩個函數：與的交點問題，由圖可知：點在拋物線，又∵滿足直線的解析式，∴兩個函數的交點坐標為：，

由圖象可知：當或時，，∴不等式的解集是或；故答案為：或．18．在平面直角坐標系中，拋物線經過點．若關于x的一元二次方程（t為實數）在的范圍內有實數根，則t的取值范圍為．【答案】【分析】利用待定系數法求出拋物線解析式，再根據將一元二次方程的實數根可以看作與函數的有交點，結合圖象，在的范圍確定y的取值范圍即可求解．【詳解】解：∵拋物線經過點，∴，解得：，∴拋物線解析式為．一元二次方程的實數根可以看作與函數的有交點，如圖，當時，，當時，．∵方程在的范圍內有實數根，即函數的圖象在的范圍內與的圖象有交點，∴．故答案為：．三、解答題(共9小題，共76分）19．（本題8分）如圖，拋物線與直線相交于點和，拋物線還經過，

(1)求：拋物線和直線的解析式；(2)若，則x的取值范圍是______．【答案】(1)，(2)或【分析】（1）將、、代入，將、代入，即可求解；（2）根據在上方的函數圖象對應的函數值較大，結合圖象即可求解．【詳解】（1）解：由題意得，解得：，拋物線的解析式；，解得：，直線的解析式；（2）解：由圖得的圖象在的圖象上方所對應的取值范圍：或故答案：或．20．（本題8分）已知二次函數的圖像經過點．(1)求該二次函數的表達式；(2)當時，y的取值范圍為________；(3)已知點，點在該二次函數的圖像上．若，直接寫出m的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）將點代入，求出a的值，即可得出該二次函數表達式；（2）將該二次函數表達式化為頂點式，求出對稱軸以及當時，該二次函數取最小值2，根據其開口方向和增減性得出該二次函數圖像上的點離對稱軸越遠，函數值越大，則當時的函數值大于當時的函數值，求出當時，，即可得出y的取值范圍；（3）將點，點代入得出和，再根據，列出不等式求解即可．【詳解】（1）解：將點代入得：，解得：，∴該二次函數的表達式為；（2）解：∵，∴該二次函數對稱軸為直線，∵二次項系數，∴當時，該二次函數取最小值2，且該二次函數圖像上的點離對稱軸越遠，函數值越大，∵，，∴當時的函數值大于當時的函數值，∵當時，，∴當時，．故答案為：．（3）解：將代入得：，把代入得：，∵，∴，解得：，∴m的取值范圍為．21．（本題10分）已知二次函數（m是常數）．(1)求證：不論m為何值，該函數的圖象與x軸有兩個公共點；(2)若該拋物線與x軸的兩個交點分別為，，且，求m的值．【答案】(1)見詳解(2)【分析】（1）由根的判別式：時，圖象與x軸有兩個公共點；時，圖象與x軸有一個公共點；時，圖象與x軸有沒有公共點；據此進行求解即可．（2）可得，，代入即可求解．【詳解】（1）解：由題意得，，，，不論m為何值，該函數的圖象與x軸有兩個公共點．（2）解：由題意得：，，，，整理得：，，故的值為．22．（本題8分）小於為響應國家創(chuàng)業(yè)號召，回鄉(xiāng)經營一家龍蝦餐飲店，經核算龍蝦收購成本為40元/kg．設銷售時間為x天，通過一個月（30天）的試營業(yè)發(fā)現，龍蝦售價y（元/kg）與銷售天數滿足如圖函數關系（其中，且x為整數），已知龍蝦銷售第一天的銷量為44kg，以后每一天比前一天多銷售4kg．

(1)直接寫出售價y與銷售時間x的函數關系式；(2)求試營業(yè)第幾天時，當天利潤最大，最大利潤是多少？【答案】(1)；(2)銷售第10天時，利潤最大，最大利潤為3200元．【分析】（1）依據題意易得出銷售價y（元/kg）與時間x（天）之間的函數關系式；（2）先根據題意求出每天的銷售量與x的關系式，再根據銷售利潤=銷售量×（售價-進價），列出平均每天的銷售利潤W（元）與時間x（天）之間的函數關系式，再依據函數的增減性求得最大利潤．【詳解】（1）解：依題意，當時，設，則，解得，∴；當時，．∴售價y與銷售時間x的函數關系式為；（2）解：設小龍蝦每天的銷售量為p千克，利潤為W元，根據題意得：，①當時，，∵，∴時，；②當時，，∵，∴當時，，∵，∴銷售第10天時，利潤最大，最大利潤為3200元．23、（本題8分）某商店銷售一種進價100元/件的商品，且規(guī)定售價不得超過進價的1.4倍，經市場調查發(fā)現：該商品的每天銷售量（件）是售價（元/件）的一次函數，其售價、銷售量的二組對應值如下表：售價（元/件）130140銷售量（件/天）8060(1)直接寫出關于售價的函數關系式；(2)設商店銷售該商品每天獲得的利潤為（元），求與之間的函數關系式，并求出當銷售單價定為多少時，該商店銷售這種商品每天獲得的利潤最大？(3)若某天的利潤不低于2000元，請直接寫出的取值范圍．【答案】(1)(2)；當銷售單價定為時，該商店銷售這種商品每天獲得的利潤最大為(3)【分析】（1）根據題意，設關于售價的函數關系式為，利用待定系數法求解即可得到答案；（2）由（1）知，每天的銷售量為，每件商品的利潤為元，即可得到與之間的函數關系式；再由二次函數圖像與性質求出最值即可得到答案；（3）根據（2）中，列一元二次方程求解，再由二次函數圖像與性質解答即可得到答案．【詳解】（1）解：設關于售價的函數關系式為，將、代入得，解得，關于售價的函數關系式為；（2）解：由（1）知，每天的銷售量為，商品進價為100元/件，與之間的函數關系式為；，，，當時，有最大值，為，答：當銷售單價定為時，該商店銷售這種商品每天獲得的利潤最大為；（3）解：由（2）知，與之間的函數關系式為，當某天的利潤不低于2000元時，令，即，解得或，，．24、（本題8分）已知二次函數（m為常數，）.點在該二次函數的圖象上．(1)求m的值；(2)當時，該二次函數值y取得的最大值為9，求a的值．【答案】(1)；(2)【分析】（1）把代入中即可求出的值；（2）根據確定的解析式求出對稱軸和頂點坐標，即可確定時的值，即的值．【詳解】（1）點在二次函數的圖象上，．．解得：或．，．（2）當時，二次函數的解析式為，配方得：，拋物線的對稱軸為，頂點．當時，，．解得：或．當時，的最大值為9，．25、（本題8分）二次函數的圖象是拋物線，定義一種變換，先作這條拋物線關于原點對稱的拋物線，再將得到的對稱拋物線向上平移m（）個單位，得到新的拋物線，我們稱叫做二次函數的m階變換．(1)二次函數的頂點關于原點的對稱點為___________，這個拋物線的2階變換的解析式為___________；(2)若二次函數M的5階變換的關系式為．①二次函數M的解析式為___________；②若二次函數M的頂點為點A，與x軸相交的兩個交點中右側交點為點B，動點P在拋物線y5上，過點P作于點H，請求出最小時，點P的坐標．【答案】(1)，(2)①；②【分析】（1）根據二次函數的性質求出其頂點坐標，再根據關于原點對稱的點的坐標特點，寫出其關于原點的對稱點的坐標，根據定義即可求解解析式；（2）①將向下平移5個單位得到，此時該拋物線的頂點坐標為，該點關于原點的對稱點為，進而求解；②先求出直線的函數表達式，設直線交y軸于點C，二次函數交y軸于點E，過點P作軸交于點D，證明，設點，則