《金版教程•高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)創(chuàng)新方案》提升版第九章第4講直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

第4講直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系[課程標(biāo)準(zhǔn)]1.能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系.2.能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題．1．直線與圓的位置關(guān)系與判斷方法方法過程依據(jù)結(jié)論代數(shù)法聯(lián)立方程組消去x(或y)得一元二次方程，計(jì)算Δ＝b2－4acΔ>0eq\x(\s\up1(01))相交Δ＝0eq\x(\s\up1(02))相切Δ<0eq\x(\s\up1(03))相離幾何法計(jì)算圓心到直線的距離d，比較d與半徑r的關(guān)系deq\x(\s\up1(04))＜r相交deq\x(\s\up1(05))＝r相切deq\x(\s\up1(06))＞r相離2.圓與圓位置關(guān)系的判定(1)幾何法若兩圓的半徑分別為r1，r2，兩圓的圓心距為d，則兩圓的位置關(guān)系的判斷方法如下：位置關(guān)系圖示d與r1，r2的關(guān)系外離eq\x(\s\up1(07))d＞r1＋r2外切eq\x(\s\up1(08))d＝r1＋r2相交eq\x(\s\up1(09))|r1－r2|＜d＜r1＋r2內(nèi)切d＝eq\x(\s\up1(10))|r1－r2|(r1≠r2)內(nèi)含0≤d＜eq\x(\s\up1(11))|r1－r2|(r1≠r2)(2)代數(shù)法通過兩圓方程組成方程組的公共解的個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(圓C1方程,圓C2方程))eq\o(→,\s\up7(消元))eq\a\vs4\al(一元,二次,方程)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ>0?\x(\s\up1(12))相交；,Δ＝0?\x(\s\up1(13))內(nèi)切或外切；,Δ<0?\x(\s\up1(14))內(nèi)含或外離.))1．圓的切線方程常用結(jié)論(1)過圓x2＋y2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.(2)過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)過圓x2＋y2＝r2外一點(diǎn)M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.2．圓與圓的位置關(guān)系的常用結(jié)論(1)兩圓的位置關(guān)系與公切線的條數(shù)①內(nèi)含：0條；②內(nèi)切：1條；③相交：2條；④外切：3條；⑤外離：4條．(2)兩圓相交時(shí)公共弦的方程設(shè)圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②若兩圓相交，則有一條公共弦，其公共弦所在直線方程由①－②所得，即(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.(3)兩個(gè)圓系方程①過直線Ax＋By＋C＝0與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交點(diǎn)的圓系方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；②過圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交點(diǎn)的圓系方程為x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圓C2，所以注意檢驗(yàn)C2是否滿足題意，以防丟解)．1．對(duì)任意的實(shí)數(shù)k，直線y＝kx－1與圓C：x2＋y2－2x－2＝0的位置關(guān)系是()A．相離 B．相切C．相交 D．以上三個(gè)選項(xiàng)均有可能答案C解析直線y＝kx－1恒經(jīng)過點(diǎn)A(0，－1)，圓x2＋y2－2x－2＝0的圓心為C(1，0)，半徑為eq\r(3)，而|AC|＝eq\r(2)<eq\r(3)，所以點(diǎn)A在圓內(nèi)，故直線y＝kx－1與圓x2＋y2－2x－2＝0相交．故選C.2．(人教A選擇性必修第一冊(cè)習(xí)題2.5T14(1)改編)過原點(diǎn)且傾斜角為60°的直線被圓x2＋y2－4y＝0截得的弦長(zhǎng)為()A.eq\r(3) B．2C.eq\r(6) D．2eq\r(3)答案D解析直線方程為y＝eq\r(3)x，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y－2)2＝4，則圓心(0，2)到直線的距離d＝eq\f(|\r(3)×0－2|,2)＝1，所以所求弦長(zhǎng)為2×eq\r(22－12)＝2eq\r(3).3．(人教B選擇性必修第一冊(cè)2.3.3練習(xí)BT1改編)圓Q：x2＋y2－4x＝0在點(diǎn)P(1，eq\r(3))處的切線方程為()A．x＋eq\r(3)y－2＝0 B．x＋eq\r(3)y－4＝0C．x－eq\r(3)y＋4＝0 D．x－eq\r(3)y＋2＝0答案D解析圓Q的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋y2＝4.∵P(1，eq\r(3))在圓Q上，∴所求切線方程為(1－2)(x－2)＋(eq\r(3)－0)(y－0)＝4，即x－eq\r(3)y＋2＝0.4．(人教A選擇性必修第一冊(cè)2.5.2練習(xí)T1改編)圓C1：(x＋2)2＋(y－2)2＝4和圓C2：(x－2)2＋(y－5)2＝16的位置關(guān)系是()A．外離 B．相交C．內(nèi)切 D．外切答案B解析易得圓C1的圓心為C1(－2，2)，半徑r1＝2，圓C2的圓心為C2(2，5)，半徑r2＝4，圓心距|C1C2|＝eq\r([2－（－2）]2＋（5－2）2)＝5，因?yàn)閨4－2|<|C1C2|<4＋2，所以兩圓相交．5．(人教A選擇性必修第一冊(cè)習(xí)題2.5T9改編)圓x2＋y2－4＝0與圓x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦所在的直線方程為________．答案x－y＋2＝0解析將兩圓方程相減，得4x－4y＋8＝0，即x－y＋2＝0.考向一直線與圓的位置關(guān)系例1(1)直線kx－y＋2－k＝0與圓x2＋y2－2x－8＝0的位置關(guān)系為()A．相交、相切或相離 B．相交或相切C．相交 D．相切答案C解析解法一：直線kx－y＋2－k＝0的方程可化為k(x－1)－(y－2)＝0，該直線恒過定點(diǎn)(1，2)．因?yàn)?2＋22－2×1－8<0，所以點(diǎn)(1，2)在圓x2＋y2－2x－8＝0的內(nèi)部，所以直線kx－y＋2－k＝0與圓x2＋y2－2x－8＝0相交．解法二：圓的方程可化為(x－1)2＋y2＝32，所以圓心為(1，0)，半徑為3.圓心到直線kx－y＋2－k＝0的距離為eq\f(|k＋2－k|,\r(1＋k2))＝eq\f(2,\r(1＋k2))≤2<3，所以直線kx－y＋2－k＝0與圓x2＋y2－2x－8＝0相交．(2)(2022·新高考Ⅱ卷)設(shè)點(diǎn)A(－2，3)，B(0，a)，若直線AB關(guān)于y＝a對(duì)稱的直線與圓(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是________．答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(3,2)))解析A(－2，3)關(guān)于y＝a對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為A′(－2，2a－3)，B(0，a)在直線y＝a上，設(shè)A′B所在直線為直線l，所以直線l的方程為y＝eq\f(a－3,－2)x＋a，即(a－3)x＋2y－2a＝0.圓C：(x＋3)2＋(y＋2)2＝1，圓心C(－3，－2)，半徑r＝1，依題意，圓心到直線l的距離d＝eq\f(|－3（a－3）－4－2a|,\r(（a－3）2＋22))≤1，即(5－5a)2≤(a－3)2＋22，解得eq\f(1,3)≤a≤eq\f(3,2)，即a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(3,2))).1．判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法幾何法利用d與r的關(guān)系判斷代數(shù)法聯(lián)立方程之后利用Δ判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法若直線恒過定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交2.已知直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)的取值范圍時(shí)，可根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系問題，由此建立方程(組)或不等式(組)求解．1.(多選)(2021·新高考Ⅱ卷)已知直線l：ax＋by－r2＝0與圓C：x2＋y2＝r2，點(diǎn)A(a，b)，則下列說法正確的是()A．若點(diǎn)A在圓C上，則直線l與圓C相切B．若點(diǎn)A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離C．若點(diǎn)A在圓C外，則直線l與圓C相離D．若點(diǎn)A在直線l上，則直線l與圓C相切答案ABD解析圓心C(0，0)到直線l的距離d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))，若點(diǎn)A(a，b)在圓C上，則a2＋b2＝r2，所以d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))＝|r|，則直線l與圓C相切，故A正確；若點(diǎn)A(a，b)在圓C內(nèi)，則a2＋b2<r2，所以d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))>|r|，則直線l與圓C相離，故B正確；若點(diǎn)A(a，b)在圓C外，則a2＋b2>r2，所以d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))<|r|，則直線l與圓C相交，故C錯(cuò)誤；若點(diǎn)A(a，b)在直線l上，則a2＋b2－r2＝0，即a2＋b2＝r2，所以d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))＝|r|，直線l與圓C相切，故D正確．故選ABD.2．已知圓O：x2＋y2＝4上到直線l：x＋y＝a的距離等于1的點(diǎn)至少有2個(gè)，則a的取值范圍為________．答案(－3eq\r(2)，3eq\r(2))解析由圓的方程可知圓心為(0，0)，半徑為2.因?yàn)閳A上到直線l：x＋y＝a的距離等于1的點(diǎn)至少有2個(gè)，所以圓心到直線l的距離d＜r＋1＝3，即d＝eq\f(|－a|,\r(2))<3，解得－3eq\r(2)＜a＜3eq\r(2).多角度探究突破考向二直線與圓的綜合問題角度圓的切線問題例2已知點(diǎn)P(eq\r(2)＋1，2－eq\r(2))，點(diǎn)M(3，1)，圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.(1)求過點(diǎn)P的圓C的切線方程；(2)求過點(diǎn)M的圓C的切線方程，并求出切線長(zhǎng)．解由題意，得圓心C(1，2)，半徑r＝2.(1)∵(eq\r(2)＋1－1)2＋(2－eq\r(2)－2)2＝4，∴點(diǎn)P在圓C上．又kPC＝eq\f(2－\r(2)－2,\r(2)＋1－1)＝－1，∴切線的斜率k＝－eq\f(1,kPC)＝1，∴過點(diǎn)P的圓C的切線方程是y－(2－eq\r(2))＝1·[x－(eq\r(2)＋1)]，即x－y＋1－2eq\r(2)＝0.(2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，∴點(diǎn)M在圓C外部．當(dāng)過點(diǎn)M的直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為x＝3，即x－3＝0.又點(diǎn)C(1，2)到直線x－3＝0的距離d＝3－1＝2＝r，即此時(shí)滿足題意，∴直線x－3＝0是圓的切線；當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，則圓心C到切線的距離為d＝eq\f(|k－2＋1－3k|,\r(k2＋1))＝r＝2，解得k＝eq\f(3,4).∴切線方程為y－1＝eq\f(3,4)(x－3)，即3x－4y－5＝0.綜上可得，過點(diǎn)M的圓C的切線方程為x－3＝0或3x－4y－5＝0.∵|MC|＝eq\r(（3－1）2＋（1－2）2)＝eq\r(5)，∴過點(diǎn)M的圓C的切線長(zhǎng)為eq\r(|MC|2－r2)＝eq\r(5－4)＝1.圓的切線方程的求法(1)幾何法：設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d，然后令d＝r，進(jìn)而求出k.(2)代數(shù)法：設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，與圓的方程組成方程組，消元后得到一個(gè)一元二次方程，然后令判別式Δ＝0，進(jìn)而求出k.注意檢驗(yàn)切線斜率不存在的情況．1.(2024·南京師大附中?？家荒?過點(diǎn)P(3，－2)且與圓C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0相切的直線方程為________．答案x＝3或3x＋4y－1＝0解析將圓C的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得(x－1)2＋(y－2)2＝4，則圓心C(1，2)，半徑為r＝2.當(dāng)過點(diǎn)P(3，－2)的直線斜率不存在時(shí)，直線方程為x＝3，是圓C的切線，滿足題意；當(dāng)過點(diǎn)P(3，－2)的直線斜率存在時(shí)，可設(shè)直線方程為y＋2＝k(x－3)，即kx－y－3k－2＝0，利用圓心到直線的距離等于半徑，得eq\f(|2k＋4|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝－eq\f(3,4)，即此直線方程為3x＋4y－1＝0.故所求直線方程為x＝3或3x＋4y－1＝0.2．(2023·天津和平區(qū)二模)由直線y＝x＋1上的一點(diǎn)向圓(x－3)2＋y2＝1引切線，則切線長(zhǎng)的最小值為________．答案eq\r(7)解析設(shè)直線上一點(diǎn)P，切點(diǎn)為Q，圓心為M，M的坐標(biāo)為(3，0)，則|PQ|即為切線長(zhǎng)，|MQ|為圓M的半徑，長(zhǎng)度為1，|PQ|＝eq\r(|PM|2－|MQ|2)＝eq\r(|PM|2－1)，要使|PQ|最小，即求|PM|的最小值，此題轉(zhuǎn)化為求直線y＝x＋1上的點(diǎn)到圓心M的最小距離．設(shè)圓心到直線y＝x＋1的距離為d，則d＝eq\f(|3－0＋1|,\r(12＋（－1）2))＝2eq\r(2)，∴|PM|的最小值為2eq\r(2)，此時(shí)|PQ|＝eq\r(|PM|2－1)＝eq\r(（2\r(2)）2－1)＝eq\r(7).角度圓的弦長(zhǎng)問題例3(1)過點(diǎn)(－4，0)作直線l與圓x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝8，則直線l的方程為()A．5x＋12y＋20＝0B．5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0C．5x－12y＋20＝0D．5x－12y＋20＝0或x＋4＝0答案B解析圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝25，由|AB|＝8知，圓心(－1，2)到直線l的距離d＝eq\r(25－42)＝3.當(dāng)直線l的斜率不存在，即直線l的方程為x＝－4時(shí)，符合題意；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝0，則有eq\f(|3k－2|,\r(k2＋1))＝3，解得k＝－eq\f(5,12)，此時(shí)直線l的方程為5x＋12y＋20＝0.綜上，直線l的方程為5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0.(2)(2023·新課標(biāo)Ⅱ卷)已知直線l：x－my＋1＝0與⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B兩點(diǎn)，寫出滿足“△ABC的面積為eq\f(8,5)”的m的一個(gè)值：________．答案2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－2，\f(1,2)，－\f(1,2)中任意一個(gè)皆可以))解析設(shè)點(diǎn)C到直線AB的距離為d，由弦長(zhǎng)公式得|AB|＝2eq\r(4－d2)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)×d×2eq\r(4－d2)＝eq\f(8,5)，解得d＝eq\f(4\r(5),5)或d＝eq\f(2\r(5),5)，因?yàn)閐＝eq\f(|1＋1|,\r(1＋m2))＝eq\f(2,\r(1＋m2))，所以eq\f(2,\r(1＋m2))＝eq\f(4\r(5),5)或eq\f(2,\r(1＋m2))＝eq\f(2\r(5),5)，解得m＝±2或m＝±eq\f(1,2).求直線被圓截得的弦長(zhǎng)的常用方法幾何法直線被圓截得的半弦長(zhǎng)eq\f(l,2)、弦心距d和圓的半徑r構(gòu)成直角三角形，且r2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2)))eq\s\up12(2)＋d2代數(shù)法將直線和圓的方程聯(lián)立方程組，消元后得到一個(gè)一元二次方程．在判別式Δ>0的前提下，利用根與系數(shù)的關(guān)系求弦長(zhǎng)．弦長(zhǎng)公式如下：|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)或|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))·eq\r(（y1＋y2）2－4y1y2)(k≠0)(多選)已知圓C：(x－1)2＋(y－1)2＝16，直線l：(2m－1)x＋(m－1)y－3m＋1＝0.下列說法正確的是()A．直線l恒過定點(diǎn)(2，1)B．圓C被y軸截得的弦長(zhǎng)為2eq\r(15)C．直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)存在最大值，此時(shí)直線l的方程為2x＋y－3＝0D．直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)存在最小值，此時(shí)直線l的方程為x－2y－4＝0答案BD解析對(duì)于A，將直線l的方程整理為m(2x＋y－3)＋(－x－y＋1)＝0，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x－y＋1＝0，,2x＋y－3＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－1，))無論m為何值，直線l恒過定點(diǎn)(2，－1)，故A不正確；對(duì)于B，將x＝0代入圓C的方程，得(y－1)2＝15，解得y＝1±eq\r(15)，故圓C被y軸截得的弦長(zhǎng)為2eq\r(15)，故B正確；對(duì)于C，無論m為何值，直線l不過圓心(1，1)，即直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)不存在最大值，故C不正確；對(duì)于D，當(dāng)截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，直線l垂直于圓心與定點(diǎn)的連線，則直線l的斜率為eq\f(1,2)，此時(shí)直線l的方程為y＋1＝eq\f(1,2)(x－2)，即x－2y－4＝0，故D正確．故選BD.考向三兩圓的位置關(guān)系例4(1)(2023·唐山二模)已知圓C1：x2＋y2－2x＝0，圓C2：(x－3)2＋(y－1)2＝4，則圓C1與C2的位置關(guān)系是()A．外切 B．內(nèi)切C．相交 D．外離答案C解析圓C1的圓心為(1，0)，r1＝1，圓C2的圓心為(3，1)，r2＝2，所以r2－r1<|C1C2|＝eq\r(（3－1）2＋（1－0）2)＝eq\r(5)<r2＋r1，所以圓C1與C2的位置關(guān)系是相交．故選C.(2)(多選)(2023·遼寧撫順二模)已知圓C1：x2＋y2＝9與圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝16，下列說法正確的是()A．C1與C2的公切線恰有4條B．C1與C2相交弦的方程為3x＋4y－9＝0C．C1與C2相交弦的弦長(zhǎng)為eq\f(12,5)D．若P，Q分別是圓C1，C2上的動(dòng)點(diǎn)，則|PQ|max＝12答案BD解析由已知得圓C1的圓心C1(0，0)，半徑r1＝3，圓C2的圓心C2(3，4)，半徑r2＝4，|C1C2|＝eq\r(（3－0）2＋（4－0）2)＝5，r2－r1<|C1C2|<r1＋r2，故兩圓相交，所以C1與C2的公切線恰有2條，C1與C2相交弦的方程為3x＋4y－9＝0，圓心C1到相交弦的距離為eq\f(9,5)，故相交弦的弦長(zhǎng)為2eq\r(9－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,5)))\s\up12(2))＝eq\f(24,5).若P，Q分別是圓C1，C2上的動(dòng)點(diǎn)，則|PQ|max＝|C1C2|＋r1＋r2＝12.故選BD.1．判斷兩圓位置關(guān)系的方法常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差的絕對(duì)值的關(guān)系，一般不用代數(shù)法．2．兩圓公共弦長(zhǎng)的求法先求出公共弦所在直線的方程，在其中一圓中，由弦心距d，半弦長(zhǎng)eq\f(l,2)，半徑r構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理求解．1.已知圓C與圓x2＋y2＋10x＋10y＝0相切于原點(diǎn)，且過點(diǎn)A(0，－6)，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．答案(x＋3)2＋(y＋3)2＝18解析設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其圓心為C(a，b)，半徑為r(r>0)．∵x2＋y2＋10x＋10y＝0可化為(x＋5)2＋(y＋5)2＝50，∴其圓心為(－5，－5)，半徑為5eq\r(2).∵兩圓相切于原點(diǎn)O，且圓C過點(diǎn)(0，－6)，點(diǎn)(0，－6)在圓(x＋5)2＋(y＋5)2＝50內(nèi)，∴兩圓內(nèi)切，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝r2，,\r(（a＋5）2＋（b＋5）2)＝5\r(2)－r，,（0－a）2＋（－6－b）2＝r2，))解得a＝－3，b＝－3，r＝3eq\r(2)，∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋3)2＋(y＋3)2＝18.2．(2022·新高考Ⅰ卷)寫出與圓x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一條直線的方程：________．答案x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0(填一個(gè)即可)解析如圖，因?yàn)閳Ax2＋y2＝1的圓心為O(0，0)，半徑r1＝1，圓(x－3)2＋(y－4)2＝16的圓心為A(3，4)，半徑r2＝4，所以|OA|＝5，r1＋r2＝5，所以|OA|＝r1＋r2，所以兩圓外切，公切線有三種情況：①易知公切線l1的方程為x＝－1；②另一條公切線l2與公切線l1關(guān)于過兩圓圓心的直線l對(duì)稱．易知過兩圓圓心的直線l的方程為y＝eq\f(4,3)x，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝\f(4,3)x，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－\f(4,3)，))由對(duì)稱性可知公切線l2過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(4,3))).設(shè)公切線l2的方程為y＋eq\f(4,3)＝k(x＋1)，則點(diǎn)O(0，0)到l2的距離為1，所以1＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(k－\f(4,3))),\r(k2＋1))，解得k＝eq\f(7,24)，所以公切線l2的方程為y＋eq\f(4,3)＝eq\f(7,24)(x＋1)，即7x－24y－25＝0；③還有一條公切線l3與直線l：y＝eq\f(4,3)x垂直．設(shè)公切線l3的方程為y＝－eq\f(3,4)x＋t，易知t＞0，則點(diǎn)O(0，0)到l3的距離為1，所以1＝eq\f(|t|,\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))\s\up12(2)＋（－1）2))，解得t＝eq\f(5,4)，所以公切線l3的方程為y＝－eq\f(3,4)x＋eq\f(5,4)，即3x＋4y－5＝0.綜上，所求直線方程為x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0.課時(shí)作業(yè)一、單項(xiàng)選擇題1．直線mx－y＋2＝0與圓x2＋y2＝9的位置關(guān)系是()A．相交 B．相切C．相離 D．無法確定答案A解析圓x2＋y2＝9的圓心為(0，0)，半徑為3，直線mx－y＋2＝0恒過點(diǎn)A(0，2)，而02＋22＝4<9，所以點(diǎn)A在圓的內(nèi)部，所以直線mx－y＋2＝0與圓x2＋y2＝9相交．故選A.2．兩圓C1：x2＋y2＋2x－6y－26＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋4＝0的位置關(guān)系是()A．內(nèi)切 B．外切C．相交 D．外離答案A解析由于圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋1)2＋(y－3)2＝36，故圓心為C1(－1，3)，半徑為6；圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y＋1)2＝1，故圓心為C2(2，－1)，半徑為1.因?yàn)閮蓤A的圓心距|C1C2|＝eq\r(（－1－2）2＋（3＋1）2)＝5＝6－1，所以兩圓內(nèi)切．3．(2023·吉林延邊州二模)經(jīng)過P(2，3)向圓x2＋y2＝4作切線，切線方程為()A．5x－12y＋26＝0B．13x－12y＋10＝0C．5x－12y＋26＝0或x＝2D．13x－12y＋10＝0或x＝2答案C解析當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，直線x＝2是圓的切線；當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線l的方程為y－3＝k(x－2)，由(0，0)到切線的距離d＝eq\f(|2k－3|,\r(k2＋1))＝2，得k＝eq\f(5,12)，此時(shí)切線方程為y－3＝eq\f(5,12)(x－2)，即5x－12y＋26＝0.故選C.4．(2021·北京高考)已知圓C：x2＋y2＝4，直線l：y＝kx＋m，當(dāng)k變化時(shí)，l截得圓C弦長(zhǎng)的最小值為2，則m＝()A．±2 B．±eq\r(2)C．±eq\r(3) D．±eq\r(5)答案C解析由題可得圓心為(0，0)，半徑為2，則圓心到直線的距離d＝eq\f(|m|,\r(k2＋1))，則弦長(zhǎng)為2eq\r(4－\f(m2,k2＋1))，則當(dāng)k＝0時(shí)，弦長(zhǎng)取得最小值為2eq\r(4－m2)＝2，解得m＝±eq\r(3).故選C.5．若曲線y＝eq\r(4－x2)與直線y＝k(x－2)＋4有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞))C．(1，＋∞) D．(1，3]答案A解析根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示．由題意可得，曲線y＝eq\r(4－x2)的圖象為以(0，0)為圓心，2為半徑的半圓，直線l恒過A(2，4)，當(dāng)直線l與半圓相切時(shí)，圓心到直線l的距離d＝r，即eq\f(|4－2k|,\r(1＋k2))＝2，解得k＝eq\f(3,4)；當(dāng)直線l過點(diǎn)B時(shí)，直線l的斜率k＝eq\f(4－0,2－（－2）)＝1，則直線l與半圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)k的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1)).故選A.6．(2023·北京東城區(qū)模擬)設(shè)A是圓C：(x＋1)2＋y2＝9上的動(dòng)點(diǎn)，PA是圓的切線，且|PA|＝4，則點(diǎn)P到點(diǎn)Q(5，8)距離的最小值為()A．4 B．5C．6 D．15答案B解析由圓C：(x＋1)2＋y2＝9，可知圓心C(－1，0)，半徑為3，又|PA|＝4，所以|PC|2＝|PA|2＋32＝25，設(shè)P(x，y)，則點(diǎn)P的軌跡方程為(x＋1)2＋y2＝25，故點(diǎn)P到點(diǎn)Q(5，8)距離的最小值為eq\r(（5＋1）2＋82)－5＝5.故選B.7．(2023·新課標(biāo)Ⅰ卷)過點(diǎn)(0，－2)與圓x2＋y2－4x－1＝0相切的兩條直線的夾角為α，則sinα＝()A．1 B.eq\f(\r(15),4)C.eq\f(\r(10),4) D.eq\f(\r(6),4)答案B解析解法一：因?yàn)閤2＋y2－4x－1＝0，即(x－2)2＋y2＝5，可得圓心C(2，0)，半徑r＝eq\r(5)，過點(diǎn)P(0，－2)作圓C的切線，切點(diǎn)為A，B，因?yàn)閨PC|＝eq\r(22＋（－2）2)＝2eq\r(2)，則|PA|＝eq\r(|PC|2－r2)＝eq\r(3)，可得sin∠APC＝eq\f(\r(5),2\r(2))＝eq\f(\r(10),4)，cos∠APC＝eq\f(\r(3),2\r(2))＝eq\f(\r(6),4)，則sin∠APB＝sin(2∠APC)＝2sin∠APCcos∠APC＝2×eq\f(\r(10),4)×eq\f(\r(6),4)＝eq\f(\r(15),4)，cos∠APB＝cos(2∠APC)＝cos2∠APC－sin2∠APC＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),4)))eq\s\up12(2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(10),4)))eq\s\up12(2)＝－eq\f(1,4)<0，即∠APB為鈍角，所以sinα＝sin(π－∠APB)＝sin∠APB＝eq\f(\r(15),4).故選B.解法二：圓x2＋y2－4x－1＝0的圓心C(2，0)，半徑r＝eq\r(5)，過點(diǎn)P(0，－2)作圓C的切線，切點(diǎn)為A，B，連接AB，可得|PC|＝eq\r(22＋（－2）2)＝2eq\r(2)，則|PA|＝|PB|＝eq\r(|PC|2－r2)＝eq\r(3)，因?yàn)閨PA|2＋|PB|2－2|PA|·|PB|cos∠APB＝|CA|2＋|CB|2－2|CA|·|CB|cos∠ACB，且∠ACB＝π－∠APB，則3＋3－6cos∠APB＝5＋5－10cos(π－∠APB)，即3－3cos∠APB＝5＋5cos∠APB，解得cos∠APB＝－eq\f(1,4)<0，即∠APB為鈍角，則cosα＝cos(π－∠APB)＝－cos∠APB＝eq\f(1,4)，又α為銳角，所以sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(\r(15),4).故選B.解法三：圓x2＋y2－4x－1＝0的圓心C(2，0)，半徑r＝eq\r(5)，若切線斜率不存在，則切線方程為x＝0，則圓心到切線的距離d＝2<r，不符合題意；若切線斜率存在，設(shè)切線方程為y＝kx－2，即kx－y－2＝0，則eq\f(|2k－2|,\r(k2＋1))＝eq\r(5)，整理得k2＋8k＋1＝0，且Δ＝64－4＝60>0.設(shè)兩切線斜率分別為k1，k2，則k1＋k2＝－8，k1k2＝1，可得|k1－k2|＝eq\r(（k1＋k2）2－4k1k2)＝2eq\r(15)，所以tanα＝eq\f(|k1－k2|,1＋k1k2)＝eq\r(15)，即eq\f(sinα,cosα)＝eq\r(15)，可得cosα＝eq\f(sinα,\r(15))，則sin2α＋cos2α＝sin2α＋eq\f(sin2α,15)＝1，又α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則sinα>0，解得sinα＝eq\f(\r(15),4).故選B.8．已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直線l：2x＋y＋2＝0，P為l上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙M的切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B，當(dāng)|PM|·|AB|最小時(shí)，直線AB的方程為()A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－1＝0C．2x－y＋1＝0 D．2x＋y＋1＝0答案D解析圓M的方程可化為(x－1)2＋(y－1)2＝4，則M(1，1)，點(diǎn)M到直線l的距離為d＝eq\f(|2×1＋1＋2|,\r(22＋12))＝eq\r(5)＞2，所以直線l與圓M相離．依圓的知識(shí)可知，點(diǎn)A，P，B，M四點(diǎn)共圓，且AB⊥PM，所以|PM|·|AB|＝4S△PAM＝4×eq\f(1,2)|PA|×|AM|＝4|PA|，而|PA|＝eq\r(|PM|2－|AM|2)＝eq\r(|PM|2－4)，當(dāng)直線l⊥PM時(shí)，|PM|最小，|PM|min＝eq\r(5)，|PA|min＝1，此時(shí)|PM|·|AB|最?。本€PM的方程為y－1＝eq\f(1,2)(x－1)，即y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,2)x＋\f(1,2)，,2x＋y＋2＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝0，))所以P(－1，0)．所以以PM為直徑的圓的方程為(x－1)(x＋1)＋y(y－1)＝0，即x2＋y2－y－1＝0.兩圓的方程相減可得2x＋y＋1＝0，即為直線AB的方程．故選D.二、多項(xiàng)選擇題9．(2023·黃岡模擬)已知圓C：(x＋1)2＋y2＝9，則下列四個(gè)命題表述正確的是()A．圓C上有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線l：x－eq\r(3)y－1＝0的距離等于1B．過點(diǎn)A(3，4)作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N，直線MN的方程為4x＋4y－5＝0C．一條直線與圓C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，且有eq\r(3)|eq\o(CP,\s\up6(→))＋eq\o(CQ,\s\up6(→))|－|eq\o(PQ,\s\up6(→))|≥0，則∠PCQ的最大值為eq\f(2π,3)D．若圓C與圓E：x2＋y2－4x－8y＋m2＝0相外切，則m＝4答案BC解析圓心C(－1，0)，半徑r＝3，圓心C到直線l：x－eq\r(3)y－1＝0的距離d＝eq\f(|－1－\r(3)×0－1|,\r(12＋（－\r(3)）2))＝1，故圓C上有4個(gè)點(diǎn)到直線l的距離為1，故A錯(cuò)誤；過點(diǎn)A(3，4)作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N，則A，C，M，N四點(diǎn)共圓，且AC為直徑，方程為x2＋y2－2x－4y－3＝0，與圓C的方程相減可得，直線MN的方程為4x＋4y－5＝0，故B正確；設(shè)PQ的中點(diǎn)為D，則CD⊥PQ.因?yàn)閑q\r(3)|eq\o(CP,\s\up6(→))＋eq\o(CQ,\s\up6(→))|－|eq\o(PQ,\s\up6(→))|≥0，即eq\r(3)·2|eq\o(CD,\s\up6(→))|≥2|eq\o(PD,\s\up6(→))|，可得eq\r(3)≥eq\f(|\o(PD,\s\up6(→))|,|\a\vs4\al(\o(CD,\s\up6(→)))|)＝tan∠DCP，則0<∠DCP≤eq\f(π,3)，故∠PCQ的最大值為eq\f(2π,3)，故C正確；圓E：x2＋y2－4x－8y＋m2＝0的圓心為E(2，4)，半徑R＝eq\r(20－m2)，根據(jù)題意可得R＋r＝|CE|，即3＋eq\r(20－m2)＝5，解得m＝±4，故D錯(cuò)誤．故選BC.10．(2024·合肥二模)若圓C1：x2＋y2＝4與圓C2：(x－m)2＋(y－n)2＝4的公共弦AB的長(zhǎng)為2eq\r(3)，則下列結(jié)論正確的是()A．m2＋n2＝4B．直線AB的方程為mx＋ny－2＝0C．AB中點(diǎn)的軌跡方程為x2＋y2＝3D．四邊形AC1BC2的面積為eq\r(3)答案AB解析對(duì)于A，圓C1：x2＋y2＝4與圓C2：(x－m)2＋(y－n)2＝4，兩圓的方程相減可得2mx＋2ny－m2－n2＝0，即兩圓公共弦的方程為2mx＋2ny－m2－n2＝0，圓C1：x2＋y2＝4的圓心為(0，0)，半徑R＝2，圓心C1到直線2mx＋2ny－m2－n2＝0的距離d＝eq\f(|m2＋n2|,2\r(m2＋n2))＝eq\f(\r(m2＋n2),2)，而兩個(gè)圓的公共弦AB的長(zhǎng)為2eq\r(3)，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),2)))eq\s\up12(2)＝4－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(m2＋n2),2)))eq\s\up12(2)，即m2＋n2＝4，A正確；對(duì)于B，由于兩圓公共弦AB的方程為2mx＋2ny－m2－n2＝0，且m2＋n2＝4，故兩圓公共弦AB的方程為2mx＋2ny－4＝0，即mx＋ny－2＝0，B正確；對(duì)于C，設(shè)AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，由于C1C2垂直平分AB，則C1到AB中點(diǎn)的距離就是C1到直線AB的距離，則x2＋y2＝1，即AB中點(diǎn)的軌跡方程為x2＋y2＝1，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，兩圓的半徑相等，則四邊形AC1BC2為菱形，其面積S＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×1×2\r(3)))＝2eq\r(3)，D錯(cuò)誤．故選AB.11．(2021·新高考Ⅰ卷)已知點(diǎn)P在圓(x－5)2＋(y－5)2＝16上，點(diǎn)A(4，0)，B(0，2)，則()A．點(diǎn)P到直線AB的距離小于10B．點(diǎn)P到直線AB的距離大于2C．當(dāng)∠PBA最小時(shí)，|PB|＝3eq\r(2)D．當(dāng)∠PBA最大時(shí)，|PB|＝3eq\r(2)答案ACD解析設(shè)圓(x－5)2＋(y－5)2＝16的圓心為M(5，5)，由題易知直線AB的方程為eq\f(x,4)＋eq\f(y,2)＝1，即x＋2y－4＝0，則圓心M到直線AB的距離d＝eq\f(|5＋2×5－4|,\r(5))＝eq\f(11,\r(5))>4，所以直線AB與圓M相離，所以點(diǎn)P到直線AB的距離的最大值為4＋d＝4＋eq\f(11,\r(5))，4＋eq\f(11,\r(5))<5＋eq\r(\f(125,5))＝10，故A正確；易知點(diǎn)P到直線AB的距離的最小值為d－4＝eq\f(11,\r(5))－4，eq\f(11,\r(5))－4<eq\r(\f(125,5))－4＝1，故B不正確；過點(diǎn)B作圓M的兩條切線，切點(diǎn)分別為N，Q，如圖所示，連接MB，MN，MQ，則當(dāng)∠PBA最小時(shí)，點(diǎn)P與N重合，|PB|＝eq\r(|MB|2－|MN|2)＝eq\r(52＋（5－2）2－42)＝3eq\r(2)，當(dāng)∠PBA最大時(shí)，點(diǎn)P與Q重合，|PB|＝3eq\r(2)，故C，D正確．故選ACD.三、填空題12．圓心在直線y＝－4x上，并且與直線l：x＋y－1＝0相切于點(diǎn)P(3，－2)的圓的方程為________．答案(x－1)2＋(y＋4)2＝8解析設(shè)圓心A的坐標(biāo)為(a，－4a)，則kAP＝eq\f(2－4a,a－3)，又圓A與直線l相切，∴kAP·kl＝－1，又kl＝－1，∴a＝1，∴A(1，－4)，r＝eq\r(（1－3）2＋（－4＋2）2)＝2eq\r(2)，∴所求圓的方程為(x－1)2＋(y＋4)2＝8.13．(2023·廣東東莞期中)一條光線從點(diǎn)(－2，－3)射出，經(jīng)y軸反射后與圓(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，則反射光線所在直線的斜率為________．答案－eq\f(3,4)或－eq\f(4,3)解析圓(x＋3)2＋(y－2)2＝1的圓心為(－3，2)，半徑為1，根據(jù)光的反射原理知，反射光線的反向延長(zhǎng)線必過點(diǎn)(－2，－3)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)(2，－3)，易知反射光線所在直線的斜率存在，設(shè)為k，則反射光線所在直線的方程為y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0，由反射光線與圓(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，可得eq\f(|－3k－2－2k－3|,\r(k2＋1))＝1，整理得12k2＋25k＋12＝0，解得k＝－eq\f(4,3)或k＝－eq\f(3,4).14．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(－1，0)，B(2，0)，圓C：(x－2)2＋(y－m)2＝eq\f(1,4)(m>0)，在圓上存在點(diǎn)P滿足|PA|＝2|PB|，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)，\f(\r(21),2)))解析設(shè)點(diǎn)P(x，y)，由|PA|＝2|PB|可得(x＋1)2＋y2＝4[(x－2)2＋y2]，化簡(jiǎn)得(x－3)2＋y2＝4，即點(diǎn)P的軌跡是圓心為Q(3，0)，半徑為r＝2的圓，因?yàn)辄c(diǎn)P在圓C：(x－2)2＋(y－m)2＝eq\f(1,4)(m>